[논문]중등 기하문제 해결에서 시각화 과정

류현아; 장경윤

중등 기하문제 해결에서 시각화 과정
Process of Visualization in 2D-Geometric Problem Solving among Secondary School Students 원문보기

數學敎育學硏究 = Journal of educational research in mathematics, v.19 no.1, 2009년, pp.143 - 161

초록
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본 연구는 기하문제해결에서 시각화 과정을 분석하여 기하추론교육에 시사점을 얻기 위하여 이루어졌다. 이를 위하여 선행연구를 근거로 시각화 과정을 구분하였으며 Duval의 이론을 기초로 시각화 과정 분석틀을 개발하였다. 서울과 경기지역의 중학교 3학년생 2명과 고등학교 1학년생 6명이 이 연구에 참여하였다. 각 학생들에게 평행선, 평행사변형, 닮음비, 닮음도형, 중선, 무게중심, 수직이등분선, 각의이등분선 등 평면도형 과제를 제공하고 각 학생의 문제해결 과정을 질적인 방법으로 분석하였다. 분석 결과 평면도형 문제해결에서 시각화는 도형의 이해를 도와 문제해결에 중요한 통찰을 제공하는 것으로 나타났다. 시각화 과정에서 도형에 대한 담론적 이해와 조작적 이해는 구성 요소들 간의 성질과 성질들 간의 관계를 알게 하고, 도형의 구조를 파악할 수 있게 하는 발견적 역할을 하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

This study was designed to gain insights into students' visualization process in geometric problem solving. The visualization model for analysing visual process for geometric problem solving was developed on the base of Duval's study. The subjects of this research are two Grade 9 students and six Grade 10 students. They were given 2D-geometric problems. Their written solutions were analyzed problem is research depicted characteristics of process of visualization of individually. The findings on the students' geometric problem solving process are as follows: In geometric problem solving, visualization provided a significant insight by improving the students' figural apprehension. In particular, the discoursive apprehension and the operative apprehension contributed to recognize relation between the constituent of figures and grasp structure of figure.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구는 기존의 이론적 틀을 근거로 한 새로운 분석 틀에 기초하여 사례를 분석함으로써 이론적 틀을 강화하고 새로운 사실이나 관계 등을 발견하는 형식으로 설명적 사례 연구이다. 또한 본 연구는 연구 사례에 대한 일정한 이론적 틀을 가지고 그에 입각하여 수집된 자료를 주의 깊게 체계적으로 분석하여 그 이론적 전제 등을 검증하는 연역적 분석 방법을 따른다.
따라서 학교수학에서 학생들로 하여금 문제해결에서 기하 추론에 도움을 줄 수 있는 시각적 사고를 확대하기 위해, 실제 학생들의 시각적 사고의 인지과정을 분석해 볼 필요가 있다. 이에 본 연구는 기하문제해결에서 시각화가 어떻게 이루어지고 문제해결에 어떻게 영향을 미치는지 그 과정을 분석해 봄으로써 기하교육에서 시각화의 중요성을 재검토 하고자 한다. 이를 위해 시각화와 관련된 연구와 도형의 시각화에 관한 Duval의 연구를 바탕으로 시각화 과정에 관한 분석틀을 고안하고 이를 기초로 학생들의 기하문제 해결 과정을 분석 하였다.

가설 설정

셋째, 기저의 변화(anchorage change)이다. 이것은 다음 절에서 설명하는 담론적 이해 과정에서 찾아볼 수 있다.
첫째, 차원의 변화(dimensional change)이다. 이것은 대상을 바라보는 지각적 조직에서 보는 방법의 내적인 움직임을 의미한다.

