전개도는 우리나라 제 1차 교육과정부터 초등학교 수학교과서에서 꾸준히 다루어져 온 전통적인 교육내용이며, 주로 입체도형의 성질을 알아보거나 겉넓이를 구하기 위해 지도되어 왔다. 하지만 공간 감각에 대한 중요성이 점점 강조되고 있는 현 시점에서 전개도는 공간 감각을 다루기 위한 매우 적절한 학습 소재가 될 수 있다. 이에 본 연구에서는 우리나라 초등학교 수학 교육과정과 교과서에서 전개도가 어떻게 지도되어 왔는지 살펴보고, 이를 바탕으로 일본, 싱가포르, 핀란드, 홍콩의 교과서에서 다루고 있는 전개도 관련 내용을 분석하였다. 이를 통해 공간 시각화와 공간 방향화의 향상 측면에서 올바른 전개도를 찾는 활동의 강화, 다양한 각도에서 본 입체도형의 모습 제시, 무늬가 들어간 입체도형의 전개도 활용을 시사점으로 제안하였다.
전개도는 우리나라 제 1차 교육과정부터 초등학교 수학교과서에서 꾸준히 다루어져 온 전통적인 교육내용이며, 주로 입체도형의 성질을 알아보거나 겉넓이를 구하기 위해 지도되어 왔다. 하지만 공간 감각에 대한 중요성이 점점 강조되고 있는 현 시점에서 전개도는 공간 감각을 다루기 위한 매우 적절한 학습 소재가 될 수 있다. 이에 본 연구에서는 우리나라 초등학교 수학 교육과정과 교과서에서 전개도가 어떻게 지도되어 왔는지 살펴보고, 이를 바탕으로 일본, 싱가포르, 핀란드, 홍콩의 교과서에서 다루고 있는 전개도 관련 내용을 분석하였다. 이를 통해 공간 시각화와 공간 방향화의 향상 측면에서 올바른 전개도를 찾는 활동의 강화, 다양한 각도에서 본 입체도형의 모습 제시, 무늬가 들어간 입체도형의 전개도 활용을 시사점으로 제안하였다.
This is a traditional education content that has been consistently handled in elementary school mathematics textbooks since the first curriculum in Korea. It has been mainly used to find out the properties of the solid figure or to save the surface area. However, as the importance of spatial ability...
This is a traditional education content that has been consistently handled in elementary school mathematics textbooks since the first curriculum in Korea. It has been mainly used to find out the properties of the solid figure or to save the surface area. However, as the importance of spatial ability is increasingly emphasized, the nets of solids can be a very suitable learning material for dealing with the spatial ability. Therefore, in this study, we examined how the nets of solids were taught in elementary school mathematics curriculum and textbooks in Korea, and based on the analysis, we analyzed the contents of the nets of solids covered in textbooks of Japan, Singapore, Finland and Hong Kong. Through this study, we suggested the enhancement of activities to find the right nets, the presentation of solid figure from various angles, and the nets of solids with patterns for improvement of spatial visualization and spatial orientation.
This is a traditional education content that has been consistently handled in elementary school mathematics textbooks since the first curriculum in Korea. It has been mainly used to find out the properties of the solid figure or to save the surface area. However, as the importance of spatial ability is increasingly emphasized, the nets of solids can be a very suitable learning material for dealing with the spatial ability. Therefore, in this study, we examined how the nets of solids were taught in elementary school mathematics curriculum and textbooks in Korea, and based on the analysis, we analyzed the contents of the nets of solids covered in textbooks of Japan, Singapore, Finland and Hong Kong. Through this study, we suggested the enhancement of activities to find the right nets, the presentation of solid figure from various angles, and the nets of solids with patterns for improvement of spatial visualization and spatial orientation.
