박범환
(Department of Railroad Management and Logistics, Korea National University of Transportation)
,
정광우
(Department of Railroad Operation System Engineering, Korea National University of Transportation)
최근 복수의 철도 운송 사업자를 고려한 효율적인 선로 용량 할당 체계에 대한 관심이 증대하고 있다. 선로 용량 배분 체계란 제한된 선로 용량을 복수의 철도 운송 사업자들에게 그들이 원하는 열차를 배분하는 일련의 절차 및 방법론을 말하는데, 본 논문은 철도 운송 사업자가 제안한 열차들의 출발시간, 정차 시간 등을 조정하여 시설 관리자가 추구하는 목적에 가장 부합하는 조정된 스케줄을 생성해내는 최적화 모형 및 해법을 다룬다. 이 모형과 관련한 기존 연구들은, 열차간의 경합 조건만을 제약식으로 설정하여, 특정 노선에 투입되는 열차들이 경합 조건 때문에 기존에 계획된 노선별 열차 운행 횟수를 보장할 수 없는 한계를 갖고 있다. 본 연구에서는 노선별 열차 운행 횟수를 고려함과 동시에 열차간 경합 조건을 반영한 새로운 최적화 모형 및 이에 대한 해법을 제시한다. 이 해법을 이용하여, 수서발 고속열차와 기존 고속열차 운행 전 구간에 대한 최적의 선로 용량 할당 계획을 제시한다.
최근 복수의 철도 운송 사업자를 고려한 효율적인 선로 용량 할당 체계에 대한 관심이 증대하고 있다. 선로 용량 배분 체계란 제한된 선로 용량을 복수의 철도 운송 사업자들에게 그들이 원하는 열차를 배분하는 일련의 절차 및 방법론을 말하는데, 본 논문은 철도 운송 사업자가 제안한 열차들의 출발시간, 정차 시간 등을 조정하여 시설 관리자가 추구하는 목적에 가장 부합하는 조정된 스케줄을 생성해내는 최적화 모형 및 해법을 다룬다. 이 모형과 관련한 기존 연구들은, 열차간의 경합 조건만을 제약식으로 설정하여, 특정 노선에 투입되는 열차들이 경합 조건 때문에 기존에 계획된 노선별 열차 운행 횟수를 보장할 수 없는 한계를 갖고 있다. 본 연구에서는 노선별 열차 운행 횟수를 고려함과 동시에 열차간 경합 조건을 반영한 새로운 최적화 모형 및 이에 대한 해법을 제시한다. 이 해법을 이용하여, 수서발 고속열차와 기존 고속열차 운행 전 구간에 대한 최적의 선로 용량 할당 계획을 제시한다.
Recently, there is has been significant interest in the allocation systems of rail track capacities with considerations of the multiple train operating companies. The system indicates both a well-defined procedure and an algorithmic method to allocate the rail track capacities. Among them, this stud...
Recently, there is has been significant interest in the allocation systems of rail track capacities with considerations of the multiple train operating companies. The system indicates both a well-defined procedure and an algorithmic method to allocate the rail track capacities. Among them, this study considers the algorithmic method to derive the optimal timetable for the trains, which the companies propose together with their arrival and departure times at each station. However, most studies have focused on the adjustment of the departure and arrival times without conflicts, which could result in incompatible allocations with the line plan, which would result in an insufficient number of trains on each line to satisfy the demands. Our study presents a new optimization model and algorithm for the allocation problem in order to reflect the predetermined line plan. Furthermore, we provide the experimental results that were applied to the Korean high-speed railway network including the Suseo lines.
Recently, there is has been significant interest in the allocation systems of rail track capacities with considerations of the multiple train operating companies. The system indicates both a well-defined procedure and an algorithmic method to allocate the rail track capacities. Among them, this study considers the algorithmic method to derive the optimal timetable for the trains, which the companies propose together with their arrival and departure times at each station. However, most studies have focused on the adjustment of the departure and arrival times without conflicts, which could result in incompatible allocations with the line plan, which would result in an insufficient number of trains on each line to satisfy the demands. Our study presents a new optimization model and algorithm for the allocation problem in order to reflect the predetermined line plan. Furthermore, we provide the experimental results that were applied to the Korean high-speed railway network including the Suseo lines.
