현재까지 이미지의 복잡성을 추정하기 위하여 여러 가지 프랙탈 차원 추정법들이 제안되어 왔으나, 그 중에서도 박스 계수법이 단순하면서도 신뢰성이 높아 공학, 과학, 의료, 지질학 등 많은 분야에 응용되고 있다. 박스 계수법은 스텝크기 ${\delta}$를 변경해가면서 이미지를 ${\delta}{\times}{\delta}$ 크기의 박스로 분할하고 프랙탈 도형이 포함된 박스를 계수하여 프랙탈 차원을 추정하게 되며, 이때 분할되는 박스의 개수가 정수가 되도록 이미지의 크기가 2의 거듭제곱인 정사각형을 사용하게 된다. 그러나 이미지 크기가 다르면 ${\delta}{\times}{\delta}$ 크기가 아닌 박스는 버리게 되고 여기에 프랙탈 도형이 있으면 정밀도 저하의 원인이 된다. 이런 문제점을 개선하기 위하여 본 논문에서는 버리는 박스에 프랙탈 도형이 포함되면 실수 계수하여 정수 계수에 합산하는 한 방법을 제시한다. 제안된 방법을 프랙탈 차원이 잘 알려진 두 결정형 이미지에 적용시켜 절대오차의 평균값을 얻고 기존의 박스 계수법과 삼각 박스 계수법의 결과와 비교한다. 제안된 방법은 이미지의 크기가 달라도 안정한 값을 얻을 뿐만 아니라 다른 두 방법과 비교하였을 때 더 만족스러운 결과를 보임을 밝힌다. 또 구글맵에서 취한 우리나라 해안선과 조도 해안선 이미지에 적용시켜 그 복잡성을 계량한다.
현재까지 이미지의 복잡성을 추정하기 위하여 여러 가지 프랙탈 차원 추정법들이 제안되어 왔으나, 그 중에서도 박스 계수법이 단순하면서도 신뢰성이 높아 공학, 과학, 의료, 지질학 등 많은 분야에 응용되고 있다. 박스 계수법은 스텝크기 ${\delta}$를 변경해가면서 이미지를 ${\delta}{\times}{\delta}$ 크기의 박스로 분할하고 프랙탈 도형이 포함된 박스를 계수하여 프랙탈 차원을 추정하게 되며, 이때 분할되는 박스의 개수가 정수가 되도록 이미지의 크기가 2의 거듭제곱인 정사각형을 사용하게 된다. 그러나 이미지 크기가 다르면 ${\delta}{\times}{\delta}$ 크기가 아닌 박스는 버리게 되고 여기에 프랙탈 도형이 있으면 정밀도 저하의 원인이 된다. 이런 문제점을 개선하기 위하여 본 논문에서는 버리는 박스에 프랙탈 도형이 포함되면 실수 계수하여 정수 계수에 합산하는 한 방법을 제시한다. 제안된 방법을 프랙탈 차원이 잘 알려진 두 결정형 이미지에 적용시켜 절대오차의 평균값을 얻고 기존의 박스 계수법과 삼각 박스 계수법의 결과와 비교한다. 제안된 방법은 이미지의 크기가 달라도 안정한 값을 얻을 뿐만 아니라 다른 두 방법과 비교하였을 때 더 만족스러운 결과를 보임을 밝힌다. 또 구글맵에서 취한 우리나라 해안선과 조도 해안선 이미지에 적용시켜 그 복잡성을 계량한다.
The box-counting(BC) method is one of the most commonly used methods for fractal dimension calculation of binary images in the fields of Engineering, Science, Medical Science, Geology, etc due to its simplicity and reliability. It deals with only square images with each size equal to the power of 2 ...
The box-counting(BC) method is one of the most commonly used methods for fractal dimension calculation of binary images in the fields of Engineering, Science, Medical Science, Geology, etc due to its simplicity and reliability. It deals with only square images with each size equal to the power of 2 to prevent it from discarding unused pixels for images of arbitrary size. In this paper, we presents a more efficient BC method based on the original one, which is applicable to images of arbitrary size. The proposed approach allows the number of the counting boxes to be real to improve the estimation accuracy. The mean absolute error performance is computed on two deterministic fractal images whose theoretical dimensions are well known to compare with those of the existing BC method and triangular BC method. The experimental results show that the proposed method can outperform the two methods and assess the complexity of coastline images of Korea and Chodo island taken from the Google map.
The box-counting(BC) method is one of the most commonly used methods for fractal dimension calculation of binary images in the fields of Engineering, Science, Medical Science, Geology, etc due to its simplicity and reliability. It deals with only square images with each size equal to the power of 2 to prevent it from discarding unused pixels for images of arbitrary size. In this paper, we presents a more efficient BC method based on the original one, which is applicable to images of arbitrary size. The proposed approach allows the number of the counting boxes to be real to improve the estimation accuracy. The mean absolute error performance is computed on two deterministic fractal images whose theoretical dimensions are well known to compare with those of the existing BC method and triangular BC method. The experimental results show that the proposed method can outperform the two methods and assess the complexity of coastline images of Korea and Chodo island taken from the Google map.