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문제 정의
따라서 본 연구에서는 공간 감각과 전개도에 관한 이론적 고찰과 함께 우리나라 역대 교육과정과 교과서에서 전개도가 어떻게 다루어져 왔는지 살펴본다. 또한 일본, 싱가포르, 핀란드, 홍콩의 교과서에서 전개도 관련 내용을 추출하고 분석함으로써 공간 감각 향상의 측면에서 전개도 지도 및 교과서 개발에의 시사점을 제안하고자 한다.
위에서 살펴보았듯이, 예외적으로 홍갑주·이호석(2015)이 역대 교육과정과 외국 교과서에서 겨냥도와 전개도 관련 내용을 분석하였지만, 그 내용이 그림 표현이나 입체도형의 구성 방법 등에 초점을 두고 있어 본 연구에서의 관점과는 상당 부분 다르다고 할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 그동안 우리나라 교육과정과 교과서에서 다루어 온 전개도에 관한 내용을 다른 나라의 교과서에서는 어떻게 제시하고 있는지 살펴봄으로써 공간 감각 향상의 측면에서 전개도를 지도할 수 있는 방안에 대해 제언하고자 한다.
따라서 본 연구에서는 공간 감각과 전개도에 관한 이론적 고찰과 함께 우리나라 역대 교육과정과 교과서에서 전개도가 어떻게 다루어져 왔는지 살펴본다. 또한 일본, 싱가포르, 핀란드, 홍콩의 교과서에서 전개도 관련 내용을 추출하고 분석함으로써 공간 감각 향상의 측면에서 전개도 지도 및 교과서 개발에의 시사점을 제안하고자 한다.
본 연구에서는 전개도와 관련하여 국내 교육과정과 교과서, 그리고 일본, 싱가포르, 핀란드, 홍콩의 교과서를 도입 시기와 전반적인 지도내용을 바탕으로 분석하여 우리나라 전개도 지도에의 시사점을 얻고자 하였다.
제안 방법
5학년의 ‘입체를 자세히 알아보자’단원에서는 [그림 8]과 같이 원기둥을 포함한 기둥 모양의 입체도형을 다룬다. 각기둥과 원기둥을 분류하고 각각을 탐구한 뒤, 삼각기둥의 전개도와 원기둥의 전개도를 그리는 법과 그 성질에 대해 학습한다. 또한, [그림 9]와 같이 화장지의 심지를 잘라보는 활동을 통해 원기둥의 옆면을 자르는 방법에 따라 펼친 모양이 직사각형이 될 수도, 평행사변형이 될 수도 있음을 제시하고 있다.
첫째, 전개도와 관련하여 우리나라 역대 교육과정을 전개도 지도 시기와 전반적인 내용의 측면에서 살펴본다. 둘째, 4차부터 2009개정 교육과정에 따른 교과서에서 전개도와 관련된 구체적인 활동을 살펴보고, 이를 바탕으로 우리나라 교과서에서 다루고 있는 전개도 활동의 특징을 제시한다. 셋째, 일본, 싱가포르, 핀란드, 홍콩 교과서에서 전개도를 지도하는 시기와 구체적인 활동 내용을 우리나라와 구별되는 부분을 중심으로 살펴본다.
셋째, 일본, 싱가포르, 핀란드, 홍콩 교과서에서 전개도를 지도하는 시기와 구체적인 활동 내용을 우리나라와 구별되는 부분을 중심으로 살펴본다. 또한, 이론적 배경에서 살펴본 공간 감각의 의미와 연결하여 그 활동이 내포 하고 있는 공간 감각의 요인을 분석한다.
본 연구에서는 공간적 관계를 공간 시각화와 따로 구분하지 않고, McGee의 관점에 따라 공간 감각을 공간 시각화와 공간 방향화로 분류한다. 그리고 이 중 공간 시각화에 포함되는 전개도를 공간 시각화와 공간 방향화를 모두 향상시킬 수 있는 측면에서 고려한다.
본 연구에서는 다음과 같은 관점 및 절차에 따라 우리나라 교육과정과 교과서, 외국의 교과서를 분석한다. 첫째, 전개도와 관련하여 우리나라 역대 교육과정을 전개도 지도 시기와 전반적인 내용의 측면에서 살펴본다.