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문제 정의
본 연구는 수요 예측에 기초한 노선 계획 결과를 반영하고, 위에서 서술한 운영상 제약을 만족하면서, 운송 사업자로부터 제안된 열차들을 가능한 한 시간 조정 없이 많은 열차를 포함하는 열차 스케줄을 작성하는 최적화 모형 및 해법을 제시한다.
본 연구는 이러한 정책 및 배분 체계 요소들이 결정되었다는 전제하에, Fig. 1에서 표시된 임시적 할당(provisional allocation)에 관한 연구로, 다수의 운송 사업자(Railway Undertaking: RU)가 제안한 열차 스케줄에 대해 목적함수를 최대화하면서 경합과 같은 운영상 제약을 만족하는 최적의 스케줄을 생성하는 모형 및 해법에 관한 것이다. 물론 이러한 모형 및 해법은 그림에서 서술한 정책적 요소나 배분 체계 요소들이 결정이 된 후에야 정확한 모형화가 가능하지만, 이와 관련한 모든 연구들은, 열차간 최소 시격(minimum headway)과 같은 운영 제약에 따른 경합 방지 제약식을 만족하고, 동시에 열차 경로별 이득의 합을 최대화하는 목적 함수를 공통된 요소로 포함하고 있다.
특히 이러한 노선별 열차 운행횟수를 만족시키기 위해 제약식을 추가할 경우, [12]에서 제시한 최적화 모형과 달리 완화된 선형계획 모형의 가능해가 존재하지 않을 수도 있어, [12]에서 제시한 열생성 기반 알고리듬을 그대로 사용하는 것은 불가능하다. 본 연구에서는 노선계획을 반영한 선로용량 배분 최적화 모형 및 이를 빠른 시간 안에 풀기 위한 열생성 및 변수 고정에 기초한 알고리듬을 제시한다. 뿐만 아니라, 이 알고리듬을 이용하여, [12]의 6개 역으로 구성된 네트워크가 아닌 고속열차가 정차하는 모든 역을 대상으로 하는 실제적인 네트워크상에 총 671개의 후보 열차를 대상으로, 본 연구에서 제시하는 모형 및 해법을 적용한 결과를 제시한다.
본 연구에서는 다수 철도 운송 사업자가 제안한 열차들을 경합이 없고, 시설관리자의 목적함수를 최대화하며, 노선계획에서 작성한 노선별 운행횟수를 만족시키는 선로 용량 할당 모형 및 알고리즘을 제시하였다. 본 연구에서 제시한 모형 및 알고리즘의 효율성을 검증하기 위해, 고속 철도 네트워크상에 671개 열차를 설정한 후, 노선별 최소 운행 회수를 만족하면서, 다양한 시나리오별로 선로 용량 할당을 실험하였다.
아크 변수를 활용하면, 네트워크가 커질 경우, 변수의 개수가 지수적으로 증가하여 본 연구에서 다루고자 하는 네트워크에서는 활용하기 쉽지 않다. 본 연구에서는 열생성 기법 적용에 용이한 경로 변수를 활용한 최적화 모형을 제시한다. 모형화에 사용된 용어 및 결정변수는 아래와 같다.
가설 설정
다수의 운송 사업자가 제안한 열차들을 최대한 수용하기 위해서는, 운영상의 제약으로 인해 발생하는 열차간의 경합을 회피할 수 있도록, 열차들의 출발 시간 혹은 정차 시간을 조정할 수 있다고 가정한다. 예를 들어, Fig.
앞에서 서술했듯이, 선로용량 배분은 각 운송 사업자가 제안한 스케줄을 기초로 시작된다. 따라서, 본 모형에서 고려하는 최적화 모형은 각 운송 사업자가 제안한 스케줄이 주어졌다고 가정하고, 시설관리자의 목적을 최적화 시킬 수 있는 조정 스케줄을 작성한다. 이러한 조정 스케줄 작성 시 고려되는 요소로는 열차간 경합 조건과 노선별 열차 운행 횟수이다.
