분석적 방법을 통한 삼각형의 내접원, 외접원에서 사면체의 내접구, 외접구로의 유추적 발견 The Analogical Discovery from Inscribed and Circumscribed Circles of a Triangle to Inscribed and Circumscribed Spheres of a Tetrahedron Through the Analytical Method원문보기
본 연구에서는 공간도형을 학습한 고등학교 3학년 자연계열 학생들을 대상으로 Geogebra를 활용한 분석적 방법을 통해 삼각형의 내접원, 외접원작도에서 사면체의 내접구, 외접구 작도로의 유추적 발견 과정을 분석하였다. 학생 10명을 연구 대상으로 선정하여 분석적 방법을 경험한 학생들과 그렇지 않은 학생들에 대해서 본집단과 비교집단으로 각각 5명씩 구성하여 사면체의 내접구, 외접구 작도 과정을 살펴보았다. 본집단과 비교집단 모두 삼각형의 내접원, 외접원 작도에 대한 정확한 사전지식이 학습되어 있으나 사면체의 내접구, 외접구 작도를 어려워하였다. 하지만 분석적 방법으로 Geogebra를 활용해 삼각형의 내접원, 외접원의 작도과정을 거꾸로 찾아가며 작도방법을 탐구한 본집단의 학생들은 스스로 작도방법을 유추하여 사면체의 내접구, 외접구의 작도방법을 찾아내는 유추적 발견이 가능하였다. Geogebra를 통해 시각화가 이루어짐으로써 도형의 조작과 탐구가 가능하였고 변화과정을 직접 살펴봄으로써 학습자 자신의 유추 과정을 즉각적으로 확인하고 피드백 할 수 있었다. 또한 추론 결과에 대한 정당성을 부여할 수 있었을 뿐만 아니라 기하 탐구에 대한 수학적 태도에 긍정적인 영향을 주었다.
본 연구에서는 공간도형을 학습한 고등학교 3학년 자연계열 학생들을 대상으로 Geogebra를 활용한 분석적 방법을 통해 삼각형의 내접원, 외접원 작도에서 사면체의 내접구, 외접구 작도로의 유추적 발견 과정을 분석하였다. 학생 10명을 연구 대상으로 선정하여 분석적 방법을 경험한 학생들과 그렇지 않은 학생들에 대해서 본집단과 비교집단으로 각각 5명씩 구성하여 사면체의 내접구, 외접구 작도 과정을 살펴보았다. 본집단과 비교집단 모두 삼각형의 내접원, 외접원 작도에 대한 정확한 사전지식이 학습되어 있으나 사면체의 내접구, 외접구 작도를 어려워하였다. 하지만 분석적 방법으로 Geogebra를 활용해 삼각형의 내접원, 외접원의 작도과정을 거꾸로 찾아가며 작도방법을 탐구한 본집단의 학생들은 스스로 작도방법을 유추하여 사면체의 내접구, 외접구의 작도방법을 찾아내는 유추적 발견이 가능하였다. Geogebra를 통해 시각화가 이루어짐으로써 도형의 조작과 탐구가 가능하였고 변화과정을 직접 살펴봄으로써 학습자 자신의 유추 과정을 즉각적으로 확인하고 피드백 할 수 있었다. 또한 추론 결과에 대한 정당성을 부여할 수 있었을 뿐만 아니라 기하 탐구에 대한 수학적 태도에 긍정적인 영향을 주었다.
This study targeting 10 high school 3rd grade students who have studied space figures in natural sciences track analyzes the process of analogical discovery from the construction of inscribed and circumscribed circles of a triangle to that of inscribed and circumscribed spheres of a tetrahedron thro...