둘째, 4차부터 2009개정 교육과정에 따른 교과서에서 전개도와 관련된 구체적인 활동을 살펴보고, 이를 바탕으로 우리나라 교과서에서 다루고 있는 전개도 활동의 특징을 제시한다. 셋째, 일본, 싱가포르, 핀란드, 홍콩 교과서에서 전개도를 지도하는 시기와 구체적인 활동 내용을 우리나라와 구별되는 부분을 중심으로 살펴본다. 또한, 이론적 배경에서 살펴본 공간 감각의 의미와 연결하여 그 활동이 내포 하고 있는 공간 감각의 요인을 분석한다.
<표 3>에서 알 수 있듯이, 현 교육과정에서는 각뿔과 원뿔의 전개도를 다루지 않으므로 여기서는 직육면체를 포함한 각기둥과 원기둥의 전개도를 좀 더 중점적으로 살펴보도록 한다. 직육면체의 전개도는 1차 교육과정부터 등장하지만 그에 관한 활동들이 구체화되어 교과서에 명시된 것은 4차 교육과정부터이다.
지금까지 전개도와 관련하여 우리나라와 외국 교과서의 검토를 통해 몇 가지 시사점을 제안하였다. 하지만 이러한 지도 방안이 좀 더 구체화되기 위해서는 전개도 과제를 해결하는 학생들의 능력에 대한 실태 조사가 뒷받침되어야 할 것이다.
본 연구에서는 다음과 같은 관점 및 절차에 따라 우리나라 교육과정과 교과서, 외국의 교과서를 분석한다. 첫째, 전개도와 관련하여 우리나라 역대 교육과정을 전개도 지도 시기와 전반적인 내용의 측면에서 살펴본다. 둘째, 4차부터 2009개정 교육과정에 따른 교과서에서 전개도와 관련된 구체적인 활동을 살펴보고, 이를 바탕으로 우리나라 교과서에서 다루고 있는 전개도 활동의 특징을 제시한다.
대상 데이터
본 연구에서는 전개도와 관련하여 우리나라 역대 교육과정과 교과서, 그리고 4개국의 외국 교과서를 분석하였다. 우리나라 교육과정은 제 1차 교육과정부터 2015개정 교육과정까지를, 교과서는 전개도에 관한 내용이 구체적으로 제시되기 시작하는 4차 교과서부터 2009개정 교육과정에 의한 교과서까지를 분석 대상으로 하였다.
본 연구에서는 전개도와 관련하여 우리나라 역대 교육과정과 교과서, 그리고 4개국의 외국 교과서를 분석하였다. 우리나라 교육과정은 제 1차 교육과정부터 2015개정 교육과정까지를, 교과서는 전개도에 관한 내용이 구체적으로 제시되기 시작하는 4차 교과서부터 2009개정 교육과정에 의한 교과서까지를 분석 대상으로 하였다. 2015개정 교육과정에 의한 5, 6학년 교과서는 현재 개발 중에 있으므로 분석 대상에서 제외하였다.
성능/효과
전개도 과제의 해결 전략에 관한 연구로 김지애(2012)는 학생들이 전개도 문항을 해결하는데 사용하는 인지전략을 다양한 각도에서 관찰하기, 한 꼭짓점에 모이는 면에 주목하기, 분해, 전개도 변환의 네 가지로 구분하고, 이러한 인지 전략을 공학 기반 학습 환경에서 학습할 수 있도록 하였다. 그 결과, 학생들이 전개도에 관해 느끼는 난이도가 변화하였고 MPFT(Mental Paper Folding Test, 심상종이접기검사)점수가 유의미하게 향상되었다고 하였다. 이은지(2017)는 공간 인지 전략(전개도 변환 전략과 패턴 코딩 인지전략)의 학습이 학생들의 공간 정보에 효과적인 역할을 할 수 있었으며, 이러한 전략 차이에 따른 학생들의 안구 운동의 차이를 분석함으로써 공간 과제 연구에서 시선추적기(eye-tracker)4) 의 활용가능성을 보여주었다.
