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그라스만의 수학 인식과 벡터공간의 일반화
Grassmann's Mathematical Epistemology and Generalization of Vector Spaces 원문보기

Journal for history of mathematics = 한국수학사학회지, v.26 no.4, 2013년, pp.245 - 257  

이희정 (Dept. of Applied Math., Kangnam Univ.) ,  신경희 (Graduate School of Edu., Ajou Univ.)

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

Hermann Grassmann classified mathematics and extended the dimension of vector spaces by using dialectics of contrasts. In this paper, we investigate his mathematical idea and its background, and the process of the classification of mathematics. He made a synthetic concept of mathematics based on his...

주제어

#그라스만   #대비   #변증법   #실제와 형식   #벡터공간   #기저   #차원   #일반화  

AI 본문요약
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문제 정의

  • 이와 같은 아이디어는 그라스만으로 하여금 선형대수에 있어 매우 구체적인 연구를 가능하게 하였다 그의 이론은 기하학적 직관에 기초할 뿐만 아니라 매우 형식적이다. 본 논문에서는 도리에(Dorier)의 1995년과 2000년 논문의 내용을 중심으로 그라스만이 전개한 벡터공간의 차원의 일반화를 분석하고자 한다.
  • 이에 본고에서는 벡터공간 개념이 발생했던 시대적 상황을 살펴보고 발전과정의 여러 단계에서 중심적 역할을 한 그라스만(Grassmann 1809–1877)의 수학에 관하여 연구하려 한다.

가설 설정

  • 사실 이러한 지식을 구성하는 기본 가정은 그라스만의 아버지 유스투스 그라스만의 아이디어를 그대로 이용한 것이다. 유스투스 그라스만은 수학에서 직관의 역할을 강조하였다.
  • 여기서 유스투스 그라스만은 위 Figure 1에 있는 네 가지 기본 요소, ‘같음’과 ‘다름’, ‘이산’과 ‘연속’를 가정하고 이를 바탕으로 ‘수학적 종합’의 개념을 만들어 냈다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
벡터공간의 내용과 진술 방법은 어떤 접근으로 이루어져 있는가? 벡터공간의 내용과 진술 방법은 가설 연역적이고 공리적 접근으로 이루어져 있다. 이러한 접근 방법은 오랜 발전 과정이 생략된 채로 전개되어 있어서 이해를 어렵게 한다.
해밀턴의 사원수의 발견은 어떤 점에서 커다란 사건이라 할 수 있는가? 또 다른 사건은 해밀턴의 사원수의 발견이다. 이는 피콕이 주장했던 형식 불역의 원리를 무효화시킬 정도였다[3]. 피콕은 대수학에 구조가 존재한다는 것을 최초로 인식한 수학자로 양의 정수에 덧셈과 곱셈이라는 두 연산이 있고 교환법칙, 결합법칙, 배분법칙이 성립하는 것을 통상적으로 받아들이면서 이 성질들을 양의 정수 이외의 다른 원소의 집합에도 적용할 수 있을 것이라는 생각을 하게 된다.
그라스만의 수학에 대한 연구는 어떤 의의가 있는가? 그라스만의 업적에 대한 분석은 수학자와 역사가들에게는 꼭 필요하다. 그라스만의 수학에 대한 연구는 19세기 기하 위주의 수학을 대수로, 산술대수에서 구조를 갖는 추상대수로 옮겨가는 가교역할을 하였다. 19세기 후반 대수와 기하를 연결하는 독창적인 인식론적 접근을 했고 이후 반세기 만에 다양한 방법으로 재발견하였다.
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참고문헌 (9)

  1. Henk J. M. Bos, Lectures in the History of Mathematics, Amer, Math. Soc., 1993. 

  2. Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis, University of Notre Dame Press, 1967. 

  3. Jean-Luc Dorier,"A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory", Historia Mathematica 22(1995), 227-261. 

  4. Jean-Luc Dorier,"Epistemological Analysis of the Genesis of the Theory of Vector Spaces", On the Teaching of Linear Algebra, Edited by Dorier, Kluwer Academic Publishers, 2000, 1-82. 

  5. H. Eves, Great Moments in Mathematics, 1978. 허민 외 역,수학의 위대한 순간들, 경문사. 

  6. Lewis & Albert C. H.,"Grassmann's 1844 Ausdehnungslehre and Schleiermacher's Dialektik", Annals of Science 34(2) (1977), 103-162. 

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  7. Albert C. Lewis,"The unity of logic, pedagogy and foundations in Grassmann's mathematical work", History and philosophy of logic 25(2004), 15-36. 

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  8. Michael Otte,"The ideas of Hermann Grassmann in the Context of the Mathematical and Philosophical Tradition since Leibniz", Historia Mathematica 16(1989), 1-35. 

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  9. Mircea Radu, "Justus Grassmann's Contributions to the Foundations of Mathematics: Mathematical and Philosophical Aspects", Historia Mathematica 27(1) (2000), 4-35. 

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