제안 방법

다음으로 학생들은 위 과정에서 시각화한 도형을 다양한 방법으로 변형·조작하여 또 다른 성질을 발견하거나 새로운 부분도형을 시각화 하였다.
본 연구는 기존의 이론적 틀을 근거로 한 새로운 분석 틀에 기초하여 사례를 분석함으로써 이론적 틀을 강화하고 새로운 사실이나 관계 등을 발견하는 형식으로 설명적 사례 연구이다. 또한 본 연구는 연구 사례에 대한 일정한 이론적 틀을 가지고 그에 입각하여 수집된 자료를 주의 깊게 체계적으로 분석하여 그 이론적 전제 등을 검증하는 연역적 분석 방법을 따른다. 본 연구는 사례 연구로써 관찰의 방법을 따르고 있으므로 관찰자의 주관이 개입될 수도 있지만, 질문지나 표준화 검사 등에서 측정할 수 없는 개인의 내면적 특성이나 사고 과정을 구체적으로 파악할 수 있다는 의의를 갖는다.
이 학생은 문제에서 가로의 길이와 세로의 길이 비가 같은 두 직사각형을 지각하고 HG의 길이가 6이라는 조건에 집중하여 도형①과 같이 △GUH와 합동인 △PFD를 시각화 하여 GH와 길이가 같은 PD를 발견하였다. 또한 주어진 BD의 길이를 이용하기 위해 도형②와 같이 △UFE와 합동인 △GPB를 시각화 하였다. 이 경우 문제해결에 결정적 역할을 한 것은 문제에서 요구하는 선분의 길이를 구하기 위해 그 선분을 포함하는 면으로써 △UFE를 부분도형으로 시각화한 것이다.
먼저 학생들은 문제에 주어진 도형을 지각적으로 이해하거나 주어진 성질과 관련하여 담론적으로 이해하여 전체도형 또는 부분도형을 시각화 하였다. 이는 정보를 해석하고 시각적 이미지를 생성하는 과정이다.
연구에서 수집한 비디오, 검사지, 면담자료 등의 질적 자료를 기초로 기하문제해결 과정에 나타난 학생들의 시각화 과정을 분석하였다. 모든 학생들의 모든 문제해결 과정을 기술하기에는 한계가 있으므로 세 문항(문제 1, 문제 3, 문제 6) 각각에서 사례 두 가지씩을 대표적으로 기술하였다.
문제는 중학교 3학년까지의 기하 영역에서 평행선, 평행사변형, 닮음비, 닮음도형, 중선, 무게중심, 수직이등분선, 각의이등분선 등의 내용을 기초로 하여 고안하였다. 문제는 도형을 다양한 측면에서 바라보고 부분도형을 시각화함으로써 문제해결에 접근할 수 있는 형태로 구성하기 위해 예비실험을 거쳐 기존에 암기하고 있는 수학적 공식 등을 이용해 즉각적으로 해결할 수 있는 문제는 제외하고, 문제에 제시한 그림이 시각적으로 해답을 유도하는 경우 그림을 삭제하였다.
이때, 사각형 ABCD를 잘라서 삼각형들로 나누어 시각화 하는 메레올로지 방법을 이용하였다. 변형한 도형②에서 길이가 같은 선분과 각의 크기를 인지함으로써 도형을 담론적으로 이해하여 문제를 해결하였다. 이 학생은 도형②와 같이 사각형 ABCD를 변형하고 여러 개의 특징적인 삼각형을 인지함으로써 선분의 길이, 각의 크기 등과 같은 구성 요소들 간의 성질과 관계를 이해할 수 있었다.
이러한 관점에서 수학 활동에서 시각화는 외부로부터 지각된 대상이나 정보에 대하여 정신적으로 관련된 이미지를 구성하거나, 정신적으로 구성된 이미지를 펜이나 테크놀로지를 수단으로 외적으로 표현하는 활동으로 해석될 수 있다. 본 논문에서는 이에 더하여 넓은 의미로 수학의 이해와 발견을 목적으로 내적 또는 외적으로 이미지를 다루는 과정을 모두 (수학 활동에서) 시각화에 포함하였다.