This study targeting 10 high school 3rd grade students who have studied space figures in natural sciences track analyzes the process of analogical discovery from the construction of inscribed and circumscribed circles of a triangle to that of inscribed and circumscribed spheres of a tetrahedron through the analytical method using Geogebra. The subjects are divided into two groups of five, the experimental group consisting of those who have experienced analytical method and the comparative group consisting of those who haven't. This research analyzing the process of constructing inscribed and circumscribed spheres of a tetrahedron. Although students of both groups all have an accurate preliminary knowledge of inscribed and circumscribed circles of a triangle, they have difficulty in constructing inscribed and circumscribed spheres of a tetrahedron. However, the students of experimental group who have studied the constructing process of inscribed and circumscribed circles of a triangle in reverse using analytical method and Geogebra can perform analogical discovery finding out the way to construct inscribed and circumscribed spheres of a tetrahedron using analogy by themselves. They can control and explore space figures by visualization. Also, they can immediately examine and provide feedback on the analogizing process of their own. In addition, the process affects the attitude of students toward mathematics positively as well as gives validity to the result of analogy.
This study targeting 10 high school 3rd grade students who have studied space figures in natural sciences track analyzes the process of analogical discovery from the construction of inscribed and circumscribed circles of a triangle to that of inscribed and circumscribed spheres of a tetrahedron through the analytical method using Geogebra. The subjects are divided into two groups of five, the experimental group consisting of those who have experienced analytical method and the comparative group consisting of those who haven't. This research analyzing the process of constructing inscribed and circumscribed spheres of a tetrahedron. Although students of both groups all have an accurate preliminary knowledge of inscribed and circumscribed circles of a triangle, they have difficulty in constructing inscribed and circumscribed spheres of a tetrahedron. However, the students of experimental group who have studied the constructing process of inscribed and circumscribed circles of a triangle in reverse using analytical method and Geogebra can perform analogical discovery finding out the way to construct inscribed and circumscribed spheres of a tetrahedron using analogy by themselves. They can control and explore space figures by visualization. Also, they can immediately examine and provide feedback on the analogizing process of their own. In addition, the process affects the attitude of students toward mathematics positively as well as gives validity to the result of analogy.
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문제 정의
A그룹, 차별화된 B그룹에 대한 연구로 분석적 방법을 통한 삼각형의 내심의 작도방법을 찾기 위해 연구자와 학생들이 나눈 대화의 일부를 발췌하여 정리하였다.
A그룹과 차별화된 B그룹에 대한 연구로 삼각형의 분석적 방법을 통한 작도방법을 찾기 위해 연구자와 학생들이 나눈 대화의 일부를 발췌하여 정리하였다.
본 연구에서는 분석적 방법을 통한 2차원 삼각형에서 내심, 외심을 경험한 학생들과 그렇지 않은 학생들이 3차원 사면체의 내접구, 외접구로의 유추활동을 Geogebra로 확인하고 분석하고자 하였다.
연구자 : 방금 살펴본 방법을 사면체에도 적용시켜 내접구를 작도해보자.
연구자 : 방금 살펴본 방법을 사면체에도 적용시켜 외접구의 작도를 해보자.
이로써 A그룹과 B그룹에서 분석적 방법의 유무에 따라 유추과정이 어떻게 일어날 수 있는지를 살펴볼 수 있었다.
가설 설정
B2 : 내심에서 각 변에 수선을 내리면 이것처럼 합동인 직각삼각형 3쌍이 나타나요. 그래서 화면처럼 OA , OB , OC 가 각의 이등분선이 되요.
B2 : 삼각형 AOH 와 삼각형 OCH 가 합동이라 H가 점 A, C 의 중점이 돼서 자동으로 이등분 조건도 만족해요.
B3 : 수선의 발을 내리면 선분 OH 가 선분 AC 에 수직이 되요.
제안 방법
10명을 5명씩 나누어서 A그룹, B그룹으로 분류하였으며 그 분류 기준은 과 같다.
A그룹과 B그룹 각각 4차시, 6차시로 연구가 진행되었고 2차시를 블록으로 묶어 2회, 3회로 수업이 이루어졌다. 진행 중에도 필요한 경우 연구자가 학습자에게 질의를 통하여 학생들의 사고 과정을 분석하였다.
