[논문]기울기를 이용한 랜덤워크 윌콕슨 부호순위검정

김태윤; 박철용; 김슬기; 김민석; 이우정; 권윤지

doi:10.7465/jkdi.2014.25.6.1499

기울기를 이용한 랜덤워크 윌콕슨 부호순위검정
A Wilcoxon signed-rank test for random walk hypothesis based on slopes 원문보기

Journal of the Korean Data & Information Science Society = 한국데이터정보과학회지, v.25 no.6, 2014년, pp.1499 - 1506

김태윤 (계명대학교 통계학과) , 박철용 (계명대학교 통계학과) , 김슬기 (계명대학교 통계학과) , 김민석 (계명대학교 통계학과) , 이우정 (계명대학교 통계학과) , 권윤지 (계명대학교 통계학과)

초록
AI-Helper

랜덤워크는 다양한 분야에서 랜덤현상을 기술하는데 이용되고 있으나, 현재까지 개발된 랜덤워크 검정법에는 유의수준 왜곡과 낮은 검정력 등의 문제가 있는 것으로 알려져 있다. 이러한 문제점들을 개선하기 위해 Kim 등 (2014)은 부호검정에 기초한 랜덤워크 검정 (${\rho}=1$)방법을 제안하였다. 본 논문에서는 보다 개선된 랜덤워크 검정법을 제안하고자 부호검정보다 검정력이 우수한 것으로 알려진 윌콕슨 부호순위검정을 이용한 랜덤워크 검정법을 제안하고, 모의실험을 통해 부호검정, 윌콕슨 부호순위검정, 확장 Dickey-Fuller 검정의 성능을 비교하였다. 모의실험 결과 소표본에서 비모수 검정기법들이 ADF 검정보다 우월하다는 사실을 재확인하였다. 새롭게 밝혀진 사실은 부호검정이 윌콕슨 부호순위검정에 비해 높은 검정력을 가지며, 또한 비모수 검정기법들은 ${\rho}$가 양의 부호를 가지는 경우 (0 < ${\rho}$ < 1) 정규분포보다 이중지수분포에서 낮은 검정력을 가지게 되나, ${\rho}$가 음의 부호(-1 < ${\rho}$ < 0)를 갖는 경우에는 정규분포보다 이중지수분포에서 높은 검정력을 보인다는 사실이다.

Abstract ▼ AI-Helper

Random walk is used for describing random phenomenon in various areas but tests for random walk developed so far are known to suffer from size distortion and low power. Kim et al. (2014) proposed a sign test for unit root (${\rho}=1$) hypothesis based on slopes. This article proposes a Wilcoxon signed rank test based on slopes for unit root hypothesis, and compares it with the augmented Dickey-Fuller test and the sign test by a simulation study. Our results confirm that the nonparametric tests are better than ADF test for small samples like n = 30. The results also show that the sign test is better than the Wilcoxon signed rank test and that for 0 < ${\rho}$ < 1 (-1 < ${\rho}$ < 0), the nonparametric tests suffer from power loss (improvement) as normal error changes to double exponential error.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

본 논문에서는 랜덤워크 부호검정의 후속 연구로서 윌콕슨 부호순위검정을 이용한 랜덤워크 검정방법을 제안하고자 한다. 윌콕슨 부호순위검정은 관측값과 위치모수 θ₀의 비교를 통해 얻게 되는 부호정보뿐만 아니라, 관측값의 상대적인 크기인 순위도 고려하여 검정하는 비모수적 기법이다.
본 절에서는 모의실험을 통해 윌콕슨 부호순위검정을 기존의 ADF 검정 및 부호검정과 비교하고자 한다. 모의실험은 식 (2.
이 논문에서는 연속되는 두 점의 시계열 자료의 기울기를 이용하여 윌콕슨 부호순위검정에 의해 단위근 검정을 수행하는 방법을 제안하였다. 모의실험 결과 표본의 크기가 상대적으로 큰 n = 100의 경우 ADF 검정이 비모수 검정기법들에 비해 높은 검정력을 보이지만, 표본의 크기가 상대적으로 작은 n = 30의 경우 비모수 검정법들이 ADF 검정에 비해 더 높은 검정력을 보이는 것을 알 수 있었다.

가설 설정

H0 : ρ=1에 대한 DF 검정통계량의 극한 분포는 통상적인 잘 알려진 분포를 따르지 않고 단위근 분포라 불리는 다음의 극한분포를 따른다.
랜덤워크 모형에는 이동상수 (drift)가 존재하는 모형, 선형 시간 추세 (linear time trend)가 존재하는 모형 등 다양한 형태의 모형들이 있으나 본 논문에서는 랜덤워크 모형들 중에서 이동상수가 없는 다음과 같은 AR(1) 형태의 모형을 가정하는데, ρ = 1인 경우 랜덤워크가 된다.

