[논문]무한 등비급수의 합에 대한 Archimedes의 아이디어의 은유적 모델과 그 교육적 활용

이승우

무한 등비급수의 합에 대한 Archimedes의 아이디어의 은유적 모델과 그 교육적 활용
The Metaphorical Model of Archimedes' Idea on the Sum of Geometrical Series 원문보기

학교수학 = School Mathematics, v.18 no.1, 2016년, pp.215 - 229

초록
AI-Helper

본 연구는 무한 등비급수의 합을 구하는 Archimedes의 상승적 아이디어를 소개하고 분배 상황을 이용하여 이를 은유적으로 확장하였다. Archimedes의 아이디어에 대한 은유적 확장 모델은 현행 고등학교 수준에서 강조되는 극한 개념의 동적 측면에 상보적으로 작동할 수 있는 정적인 특징을 갖고 있으며 중학교 수준에서 $0.999{\cdots}=1$임을 설명할 때 현행 교과서에서 대수적 무한 유추에 기반하여 유도하고 있는 식 $0.999{\cdots}=9/(10-1)$에 새로운 의미를 불어넣을 수 있는 장점이 있다. 실제로 중학교 2학년 영재학생들을 대상으로 한 본 연구자의 수업에서 은유적으로 확장된 모델은 구체적인 분배 상황을 통해 위의 식을 문맥화 함으로써 학생들의 흥미를 유발하였고 창의성과 오류를 이끌어 낼 수 있는 학습 환경을 제공하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

This study aims to identify Archimedes' idea used while proving proposition 23 in 'Quadrature of the Parabola' and to provide an alternative way for finding the sum of geometric series without applying the concept of limit by extending the idea though metaphor. This metaphorical model is characterized as static and thus can be complimentary to the dynamic aspect of limit concept adopted in Korean high school mathematics textbooks. In addition, middle school students can understand $0.999{\cdots}=1$ with this model in a structural way differently from the operative one suggested in Korean middle school mathematics textbooks. In this respect, I argue that the metaphorical model can be an useful educational tool for Korean secondary students to overcome epistemological obstacles inherent in the concepts of infinity and limit by making it possible to transfer from geometrical context to algebraic context.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.

문제 정의

수학사에서 나타나는 수학자들의 일화나 수학적 아이디어는 학생들의 흥미를 자극하고 동기를 부여할 수 있는 새로운 소재가 될 수 있지만 실제 수업에서 활용될 수 있는 것은 많지 않다. 수학사에서 Archimedes가 포물선 영역의 넓이를 구하는 과정에서 무한에 대한 논란을 피하고 엄밀한 증명을 성공적으로 수행하는데 사용한 착출법과 이중귀류법에 관심을 두는 것과 달리, 본 연구는 수업 소재의 개발이라는 측면에서 Archimedes가 사용한 상승적 아이디어에 주목하고 그 교육적 활용방안을 제시하고자 하였다. 이를 위하여 본 연구는 학교수학적 지식의 관점에서(졸고, 2015a), Archimedes가 식(1)을 암묵적으로 어떻게 이끌어 내었는지 밝히고 이를 수업에 실제로 적용할 수 있도록 은유적으로 확장된 모델을 제시하는 형태로 수행되었다.
한편 Archimedes는 다른 저서 The Method에서 지렛대의 원리와 무한소를 사용하여 포물선과 선분 AC로 둘러싸인 영역 ABC의 넓이가 4/3∆ABC임을 발견술적으로 기술하고 있는데[그림 II-2], 이에 대해 간략히 살펴보자.