A그룹과 B그룹 모두 완성된 사면체의 내접구를 Geogebra로 먼저 제시하고 학생들이 이를 여러 방향에서 관찰, 꼭짓점을 이동시키는 조작활동을 통해 정사면체의 내접구의 움직임을 보며 사전테스트에서 발견하지 못한 사면체의 내접구의 작도방법을 스스로 발견하게 하였다. 그 다음 사면체의 외접구에 대해서 같은 방법으로 연구를 진행하였다.
그러나 A그룹은 비교집단으로 완성된 사면체의 내접구, 외접구를 Geogebra로 탐구해보고 새로운 사면체의 내접구와 외접구를 작도하게 하였으며 B그룹은 본 집단으로 A그룹과 같은 과정 이후 삼각형의 내접원과 외접원의 작도과정을 분석적 방법으로 살펴보고 그 작도방법을 사면체로 유추하여 사면체의 내접구와 외접구를 작도하는 연구절차를 과 같이 구성하였다.
Geogebra로 만나는 두 면을 이등분하는 면을 작도하는 것이 직접적으로 불가능하기 때문에 학생들에게 큰 부담으로 작용되어 상당부분의 시간이 할애되었다. 만나는 면의 이등분면을 작도하는 방법에 대해 B그룹 학생들 모두 어려워하여 교육과정에서 배우는 이면각, 이면각의 크기, 삼수선의 정리를 연구자가 다시 상기시켜주어 학생들에게 교육과정 내용 적용의 기회를 제공하였다.
분석적 방법을 경험하지 못한 A그룹 5명의 학생에 대해서 Geogebra로 [그림 Ⅲ-3]을 제시하고 스스로 조작해보며 작도방법을 찾도록 하였으나 에 제시된 조작활동까지 하고 사면체의 내접구의 작도방법을 아무도 찾지 못하였다.
분석적 방법을 통해 삼각형의 내접원, 외접원의 작도과정을 거꾸로 찾아가보며 특징 및 성질을 분석해 탐구한 작도방법을 사면체의 내접구, 외접구로 유추를 시켰다. 그 결과 사전테스트에서 확인된 시작이 거의 불가능했던 사면체의 내접구, 외접구의 작도에 접근 및 조작이 가능할 수 있게 되었고 동시에 2차원과 3차원의 변화에 대해 자연스럽게 인지할 수 있었다.
처음 제시된 [그림 Ⅲ-4]의 완성된 사면체의 외접구를 다시 분석하고 새로운 사면체의 외접구를 직접 작도하게끔 목표를 설정하게 하였다. 사면체의 내접구 방법과 마찬가지로 이때 에도 유추과정을 적으며 어떤 사항을 활용할지를 학습지에 정리하며 Geogebra로 탐구할 시간을 40분 동안 갖게 한 뒤 결과를 발표하게 하였다.
사면체의 내접구 작도와 달리 Geogebra로 각 변의 수직이등분 평면의 작도가 직접적으로 가능하기 때문에 학생들의 조작활동이 수월하게 이루어졌으며 B1 학생은 유추적 발견으로 평면을 생각한 것이 아니라 외심에서 면에 수직인 선을 그어 외접구의 중심을 발견한 활동으로 우연의 일치로 결과론적으로는 참이지만 유추적 과정이 아니기 때문에 △로 평가하였다.
사면체의 내접구를 이와 같은 방법으로 접근하여 작도 과정을 발견하기 위해 처음 제시된 [그림 Ⅲ-3]의 완성된 사면체의 내접구를 다시 분석하고 새로운 사면체의 내접구를 직접 작도하게끔 목표를 설정하게 하였다. 이 때 유추과정에서 어떤 사항을 활용할지를 학습지에 정리하며 Geogebra로 탐구할 시간을 40분 동안 갖게 한 뒤 결과를 발표하게 하였다.
A4 학생과 다른 방법을 탐구한 A3, A5 학생은 내접구 작도를 시도한 방법처럼 삼각형마다 외접원을 작도하고 그 외접원에서 수직으로 그은 선들의 교점을 외접구의 중심으로 생각하였지만 이는 면담결과 우연으로 외접구의 중심을 찾은 상황이었다. 사실 이 추론은 [그림 Ⅳ-2]처럼 1학년 때 학습했던 2개 현의 수직이등분선의 교점으로 원의 중심을 찾을 수 있는 방법을 3차원으로 유추하여 구 위에 2개의 원의 중심을 각각 지나고 그 원을 포함한 평면에 수직이 되는 직선의 교점으로 구의 중심을 찾을 수 있는 방법으로 응용되었다.