본 연구에서 시각화 과정을 정보를 해석하고 시각적 이미지를 생성하는 과정과 도형을 변형·조작하는 과정으로 구분한 바 있다.
경우에 따라 학생들이 말로 설명한 것을 다시 쓰거나 쓴 것을 다시 말로 설명하도록 요구하기도 하였다. 본 연구자가 관찰자로서 학생의 문제해결 과정을 관찰하다가 필요할 때마다 그 학생이 문제를 어떻게 이해하고 어떻게 접근하고 있는지 알아보기 위해 질문을 하였고, 경우에 따라 학생이 원하는 경우 보조선 힌트를 제공하거나 문제와 관련된 그림이 그려져 있는 보조 문제를 제공하였다.
본 연구자는 시각화에 관한 여러 연구(Bishop, 1983; Kosslyn, 1983; Ben-Chaim, Lappan & Houang ,1989; Yakimanskaya, 1991; Gutiérrez,1996)에서 기술한 시각화 과정에 기초하여 시각화 과정을 정의하고, 도형의 이해에 관한 Duval의 관점을 바탕으로 기하문제 해결에서 시각화 과정에 대한 분석틀을 개발하였다([그림 Ⅲ-1], [그림 Ⅲ-2]).
연구에서 수집한 비디오, 검사지, 면담자료 등의 질적 자료를 기초로 기하문제해결 과정에 나타난 학생들의 시각화 과정을 분석하였다. 모든 학생들의 모든 문제해결 과정을 기술하기에는 한계가 있으므로 세 문항(문제 1, 문제 3, 문제 6) 각각에서 사례 두 가지씩을 대표적으로 기술하였다.
이것은 명제에 입각한 담론적 이해로 기저가 담론적인 것에서 시각적인 것으로 이동된 것이다. 이때, 사각형 ABCD를 잘라서 삼각형들로 나누어 시각화 하는 메레올로지 방법을 이용하였다. 변형한 도형②에서 길이가 같은 선분과 각의 크기를 인지함으로써 도형을 담론적으로 이해하여 문제를 해결하였다.
이렇게 생성한 도형①에서 AD가 지름이고 지름의 양 끝점에서 원 주 위의 한 점까지 연결하여 만들어지는 각의 크기가 90°라는 명제에 입각하여 도형②와 같이 변형하였다.
이에 본 연구는 기하문제해결에서 시각화가 어떻게 이루어지고 문제해결에 어떻게 영향을 미치는지 그 과정을 분석해 봄으로써 기하교육에서 시각화의 중요성을 재검토 하고자 한다. 이를 위해 시각화와 관련된 연구와 도형의 시각화에 관한 Duval의 연구를 바탕으로 시각화 과정에 관한 분석틀을 고안하고 이를 기초로 학생들의 기하문제 해결 과정을 분석 하였다.
학생들은 문제에 대한 답과 설명을 말하거나 쓰기에서 선택적으로 행하도록 하였다. 경우에 따라 학생들이 말로 설명한 것을 다시 쓰거나 쓴 것을 다시 말로 설명하도록 요구하기도 하였다.
학생들의 사고 과정을 분석하기 위한 자료 수집은 비디오 녹화, 지필 답안으로 이루어졌다. 학생들의 개인별 문제해결 과정과 면담 상황을 비디오로 녹화하였다. 녹화된 자료는 모두 전사하였으며 학생들의 검사지는 분석을 위해 수합하였다.
학생들의 사고 과정을 분석하기 위한 자료 수집은 비디오 녹화, 지필 답안으로 이루어졌다. 학생들의 개인별 문제해결 과정과 면담 상황을 비디오로 녹화하였다.