물론 이러한 열차수는 좌석용량에 따라 기존 20량 KTX와 10량 KTX 를 구분하지 않았다. 본 선로 용량 할당 모형에서는 이러한 횟수의 열차수를 선로용량 할당을 통해 투입가능한지 여부를 확인하고, 이후 중련 편성 등의 방법으로 노선 계획의 결과를 그대로 반영할 수 있다고 가정하였다.
본 연구에서는 운행 패턴에 관계없이 열차간 시격은 동일하다고 가정한다. 대신에 출발 운전 시격과 도착 운전 시격을 동시에 고려함으로써, 무정차로 인해 운전시분이 작은 열차는 그렇지 않은 열차와의 도착 시격의 고려를 통해, 출발시격이 더욱 늘어나는 효과를 기대할 수 있다.
세 번째 실험에서는 신규 고속차량을 어느 노선에 투입하느냐에 따라, 선로 용량 배분이 어떻게 달라지는지를 검토 하였다. 신규 고속차량의 운전 시분이 20% 감소된다고 가정하고, 기존 운행 패턴과 달리 주요역에서만 정차한다고 가정했을 때, 선로 용량의 변화를 검토해 보았다. Table 7에서 보듯이 기존 운행 패턴을 유지할 경우, 40회 안팎의 F_KTX 투입에도 불구하고 총 156회 내외의 선로용량을 확보할 수있으며, 정차역을 줄임으로써, 운행 시간을 대폭 축소시킨 시나리오 3의 경우 20회 안팎의 선로용량을 확인할 수 있음을 확인할 수 있다.
여기서 허용치란 원래 제안된 열차의 출발 시간 및 정차 시간을 그 허용치 내에서 연장할 수 있음을 의미한다. 정차 패턴에 대해서는 시간을 변경하더라도, 원래 제안된 열차의 정차 패턴을 그대로 따르는 것으로 가정하였다.
제안 방법
[12]의 경우, 선형계획의 최적해가 구성되면, 그 때까지 생성된 열을 이용하여 곧바로 분지한계법을 적용한 반면, 본 연구에서는 보다 다양한 열을 생성하고, 분지한계법 적용 시보다 빠른 시간 안에 해를 구하도록 변수 고정 방법(variable fixing)을 도입하였다.
두 번째 실험에서는, 열차 운전 시분의 감소에 따른 선로 용량의 변화를 검토하였다. 실제로 최근 개발중인 새로운 고속차량의 경우 기존 KTX차량보다 최대 운행 속도가 높다.
알고리듬의 전체 수행 횟수 상한(Term_Ct)는 200회, nt값 설정에 필요한 q는 30으로 설정하였고, CPLEX의 분지한계법상의 분지 노드의 상한 갯수는 10000으로 설정하였다. 또한 운송 사업자로부터 제안된 스케줄의 출발시간 혹은 정차시간을 증가 시킬 경우, 분당 -1의 이득을 설정하였다.
앞에서 서술했듯이, 본 연구에서 제시한 최적화 모형의 입력 요소는 각 운송사업자가 제안한 열차의 집합, 시설관리자의 스케줄 조정 권한에 포함되어 있는 출발 및 정차 시간의 허용치, 최소 시격과 같은 운영 제약, 그리고 수요를 만족하기 위한 노선별 최소 운행 횟수등이다. 먼저 각 운송사업자가 제안하는 열차를 생성하기 위해 기존 스케줄을 지연-복사 시키는 방식을 활용하였다. Table 1의 후보 열차에 나타나 있듯이, 총 생성한 후보 열차는 671개의 열차이며, 각 노선별 생성된 후보 열차는 표와 같다.
먼저 본 연구에서 제시한 변수 고정 방식의 효과를 분석해보기 위해, Table 3과 같이 변수 고정이 된 경우와 그렇지 않은 경우에 대해 목적 함수 값 및 알고리듬 수행시간(computation time)을 비교해보았다. [12]와는 다루는 문제가 달라 직접적인 비교는 불가능하지만, 열생성 후 생성된 열로 구성된 정수계획모형을 분지한계법만으로 푸는 방법 보다는 열생성 시 유력한 열을 고정시키는 열생성 방법이 보다 빠른 시간 안에 만족할 만한 해를 구할 수 있음을 확인 하였다.
