[논문]Normal inverse Gaussian 분포에서 모수추정의 보정 방법 연구

윤정연; 송성주

doi:10.5351/kjas.2016.29.4.741

Normal inverse Gaussian 분포에서 모수추정의 보정 방법 연구
A numerical study of adjusted parameter estimation in normal inverse Gaussian distribution 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.29 no.4, 2016년, pp.741 - 752

초록
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금융자산의 수익률 분포를 잘 설명할 수 있는 것으로 알려진 normal inverse Gaussian(NIG)분포는 모수의 조건에 의해 세 배의 초과첨도가 왜도 제곱의 5배보다 커야 하는데, 만약 관측된 초과첨도와 왜도의 관계가 이를 만족하지 못하거나 두 값이 매우 비슷하다면 모수를 안정적으로 추정하기 어렵게 된다. 이 논문에서 우리는 NIG분포의 모수추정에서 발생하는 이러한 문제점을 살펴보고 모의실험을 통해 이를 보정하는 방법을 찾아보았다. KOSPI, S&P500, FTSE와 HANG SENG의 실제 주가지수 자료에 적용하여 보정의 효과를 비교하고 VaR를 이용한 사후검증으로 보정된 추정방법의 성능을 평가해 보았다. 보정 방법을 이용하였을 때, 모수추정의 문제가 있던 구간을 포함한 모든 구간에서 안정적인 모수추정이 가능하였고 VaR를 통한 사후 검증에서도 분포의 성능이 떨어지지 않음을 확인하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

Numerous studies have shown that normal inverse Gaussian (NIG) distribution adequately fits the empirical return distribution of financial securities. The estimation of parameters can also be done relatively easily, which makes the NIG distribution more useful in financial markets. The maximum likelihood estimation and the method of moments estimation are easy to implement; however, we may encounter a problem in practice when a relationship among the moments is violated. In this paper, we investigate this problem in the parameter estimation and try to find a simple solution through simulations. We examine the effect of our adjusted estimation method with real data: daily log returns of KOSPI, S&P500, FTSE and HANG SENG. We also checked the performance of our method by computing the value at risk of daily log return data. The results show that our method improves the stability of parameter estimation, while it retains a comparable performance in goodness-of-fit.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

몇 가지 주가지수 자료를 NIG분포에 적합해보고, 모의실험을 통해 모수 추정법을 수치 해석적으로 보정하여 보정방법이 모형에 미치는 영향을 모수의 안정성 측면에서 살펴볼 것이다. 또, VaR를 이용한 사후검증을 통해 NIG모형의 모수 추정 방법에 따른 보정의 효과를 비교해보고자 한다.
본 논문에서는, 표본적률들이 Ghysels와 Wang (2014)에서 연구된 모수정의 가능공간에 존재하지 않거나 경계에 가까이 있는 경우 모수 추정에 문제가 발생하는 것을 확인하고 NIG분포의 모수 추정방법을 살펴보고자 한다. 몇 가지 주가지수 자료를 NIG분포에 적합해보고, 모의실험을 통해 모수 추정법을 수치 해석적으로 보정하여 보정방법이 모형에 미치는 영향을 모수의 안정성 측면에서 살펴볼 것이다.
본 연구에서는 다양한 주가자료의 로그 수익률을 NIG분포에 적합할 때 모수 추정에서 발생하는 문제점을 보정하고자 하였다. 자료의 초과첨도와 왜도를 사용한 3K − 5S²의 값이 0보다 작거나 0에 근접할 때는 모수가 추정되지 않거나 매우 크게 추정되는 문제가 발생한다.
본 연구에서는 자료의 특성에 따라 NIG분포의 모수 추정과정에서 문제점이 발생하는 것을 확인하고 이를 수치 해석적 방법으로 보완하였다. 다양한 실증 자료를 이용한 분석 결과, 모수의 안정성 및 모형의 성능 면에서 보정의 효과가 긍정적으로 나타난다.
Kim과 Song (2011)에서는 NIG분포와 VG분포를 이용하여 실제자료에 대해 다양한 방법으로 추정한 VaR를 비교하고 NIG분포를 이용한 VaR의 성능이 우수함을 보였다. 이에 본 연구에서는 VaR를 측정하여 모수추정의 보정방법이 VaR의 계산에 미치는 영향을 알아보고자 하였다. 비교를 위해 지수 단순이동 평균법(exponential weighted moving average method; EWMA)을 이용한 VaR도 함께 계산하였다.

