강화재의 복잡한 배열로 인하여 복합재 구조에 대한 유한요소 모델링은 상당히 까다로운 문제가 될 수 있다. 본 논문에서는 복합재 구조에 대하여 효율적으로 주기 격자망을 생성시킬 수 있는 기법을 제안한다. 먼저 육면체 유한요소로 구성된 규칙적인 격자망을 준비하고, 이를 복합재 내의 강화재에 대한 표면 정보에 맞추어 깎아낸다. 강화재와 기지재 사이에서 깎여진 육면체 유한요소는 임의의 절점과 면을 가질 수 있는 다면체 유한요소에 해당한다. 일관된 알고리즘을 이용하여 육면체 유한요소를 깎아내기 때문에 강화재와 기지재 사이의 요소는 자동적으로 적합한 형태로 구성된다. 또한 대표체적영역 내에서 강화재의 주기성을 추가적으로 고려하면, 대표체적영역에 대한 각각의 주기 경계 쌍에서 절점과 요소의 형태가 모두 일치하는 주기 격자망을 효율적으로 생성시킬 수 있다. 그러므로 별도의 처리 없이 대표체적영역에 주기 경계조건을 부여할 수 있다. 수치예제에서는 본 논문에서 제안한 기법의 효용성을 검증한다.
강화재의 복잡한 배열로 인하여 복합재 구조에 대한 유한요소 모델링은 상당히 까다로운 문제가 될 수 있다. 본 논문에서는 복합재 구조에 대하여 효율적으로 주기 격자망을 생성시킬 수 있는 기법을 제안한다. 먼저 육면체 유한요소로 구성된 규칙적인 격자망을 준비하고, 이를 복합재 내의 강화재에 대한 표면 정보에 맞추어 깎아낸다. 강화재와 기지재 사이에서 깎여진 육면체 유한요소는 임의의 절점과 면을 가질 수 있는 다면체 유한요소에 해당한다. 일관된 알고리즘을 이용하여 육면체 유한요소를 깎아내기 때문에 강화재와 기지재 사이의 요소는 자동적으로 적합한 형태로 구성된다. 또한 대표체적영역 내에서 강화재의 주기성을 추가적으로 고려하면, 대표체적영역에 대한 각각의 주기 경계 쌍에서 절점과 요소의 형태가 모두 일치하는 주기 격자망을 효율적으로 생성시킬 수 있다. 그러므로 별도의 처리 없이 대표체적영역에 주기 경계조건을 부여할 수 있다. 수치예제에서는 본 논문에서 제안한 기법의 효용성을 검증한다.
Finite element modeling of composite structures may be cumbersome due to complex distributions of reinforcements. In this paper, an efficient scheme is proposed that can generate periodic meshes for the composite structures. Regular meshes with hexahedral finite elements are first prepared, and the ...
Finite element modeling of composite structures may be cumbersome due to complex distributions of reinforcements. In this paper, an efficient scheme is proposed that can generate periodic meshes for the composite structures. Regular meshes with hexahedral finite elements are first prepared, and the elements are then trimmed to fit external surfaces of reinforcements in the composite structures. The trimmed hexahedral finite elements located at interfaces between the matrix and the reinforcements correspond to polyhedral finite elements, which allow an arbitrary number of nodes and faces in the elements. Because the trimming process is consistently conducted by means of consistent algorithms, the elements of the reinforcements are automatically compatible with those of the matrices. With the additional consideration of periodicity of reinforcements in a representative volume element(RVE), the proposed scheme provides periodic meshes in an efficient manner, which are compatible for each pair of periodic boundaries of the RVE. Therefore, periodic boundary conditions for the RVE are enforced straightforwardly. Numerical examples demonstrate the effectiveness of the proposed scheme for finite element modeling of complex composite structures.
Finite element modeling of composite structures may be cumbersome due to complex distributions of reinforcements. In this paper, an efficient scheme is proposed that can generate periodic meshes for the composite structures. Regular meshes with hexahedral finite elements are first prepared, and the elements are then trimmed to fit external surfaces of reinforcements in the composite structures. The trimmed hexahedral finite elements located at interfaces between the matrix and the reinforcements correspond to polyhedral finite elements, which allow an arbitrary number of nodes and faces in the elements. Because the trimming process is consistently conducted by means of consistent algorithms, the elements of the reinforcements are automatically compatible with those of the matrices. With the additional consideration of periodicity of reinforcements in a representative volume element(RVE), the proposed scheme provides periodic meshes in an efficient manner, which are compatible for each pair of periodic boundaries of the RVE. Therefore, periodic boundary conditions for the RVE are enforced straightforwardly. Numerical examples demonstrate the effectiveness of the proposed scheme for finite element modeling of complex composite structures.
