표본자료의 왜곡도 영향을 고려한 GEV 분포의 확률도시 상관계수 검정방법 비교 검토 Comparison on Probability Plot Correlation Coefficient Test Considering Skewness of Sample for the GEV Distribution원문보기
수공구조물의 설계 시 적절한 확률수문량을 추정하는 것은 매우 중요하며, 이러한 확률수문량을 추정하기 위해서는 표본으로서의 수문자료를 잘 표현할 수 있는 확률분포형을 찾아야 한다. 이와 같이 수문자료에 통계적 특성을 잘 표현할 수 있는 확률분포형을 찾기 위해서 적합도 검정을 실시하며, 적합도 검정 중 하나인 확률도시 상관계수 검정은 비교적 최근에 개발되어 그 사용법이 간단하며 높은 기각능력을 갖는다고 알려져 있다. 본 연구에서는 왜곡도 계수의 영향을 고려할 수 있는 도시위치공식을 이용하여 확률도시 상관계수 검정통계량을 유도하고 그 기각능력을 검토하였으며, 그 결과를 기존에 왜곡도 계수를 고려하지 않은 확률도시 상관계수 검정 방법과 비교해보았다. 그 결과 본 연구에서 유도된 확률도시 상관계수 검정에 의한 기각능력이 기존의 검정 방법들 보다 뛰어났으며, 특히 표본 크기가 작을수록, 발생 분포형이 형상 매개변수를 가질 경우 기각능력이 높게 나타나는 것으로 나타났다.
수공구조물의 설계 시 적절한 확률수문량을 추정하는 것은 매우 중요하며, 이러한 확률수문량을 추정하기 위해서는 표본으로서의 수문자료를 잘 표현할 수 있는 확률분포형을 찾아야 한다. 이와 같이 수문자료에 통계적 특성을 잘 표현할 수 있는 확률분포형을 찾기 위해서 적합도 검정을 실시하며, 적합도 검정 중 하나인 확률도시 상관계수 검정은 비교적 최근에 개발되어 그 사용법이 간단하며 높은 기각능력을 갖는다고 알려져 있다. 본 연구에서는 왜곡도 계수의 영향을 고려할 수 있는 도시위치공식을 이용하여 확률도시 상관계수 검정통계량을 유도하고 그 기각능력을 검토하였으며, 그 결과를 기존에 왜곡도 계수를 고려하지 않은 확률도시 상관계수 검정 방법과 비교해보았다. 그 결과 본 연구에서 유도된 확률도시 상관계수 검정에 의한 기각능력이 기존의 검정 방법들 보다 뛰어났으며, 특히 표본 크기가 작을수록, 발생 분포형이 형상 매개변수를 가질 경우 기각능력이 높게 나타나는 것으로 나타났다.
It is important to estimate an appropriate quantile for design of hydraulic structure. For this purpose, it is necessary to find the appropriate probability distribution which can represent the sample data well. Probability plot correlation coefficient test as one of goodness-of-fit test, is recentl...
It is important to estimate an appropriate quantile for design of hydraulic structure. For this purpose, it is necessary to find the appropriate probability distribution which can represent the sample data well. Probability plot correlation coefficient test as one of goodness-of-fit test, is recently developed and has been known as a simple and powerful method. In this study, probability plot correlation coefficient test statistics using the plotting position considering the coefficients of skewness for the GEV distribution is derived, and represented by the regression equation. Monte-Carlo method is also performed to compare the rejection power between each method. As the results, the probability plot correlation coefficient test which is derived in this study is better than the others. In particular, when sample size is small and distribution has the shape parameter, rejection power of probability plot correlation coefficient test considering the coefficients of skewness is bigger than the others.
It is important to estimate an appropriate quantile for design of hydraulic structure. For this purpose, it is necessary to find the appropriate probability distribution which can represent the sample data well. Probability plot correlation coefficient test as one of goodness-of-fit test, is recently developed and has been known as a simple and powerful method. In this study, probability plot correlation coefficient test statistics using the plotting position considering the coefficients of skewness for the GEV distribution is derived, and represented by the regression equation. Monte-Carlo method is also performed to compare the rejection power between each method. As the results, the probability plot correlation coefficient test which is derived in this study is better than the others. In particular, when sample size is small and distribution has the shape parameter, rejection power of probability plot correlation coefficient test considering the coefficients of skewness is bigger than the others.