둘째, 교과서에서 이루어지는 전개도 관련 내용 중에서 전개도 그리기가 꽤 큰 비중을 차지하고 있음을 알 수 있었다. 전개도를 그릴 수 있는 능력은 우리나라 교육과정에서도 성취기준으로 제시하고 있는 목표이기 때문에(교육부, 2015a, p.
즉, 옆면과 밑면의 모양이 모두 같은 직육면체의 전개도를 학생들이 더 어려워한다는 것을 알 수 있다. 또한, 구체물을 통한 조작 활동 후 학생들의 전개도 과제 해결 능력이 현저히 향상됨을 확인할 수 있었다. Wright(2016)는 직육면체와 사각뿔의 전개도를 활용한 과제에서 학생들의 전략을 시각적 전략(Visual strategy)과 분석적 전략(analytic strategy)으로 구분할 수 있으며, 이 두 전략은 학생들의 수행 능력에서 서로 강한 연결 관계가 있음을 확인하였다.
홍갑주·이호석(2015)은 우리나라의 역대 교육과정에서 전개도 관련 내용을 분석하여 현행 교과서에서 지금과 같은 방식으로 겨냥도와 전개도가 다루어지게 된 맥락을 살펴보고, 외국 교과서와의 비교 분석을 통해 겨냥도와 전개도를 그릴 때 점선과 실선을 명확하게 구분해야 하는지의 필요성에 대해 의문을 제기하였다. 또한, 입체도형을 구성할 수 있는 방법이 다양함에도 불구하고 여전히 종이로 만드는 전개도만을 제시하고 있음을 지적하였다.
일본의 교과서에서 전개도 관련 내용을 살펴본 결과, 우리나라와 마찬가지로 두 학년에 걸쳐 전개도를 다루고 있었으며 직육면체와 각기둥을 구분하여 제시하고 있었다. 또한, 입체도형의 성질을 학습하는 과정에서 전개도가 도입되었으며, 이를 실생활과 연결하여 지도하려는 경향이 있음을 알 수 있었다. 하지만 일본 역시 전개도가 공간 감각 측면에서 크게 다루어지고 있지는 않았다.
우리나라 역대 교과서에서 전개도 관련 내용을 분석한 결과 첫째, 직육면체의 전개도는 직육면체의 성질을 탐구하기 위한 수단으로, 각기둥과 원기둥의 전개도는 그 겉넓이를 지도하기 위한 수단으로 주로 활용되고 있음을 알 수 있다. 하지만 공간 감각 향상의 측면에서 생각해보았을 때, 전개도를 입체도형으로 나타내거나 둘 사이의 변환을 다루는 활동들이 좀 더 강조될 필요가 있다.
후속연구
내용이 어렵다고 하여 무조건 다루지 않기보다는 그 수준을 조절하여 이른 시기에서부터 자주 접하고 익숙해지게 함으로써 그 능력을 발달시킬 수 있는 기회를 제공하는 것이 바람직하다고 여겨진다. 따라서 [그림 23]과 같이 난이도를 조절하여 좀 더 단순한 무늬를 활용한다면 학생들의 공간 시각화 능력뿐만 아니라 방향 능력에까지 도움을 줄 수 있을 것이다.
이처럼 교육과정 개정이 이루어지면서 학습에 대한 부담을 낮추기 위한 내용 감축이 지속적으로 이루어지고 있는 상황에서 학습 내용의 질적인 향상을 위해서는 전개도가 현재까지 지도되던 것과는 다른 측면에서 다루어질 필요가 있다. 따라서 공간 감각에 대한 중요성이 강조되고 있는 현 시점에서 이를 전개도에 반영하여 지도한다면 학생들에게 공간에 대한 더욱 풍부한 경험을 제공해 줄 수 있을 것으로 생각된다.