4와 같다. 먼저 운송 사업자가 제안한 열차경로만으로 초기 주 문제를 설정하여 선형 계획 모형을 푼다. 이 때 선형계획 모형상의 식 (4)는 위에서 설명한 바와 같이 완화된 nt 를 사용하여 선형 계획 모형이 가능해를 갖도록 한다.
본 연구는 이를 해결하기 위해, 완화된 주문제가 가능해를 가질 때까지 식 (4)의 제약도 동시에 완화하는 방법을 활용하였다. 식 (4)의 우변항인 최소 열차 운행 횟수(Nt ) 대신에, 완화된 열차 운행 횟수(nt )를 아래와 같이 구성하여, 완화된 주문제가 가능해를 갖도록 강제하면서, 매 회가 진행될수록 Nt 에 가까워져서, 결국 식 (4)를 만족하는 선형 계획 해를 도출할 수 있다.
본 연구에서는 다수 철도 운송 사업자가 제안한 열차들을 경합이 없고, 시설관리자의 목적함수를 최대화하며, 노선계획에서 작성한 노선별 운행횟수를 만족시키는 선로 용량 할당 모형 및 알고리즘을 제시하였다. 본 연구에서 제시한 모형 및 알고리즘의 효율성을 검증하기 위해, 고속 철도 네트워크상에 671개 열차를 설정한 후, 노선별 최소 운행 회수를 만족하면서, 다양한 시나리오별로 선로 용량 할당을 실험하였다. 실제로 각 선로 용량 할당에 소요된 시간은 30분이내로, 실제 선로 용량 할당에서는 671개 보다 훨씬 적은 후보 열차로 용량 할당을 할 것으로 예측되는데, 수행 시간은 30분보다 훨씬 줄어들 것으로 기대된다.
본 연구에서 제시한 모형은 역간 od수요를 만족하는 노선 계획 결과를 반영하여, 노선별 운행횟수를 만족시키면서, 제한된 선로 용량을 노선별, 운송 사업자별로 배분하여 최적의 열차 스케줄을 생성할 수 있는 최적화 모형이다. 앞에서 서술했듯이, 선로용량 배분은 각 운송 사업자가 제안한 스케줄을 기초로 시작된다.
본 연구에서 제시한 모형의 두 번째 실험으로, 열차간 최소 시격 변화에 따른 선로 용량 할당의 변화를 검토하였다. Table 4는 두 열차간의 출도착 최소 시격을 4분/5분/6.
이러한 과정을 분지 평가법(branch-and-price)라고 하는데, 이러한 방법은 네트워크가 커질 경우, 열 및 분지 노드의 데이터를 유지하기 위한 과정이 매우 복잡해지며, 너무 많은 수행시간을 필요로 한다. 본 연구에서는 이러한 분지평가법 대신 선형계획 최적해에서 가장 큰 실수값을 갖는 변수를 1로 고정하고, 고정된 변수를 고려하여 다시 열생성에 의해 선형계획해를 생성하는 과정을 반복하는 변수 고정 방법을 활용한다.
본 장에서는 위에서 제시한 최적화 모형 및 해법을 활용하여 2015년 수도권 고속철도, 호남 고속철도 개통 및 제 2의 운송 사업자를 고려한 고속철도 네트워크상에서의 선로 용량 할당을 위한 전산 실험 결과를 제시한다. 먼저 본 연구에서 고려하는 네트워크는 Fig.
본 연구에서는 노선계획을 반영한 선로용량 배분 최적화 모형 및 이를 빠른 시간 안에 풀기 위한 열생성 및 변수 고정에 기초한 알고리듬을 제시한다. 뿐만 아니라, 이 알고리듬을 이용하여, [12]의 6개 역으로 구성된 네트워크가 아닌 고속열차가 정차하는 모든 역을 대상으로 하는 실제적인 네트워크상에 총 671개의 후보 열차를 대상으로, 본 연구에서 제시하는 모형 및 해법을 적용한 결과를 제시한다.
세 번째 실험에서는 신규 고속차량을 어느 노선에 투입하느냐에 따라, 선로 용량 배분이 어떻게 달라지는지를 검토 하였다. 신규 고속차량의 운전 시분이 20% 감소된다고 가정하고, 기존 운행 패턴과 달리 주요역에서만 정차한다고 가정했을 때, 선로 용량의 변화를 검토해 보았다.