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문제 정의
결국 PPCC 검정은 확률분포형에 대한 적절한 도시위치공식에 따라 그 기각능력이 좌우된다고 볼 수 있다. 따라서 본 연구에서는 GEV분포에 대해서 PPCC 검정통계량을 유도하는데 왜곡도계수를 고려할 수 있는 도시위치공식을 비롯한 다양한 도시위치공식을 이용하여 도시위치공식별 PPCC 검정통계량을 유도하고 이를 회귀식으로 제시하였다.
본 연구에서는 모의실험뿐만 아니라 우리나라의 강우자료에 대하여 연구 결과를 적용하여 실제 적용성을 검토하였다. 기상청 관측 지점 중 40개 지점을 대상으로 지속시간 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 48시간에 대하여 검토를 실시하였으며 매개변수 추정 방법으로는 모멘트 법 (Method of Moments)을 이용하였다.
본 연구에서는 수문극치분포를 다룰 때 널리 사용되며 형상 매개변수를 가지고 있는 GEV 분포를 대상으로 왜곡도 계수를 고려할 수 있는 도시위치공식을 적용하여 검정통계량을 유도하고 이를 회귀식으로 제시하였다. 또한 기존의 Blom (1958), Gringorten (1963), Cunnane (1978) 이 제시한 도시위치공식들을 이용한 PPCC 검정들과의 기각능력을 비교하기 위해서 모의실험을 수행하였다.
본 연구에서는 표본 자료의 왜곡도 계수를 고려할 수 있는 GEV에 대한 PPCC 검정 방법에 대하여 비교 검토해보았으며 결론은 다음과 같다.
제안 방법
대칭인 분포형으로는 normal 분포형, cauchy 분포형, logistic 분포형을 사용하였고 왜곡된 분포형으로는 GEV 분포형, generalized logistic 분포형, generalized pareto 분포형을 사용하였다. 그 중 왜곡된 분포형은 각각 8가지의 형상 매개변수를 고려하였으며 각 분포형별로 왜곡도 계수 범위 0.25에서 3.60에 해당하는 형상 매개변수를 사용하였다. 또한 표본 크기로는 10, 20, 30, 40, 50, 80, 100, 200, 300으로 총 9가지의 경우를 고려하였다.
본 연구에서는 모의실험뿐만 아니라 우리나라의 강우자료에 대하여 연구 결과를 적용하여 실제 적용성을 검토하였다. 기상청 관측 지점 중 40개 지점을 대상으로 지속시간 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 48시간에 대하여 검토를 실시하였으며 매개변수 추정 방법으로는 모멘트 법 (Method of Moments)을 이용하였다. 예로 문산(099)과 포항(138) 지역의 결과를 Table 6에 제시하였다.
도시위치공식별 기각능력 검토를 위한 모의수행으로써 몬테카를로 방법(Monte-Carlo method)을 사용하였다. 난수 발생 분포형은 좌우 대칭인 분포(symmetric distribution)와 왜곡된 분포(skewed distribution)로 나누어 각각 3개씩 총 6개의 분포형을 사용하였다. 대칭인 분포형으로는 normal 분포형, cauchy 분포형, logistic 분포형을 사용하였고 왜곡된 분포형으로는 GEV 분포형, generalized logistic 분포형, generalized pareto 분포형을 사용하였다.
본 연구에서는 수문극치분포를 다룰 때 널리 사용되며 형상 매개변수를 가지고 있는 GEV 분포를 대상으로 왜곡도 계수를 고려할 수 있는 도시위치공식을 적용하여 검정통계량을 유도하고 이를 회귀식으로 제시하였다. 또한 기존의 Blom (1958), Gringorten (1963), Cunnane (1978) 이 제시한 도시위치공식들을 이용한 PPCC 검정들과의 기각능력을 비교하기 위해서 모의실험을 수행하였다.
모의수행을 위하여 난수(random number)발생 분포형은 총 6개의 분포형을 사용하였고, 그 중 형상 매개변수를 갖는 분포형은 각각 8가지의 형상 매개변수를 고려하였으며 분포형별로 9가지의 표본 크기로 10,000번씩 반복하여 발생시켰다. 또한 모의수행 뿐만 아니라 국내 수문관측자료에 대해서도 연구 결과를 적용하여 각 방법들 간의 기각능력을 검토하였다. 본 연구에서 적용한 관측 자료로는 기상청에서 제공하는 시 강우자료를 이용하였다.