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문제 정의
본 연구에서는 복잡한 복합재 구조에 대하여 주기 격자망을 생성시키기 위한 효율적인 기법을 제안하였다. 기본적인 개념은 육면체 유한요소를 강화재의 표면 정보에 맞추어 깎아내어 다면체 유한요소로 바꾸는 조각기법을 활용하는 것이다.
본 연구에서는 복잡한 복합재 구조에 대한 주기 격자망을 단순한 알고리즘을 이용하여 효율적으로 생성시킬 수 있는 기법을 제안하고자 한다. 먼저 규칙적인 육면체 유한요소로 구성된 격자망을 준비하고, 이를 강화재의 표면 정보에 맞추어 깎아내는 방법으로 복합재 구조에 대한 격자망을 생성시킬 수 있다.
가설 설정
0%이다. 또한 강화재는 붕소(B), 기지재는 알루미늄(Al)으로 구성되어 있으며, 모두 등방성 재료로 가정하였다. 재료의 탄성계수와 프와송비는 각각 붕소에 대하여 379.
3이다. 또한 에폭시 기지재도 등방성 재료로 가정하여 탄성계수와 프와송비를 각각 3.45 GPa, 0.39로 사용하였다.
8%이다. 일반적으로 탄소섬유는 이방성 거동을 나타내지만, 본 수치예제는 주기 격자망 생성 기법의 검증을 목적으로 하고 있으므로 등방성으로 가정하여 해석을 수행하였다. 해석에 사용된 탄소섬유 강화재의 탄성계수와 프와송비는 각각 270GPa, 0.
제안 방법
다음으로, 원 기둥 모양의 탄소섬유가 에폭시 기지재에 포함되어 있는 경우를 다루어 보았다. 조각기법을 이용한 단방향 섬유강화 복합재의 주기 격자망 생성 과정은 Fig.
본 연구에서 제안한 방법의 효용성을 확인하기 위하여, 구형 입자강화 복합재와 단방향 섬유강화 복합재를 대상으로 주기 격자망을 생성시키고 주기 경계조건을 부여하여 유한요소 해석을 수행하였다. 여기에서 규칙적인 육면체 유한요소를 깎아서 생성된 다면체 유한요소를 해석에 직접적으로 활용하기 위해서는 다면체 유한요소에 대한 수학적 정식화 과정이 필요하다.
이러한 방법은 조각기법(carving technique)이라는 이름으로 Sohn 등(2012; 2013)에 의해 제안되었으며, 삼차원 영역의 임의의 격자망 생성에 활용되었다. 본 연구에서는 이러한 조각기법을 복합재 모델링에 응용함으로써 효율적인 방법으로 강화재와 기지재 사이에서 적합성을 보장하는 격자망을 생성시키고, 더 나아가서 주기 경계 쌍에서도 절점과 요소의 형태가 일치하는 주기 격자망을 생성시킨다. 또한 구형 입자강화 복합재(spherical particle reinforced composite)와 단방향 섬유강화 복합재(unidirectional fiber reinforced composite) 대상의 수치예제에서는, 본 연구에서 제안한 기법을 이용함으로써 효율적인 격자망 생성과 정확한 주기 경계조건 부여가 가능함을 확인한다.
대상 데이터
대표체적영역의 크기는 100mm×100mm×100mm이다. 강화재로 사용된 탄소섬유의 반지름은 12mm이며, 강화재의 체적분율은 약 35.8%이다. 일반적으로 탄소섬유는 이방성 거동을 나타내지만, 본 수치예제는 주기 격자망 생성 기법의 검증을 목적으로 하고 있으므로 등방성으로 가정하여 해석을 수행하였다.
일반적으로 탄소섬유는 이방성 거동을 나타내지만, 본 수치예제는 주기 격자망 생성 기법의 검증을 목적으로 하고 있으므로 등방성으로 가정하여 해석을 수행하였다. 해석에 사용된 탄소섬유 강화재의 탄성계수와 프와송비는 각각 270GPa, 0.3이다. 또한 에폭시 기지재도 등방성 재료로 가정하여 탄성계수와 프와송비를 각각 3.