Table 5는 신규 고속 차량의 운전 시분 감소에 따른 선로 용량의 변화를 보여주고 있다. 실제로 운전시분의 감소를 정확히 고려하기 위해서는 전체 열차 경로에 대한 TPS(Train Performance Simulation)을 통해 역간 구간에서의 정확한 운전 시분 감소값을 계산해야 하지만, 본 연구에서는 모든 역간 구간에 대해, 기존 KTX 역간 운전 시분을 동일한 비율로 감소시켰다. 여기서 운전 시분을 감소한 후보 열차(이를 간단히 F_KTX)는 경부-호남 고속 전용선(수서발 포함)에 투입되는 열차 중 144개 열차이다.
이 때 선형계획 모형상의 식 (4)는 위에서 설명한 바와 같이 완화된 nt 를 사용하여 선형 계획 모형이 가능해를 갖도록 한다. 여기서 도출된 선형 계획 모형의 쌍대 최적해를 이용하여, 모든 열차에 대해 목적함수를 증가시킬 수 있는 새로운 열차-경로를 탐색한다. 앞에서 서술했듯이 이는 시공간 네트워크에서의 최장 경로 문제가 된다.
따라서 위 최적화 모형을 풀기 위해서는 목적함수에 기여할 수 있는 소수의 경로만을 생성하여 경로를 추가하게 된다. 이를 위해서는 우선 위 문제의 정수 제약조건 (5)를 완화하여 선형계획 문제(완화된 주문제 : relaxed master problem)를 구성하고, 선형 계획의 최적 조건을 이용하여 새로운 경로를 추가적으로 생성한다. 이를 위해 우선 식 (2), 식 (3), 식 (4)에 대응되는 쌍대 변수를 πk, µC, σt 라 하면 완화된 주문제의 최적 조건은 아래와 같다.
대상 데이터
먼저 각 운송사업자가 제안하는 열차를 생성하기 위해 기존 스케줄을 지연-복사 시키는 방식을 활용하였다. Table 1의 후보 열차에 나타나 있듯이, 총 생성한 후보 열차는 671개의 열차이며, 각 노선별 생성된 후보 열차는 표와 같다. 운영상 제약으로 3가지를 설정하였는데, 열차간 최소 시격과 출발 시간 및 정차 시간의 허용치이다.
실제로 운전시분의 감소를 정확히 고려하기 위해서는 전체 열차 경로에 대한 TPS(Train Performance Simulation)을 통해 역간 구간에서의 정확한 운전 시분 감소값을 계산해야 하지만, 본 연구에서는 모든 역간 구간에 대해, 기존 KTX 역간 운전 시분을 동일한 비율로 감소시켰다. 여기서 운전 시분을 감소한 후보 열차(이를 간단히 F_KTX)는 경부-호남 고속 전용선(수서발 포함)에 투입되는 열차 중 144개 열차이다. 표에서 보듯이 운전시분을 20% 감소시켜 운행하더라도, 노선 계획에서 요구하는 열차 운행 횟수를 보장할 수 있으며, 선로 용량의 감소효과는 미미한 것으로 나타났다.
이론/모형
본 연구에서 고려하는 모형의 핵심 입력값인 노선별 열차 운행 횟수는 박범환 등[16]에서 제시한 최적화 모형을 활용 하여 계산하였고, 이 모형의 입력 요소인 역간 OD수요는 철도공사[17]의 연구 결과를 그대로 활용하였다. Table 2는 노선 계획 결과를 보여주고 있다.
본 연구에서 제시하는 모형은 위에서 서술한 시공간 네트워크에 기초하고 있다. 앞에서 서술했듯이, 열차 스케줄 작성과 관련한 대부분의 연구는 시공간 네트워크에 기초하고 있는데, 열차의 이동 경로를 표현하기 위해 아크 변수를 사용할 수도 있고, 경로자체를 하나의 변수로 설정할 수도 있다.
본 연구에서 제시하는 해법은 열생성(column generation) 에 기초하고 있다. 열생성이란 최적화 모형에 서술된 모든 변수를 명시적(explicitly)으로 고려하지 않고, 초기 몇 개의 변수만을 이용하여 선형계획 완화 문제를 풀고, 그 선형 계획 완화 문제를 개선 시킬 수 있는 열(column)만을 최적화 모형에 추가하여 해를 구하는 선형 계획 문제에 대한 해법을 통칭한다.
