[국내논문]초등교사의 전문성 신장을 위한 교재 연구: 삼각기둥과 사각기둥의 전개도의 수 A Study of Teaching Materials for the Professional Development of Elementary School Teachers: The Number of Development Figures of the Triangular Prism and the Quadrangular Prism원문보기
수학 6-1 지도서에 따르면, 6학년 수학에서 삼각기둥과 사각기둥의 전개도 그리기는 창의라는 측면에서 권장된다. 이런 점에서 교사는 수업에 앞서 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도를 확인해 둘 필요가 있다. 그러나 그 전개도 전부를 제시해 주고 있는 선행 연구는 찾기 어렵다. 이런 이유에서, 본 논문에서는 교사의 전문성 신장을 위한 교재 연구의 일환으로, 밑면(삼각형)의 세 변의 길이가 서로 다른 삼각기둥의 가능한 전개도와 밑면(사각형)의 네 변의 길이가 서로 다른 사각기둥의 가능한 전개도를 찾을 수 있는 방법과 그 각각의 전개도의 수에 관해 논의하고 있다. 이러한 논의는 수업에서 삼각기둥과 사각기둥의 서로 다른 전개도의 수를 묻는 질문에 답할 수 있기 위해, 교재 연구의 차원에서 필요하다. 본 논문에서 제시하는 삼각기둥과 사각기둥의 전개도를 학생들이 그린 전개도의 올바름을 판단하거나, 학생들이 전개도를 창의적으로 그리도록 안내하는데 활용할 수 있다.
수학 6-1 지도서에 따르면, 6학년 수학에서 삼각기둥과 사각기둥의 전개도 그리기는 창의라는 측면에서 권장된다. 이런 점에서 교사는 수업에 앞서 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도를 확인해 둘 필요가 있다. 그러나 그 전개도 전부를 제시해 주고 있는 선행 연구는 찾기 어렵다. 이런 이유에서, 본 논문에서는 교사의 전문성 신장을 위한 교재 연구의 일환으로, 밑면(삼각형)의 세 변의 길이가 서로 다른 삼각기둥의 가능한 전개도와 밑면(사각형)의 네 변의 길이가 서로 다른 사각기둥의 가능한 전개도를 찾을 수 있는 방법과 그 각각의 전개도의 수에 관해 논의하고 있다. 이러한 논의는 수업에서 삼각기둥과 사각기둥의 서로 다른 전개도의 수를 묻는 질문에 답할 수 있기 위해, 교재 연구의 차원에서 필요하다. 본 논문에서 제시하는 삼각기둥과 사각기둥의 전개도를 학생들이 그린 전개도의 올바름을 판단하거나, 학생들이 전개도를 창의적으로 그리도록 안내하는데 활용할 수 있다.
In the sixth grade mathematics, drawing of development figures of the triangular prism and the quadrangular prism is recommended in terms of the creativity. In this sense, the teacher has the need to check in advance all the possible development figures of the triangular prism and the quadrangular p...
In the sixth grade mathematics, drawing of development figures of the triangular prism and the quadrangular prism is recommended in terms of the creativity. In this sense, the teacher has the need to check in advance all the possible development figures of the triangular prism and the quadrangular prism before teaching on them. However, previous studies that currently give all the possible development figures of the triangular prism and the quadrangular prism are hard to find. For this reason, in this paper, as a study of teaching materials for the professional development of elementary school teachers, the method of finding all the possible development figures of the triangular prism and all the possible development figures of the quadrangular prism without omissions and overlaps and the number of each of development figures which can be obtained by that method are discussed. Here lengths of the three sides of base planes of the triangular prism are different each other and lengths of the four sides of base planes of the quadrangular prism are different each other. This discussion is needed in terms of a study of teaching materials in order to prepare for predictable questions to ask the number of the possible development figures of the triangular prism and the number of the possible development figures of the quadrangular prism in classes. In addition, through this discussion, this paper presents the development figures of the triangular prism and the development figures of the quadrangular prism without omissions and overlaps. And teachers can take advantage of them for determining the correctness of the development figures drew by students and guiding students to draw the development figures creatively in actual classes.
In the sixth grade mathematics, drawing of development figures of the triangular prism and the quadrangular prism is recommended in terms of the creativity. In this sense, the teacher has the need to check in advance all the possible development figures of the triangular prism and the quadrangular prism before teaching on them. However, previous studies that currently give all the possible development figures of the triangular prism and the quadrangular prism are hard to find. For this reason, in this paper, as a study of teaching materials for the professional development of elementary school teachers, the method of finding all the possible development figures of the triangular prism and all the possible development figures of the quadrangular prism without omissions and overlaps and the number of each of development figures which can be obtained by that method are discussed. Here lengths of the three sides of base planes of the triangular prism are different each other and lengths of the four sides of base planes of the quadrangular prism are different each other. This discussion is needed in terms of a study of teaching materials in order to prepare for predictable questions to ask the number of the possible development figures of the triangular prism and the number of the possible development figures of the quadrangular prism in classes. In addition, through this discussion, this paper presents the development figures of the triangular prism and the development figures of the quadrangular prism without omissions and overlaps. And teachers can take advantage of them for determining the correctness of the development figures drew by students and guiding students to draw the development figures creatively in actual classes.