제안 방법

표본크기 n = 30, 100에 대해 1000회 반복하였으며 명목상 유의수준 α = 0.05에서 ρ = 1, 0.9, · · · , −0.9에 대하여 모의실험을 실행하였다.

성능/효과

그런데 모의실험을 통해 일반적인 H1 : |ρ| < 1에 대해서 ρ가 작아지면 P(St > 0)가 1/2에서 점차 작아지게 되는 것을 확인할 수 있었다.
모의실험 결과 표본의 크기가 상대적으로 큰 n = 100의 경우 ADF 검정이 비모수 검정기법들에 비해 높은 검정력을 보이지만, 표본의 크기가 상대적으로 작은 n = 30의 경우 비모수 검정법들이 ADF 검정에 비해 더 높은 검정력을 보이는 것을 알 수 있었다. 따라서 비모수 검정법에 근거한 랜덤워크 검정이 표본크기가 n = 30과 같이 작은 경우에 장점을 갖는 검정방법이라는 것을 알 수 있었다. 비모수 검정법들 간의 비교에서는 전체적으로 부호검정이 윌콕슨 부호순위검정보다 더 높은 검정력을 보이는 것을 확인할 수 있었다.
이를 통해 비모수 검정법들이 소표본에서 강점을 갖는 것을 확인할 수 있다. 또한 비모수 검정법들 중에서는 부호검정이 윌콕슨 부호순위검정에 비해 더 높은 검정력을 보이고 있음을 확인할 수 있다. 이는 검정의 정확성을 개선하고자 하였던 연구목적에는 상반되는 결과이나 흥미로운 결과라고 할 수 있다.
이 논문에서는 연속되는 두 점의 시계열 자료의 기울기를 이용하여 윌콕슨 부호순위검정에 의해 단위근 검정을 수행하는 방법을 제안하였다. 모의실험 결과 표본의 크기가 상대적으로 큰 n = 100의 경우 ADF 검정이 비모수 검정기법들에 비해 높은 검정력을 보이지만, 표본의 크기가 상대적으로 작은 n = 30의 경우 비모수 검정법들이 ADF 검정에 비해 더 높은 검정력을 보이는 것을 알 수 있었다. 따라서 비모수 검정법에 근거한 랜덤워크 검정이 표본크기가 n = 30과 같이 작은 경우에 장점을 갖는 검정방법이라는 것을 알 수 있었다.
따라서 비모수 검정법에 근거한 랜덤워크 검정이 표본크기가 n = 30과 같이 작은 경우에 장점을 갖는 검정방법이라는 것을 알 수 있었다. 비모수 검정법들 간의 비교에서는 전체적으로 부호검정이 윌콕슨 부호순위검정보다 더 높은 검정력을 보이는 것을 확인할 수 있었다. 추가로 이중지수분포에서 흔히 발생하는 이상값들이 양의 상관보다 음의 상관을 강조하는 효과가 있다는 점을 비모수 검정들을 통해 확인할 수 있었다.
2에서 ρ = 1에 해당되는 결과는 관측된 유의수준이며, 나머지는 관측된 검정력에 해당된다. 세 가지 검정법 모두 표본크기가 커지면서 검정력이 커지는 것을 확인할 수 있다. 특히 ADF 검정은 표본의 크기가 큰 경우 (n = 100) 오차항의 분포에 관계없이 부호검정과 윌콕슨 부호순위 검정에 비해 더 높은 검정력을 보이고 있다.
Kim 등 (2014)은 기존의 랜덤워크 가설 검정방법들이 갖고 있는 문제들을 파악하여 이에 대한 대안으로서 기울기를 이용한 랜덤워크 부호검정을 제안하였다. 이 검정은 모집단 분포에 관계없이 이항분포에 근거한 정확 검정이 되며, 모의실험을 통해 기존의 확장 Dickey-Fuller (augmented Dickey Fuller; ADF) 검정 (1984)에 비해 소표본에서 강점을 가진다는 것을 보였다.
비모수 검정법들 간의 비교에서는 전체적으로 부호검정이 윌콕슨 부호순위검정보다 더 높은 검정력을 보이는 것을 확인할 수 있었다. 추가로 이중지수분포에서 흔히 발생하는 이상값들이 양의 상관보다 음의 상관을 강조하는 효과가 있다는 점을 비모수 검정들을 통해 확인할 수 있었다.