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문제 정의
하지만 해안선, 강, 산맥 등 실제 환경에서 취득되는 이미지의 크기는 다양할 수밖에 없다. 따라서 본 연구에서는 임의 크기의 이미지에 BC법을 적용할 때 발생되는 픽셀 낭비 문제를 보완하기 위하여 실수 계수법을 제안한다.
제안 방법
GS 샘플링을 채용하는 BC법을 M × N 이미지의 프랙탈 차원 추정에 적용할 때 버리는 픽셀로 인해 일어나는 성능저하 문제를 해결하기 위해 기존의 정수 박스 계수법을 확장하여 실수 계수하는 새로운 BC법을 제안하였다. 개선한 BC법을 차원을 아는 두 결정형 프랙탈 도형에 적용하고 기존의 BC법과 Kaewaramsri 등이 제안한 TBC법의 성능과 비교 평가한 결과 부분적인 도형에도 잘 동작하며 또 이미지의 크기에 민감하지 않고 더 우수한 것을 확인할 수 있었다.
다음은 휴전선 이남의 우리나라 동해, 남해, 서해와 한국해양대학교 캠퍼스가 위치한 조도 해안선의 복잡성, 즉 들쑥날쑥한 정도를 알아보기 위해 시험을 실시하였다. 해안선은 Google 지도로부터 약 1:700,000 축적의 RGB 이미지를 얻고, 해안선을 검출한 다음 그레이 레벨 이미지로 변환하고, 다시 이진(black/white) 이미지로 변환하였다.
따라서 본 연구에서는 기존의 BC법의 문제점을 해결하기 위하여 분할된 이미지를 계수할 때 크기가 δ × δ인 블록들은 기존의 방식대로 프랙탈이 포함되면 1 아니면 0으로 정수 계수하고, 나머지 블록들도 프랙탈이 포함되면 실수 계수하고 아니면 0으로 계수해서 합산하는 새로운 BC법을 제안한다. 실수 계수되는 블록은 δ × δ 블록에 들어 있는 평균 프랙탈 픽셀 수 대비 해당 블록 내에 들어 있는 프랙탈 픽셀 수와 δ × δ블록의 크기 대비 해당 블록의 크기의 곱으로 계수되며, 그 결과는 1을 넘지 않도록 한다.
제안된 BC법은 차원이 알려진 두 결정형 프랙탈 이미지를 대상으로 절대오차의 평균값(MAE: Mean Absolute Error)을 평가지수로 하여 그 성능을 확인하며 기존의 BC법과 Kaewaramsri 등이 제안한 TBC법과 비교하며 그 유효성을 밝힌다. 또 비결정형 프랙탈 구조인 한반도와 조도의 해안선의 이미지에 적용하여 프랙탈 차원을 구하고 그 복잡성을 계량한다.
제안된 BC법은 차원이 알려진 두 결정형 프랙탈 이미지를 대상으로 절대오차의 평균값(MAE: Mean Absolute Error)을 평가지수로 하여 그 성능을 확인하며 기존의 BC법과 Kaewaramsri 등이 제안한 TBC법과 비교하며 그 유효성을 밝힌다. 또 비결정형 프랙탈 구조인 한반도와 조도의 해안선의 이미지에 적용하여 프랙탈 차원을 구하고 그 복잡성을 계량한다.
데이터처리
먼저 제안된 추정법의 성능을 이론적 프랙탈 차원이 잘 알려진 두 도형에서 평가하고 기존의 BC법과 Kaewaramsri 등(2015)이 제안한 TBC의 결과와 비교한다. 이를 위해 Table 3의 시어핀스키 삼각형과 시어핀스키 카페트를 사용하고, 이들을 수식으로 그린 다음 256×256 픽셀의 이진 이미지로 변환하였다.
프랙탈 추정법의 성능을 정량적으로 계량하기 위해 추정된 차원 \(D_i\)와 이론적 차원 \(D_t\)의 절대오차의 평균값(MAE: Mean Absolute Error)을 평가지수로 사용하였다.
이론/모형
GS법은 log-log 좌표상의 데이터 간에 간격이 같도록 2의 배수로 커지는 기하학적 수(geometric number), 즉 2의 거듭 제곱의 수들을 사용하게 되나, M이 클 때 추정 정밀도를 높일 수 있는 스케일의 데이터가 부족한 것이 단점으로 지적된다. 그럼에도 불구하고 대부분의 프랙탈 차원 추정법들은 GS법을 채용하고 있어 본 연구에서도 이를 이용한다. GS법을 M × M 이미지에 적용하면 δ= 1, 2, 4, .
8은 그 처리과정을 보여준다. 해안선 검출에는 MATLAB에서 제공하는 Canny 알고리즘을 사용하였다.