대상 데이터

2006년 11월부터 2007년 8월까지 두 차례의 예비실험과 본실험을 실시하였다. 두 차례의 예비실험 분석 결과는 본실험의 분석 틀을 고안하는데 기초 자료가 되었다.
본 연구 참여자는 서울과 경기 지역의 중학교 3학년 남학생 1명(진수)과 여학생 1명(가영), 고등학교 남학생 4명(근호, 태연, 상호, 성진)과 여학생 1명(윤진)이 지도교사의 추천과 본인의 동의하게 본 연구에 참여하였다. 연구 참여자들의 평소 수학 성적은 중상위 정도이다.
본실험은 2007년 8월 실시하였다. 과제 해결은 연구자와 1대 1 면담 상태에서 개별적으로 이루어졌고 검사지의 모든 문항을 해결하는 데 각각 1시간 정도 소요되었다.
[그림 Ⅴ-2]는 [문제 1]에 대한 가영의 문제 해결 과정에서 시각화와 시각화 과정에서 도형 이해에 대하여 도식화 한 것이다. 이 학생은 문제에서 가로의 길이와 세로의 길이 비가 같은 두 직사각형을 지각하고 HG의 길이가 6이라는 조건에 집중하여 도형①과 같이 △GUH와 합동인 △PFD를 시각화 하여 GH와 길이가 같은 PD를 발견하였다. 또한 주어진 BD의 길이를 이용하기 위해 도형②와 같이 △UFE와 합동인 △GPB를 시각화 하였다.

이론/모형

이것은 명제에 입각한 담론적 이해이다. 이때, 도형 조작에 있어서 그림-배경 방법과 메레올로지 방법이 각각 이용되었다. 그림-배경 방법은 그림 전체에 의존하지 않고 구조적으로 특정 부분만 인지할 수 있는 장독립적 인지양식이 요구되는 방법이다.