60에 해당하는 형상 매개변수를 사용하였다. 또한 표본 크기로는 10, 20, 30, 40, 50, 80, 100, 200, 300으로 총 9가지의 경우를 고려하였다. 이를 바탕으로 분포형에 따라 형상 매개변수와 표본 크기 별로 각각 10,000번씩 반복하여 난수를 발생시켜 유의수준 5%에 대하여 적합도 검정을 수행 하였다.
(2012)의 방법을 이용하였다. 모의 발생시 사용된 표본 크기는 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, 150, 200, 300, 500으로 총 15가지의 경우로 나누었고, 형상 매개변수는 -0.25부터 + 0.20까지 0.05 간격으로(0.00 제외) 9개의 범위를 사용하였으며, 각각의 표본 크기와 형상 매개변수에 따라 100,000개의 표본 자료를 발생시켰다. 유의 수준은 1%, 5%, 10%에 대하여 검정통계량을 산정하였다.
본 연구에서 유도한 검정통계량을 바탕으로 만든 PPCC 검정 회귀식을 이용하여 각 도시위치공식별 PPCC 검정의 기각능력을 검토하기 위해 모의수행을 실시하였다. 모의수행을 위하여 난수(random number)발생 분포형은 총 6개의 분포형을 사용하였고, 그 중 형상 매개변수를 갖는 분포형은 각각 8가지의 형상 매개변수를 고려하였으며 분포형별로 9가지의 표본 크기로 10,000번씩 반복하여 발생시켰다. 또한 모의수행 뿐만 아니라 국내 수문관측자료에 대해서도 연구 결과를 적용하여 각 방법들 간의 기각능력을 검토하였다.
본 연구에서 유도한 검정통계량을 바탕으로 만든 PPCC 검정 회귀식을 이용하여 각 도시위치공식별 PPCC 검정의 기각능력을 검토하기 위해 모의수행을 실시하였다. 모의수행을 위하여 난수(random number)발생 분포형은 총 6개의 분포형을 사용하였고, 그 중 형상 매개변수를 갖는 분포형은 각각 8가지의 형상 매개변수를 고려하였으며 분포형별로 9가지의 표본 크기로 10,000번씩 반복하여 발생시켰다.
00 제외) 9개의 범위를 사용하였으며, 각각의 표본 크기와 형상 매개변수에 따라 100,000개의 표본 자료를 발생시켰다. 유의 수준은 1%, 5%, 10%에 대하여 검정통계량을 산정하였다.
또한 표본 크기로는 10, 20, 30, 40, 50, 80, 100, 200, 300으로 총 9가지의 경우를 고려하였다. 이를 바탕으로 분포형에 따라 형상 매개변수와 표본 크기 별로 각각 10,000번씩 반복하여 난수를 발생시켜 유의수준 5%에 대하여 적합도 검정을 수행 하였다. 기각능력 검토를 위한 몬테카를로 방법의 조건은 Table 4와 같다.
표본 크기, 형상 매개변수 및 유의수준에 따라 PPCC 검정통계량이 각각 다르기 때문에 이를 사용하기 간편하도록 하나의 회귀식으로 표현하였다. 회귀식의 형태는 Heo et al.
대상 데이터
또한 모의수행 뿐만 아니라 국내 수문관측자료에 대해서도 연구 결과를 적용하여 각 방법들 간의 기각능력을 검토하였다. 본 연구에서 적용한 관측 자료로는 기상청에서 제공하는 시 강우자료를 이용하였다.
데이터처리
PPCC 검정통계량 회귀식이 유도한 검정통계량 값을 얼마나 잘 나타내는지에 대하여 결정계수로써 검증하였고, 가장 낮은 결정계수는 Gringorten 공식에서 유의수준 1%의 형상 매개변수 0.20에서의 값으로 0.9859였다. 전체적으로 유도된 검정통계량을 회귀식이 잘 나타내고 있음을 확인하였으며, Kim et al.
앞서 2.2 PPCC 검정에서 설명했던 것처럼 PPCC 검정은 실제 관측자료로부터 얻은 표본과 이론적 분포형으로부터 얻은 확률수문량 값과의 선형적 상관성을 통해서 적합도 검정을 수행하게 된다. 일반적으로 이론적 분포형의 확률수문량 값은 누적분포함수(cumulative distribution function, CDF)의 역함수에 누가발생확률값을 대입함으로써 구할 수 있는데, 이때 CDF의 역함수에 대입하는 확률 값을 도시위치공식을 통해 산정하게 되는 것이다.