가설 설정

그렇기 때문에 가격을 결정함에 있어서 기초자산의 확률적 모형을 결정하는 일은 매우 중요하다. 기하 브라운 운동은 이러한 확률적 모형 중에서 가장 널리 사용되어온 모형으로 기초자산의 가격이 로그정규분포를 따른다고 가정한다. 이를 기초로 하여 1973년 Black과 Scholes는 블랙-숄즈 옵션가격 결정 모형을 제안하였고 (Black과 Scholes, 1973) 이후 오랜 기간 동안 금융시장에서 벤치마킹 되고 있다.

제안 방법

ε을 0.5로 고정한 후, 첫 번째 시나리오에서는 초과첨도를 0.053, 왜도를 0.116으로 하여 3K − 5S2을 0.0917로 설정하고 두 번째 시나리오에서는 초과첨도를 2.053, 왜도는 0.116으로 하여 3K − 5S2을 6.0917로 설정하였다.
2001년 1월부터 2015년 5월까지 KOSPI, S&P500, FTSE, HANG SENG의 일별 로그수익률로 실증분석을 했을 때에도 ε-MLE와 ε-MME가 모수를 안정적으로 추정하였다.
250거래일 단위의 KOSPI 일별 로그수익률에서 계산된 3K − 5S2의 표본값 중에서 가장 작은 경우를 골라 그 때의 모수추정치를 참 값으로 설정하고, 그 값을 갖는 NIG분포에서 1,000개의 자료를 생성하여 MLE를 추정하였다.
각 지수별로 250거래일 간격으로 1일씩 옮겨가며 모수를 추정하였는데 매번 추정에 250개의 자료를 이용하여 KOSPI는 3319번, S&P500은 3374번, FTSE는 3498번, 그리고 HANG SENG은 3350번의 측정이 이루어졌다.
각 지수별로 일별 로그수익률 자료를 250거래일 기준으로 하여 ε-MLE와 ε-MME을 반복적으로 추정해 보았다.
각 표본의 90%이상의 구간에서 3K − 5S2의 표본값이 1이상이었고 이 때는 안정적인 모수추정이 가능하였기에, 보정 값의 범위를 0과 1사이로 제한하여 살펴보았다.
그리고 각 표본에서 3K − 5S2의 표본값이 ε보다 작으면 MLE의 경우 우도함수에서 3K − 5S2의 값을 ε으로, MME의 경우 식 (2.2)의 3K − 5S2의 값을 ε으로 대체하여 모수를 추정하였고 이를 ε에 변화를 주면서 반복하였다.
본 논문에서는, 표본적률들이 Ghysels와 Wang (2014)에서 연구된 모수정의 가능공간에 존재하지 않거나 경계에 가까이 있는 경우 모수 추정에 문제가 발생하는 것을 확인하고 NIG분포의 모수 추정방법을 살펴보고자 한다. 몇 가지 주가지수 자료를 NIG분포에 적합해보고, 모의실험을 통해 모수 추정법을 수치 해석적으로 보정하여 보정방법이 모형에 미치는 영향을 모수의 안정성 측면에서 살펴볼 것이다. 또, VaR를 이용한 사후검증을 통해 NIG모형의 모수 추정 방법에 따른 보정의 효과를 비교해보고자 한다.
본 연구에서는 2001년 1월부터 2015년 5월까지의 KOSPI, S&P500, FTSE, HANG SENG 지수의 일별 로그 수익률을 이용하여 실증분석을 진행하였다.
실증분석에서는 KOSPI는 3318번, S&P500은 3373번, FTSE는 3497번, 그리고 HANG SENG은 3349번의 95% VaR를 계산하였다.
00172이었다. 이 과정을 1,000번 반복하여 1,000개의 MLE를 구하고 그 분포를 살펴보았다. 그리고 각 표본에서 3K − 5S²의 표본값이 ε보다 작으면 MLE의 경우 우도함수에서 3K − 5S²의 값을 ε으로, MME의 경우 식 (2.
이를 보완하기 위해 표본왜도와 표본 초과첨도가 DNIG에 속하지 않거나 경계에 가까운 경우 3K −5S2을 보다 큰 값으로 대체하는 방법을 고려하고, 어떤 값으로 대체해야 할지를 결정하기 위해 모의실험을 하였다.
표본의 왜도와 초과첨도의 관계식 3K − 5S2의 값이 작은 경우와 큰 경우로 나누어 모의실험을 통해 모수추정 보정방법의 성능을 비교해보았다.