이 연구 들은 시공간 네트워크 상의 아크에 대해 개별 변수를 설정한 모델([8,9])과 열생성을 고려하여 경로변수(path variable) 를 설정한 모델([10,11,12])로 대별된다. 아크 변수에 기초한 모형들은 주로 라그랑지안 완화법을 주요 해법으로 활용하였고, 이에 반해 경로 변수를 채택한 모형들은 열생성(column generation)기법을 활용하였다.
성능/효과
본 연구의 선행 연구라 할 수 있는 [12]의 경우, 알고리듬 및 전산 프로그램의 미비점으로 인해 6개의 가상역으로 이루어진 네트워크에 대해 총 113개의 후보 열차를 대상으로 선로 배분 모형을 검증하였지만, 본 연구에서는 고속 열차가 정차하는 모든 역을 대상으로 하였고, 추후 살펴보겠 지만, 총 671개라는 충분한 개수의 후보 열차를 대상으로 하여, 결과의 신뢰성을 높였으며, 수요 예측으로부터 도출된 노선별 최소 운행 열차 수를 만족시킴으로써, 수요에 기초한 열차 운행 계획과 최대한 근접한 선로 용량 배분 결과를 도출할 수 있었다.
보다 큰 경로가 목적함수를 개선시킬 수 있다. 이는 최장경로를 구함으로써 가능한데, 일반적인 최장 경로 문제는 NP-hard 문제이지만, 본 연구에서 제시한 시공간 네트워크는 비환(acyclic) 네트워크이므로 최단경로 알고리즘을 이용하면, 쉽게 그러한 경로를 구성할 수 있다.
여기서 운전 시분을 감소한 후보 열차(이를 간단히 F_KTX)는 경부-호남 고속 전용선(수서발 포함)에 투입되는 열차 중 144개 열차이다. 표에서 보듯이 운전시분을 20% 감소시켜 운행하더라도, 노선 계획에서 요구하는 열차 운행 횟수를 보장할 수 있으며, 선로 용량의 감소효과는 미미한 것으로 나타났다.
표에서 보듯이, 열 생성 시 유력한 열을 고정함으로써, 본 연구에서 제시한 알고리듬의 맨 마지막 단계인 분지한계법(Branch-and-Bound)의 수행시간이 대폭 줄어들었음을 확인할 수 있고, 이에 따른 전체 알고리듬 수행시간 또한 약 1/5수준으로 줄어들었음을 확인할 수 있었다. 뿐만 아니라, 변수 고정을 통해, 최종 목적함수 또한 개선될 수 있음을 볼수 있다.
후속연구
그러나 본 연구에서 제시한 최적화 모형은 운행 패턴이 다른 열차들간의 출발 시격이 운행패턴에 관계없이 일정하다고 가정하였으나, 실제로는 차이가 있으며, 이를 반영하기 위한 효과적인 최적화 모형 및 해법이 필요하다. 물론 시공간 네트워크 상에 존재하는 모든 아크 쌍에 대해 제약식을 설정하는 방법으로 운행 패턴에 따른 각기 다른 최소 시격을 설정할 수도 있지만 이는 너무나 많은 제약식을 필요로 하여 본 연구에서 개발한 해법으로는 최적해를 구하기 어려운 한계를 갖고 있는 이를 보완하는 연구가 필요하다.
그러나 본 연구에서 제시한 최적화 모형은 운행 패턴이 다른 열차들간의 출발 시격이 운행패턴에 관계없이 일정하다고 가정하였으나, 실제로는 차이가 있으며, 이를 반영하기 위한 효과적인 최적화 모형 및 해법이 필요하다. 물론 시공간 네트워크 상에 존재하는 모든 아크 쌍에 대해 제약식을 설정하는 방법으로 운행 패턴에 따른 각기 다른 최소 시격을 설정할 수도 있지만 이는 너무나 많은 제약식을 필요로 하여 본 연구에서 개발한 해법으로는 최적해를 구하기 어려운 한계를 갖고 있는 이를 보완하는 연구가 필요하다.
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