이론/모형
여기에서 규칙적인 육면체 유한요소를 깎아서 생성된 다면체 유한요소를 해석에 직접적으로 활용하기 위해서는 다면체 유한요소에 대한 수학적 정식화 과정이 필요하다. 최근 활발히 연구되고 있는 다양한 형식의 다면체 유한요소(Bishop, 2014; Kim, 2014; Martin et al., 2008, Rashid and Selimotic, 2006)를 해석에 적용할 수 있으나, 본 연구에서는 정식화 과정이 간단하면서 정확하고 효율적인 수치적분이 가능한 다면체 유한요소(Sohn et al., 2013)를 사용하였다. 이 요소는 완화 유한요소법(cell-based smoothed finite element method)에서의 변형률 완화(strain smoo-thing) 기법에 발산 정리(divergence theorem)를 결합함에 따라서 형상함수뿐만 아니라 형상함수의 미분함수를 외연적으로 정의할 필요가 없는 장점을 지닌다.
성능/효과
8과 같다. 구형 입자강화 복합재의 결과와 마찬가지로 변위를 100배 확대하여 나타내었으며, 여기에서도 주기 경계조건이 정확하게 부여된 것을 확인할 수 있다. 이로부터, 적합한 주기 경계 쌍이 나타나는 복합재 구조의 주기 격자망이 정확하게 얻어졌다는 것을 알 수 있다.
본 연구에서는 이러한 조각기법을 복합재 모델링에 응용함으로써 효율적인 방법으로 강화재와 기지재 사이에서 적합성을 보장하는 격자망을 생성시키고, 더 나아가서 주기 경계 쌍에서도 절점과 요소의 형태가 일치하는 주기 격자망을 생성시킨다. 또한 구형 입자강화 복합재(spherical particle reinforced composite)와 단방향 섬유강화 복합재(unidirectional fiber reinforced composite) 대상의 수치예제에서는, 본 연구에서 제안한 기법을 이용함으로써 효율적인 격자망 생성과 정확한 주기 경계조건 부여가 가능함을 확인한다.
본 연구에서 제안한 기법을 주기 경계조건이 필요한 균질화 기법과 결합하면 복합재에 대한 등가 물성치를 효율적으로 예측할 수 있다. 특히, 복잡한 형태의 복합재 구조를 자동적으로 모델링할 수 있기 때문에 다양한 조합의 복합재 구조를 손쉽게 고려할 수 있다.
기본적인 개념은 육면체 유한요소를 강화재의 표면 정보에 맞추어 깎아내어 다면체 유한요소로 바꾸는 조각기법을 활용하는 것이다. 이를 통하여 강화재와 기지재 사이뿐만 아니라, 대표체적영역의 주기 경계 쌍에서도 적합한 형태의 격자망을 효율적으로 생성시킬 수 있었다. 구형 입자강화 복합재와 단방향 섬유강화 복합재에 대한 수치예제에서 보인 바와 같이, 주기 격자망을 이용하면 주기 경계 쌍의 절점에 주기 경계조건을 직접 적용할 수 있기 때문에 해석의 효율성을 향상시킬 수 있다.
5에 나타내었다. 주기 경계조건이 완전하게 반영되어 주기 경계 쌍에서 미시적인 변위 변동을 정확하게 주기적으로 표현하는 것을 확인할 수 있다.
후속연구
특히, 복잡한 형태의 복합재 구조를 자동적으로 모델링할 수 있기 때문에 다양한 조합의 복합재 구조를 손쉽게 고려할 수 있다. 그러므로 다양한 복합재 구조에 대하여 등가 물성치를 예측하고, 그 결과를 종합하여 통계적으로 접근할 수 있을 것이다. 더 나아가서 본 연구에서 제안한 기법을 복합재 구조의 등가 물성치를 이용한 멀티스케일 해석 기법으로까지 확장할 수 있을 것이다.
그러므로 다양한 복합재 구조에 대하여 등가 물성치를 예측하고, 그 결과를 종합하여 통계적으로 접근할 수 있을 것이다. 더 나아가서 본 연구에서 제안한 기법을 복합재 구조의 등가 물성치를 이용한 멀티스케일 해석 기법으로까지 확장할 수 있을 것이다. 또한, 본 연구에서는 복합재 내의 강화재 배열을 임의적으로 가정하였지만 영상처리 기법을 결합하면 더욱 실제적인 모델링과 해석이 가능할 것으로 예상된다.