대상 데이터

2001년 1월부터 2015년 5월까지의 자료를 이용할 때, 각 지수의 총 거래일은 KOSPI 3568일, S&P500 3623일, FTSE는 3747일, HANG SENG은 3599일이다.

데이터처리

실증분석에서는 KOSPI는 3318번, S&P500은 3373번, FTSE는 3497번, 그리고 HANG SENG은 3349번의 95% VaR를 계산하였다. 이렇게 측정된 VaR에 대해 쿠피엑 검정으로 사후검증을 하였는데 (Kupiec, 1995), 그 결과는 Table 3.5와 같다. 여기서 기각은 관측되는 손실이 VaR보다 커지는 것을 의미하고, 이론적인 기각횟수는 전체 거래일의 5%로 계산되며 KOSPI의 경우는 165.
적합의 정도를 확인하기 위해서 각 지수별로 Kolmogorov-Smirnov(KS)검정과 Anderson-Darling (AD)검정을 실시해보았다. Table 3.

이론/모형

각 방법으로 추정된 모수를 이용하여 Barndorff-Nielsen 등(1985)이 제시한 Hyperbolic Shape Triangle을 그려보았다. Hyperbolic Shape Triangle은 NIG분포의 모수 α, β, δ를 아래와 같이 정의되는 ζ와 χ로 변환하여 대안적인 왜도와 첨도로 표현한다.
이에 본 연구에서는 VaR를 측정하여 모수추정의 보정방법이 VaR의 계산에 미치는 영향을 알아보고자 하였다. 비교를 위해 지수 단순이동 평균법(exponential weighted moving average method; EWMA)을 이용한 VaR도 함께 계산하였다. EWMA는 VaR를 추정하기 위한 변동성을 측정할 때, 상대적으로 최근 자료에 지수적으로 높은 가중치를 주는 방법으로, 다음과 같이 표현된다.