성능/효과

직접 도형에 변화를 주지는 않았지만 도형을 바라보는 시각적 조직에 변화를 주었다는 의미로 해석할 때 그림-배경 방법이 이용된 것이다. 결과적으로 도형①과 같이 △GUH와 합동인 △BEN을 시각화한 것은 BD의 길이에서 BN의 길이를 분리시킴으로써 DN과 FE의 길이가 같다는 결과를 이끌어 내는데 결정적인 역할을 하였다. 이렇게 도형을 바라보는 시각적 조작의 변화만으로 문제의 구조를 명확히 파악할 수 있으며, 이것은 곧바로 문제해결로 이루어질 수 있다.
이것은 기하 활동에서 하나의 인지과정이 다른 인지과정을 지원할 수 있다는 Duval(1998)의 연구를 뒷받침해준다. 또 본 연구에서 학생들의 문제해결 과정을 분석한 결과 문제해결 활동에서 Duval(1995)이 언급한 도형에 대한 지각적 이해, 담론적 이해, 조작적 이해가 발견되었고, 그것이 문제해결에 도움이 된다는 것을 알 수 있었다.
본 연구 결과 평면도형 문제해결에서 시각화는 도형의 이해를 도와 문제해결에 중요한 통찰을 제공하는 것으로 나타났다. 학생들이 문제를 해결하기 까지 시각화 과정을 요약하면 다음과 같다.
또한 본 연구는 연구 사례에 대한 일정한 이론적 틀을 가지고 그에 입각하여 수집된 자료를 주의 깊게 체계적으로 분석하여 그 이론적 전제 등을 검증하는 연역적 분석 방법을 따른다. 본 연구는 사례 연구로써 관찰의 방법을 따르고 있으므로 관찰자의 주관이 개입될 수도 있지만, 질문지나 표준화 검사 등에서 측정할 수 없는 개인의 내면적 특성이나 사고 과정을 구체적으로 파악할 수 있다는 의의를 갖는다.
본 연구를 통해 Duval 연구에서 명확하게 드러나지 않은 시각화 과정을 보완·설명할 수 있었다.
본 연구에서 도형의 시각화는 문제해결을 위한 추론의 시작을 열어 주어 문제해결로 이끄는 유용한 수단임을 발견하였다. 이것은 기하 활동에서 하나의 인지과정이 다른 인지과정을 지원할 수 있다는 Duval(1998)의 연구를 뒷받침해준다.
그리고 부분도형들 간의 성질을 관련지어 또 다른 성질을 발견해 내거나 새로운 도형을 시각화 하는 것으로 발전하였다. 이때 문제해결에 결정적인 단서가 되는 것은 문제해결에 알맞게 시각화한 부분도형이 었으며, 도형을 바라보는 시각이 한 가지에 고착되어 적절한 부분도형을 시각화 하지 못하는 경우 문제해결에 실패하는 것으로 나타났다.
Duval(1998)은 기하 활동에서 학습자에게서 나타나는 기본적인 인지과정을 작도, 시각화, 추론의 상호작용으로 설명하였다. 특히, 도형에 대한 이해로부터 추론에 직관적인 도움을 제공해 줄 수 있음을 언급하였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	Bishop(1983)이 발견한 시각화의 두 가지 능력은 무엇인가?	Bishop(1983)은 시각화에서 두 가지 능력을 발견하였다. 하나는 ‘시각적 처리 능력(VP: the ability for Visual Processing)’으로 추상적인 관계와 도형이 아닌 자료를 시각적 용어로 해석하는 것, 시각적 이미지의 조작과 외삽법, 하나의 시각적 이미지를 다른 시각적 이미지로 변형하는 것을 말한다. 다른 하나는 ‘도형의 정보 해석 능력(IFI: the ability for Interpreting Figural Information)’으로 모든 형태의 기하적인 연구, 그래프, 차트, 도표에서 약속한 시각적 내용들과 공간적 어휘에 대한 지식과 시각적 이미지를 읽고 해석하는 능력을 의미한다. Bishop은 VP와 IFI를 사람들의 능력으로 제시하였지만 정의를 분석하면 실행 과정으로 볼 수 있다.
	수학 활동에서 시각화는 어떻게 해석되는가?	이러한 관점에서 수학 활동에서 시각화는 외부로부터 지각된 대상이나 정보에 대하여 정신적으로 관련된 이미지를 구성하거나, 정신적으로 구성된 이미지를 펜이나 테크놀로지를 수단으로 외적으로 표현하는 활동으로 해석될 수 있다. 본 논문에서는 이에 더하여 넓은 의미로 수학의 이해와 발견을 목적으로 내적 또는 외적으로 이미지를 다루는 과정을 모두 (수학 활동에서) 시각화에 포함하였다.
	기하 도형의 시각화 과정에서 나타난 차원의 변화, 도형의 변화, 기저의 변화를 자세히 설명하면?	첫째, 차원의 변화(dimensional change)이다. 이것은 대상을 바라보는 지각적 조직에서 보는 방법의 내적인 움직임을 의미한다. 3D/2D2) 표현에서 공간을 인지하기 위해서는 먼저 2D/2D 형태의 평면을 규명하는 것이 필요하고, 2D/2D3) 형태는 그것을 구성하고 있는 1D/2D 형태를 지각함으로써 그것의 윤곽을 볼 수 있다. 이와 같이 공간이든 평면이든 차원의 변화는 가장 분명하게 나타난다. 둘째, 도형의 변화(figural change)이다. 이것은 주어진 대상을 변화시켜 조작적으로 이해할 때 발생한다. 이것은 지각적인 이해와 완전하게 독립적으로 구별되어야 한다. 왜냐하면, 지각은 모양을 바라보는 시각적 조직을 변형시키기 보다는, 몇몇의 모양을 첫눈에 본 모양으로 고착시키기 때문이다(Duval, 1999). 셋째, 기저의 변화(anchorage change)이다. 이것은 다음 절에서 설명하는 담론적 이해 과정에서 찾아볼 수 있다. 예를 들면, 한 사각형 ABCD가 제시되고 그 도형의 요소들로부터 평행사변형임을 이해하게 되는 경우와 ‘ABCD를 평행사변형이라 하자’라는 명제로부터 평행사변형 ABCD와 그 성질을 시각적으로 표현하는 경우에서 볼 수 있다. 전자의 경우는 기저가 시각적 대상이었다가 담론적인 것으로 이동하는 것이고, 후자는 담론적인 명제로부터 시각적 대상으로 이동되는 것이다.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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