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문제 정의
본 논문에서는 밑면(삼각형)의 세 변의 길이가 서로 다른 삼각기둥의 가능한 전개도와 밑면(사각형)의 네 변의 길이가 서로 다른 사각기둥의 가능한 전개도가 각각 몇 개인지 밝히고 있다. 그러나 본 논문에서는 교사에게 단지 삼각기둥과 사각기둥의 전개도의 수를 제공해 주는 것을 넘어, 그러한 전개도를 누락과 중복 없이 찾을 수 있는 방법을 제시하고 있다. 이렇게 함으로써, 본 논문은 삼각기둥과 사각기둥의 전개도 그리기 수업과 관련하여, 교사의 전문성 신장에 기여할 수 있다.
여러 문헌에서 정육면체의 전개도를 빠짐없이 모두 제시하고 있는 바, 이것은 학생들이 그것을 알아야 하기 때문에 제시하고 있는 것이 아니다. 그보다는 교사들이 그것을 알고 있는 것이 정육면체의 전개도 지도에 필요하기 때문에 제시하고 있는 것이다. 본 논문에서는 이와 같은 의도를 확장하여, 교사가 삼각기둥과 사각기둥의 전개도를 지도하기 위해서 그것을 알고 있는 것이 필요하다고 보고 있다.
본 논문에서는 밑면(삼각형)의 세 변의 길이가 서로 다른 삼각기둥의 가능한 전개도와 밑면(사각형)의 네 변의 길이가 서로 다른 사각기둥의 가능한 전개도가 각각 몇 개인지 밝히고 있다. 그러나 본 논문에서는 교사에게 단지 삼각기둥과 사각기둥의 전개도의 수를 제공해 주는 것을 넘어, 그러한 전개도를 누락과 중복 없이 찾을 수 있는 방법을 제시하고 있다.
본 논문에서는 삼각기둥과 사각기둥의 전개도를 누락과 중복 없이 찾기 위하여, 먼저두 밑면 사이에 옆면이 놓이는 위치에 따라 삼각기둥의 경우에는 T1형 전개도, T2형 전개도, T3형 전개도의 3가지, 그리고 사각기둥의 경우에는 Q1형 전개도, Q2형 전개도, Q3형 전개도, Q4형 전개도의 4가지로 배타적으로 분류할 수 있다는 것에 착안하고 있다. 그런 다음, 각 유형에서 옆면의 배열 형태에 따라 각 유형을 하위 유형으로 다시 한 번 배타적으로 분류할 수 있다는 것에도 착안하고 있다.
그보다는 교사들이 그것을 알고 있는 것이 정육면체의 전개도 지도에 필요하기 때문에 제시하고 있는 것이다. 본 논문에서는 이와 같은 의도를 확장하여, 교사가 삼각기둥과 사각기둥의 전개도를 지도하기 위해서 그것을 알고 있는 것이 필요하다고 보고 있다.
본 논문에서는 이와 관련하여 먼저 삼각기둥과 사각기둥의 전개도 전부를 제시하고 있는 문헌이 있는지 찾아보았다. 그러나 수학 6-1 지도서(교육부, 2016b)를 포함해서 본 논문에서 참고한 문헌(坪田耕三, 1993; 數學敎育學硏究會, 1994; 片桐重男, 1995, 2001, 2012;Van de Walle, 2004; Reys, Lindquist, et al.
그러나 교사가 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도를 누락과 중복 없이 실제로 모두 그려보기 전에는, “삼각기둥과 사각기둥의 서로 다른 전개도는 각각 몇 개나 있을까?”라는 질문에 답하기는 쉽지 않다. 본 논문에서는 학생들이 이러한 질문을 할 수 있다는 가정 아래, 그리고 교사가 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도 전부를 미리 확인해둘 필요가 있다는 점, 그리고 수학 6-1 지도서(교육부, 2016b)에서 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도 전부를 제시해 주고 있지는 않다는 점에서, 교사의 전문성 신장을 위한 교재연구의 일환으로 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도를 모두 찾아본다. 다만 본 논문에서 삼각기둥과 사각기둥은 초등학교 수학과에서 취급하는 직각기둥으로 한정한다.
이런 점에서, 이들이 각각 전개도와 관련한 문헌이기는 하지만, 본 논문의 직접적인 선행 연구로 보기는 어렵다. 이런 이유에서 본 논문에서는 교사들의 전문성 신장에 기여하기 위해, 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도를 누락과 중복 없이 찾을 수 있는 방법과 그렇게 해서 얻을 수 있는 그 각각의 전개도의 수에 관해 논의하고 있다.