1) 도시위치공식으로 순서통계량만을 고려한 Cunnane, Blom, Gringorten이 제시한 방법과 자료의 왜곡도 계수를 고려할 수 있는 Kim et al.이 제시한 방법을 이용하여 확률도시 상관계수 검정통계량 값을 유도하였고, 이를 사용하기 간편하도록 회귀식으로 제시하였다.
이론/모형
GEV 분포형에서 PPCC 검정통계량을 유도하기 위하여 앞서 언급된 Vogel and McMartin (1991)이 제시한 방법을 이용하였고, 도시위치공식으로는 Cunnane, Blom, Gringorten이 제시한 방법과 GEV 분포형에 적합하며 왜곡도 계수를 고려할 수 있는 Kim et al. (2012)의 방법을 이용하였다. 모의 발생시 사용된 표본 크기는 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, 150, 200, 300, 500으로 총 15가지의 경우로 나누었고, 형상 매개변수는 -0.
난수 발생 분포형은 좌우 대칭인 분포(symmetric distribution)와 왜곡된 분포(skewed distribution)로 나누어 각각 3개씩 총 6개의 분포형을 사용하였다. 대칭인 분포형으로는 normal 분포형, cauchy 분포형, logistic 분포형을 사용하였고 왜곡된 분포형으로는 GEV 분포형, generalized logistic 분포형, generalized pareto 분포형을 사용하였다. 그 중 왜곡된 분포형은 각각 8가지의 형상 매개변수를 고려하였으며 각 분포형별로 왜곡도 계수 범위 0.
도시위치공식별 기각능력 검토를 위한 모의수행으로써 몬테카를로 방법(Monte-Carlo method)을 사용하였다. 난수 발생 분포형은 좌우 대칭인 분포(symmetric distribution)와 왜곡된 분포(skewed distribution)로 나누어 각각 3개씩 총 6개의 분포형을 사용하였다.
표본 크기, 형상 매개변수 및 유의수준에 따라 PPCC 검정통계량이 각각 다르기 때문에 이를 사용하기 간편하도록 하나의 회귀식으로 표현하였다. 회귀식의 형태는 Heo et al. (2008)이 발표한 논문을 참고로 하였다. 앞서 유도한 PPCC 검정통계량의 형상 매개변수 범위와 회귀 식의 형상 매개변수에 대한 범위가 유의수준 0.
성능/효과
2) 각각의 방법별로 기각능력을 검토하기 위하여 확률 분포형, 형상 매개변수, 표본 크기들을 다양하게 변화시켜가면서 모의실험을 실시하였고 그 결과 전체적으로 기존의 방법보다 본 연구에서 왜곡도를 고려할 수 있는 도시위치공식을 이용하여 새로 유도한 PPCC-K에서 높은 기각능력을 보였다.
3) 특히 일반적인 수문자료에 해당하는 비대칭 분포에 대해서 기존에 방법과 비교하였을 때 높은 기각능력을 보였으며 또한 표본의 크기가 작을수록 더 높은 기각능력을 보였다.
4) 또한 연구 결과를 바탕으로 실제 강우자료에 적용하여 본 결과 기존 PPCC 검정 결과보다 새로 제시한 PPCC-K 방법이 더 높은 기각능력을 갖는 것으로 나타났다.
또한 표본 크기별, 검정 방법별로 가장 높은 기각률에 대해서는 회색으로 음영 표시하였다. GEV 분포에서는 도시위치공식에 관계없이 표본 크기가 증가함에 따라 유의수준 5%에 근접하였고, 자료의 왜곡도를 고려할 수 있는 도시위치공식을 이용한 PPCC 검정이 logistic 분포형에서 표본이 300일 때를 제외한 모든 경우에서 기존에 순서 통계량만을 고려하는 도시위치공식을 이용한 PPCC 검정 보다 기각능력이 높았으며, 특히 표본 크기가 작을수록 좌우 대칭인 분포형보다 왜곡된 분포형에서 기각능력 증가 비율이 더 컸다. 이를 통해 PPCC 검정에서 자료의 왜곡도 계수를 고려한 도시위치공식을 이용하였을 때 기각능력이 높아지며, 특히 형상 매개변수를 갖는 분포형에 대한 기각능력이 기존 방법에 비해 높아졌음을 확인하였다.