더 나아가서 본 연구에서 제안한 기법을 복합재 구조의 등가 물성치를 이용한 멀티스케일 해석 기법으로까지 확장할 수 있을 것이다. 또한, 본 연구에서는 복합재 내의 강화재 배열을 임의적으로 가정하였지만 영상처리 기법을 결합하면 더욱 실제적인 모델링과 해석이 가능할 것으로 예상된다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
대표체적영역의 형상이 복잡할 경우 주기 격자망 모델 사용 시 발생하는 문제점은?
이러한 주기 격자망에 주기 경계조건을 부여하면 균일한 변위 또는 균일한 트랙션을 경계조건으로 부여하는 경우보다 효율적이고 정확하게 복합재의 균질화(homogenization) 물성치를 얻을 수 있다는 것이 알려져 있다(Reis and Andrade Pires, 2014). 그러나 대표체적영역의 형상이 복잡한 경우에는 주기 격자망 생성을 위해서 복잡한 알고리즘을 추가적으로 이용하거나 매우 번거로운 과정을 거쳐야 한다(Fritzen and Böhlke, 2011; Fritzen et al., 2009). 여기에서 대표체적영역의 주기 경계 쌍(pair)에 대하여 절점과 요소의 형태가 일치하지 않으면, 주기 경계조건을 부여하기 위해서 라그랑지 승수, 벌칙 함수 등을 추가적으로 도입해야 하므로 계산의 효율성과 정확성이 저하될 우려가 있다(Oliveira et al. 2009; Pinho-da-Cruz et al.
복합재에 대한 유한요소 모델링이 어려운 이유는?
높은 비강성 및 비강도를 보이는 복합재의 특성으로 인하여 기계, 항공, 토목 등 다양한 분야에서 복합재가 널리 활용되고 있으며, 이와 함께 복합재 구조에 대한 전산해석적인 연구도 활발히 수행되고 있다. 하지만 기지재(matrix) 내의 강화재(reinforcement)의 복잡한 분포로 인하여 복합재에 대한 유한요소 모델링은 상당히 까다로운 문제가 될 수 있다. 다양한 모델링 도구의 발달에도 불구하고 강화재와 기지재 사이에서 절점과 요소가 일치하는 적합성(compatibility) 조건을 만족시키는 동시에, 고품질의 격자망을 얻기 위해서는 여전히 상당한 노력과 시간이 요구된다.
주기 격자망 이용 시의 장점은?
이를 통하여 강화재와 기지재 사이뿐만 아니라, 대표체적영역의 주기 경계 쌍에서도 적합한 형태의 격자망을 효율적으로 생성시킬 수 있었다. 구형 입자강화 복합재와 단방향 섬유강화 복합재에 대한 수치예제에서 보인 바와 같이, 주기 격자망을 이용하면 주기 경계 쌍의 절점에 주기 경계조건을 직접 적용할 수 있기 때문에 해석의 효율성을 향상시킬 수 있다.
참고문헌 (15)
Bishop, J.E. (2014) A Displacement-based Finite Element Formulation for General Polyhedral using Harmonic Shape Functions, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 97, pp.1-31.
Fritzen, F., Bohlke, T. (2011) Periodic Threedimensional Mesh Generation for Particle Reinforced Composites with Application to Metal Matrix Composites, International Journal of Solids and Structures, 48, pp.706-718.
Kim, H.-G. (2014) A Study on the Development of Shape Functions of Polyhedral Finite Elements, Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea, 27, pp.183-189.
Lorensen, W.E., Cline, H.E. (1987) Marching Cubes: A High Resolution 3D Surface Construction Algorithm, ACM SIGGRAPH Computer Graphics, 21, pp.163-169.
Martin, S., Kaufmann, P., Botsch, M., Wicke, M., Gross, M. (2008) Polyhedral Finite Elements using Harmonic Basis Functions, Computer Graphics Forum, 27, pp.1521-1529.
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Pinho-da-Cruz, J., Oliveira, J.A., Teixeira-Dias, F. (2009) Asymptotic Homogenisation in Linear Elasticity. Part I: Mathematical Formulation and Finite Element Modelling, Computational Materials Science, 45, pp.1073-1080.
Rashid, M.M., Selimotic, M. (2006) A Three-Dimensional Finite Element Method with Arbitrary Polyhedral Elements, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 67, pp.226-252.
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Sohn, D., Cho, Y.-S., Im, S. (2012) A Novel Scheme to Generate Meshes with Hexahedral Elements and Poly-pyramid Elements: The Carving Technique, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 201-204, pp.208-227.
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