여기에서 ‘공간과 모양‘이란 우리가 살고 있는 물리적 세계에서 마주하는 현상과 관련되는 것으로, 기하학이 본질적인 기초로 작용하는 부분이다. 이러한 연구 결과를 종합하였을 때 공간에 대한 사고의 발달과 더불어 기하 영역에서 학생들의 성취가 향상될 수 있도록 그 지도 방안을 다양한 방면에서 적극 모색할 필요가 있을 것이다.
지금까지 전개도와 관련하여 우리나라와 외국 교과서의 검토를 통해 몇 가지 시사점을 제안하였다. 하지만 이러한 지도 방안이 좀 더 구체화되기 위해서는 전개도 과제를 해결하는 학생들의 능력에 대한 실태 조사가 뒷받침되어야 할 것이다. PISA 2015의 평가 결과, 우리나라 학생들은 수학적 내용 중 ‘공간과 모양’에서의 정답률의 평균이 가장 낮았으며, PISA 2012와 비교하였을 때 그 하락폭도 크게 나타났다(구자옥 외, 2016, p.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
전개도의 정의는 무엇인가?
전개도는 예전부터 많은 다른 나라들에서 공통적으로 다루는 기하 교육과정의 핵심 요소이며, 우리나라 에서도 제 1차 교육과정 시기부터 꾸준히 다루어 온 전통적인 교육내용 중 하나이다. 전개도는 입체도형의 전체 표면을 하나의 평면에 전개하여 얻은 2차원의 모양으로 정의할 수 있는데, 이는 공간 감각의 하위 요인 중 공간 시각화에 포함된다. Cohen(2003)에 의하면, 입체도형을 전개도로 변환시키는 것은 정신적 이미지를 조작함으로써 수행하는 정신 작용이기 때문에 학생들의 시각적 능력 발달에 상당부분 기여할 수 있다.
입체도형을 전개도로 변환하는 것을 통해 얻을 수 있는 것은?
전개도는 입체도형의 전체 표면을 하나의 평면에 전개하여 얻은 2차원의 모양으로 정의할 수 있는데, 이는 공간 감각의 하위 요인 중 공간 시각화에 포함된다. Cohen(2003)에 의하면, 입체도형을 전개도로 변환시키는 것은 정신적 이미지를 조작함으로써 수행하는 정신 작용이기 때문에 학생들의 시각적 능력 발달에 상당부분 기여할 수 있다. 우리나라의 5학년 지도서 내용을 살펴보면“전개도를 보고 머릿속으로 작품의 모양을 상상할 때 우리의 뇌는 효과적인 자극을 받아 공간 지각력을 높일 수 있다(교육부, 2015c, p.
우리나라 교과서와 비교하여 싱가포르 교과서에서 전개도에 대한 지도 방향은 어떠한가?
싱가포르 교과서에서 전개도는 6학년의 ‘입체도형’ 단원에서 다루어진다. 전개도는 “접어서 입체도형을 만들 수 있도록 그 면을 배열하여 그린 그림(Collars et al, 2014, p.130)”으로 정의되며, 한 가지 입체도형에서 다양한 전개도가 나올 수 있음을 강조하고 있다. 활동을 자세히 살펴보면 각 입체도형의 밑면의 모양, 면의 개수와 같은 구성 요소를 탐구한 후 전개도가 도입되는데, 우리나라나 일본과 같이 만나는 모서리나 평행한 면 등을 찾는 활동보다는 입체도형과 알맞은 전개도를 연결하는 활동이 중점적으로 다루어진다. 이 때, [그림 10]과 같이 보기로 제시되는 입체도형의 모습을 눈여겨 볼 필요가 있는데, 같은 직육면체이지만 가로, 세로, 높이의 길이가 모두 다르게 제시되어 있으며, 각뿔도 다양한 각도에서 바라본 모습을 제시하고 있어 전개도와 연결할 때 밑면의 모양뿐만 아니라 길이나 방향 요소까지도 고려하도록 하고 있다.
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