사전테스트는 15분 동안 실시하였으며 응답학생 30명 중 문항번호 2-(1) 또는 2-(2)를 맞힌 학생들은 1-(1), 1-(2) 문항을 모두 맞혔으며 응답자의 43.3%에 해당하는 13명의 학생이 1-(1), 1-(2)의 작도방법은 정확히 설명하였지만 2-(1), 2-(2)의 문항에 접근하지 못하였다.
삼각형의 내접원, 외접원과 달리 사면체의 내접구와 외접구는 지필 환경에서 자세한 작도 과정을 나타내기 어려울뿐더러 분석법으로 도형탐구에 한계가 있기 때문에 두 그룹 모두 Geogebra를 활용하였으며 사전에 Geogebra 조작법에 관한 수업을 30분씩 2회 진행하였다.
위 3명의 학생 모두 사면체의 내접구 작도 활동 경험을 바탕으로 사면체의 외접구 작도에 서도 마찬가지로 직선이 평면으로 확장되는 변화에 주목하여 스스로 작도를 시도하였다는 점에서 분석적 방법을 통한 유추적 발견이 이루어졌다.
사면체의 내접구를 이와 같은 방법으로 접근하여 작도 과정을 발견하기 위해 처음 제시된 [그림 Ⅲ-3]의 완성된 사면체의 내접구를 다시 분석하고 새로운 사면체의 내접구를 직접 작도하게끔 목표를 설정하게 하였다. 이 때 유추과정에서 어떤 사항을 활용할지를 학습지에 정리하며 Geogebra로 탐구할 시간을 40분 동안 갖게 한 뒤 결과를 발표하게 하였다.
A그룹과 B그룹 각각 4차시, 6차시로 연구가 진행되었고 2차시를 블록으로 묶어 2회, 3회로 수업이 이루어졌다. 진행 중에도 필요한 경우 연구자가 학습자에게 질의를 통하여 학생들의 사고 과정을 분석하였다.
처음 제시된 [그림 Ⅲ-4]의 완성된 사면체의 외접구를 다시 분석하고 새로운 사면체의 외접구를 직접 작도하게끔 목표를 설정하게 하였다. 사면체의 내접구 방법과 마찬가지로 이때 에도 유추과정을 적으며 어떤 사항을 활용할지를 학습지에 정리하며 Geogebra로 탐구할 시간을 40분 동안 갖게 한 뒤 결과를 발표하게 하였다.
학생들은 삼각형의 내심이 각의 이등분선의 교점이 된다는 사실에 대한 이유를 발견하기 위해 완성되어 있는 삼각형의 내심으로부터 출발해 각의 이등분선의 발견까지 삼각형의 내심 작도과정을 역으로 찾아가는 경험을 하였다.
학생들은 삼각형의 외심이 변의 수직이등분선이 된다는 사실에 대한 이유를 발견하기 위해 완성되어 있는 삼각형의 외심으로부터 출발해 변의 수직이등분선의 발견까지 삼각형의 외심 작도과정을 역으로 찾아가는 경험을 하였다.
희망자 30명에 대해 사전테스트를 실시한 후 그 결과를 위 기준에 근거하여 해당 유형에 속하는 학생들을 제외시키고 남은 학생 중 기하와 벡터 성적이 비슷한 10명에 대해 연구를 진행하였다.
대상 데이터
대전광역시 소재인 Y고등학교 3학년 자연계열 174명 중 본 연구에 참여하기를 원하는 학생 30명을 모집하였다. 이 중에서 적합한 연구대상을 선정하기 위해 다음 두 가지 유형을 선정하였다.