가설 설정
본 논문에서는 학생들이 이러한 질문을 할 수 있다는 가정 아래, 그리고 교사가 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도 전부를 미리 확인해둘 필요가 있다는 점, 그리고 수학 6-1 지도서(교육부, 2016b)에서 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도 전부를 제시해 주고 있지는 않다는 점에서, 교사의 전문성 신장을 위한 교재연구의 일환으로 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도를 모두 찾아본다. 다만 본 논문에서 삼각기둥과 사각기둥은 초등학교 수학과에서 취급하는 직각기둥으로 한정한다.
제안 방법
坪田耕三(1993)에서는 54개의 전개도를 정육면체의 전개도 11개 유형에 따라 제시하고 있다. 그러나 본 논문에서는 앞에서 논의한 방식에 따라, 직육면체의 전개도를 Q1형 전개도, Q2형 전개도, Q3형 전개도, Q4형 전개도의 4가지로 분류한다. 이것은 앞의 논의에서 c=a, d=b인 경우에 해당한다.
후속연구
그러나 본 논문에서는 교사에게 단지 삼각기둥과 사각기둥의 전개도의 수를 제공해 주는 것을 넘어, 그러한 전개도를 누락과 중복 없이 찾을 수 있는 방법을 제시하고 있다. 이렇게 함으로써, 본 논문은 삼각기둥과 사각기둥의 전개도 그리기 수업과 관련하여, 교사의 전문성 신장에 기여할 수 있다. 명백히 본 논문에서 제시한 이러한 방법을 학생들이 알아야 하는 것은 아니다.
이 과정에서 학생들이 제시하지 않는 전개도를 접어 삼각기둥과 사각기둥이 되는 모습을 시연하거나, 삼각기둥과 사각기둥의 특정한 모서리를 잘라서 학생들이 제시하지 않은 새로운 전개도가 되는 모습을 시연함으로써, 학생들의 사고를 독려할 수 있다. 한편, 밑면의 모양이 정삼각형인 삼각기둥의 경우에는 그 전개도가 많지 않다는 점에서 학생들로 하여금 그 모두를 찾는 활동을 하게 하는 것도 가능할 것이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
수학 6-1 지도서는 학생들이 삼각기둥과 사각기둥의 전개도를 다양하게 그려보는 것을 어떤 측면에서 권장하고 있는가?
특히 수학 6-1 익힘책(교육부, 2016a)에서는 밑면(사다리꼴)의 네 변의 길이가 모두 다른 사각기둥의 전개도를 그릴 것을 요구하고 있다. 수학 6-1 지도서(교육부, 2016b) 129쪽에 따르면, 학생들이 삼각기둥과 사각기둥의 전개도를 다양하게 그려보는 것은 ‘창의’라는 측면에서 권장된다. 그런 만큼 수업에서, 교사는 학생들이 창의적으로 그린 전개도가 올바른 것인지 판단해야 한다.
2009 개정 초등학교 수학과 교육과정에서 어떤 각기둥의 전개도는 취급하지 않는가?
”라는 목표 아래, 삼각기둥과 사각기둥의 전개도를 그려 보게 하고 있다. 그러나 오각기둥 이상의 전개도를 그려보는 것은 거의 취급하고 있지 않다. 수학 6-1 익힘책(교육부, 2016a) 19~20쪽에서도 삼각기둥과 사각기둥의 전개도를 그려 보게 하고 있지만, 오각기둥 이상의 전개도를 그려보는 것은 취급하고 있지 않다.
본 논문은 왜 삼각기둥과 사각기둥에서 가능한 전개도를 모두 찾으려 하는가?
그러나 교사가 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도를 누락과 중복 없이 실제로 모두 그려보기 전에는, “삼각기둥과 사각기둥의 서로 다른 전개도는 각각 몇 개나 있을까?”라는 질문에 답하기는 쉽지 않다. 본 논문에서는 학생들이 이러한 질문을 할 수 있다는 가정 아래, 그리고 교사가 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도 전부를 미리 확인해둘 필요가 있다는 점, 그리고 수학 6-1 지도서(교육부, 2016b)에서 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도 전부를 제시해 주고 있지는 않다는 점에서, 교사의 전문성 신장을 위한 교재연구의 일환으로 삼각기둥과 사각기둥의 가능한 전개도를 모두 찾아본다. 다만 본 논문에서 삼각기둥과 사각기둥은 초등학교 수학과에서 취급하는 직각기둥으로 한정한다.
Reys, R. E, Lindquist, M. M., Lambdin, D. V., & Smith, N. L. (2008). Helping Children Learn Mathematics. New York: John Wiley & Sons, Inc. 박성선, 김민경, 방정숙, 권점례 (역) (2012). 초등교사를 위한 수학과 교수법. 서울: 경문사.
Van de Walle, J. A. (2004). Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally. Columbus, OH: Allyn & Bacon. 남승인, 서찬숙, 최신화, 강영란, 홍우주, 배혜진 (역) (2008). 수학을 어떻게 가르칠 것인가? 서울: 경문사.
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