제안 방법

은유적 모델은 극한 개념을 학습하지 않은 중학교 학생들도 무한 등비급수의 합을 계산할 수 있는 개념적 도구를 제공할 수 있다. 본 연구자는 서울의 한 영재교육 기관에서 중학교 2학년을 대상으로 2005년부터 2007년까지 3년에 걸쳐 배당된 2시간 중 1시간 동안, 은유적 모델을 이용하여 무한 등비급수의 합을 구하는 것을 주제로 수업을 실시하였다. 수업은 분배 시나리오를 이용하여 식(1)을 학생들에게 먼저 설명하고 학생들이 이 모델을 적용하여 1/10+1/10² +1/10³ +⋯,1/3+1/3² +1/3³ +⋯ 등과 같이 식(1)과 유사한 간단한 문제를 풀어보는 연습활동으로 이루어졌다.
수학사에서 Archimedes가 포물선 영역의 넓이를 구하는 과정에서 무한에 대한 논란을 피하고 엄밀한 증명을 성공적으로 수행하는데 사용한 착출법과 이중귀류법에 관심을 두는 것과 달리, 본 연구는 수업 소재의 개발이라는 측면에서 Archimedes가 사용한 상승적 아이디어에 주목하고 그 교육적 활용방안을 제시하고자 하였다. 이를 위하여 본 연구는 학교수학적 지식의 관점에서(졸고, 2015a), Archimedes가 식(1)을 암묵적으로 어떻게 이끌어 내었는지 밝히고 이를 수업에 실제로 적용할 수 있도록 은유적으로 확장된 모델을 제시하는 형태로 수행되었다.
예를 들어, 학생들은 교대급수의 합을 구하는 (2)번 문제의 해결 과정에서 은유적 모델을 다양한 방식으로 적용하였다. 학생들은(1/2+1/8+⋯)- (1/4+1/16+⋯)와 같이 두 항식묶고 각 괄호에 은유적 모델을 적용하거나 두 개의 항씩 짝지어 먼저 계산하여 1/4+1/16+⋯를 구한 뒤 은유적 모델을 적용하였다. 또한 몇몇 학생들은 전술한 일반화 방식과 유사하게, 음수의 경우 다시 내놓는 것으로 은유적 모델을 적용하기도 하였다[그림 IV-2].

성능/효과

999…=9/(10-1)=1에 구체적인 분배상황을 통해 그 의미를 제공함으로써 학생들의 흥미를 유발하였고 학생들에게 창의적이고 오류적인 교육적 상황(ESMCE: Educational Setting for Mathematical Creativity and Errors)을 제공하였다(졸고, 2015b). 또한 은유적 모델은 학생들로 하여금 부분과 전체의 비에 대한 자신의 개념을 적용하게 함으로써 부분과 전체의 비에 대한 학생들의 이해수준을 드러내는데 효과적이었다.
수학사에서 나타나는 극한 개념과 관련되는 인식론적 장애 중 하나는 고대 그리스 시대에서 나타듯이 도형에 대한 해석에서 순수한 수치적해석으로 전이를 가능하게 하는 통합적인 극한개념의 부재이다(Corunu, 1991). 본고에서 제시하는 은유적 모델은 Archimedes의 기하적 문맥과 분배 문제의 대수적 문맥을 통합하고 초중등 수준의 비 개념만으로 무한 등비급수의 합을 계산 가능하게 한다는 점에서 극한 개념에 내재하는 형이상학적 측면이나 기하에서 대수로의 전이적 측면에서 나타는 극한 개념의 인식론적 장애를 우회할 수 있는 하나의 통로를 제공할 수 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	Cauchy가 오늘날이 교과서에 사용되는 형태의 등비급수 개념을 세우는데 어떻게 기여하였는가?	오늘날 교과서에서 사용되는 형태의 등비급수개념은 Cauchy에 이르러 확립되었는데, Cauchy는 수열과 극한의 개념을 이용하여 부분합의 극한이라는 무한급수의 정의를 도입함으로써 무한히 더해야 하는 실행 불가능한 과정을 ‘합(sum)’이라는 용어로 대체 가능하게 하였다(Randolph,1957). Archimedes는 극한의 개념을 사용하지 않고 무한 등비급수의 합을 구하였으며, 수학사가들은 Archimedes가 무한 등비급수의 합을 최초로 계산한 것으로 간주한다(King, 1968).
	수학사에서 등비급수는 어떤 것인가?	수학사에서 등비급수는 수 개념과 적분 개념의 발달에 중요한 역할을 하였으며, 학교수학에서도 중요한 학습 주제 중 하나이다. 등비급수의 개념은 수열의 개념보다 복잡하지만 시기적으로 수열의 개념보다 먼저 발생하였으며(Knopp,1956, p.
	무한에 대한 Zeno의 역설에 대한 답변인 착출법 중 Eudoxus의 착출법이 기여한 바는 무엇인가?	무한에 대한 Zeno의 역설은 그리스 시대의 수학에 심대한 영향을 미쳤으며 이에 대한 수학자들의 답변은 착출법이었다(Heath, 2003). Eudoxus의 착출법(소진법, method of exhaustion)은 하나의 양을 계속해서 나누어서 원하는 만큼 작게 만들 수 있다고 가정하여 무한소의 필요성을 제거함으로써 동시대의 수학자들로 하여금 탈출구를 열어주었다(Heath, 2003). 이러한 측면에서 그리스 시대의 수학자들은 ‘무한히 작다’나 ‘무한히 크다’는 표현대신, ‘주어진 양보다 더 크다 또는 더 작다’ 등의 표현을 사용하였으며 ‘무한히 가까운 근사’, ‘무한급수의 합’, ‘원은 무한히 작은 변들로 이루어진 무한 다각형이다’ 등과 같은 표현은 결코 사용한 바가 없다(Heath,2002).