성능/효과
4에서 확인할 수 있겠지만 초기 서브 이미지에는 흰배경과 1/2 크기의 삼각형만 들어있어 어려운 실험 환경(Fig. 3 참조)이지만 제안하는 방법은 N이 증가하여 큰 삼각형(세 개 중 위의 도형)이 완성되는 단계까지는 MAE가 줄고, 그 이후부터는 또 흰 배경이 추가되면서 MAE가 약간 늘어나는 것을 볼 수 있다. 전반적으로 MAE는 0.
GS 샘플링을 채용하는 BC법을 M × N 이미지의 프랙탈 차원 추정에 적용할 때 버리는 픽셀로 인해 일어나는 성능저하 문제를 해결하기 위해 기존의 정수 박스 계수법을 확장하여 실수 계수하는 새로운 BC법을 제안하였다. 개선한 BC법을 차원을 아는 두 결정형 프랙탈 도형에 적용하고 기존의 BC법과 Kaewaramsri 등이 제안한 TBC법의 성능과 비교 평가한 결과 부분적인 도형에도 잘 동작하며 또 이미지의 크기에 민감하지 않고 더 우수한 것을 확인할 수 있었다. 또 한반도와 조도의 해안선의 복잡성을 계량하기 위해 프랙탈 차원을 추정한 결과 D= 1.
차원이 크다는 것은 구조가 더 복잡하다는 것을 나타낸다. 본 방법의 결과에 의하면 한반도 해안선의 프랙탈 차원은 대략 1.03과 1.28 사이에 있는 것으로 여겨진다. 이 결과는 영국의 서쪽 해안선의 차원이 D= 1.
이에 비해 나머지 두 방법은 부분적인 프랙탈 도형에 대해서는 성능이 좋지 못할 뿐만 아니라 N의 크기에 민감함을 알 수 있다. 특히 흥미로운 사실은 두 방법들의 추정치가 평균 픽셀낭비율(버리는 픽셀수/전체 픽셀수)에 따라 변동한다는 것을 확인할 수 있었다. 또 시어핀스키 카페트에서 수행된 Fig.
후속연구
잘 알 수 있듯이 비결정형 프랙탈 구조인 해안선을 실험대상으로 할 때 그 이론적 프랙탈 차원 값을 아는 것은 불가능하므로 각 방법의 성능을 직접 비교할 근거가 없어 앞서와 같이 MAE를 계산할 수 없다는 한계가 있다. 그렇지만 우리는 직관을 통해 이미지의 상대적인 복잡성을 유추해볼 수 있다.
28 임을 확인할 수 있었다. 후속 연구로 개선된 샘플링법과 실수 계수법을 결합하여 BC법의 성능을 더욱 개선하는 문제와 더 상세한 해안선 이미지를 가지고 실험을 실시할 예정이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
프랙탈 이론의 특징인 자기 유사성과 순환성은 무엇을 나타내는가?
프랙탈 이론(Fractal theory)은 자연에서 발견되는 복잡한 기하학적 구조를 효과적으로 모델링해주는 도구로써, 자기 유사성과 순환성을 특징으로 하고 있다(Mandelbrot, 1967). 형상의 일부분을 확대한 후 회전하거나 반대로 전체를 축소한 후 회전하면 그 모양이 전체 또는 일부분과 같거나 통계적으로 비슷한 구조를 갖게 되며 이러한 성질을 ‘자기유사성(self-affinity)'이라고 하고, 단순한 구조가 끊임없이 반복되는 성질을 ‘순환성(recursiveness)' 이라 한다. 프랙탈 구조는 주위에서 볼 수 있는 해안선, 강과 지류, 나무, 벼락 등과 같은 비결정형과 수학적 규칙에 따라 만드는 만델브로트 집합, 시어핀스키 삼각형, 시어핀스키 카페트 등과 같은 결정형으로 구분된다.
프랙탈 이론은 어떠한 특징을 가지고 있는가?
프랙탈 이론(Fractal theory)은 자연에서 발견되는 복잡한 기하학적 구조를 효과적으로 모델링해주는 도구로써, 자기 유사성과 순환성을 특징으로 하고 있다(Mandelbrot, 1967). 형상의 일부분을 확대한 후 회전하거나 반대로 전체를 축소한 후 회전하면 그 모양이 전체 또는 일부분과 같거나 통계적으로 비슷한 구조를 갖게 되며 이러한 성질을 ‘자기유사성(self-affinity)'이라고 하고, 단순한 구조가 끊임없이 반복되는 성질을 ‘순환성(recursiveness)' 이라 한다.
프랙탈 이론은 무엇인가?
프랙탈 이론(Fractal theory)은 자연에서 발견되는 복잡한 기하학적 구조를 효과적으로 모델링해주는 도구로써, 자기 유사성과 순환성을 특징으로 하고 있다(Mandelbrot, 1967). 형상의 일부분을 확대한 후 회전하거나 반대로 전체를 축소한 후 회전하면 그 모양이 전체 또는 일부분과 같거나 통계적으로 비슷한 구조를 갖게 되며 이러한 성질을 ‘자기유사성(self-affinity)'이라고 하고, 단순한 구조가 끊임없이 반복되는 성질을 ‘순환성(recursiveness)' 이라 한다.
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