성능/효과

95% VaR기준으로 NIG분포의 기각횟수가 EWMA보다 이론적 기각횟수에 근접하고 KOSPI는 ε- MME로 추정된 NIG모형의 성능이, FTSE와 HANG SENG은 ε-MLE로 추정한 NIG모형의 성능이 우수함을 알 수 있다.
Hyperbolic Shape Triangle을 그려보았을 때, ε-MLE와 ε-MME로 재표현한 대안적인 왜도와 첨도가 더 안정적인 위치에 있었다.
본 연구에서는 자료의 특성에 따라 NIG분포의 모수 추정과정에서 문제점이 발생하는 것을 확인하고 이를 수치 해석적 방법으로 보완하였다. 다양한 실증 자료를 이용한 분석 결과, 모수의 안정성 및 모형의 성능 면에서 보정의 효과가 긍정적으로 나타난다. 하지만 보정방법에 대한 이론적인 해석이 추가적으로 필요하다고 생각되며 차후 별도의 논문으로 작성할 예정이다.
또한 VaR를 이용한 사후 검증을 통해서도 ε-MLE와 ε-MME로 추정된 NIG분포의 성능이 떨어지지 않음을 확인 할 수 있었다.
또한 표본왜도와 초과첨도가 DNIG의 경계에 근접할 경우(즉, 표본통계량의 값을 사용한 3K − 5S2이 0에 가까운 경우), 모든 모수의 MLE와 MME가 절대값이 크게 추정되는 경향을 보였고 특히 α와 절대값 β가 매우 큰 값으로 추정되어 모수의 안정성 측면에서 문제가 발생하였다.
모의실험을 통해, NIG분포의 정의가능 공간 안에서 3K − 5S2의 표본값이 0에 근접할 때 ε-MLE와 ε-MME 방법이 MLE와 MME보다 안정적인 모수추정이 가능함을 확인하였다.
비추정된 부분을 제외하고 추정된 모수를 이용해 구한 95% VaR로 사후검증을 해보았을 때, MLE기준으로 KOSPI는 5.18%, S&P500은 6.01%, FTSE는 5.04% 그리고 HANG SENG은 4.95%에서 기각되었고, MME기준으로 KOSPI 5.06%, S&P500 6.04%, FTSE 4.93%그리고 HANG SENG 4.94%에서 기각되었다.
여기서 기각은 관측되는 손실이 VaR보다 커지는 것을 의미하고, 이론적인 기각횟수는 전체 거래일의 5%로 계산되며 KOSPI의 경우는 165.9회이고 S&P500은 168.65회, FTSE는 174.85회, 그리고 HANG SNEG은 167.45회이다.
3에서 각 지수의 KS, AD 검정 통계량 값과 괄호 안에 p-value를 제시하였다. 유의수준 0.05에서 귀무가설을 기각할 수 없으므로 모든 지수에 대해 일별 로그수익률이 NIG분포를 따르지 않는다는 증거가 없음을 확인할 수 있다.
1은 일별 로그수익률의 경험적 분포이다. 이를 통해서 실증분석에 사용하는 모든 지수의 로그 수익률이 정규분포에 비해 꼬리가 두텁고 치우친 분포임이 확인된다.
하나의 표본에서 계산된 값이긴 하지만 KOSPI는 MLE와 MME 값이 비슷하고 다른 지수의 경우에는 방법별로 모수 추정값에 약간의 차이가 있다. 이에 각 방법 별로 추정된 모수를 이용하여 가능도를 비교하였고 MLE로 계산한 가능도가 MME의 경우보다 크지만 차이가 크지 않음을 확인하였다.
한편 표본의 왜도와 초과첨도로 계산한 3K − 5S2이 음수인 경우에서는 MLE와 MME가 추정되지 않았고 그 비율은 각각 KOSPI는 3.44%, S&P500은 14.67%, FTSE는 0.74%, HANG SENG이 4.12%이었다.

후속연구

다양한 실증 자료를 이용한 분석 결과, 모수의 안정성 및 모형의 성능 면에서 보정의 효과가 긍정적으로 나타난다. 하지만 보정방법에 대한 이론적인 해석이 추가적으로 필요하다고 생각되며 차후 별도의 논문으로 작성할 예정이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	기하 브라운 운동이란 무엇인가요?	그렇기 때문에 가격을 결정함에 있어서 기초자산의 확률적 모형을 결정하는 일은 매우 중요하다. 기하 브라운 운동은 이러한 확률적 모형 중에서 가장 널리 사용되어온 모형으로 기초자산의 가격이 로그정규분포를 따른다고 가정한다. 이를 기초로 하여 1973년 Black과 Scholes는 블랙-숄즈 옵션가격 결정 모형을 제안하였고 (Black과 Scholes, 1973) 이후 오랜 기간 동안 금융시장에서 벤치마킹 되고 있다.
	금융파생상품의 가격은 어떤 기준으로 달라지는가?	금융파생상품은 그 수익함수가 기초자산의 가격에 의존하므로 기초자산의 가격변동에 따라 가격이 달라진다. 그렇기 때문에 가격을 결정함에 있어서 기초자산의 확률적 모형을 결정하는 일은 매우 중요하다.
	금융파생상품이 가격을 결정함에 있어서 매우 중요한 일은 무엇인가요?	금융파생상품은 그 수익함수가 기초자산의 가격에 의존하므로 기초자산의 가격변동에 따라 가격이 달라진다. 그렇기 때문에 가격을 결정함에 있어서 기초자산의 확률적 모형을 결정하는 일은 매우 중요하다. 기하 브라운 운동은 이러한 확률적 모형 중에서 가장 널리 사용되어온 모형으로 기초자산의 가격이 로그정규분포를 따른다고 가정한다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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