참고문헌 (23)

이승우 (2015a). 학교수학이란 무엇인가? 수학교육학연구, 25(3), 381-405

원문보기 상세보기
이승우 (2015b). 학교수학적 지식의 성장: 고등학교 영재 학생들의 위키(Wiki) 기반 협력 문제해결 활동을 중심으로. 수학교육학연구, 25(4), 717-754

원문보기 상세보기
조한혁.최영기 (1999). 정적 동적 관점에서의 순환소수. 학교수학, 1(2), 605-615.

원문보기 상세보기
황선욱 외 8인 (2015). 중학교 수학2. 서울: 신사고
황선욱 외 10인 (2015). 미적분 I. 서울: 신사고
Apostol, T. M. (1981). Mathematical Analysis(2nd ed.). Addison-Wesley Publishing Company.
Borasi, R. (1994). Capitalizing on Errors as "Springboards for Inquiry": A Teaching Experiment. Journal for Research in Mathematics Education, 25(2), 166-208.

상세보기
Boyer, C. B. (1959). The history of the calculus and its conceptual development: The concepts of the calculus. Mineola, NY: Dover Publications.
Cornu, B. (1991). Limits. In D. Tall(Ed.), Advanced Mathematical Thinking(pp. 153-166). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Christianidis, J., & Demis, A. (2010). Archimedes' quadratures. In S. A. Paipetis, & M. Ceccarelli (Eds.), The Genius of Archimedes-23 Centuries of Influence on Mathematics, Science and Engineering (pp. 57-68). Dordrecht, The Netherlands: Springer.
DeSouza, C. E. (2012) The Greek method of exhaustion: Leading the way to modern integration. (Master degree paper, Ohio State University).
Edwards, C. J. (1979). The historical development of the calculus. NY: Springer-Verlag.
Judith V. Grabiner, J. V. (1983). Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus. The American Mathematical Monthly, 90(3), 185-194.

상세보기
Heath, T. (2002). The Works of Archimedes. Mineola, NY: Dover Publications.
Heath, T. (2003). A Manual of Greek Mathematics. Mineola, NY: Dover Publications.
Katz, V. J. (1993). A history of mathematics: An introduction. NY: HarperCollins College Publishers.
King, D. Albert. (1968). A Hisotyr of Infinite Series (Doctoral dissertation Paper, Peabody College for Teachers of Vanderbilt University).
Knopp, K. (1956). Infinite sequences and series. Mineola, NY: Dover Publications.
Randolph, J. F. (1957). Limits. In NCTM (Ed.) Insights into Modern Mathematics (pp.200-240). Washington, DC: NCTM.
Nelsen, R. B. (2000). Proofs Without Words II: More Exercises in Visual Thinking. Washington, DC: MAA
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 1-36.

상세보기
Toeplitz, O. (1963). The calculus: a genetic approach. Chicago: University of Chicago Press.
White, M. J. (1992). The continuous and the discrete: Ancient physical theories from a contemporary perspective. Oxford: Oxford University Press.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

내보내기 구분	파일저장 인쇄 메일전송
구성항목	기본정보 상세정보 관리번호, 논문명, 저널/프로시딩명, 저자 , 발행년, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, 발행기관 관리번호, 논문명, 대등논문명, 저자 , 저널/프로시딩명, 발행기관, 발행년, 발행언어, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, ISBN, ISSN, 주제분야, 키워드, 초록(한글), 초록(영문), 저자(소속기관)
저장형식	Text(ASCII format) Excel format RefWorks Direct Export RIS format (for Reference Manager, ProCite, EndNote), Scholar's Aids, Mendeley
메일정보	받는사람 (필수) @ 보내는사람 (선택) @ 제목 내용 KISTI 검색결과 이메일 서비스
안내	총 건의 자료가 검색되었습니다. 다운받으실 자료의 인덱스를 입력하세요. (1-10,000) 검색결과의 순서대로 최대 10,000건 까지 다운로드가 가능합니다. 데이타가 많을 경우 속도가 느려질 수 있습니다.(최대 2~3분 소요) 다운로드 파일은 UTF-8 형태로 저장됩니다. 파일의 내용이 제대로 보이지 않을실 때는 웹브라우저 상단의 보기 -> 인코딩 -> 자동선택 여부를 확인하십시오. ~ Text(ASCII format) Excel format

연합인증