후속연구

이 연구에서는 연속된 두 점에 대한 기울기 (n −2)만을 이용하기 때문에 정보손실이 존재한다. 따라서 추후 연구를 통해 보다 많은 기울기를 고려할 경우 검정력이 개선될 수 있을 것으로 생각된다. 또한 추후 연구과제로서 이상값들이 음의 상관을 강조하는 효과가 있다는 점에 대한 보다 상세한 연구를 진행하고자 한다.
따라서 추후 연구를 통해 보다 많은 기울기를 고려할 경우 검정력이 개선될 수 있을 것으로 생각된다. 또한 추후 연구과제로서 이상값들이 음의 상관을 강조하는 효과가 있다는 점에 대한 보다 상세한 연구를 진행하고자 한다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	랜덤워크란 무엇인가?	랜덤워크 (random walk)는 임의 방향으로 향하는 연속적인 걸음을 나타내는 수학적 개념으로 다양한 분야에서 랜덤현상을 기술하는데 널리 이용되고 있다. 확률적인 관점에서 랜덤워크과정 (random walk process)을 따르는 시계열은 시간의 흐름에 따라 분산이 증가하여 발산하게 된다.
	현재까지 개발된 랜덤워크 검정법은 실제 랜덤워크 검정문제에 적용되었을 때 어떤 문제가 있는가?	현재까지 다양한 모형을 전제로 개발되어 온 대부분의 랜덤워크 검정법들은 실제 랜덤워크 검정문제에 적용되었을 때 유의수준 왜곡 (size distortion)과 낮은 검정력 (low power) 등의 문제를 보이는 것으로 알려져 있으며, 그 주된 이유로 오차의 상관성이 지목되고 있다 (Maddala과 Kim, 1998). Kim 등 (2014)은 기존의 랜덤워크 가설 검정방법들이 갖고 있는 문제들을 파악하여 이에 대한 대안으로서 기울기를 이용한 랜덤워크 부호검정을 제안하였다.
	기울기를 이용한 랜덤워크 부호검정 방법의 장점은?	Kim 등 (2014)은 기존의 랜덤워크 가설 검정방법들이 갖고 있는 문제들을 파악하여 이에 대한 대안으로서 기울기를 이용한 랜덤워크 부호검정을 제안하였다. 이 검정은 모집단 분포에 관계없이 이항분포에 근거한 정확 검정이 되며, 모의실험을 통해 기존의 확장 Dickey-Fuller (augmented Dickey Fuller; ADF) 검정 (1984)에 비해 소표본에서 강점을 가진다는 것을 보였다.

참고문헌 (12)

Dickey, D. A. and Fuller, W. A. (1979). Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of the American Statistical Association, 74, 427-431.
Hamilton, J. D. (1994). Time series analysis, Vol. 2, Princeton University Press, Princeton.
Kwiatkowski, D., Phillips, P. C., Schmidt, P. and Shin, Y. (1992). Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root: How sure are we that economic time series have a unit root? Journal of Econometrics, 54, 159-178.

상세보기
Kim, T. Y., Park, C., Kim, S. G., Kim, C. J., Kim, H., Yu, J. H., Jang, K. M. and Jang, Y. S. (2014). A sign test for random walk hypothesis based on slopes. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 25, 385-292.

원문보기 상세보기
Maddala, G. S., and Kim, I-M. (1998). Unit roots, cointegration and structural change, Oxford University Press, Oxford.
Malkiel, B. G. (1973). A random walk down Wall Street, 6th Ed., W. W. Norton & Company, Inc., New York.
Pearson, K. (1905). The problem of the random walk. Nature, 72, 294.
Phillips, P. C. and Perron, P. (1988). Testing for a unit root in time series regression. Biometrika, 75, 335-346.

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Said, S. E. and Dickey, D. A. (1984). Testing for unit roots in autoregressive-moving average models of unknown order. Biometrika, 71, 599-607.

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Schwert, G. W. (1987). Effects of model specification on tests for unit roots in macroeconomic data. Journal of Monetary Economics, 20, 73-103.

상세보기
Wilcoxon, F. (1945). Individual comparisons by ranking methods. Biometrics Bulletin, 80-83.
Wilcoxon, F., Katti, S. K. and Wilcox, R. A. (1970). Critical values and probability levels for the Wilcoxon rank sum test and the Wilcoxon signed rank test. In Selected Tables in Mathematical Statistics, Vol. 1, edited by HL Harter and DB Owen, Markham, Chicago, 171-259.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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