또한 포항지점의 지속기간 5, 6, 12시간의 경우 같은 결과를 보였다. 따라서 순서통계량만을 이용한 도시위치공식 대신에 왜곡도 계수를 고려할 수 있는 도시위치 공식을 사용할 경우 기존 GEV 분포에서 PPCC 검정을 통한 적합도 검정의 기각능력이 향상됨을 확인하였다.
예로 문산(099)과 포항(138) 지역의 결과를 Table 6에 제시하였다. 문산지점의 지속기간 9, 12시간의 경우 기존 방법인 PPCC-C, PPCC-B, PPCC-G는 적합도 검정을 통과하였으나 이번에 새롭게 유도한 PPCC-K 방법으로는 기각이 되는 것을 확인하였다. 또한 포항지점의 지속기간 5, 6, 12시간의 경우 같은 결과를 보였다.
GEV 분포에서는 도시위치공식에 관계없이 표본 크기가 증가함에 따라 유의수준 5%에 근접하였고, 자료의 왜곡도를 고려할 수 있는 도시위치공식을 이용한 PPCC 검정이 logistic 분포형에서 표본이 300일 때를 제외한 모든 경우에서 기존에 순서 통계량만을 고려하는 도시위치공식을 이용한 PPCC 검정 보다 기각능력이 높았으며, 특히 표본 크기가 작을수록 좌우 대칭인 분포형보다 왜곡된 분포형에서 기각능력 증가 비율이 더 컸다. 이를 통해 PPCC 검정에서 자료의 왜곡도 계수를 고려한 도시위치공식을 이용하였을 때 기각능력이 높아지며, 특히 형상 매개변수를 갖는 분포형에 대한 기각능력이 기존 방법에 비해 높아졌음을 확인하였다.
9859였다. 전체적으로 유도된 검정통계량을 회귀식이 잘 나타내고 있음을 확인하였으며, Kim et al. (2012)의 회귀식이 전반적으로 가장 높은 결정계수 값을 보이는 것으로 나타났다. 각 도시위치공식별 회귀식에 따른 결정계수는 Table 3과 같다.
후속연구
, 2012). 따라서 형상 매개변수와 밀접한 연관이 있는 왜곡도 계수를 고려할 수 있는 도시위치공식을 사용한다면 PPCC 검정의 기각 능력을 보다 높일 수 있을 것으로 예상된다.
이를 통하여 일반적인 수문자료에 본 연구에서 유도한 PPCC-K 방법을 이용한다면 좀 더 높은 기각능력을 얻을 수 있을 것으로 판단된다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
도시위치공식이란 무엇인가?
도시위치공식은 수집된 표본 자료가 이론적 분포형으로 부터 각각 어떠한 누가확률을 갖는지 알 수 있는 방법으로 수문학에서 확률도시법(probability plotting technique)이나 적합도 검정 등에 널리 이용되고 있다. 특히 PPCC 검정에서는 확률분포형과 그 확률분포형이 갖는 형상 매개 변수에 따라 PPCC 검정통계량 값이 달라지기 때문에 분포형별로 적절한 누가확률을 산정해주는 도시위치공식의 선정이 중요하다고 할 수 있다.
도시위치공식의 용도는 무엇인가?
도시위치공식은 수집된 표본 자료가 이론적 분포형으로 부터 각각 어떠한 누가확률을 갖는지 알 수 있는 방법으로 수문학에서 확률도시법(probability plotting technique)이나 적합도 검정 등에 널리 이용되고 있다. 특히 PPCC 검정에서는 확률분포형과 그 확률분포형이 갖는 형상 매개 변수에 따라 PPCC 검정통계량 값이 달라지기 때문에 분포형별로 적절한 누가확률을 산정해주는 도시위치공식의 선정이 중요하다고 할 수 있다.
Vogel and McMartin가 제시한 PPCC 검정통계량을 유도하기 위한 방법은 무엇인가?
① 확률분포형에 따른 위치 매개변수와 규모 매개변수는 각각 상수 값으로 고정하여 놓고 형상 매개변수와 표본 크기별 자료를 100,000개씩 발생시킨다.
② 확률분포형에 따라 적절한 도시위치공식을 적용하여 도시위치를 구한 뒤, 누가분포함수의 역함수를 이용하여 Mi를 구한다.
③ ①번 과정에서 발생시킨 표본 자료와 ②번 과정에서 구한 Mi를 Eq. (2)을 통해서 PPCC 검정통계량 rc을산정한다.
참고문헌 (22)
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