본 연구는 고등학교 교육과정 중 기하와 벡터-공간도형과 직접적으로 관련이 있기 때문에 사전테스트 2문항을 맞힌 13명의 학생 중 3학년 1학기 때 실시한 기하와 벡터 정기고사를 기준으로 성적이 비슷한 학생 10명을 선정하였다. 10명을 5명씩 나누어서 A그룹, B그룹으로 분류하였으며 그 분류 기준은 <표 Ⅲ-3>과 같다.
첫째, 본 연구는 대전 Y고등학교 3학년 특정 학생 10명을 대상으로 연구를 진행하였기에 다른 환경에서는 본 연구결과와 다른 결과가 나타날 수 있다.
성능/효과
3명 학생 모두 평면에서 공간으로 확장을 할 때 직선이 평면으로 확장되는 변화에 주목하여 스스로 작도를 시도하였다는 점에서 분석적 방법을 통한 유추적 발견과정이 이루어졌음을 확인할 수 있다.
여기서 사면체의 내접구 작도방법과 마찬가지로 외접구의 중심은 점이기 때문에 교선들의 교점을 찾는 활동이 더 이루어졌다. Geogebra로 변의 수직이등분평면을 매우 쉽게 작도할 수 있기 때문에 분석적 방법을 통한 유추적 발상만 할 수 있다면 정사면체의 외접구 작도는 내접구 작도보다 작도과정이 수월하였음이 학생들 응답결과 및 작도완성 인원, 작도 시간 단축으로 확인되었다.
분석적 방법을 통해 삼각형의 내접원, 외접원의 작도과정을 거꾸로 찾아가보며 특징 및 성질을 분석해 탐구한 작도방법을 사면체의 내접구, 외접구로 유추를 시켰다. 그 결과 사전테스트에서 확인된 시작이 거의 불가능했던 사면체의 내접구, 외접구의 작도에 접근 및 조작이 가능할 수 있게 되었고 동시에 2차원과 3차원의 변화에 대해 자연스럽게 인지할 수 있었다.
둘째, Geogebra를 활용하여 도형을 직접 관찰하고 조작해볼 수 있다는 점에서 학생들이 호기심을 갖고 접근하는 환경을 조성할 수 있었다. 또한 사전테스트에서 시작이 거의 불가능했지만 Geogebra로 도형의 회전, 길이와 각의 측정, 작도과정의 관찰 등의 조작활동을 스스로 해봄으로써 즉각적인 피드백이 가능하여 문제해결을 위한 반성적 사고가 원활히 이루 어질 수 있었다.
또한 내접구, 외접구가 됨을 확인하는 과정에서 구의 반지름을 쉽게 측정해보고 꼭짓점의 움직임을 통해 사면체에 접하는 구의 변화를 살펴보며 풀이에 대한 확신을 가지게 할 수 있었다. 이는 지필환경에서 2개 이상의 3차원 도형의 작도의 어려움 및 작도 후 관찰의 어려움 등 지필환경에서의 한계를 Geogebra로 해결할 수 있다는 것에 시사점을 준다.
첫째, 분석적 방법을 경험하지 못한 A그룹 학생들은 사면체의 내접구의 중심, 외접구의 중심을 찾는 활동에서 계획이나 절차 없이 무작위로 알고 있는 지식이 생각날 때마다 그 방법을 동원하여 구의 중심을 찾으려고 하였으며 혹여나 우연의 일치로 외접구가 완성되었을 때는 절차보다 결과적으로 완성되었다는 것에만 의미를 두고 작도가 완벽히 이루어졌다고 생각하였다.
연구대상에 속한 A그룹, B그룹 학생 10명은 중학교 때 교실의 지필환경에서 삼각형의 내심과 외심을 학습하고 실제로 학습지와 문제지에 작도를 한 경험이 있었으며 작도 과정에 아닌 작도 환경 자체에 대해서는 어려움을 느끼지 않았다고 한다. 하지만 기하와 벡터 공간 도형 단원부터 3차원 문제를 다룰 때 지필환경에서 입체도형을 다루는 것에 어려움을 느끼고 있었으며 이는 본 연구과정에서도 학생들이 가지는 어려움으로 인식되었지만 Geogebra 를 활용하기에 보다 편리한 조작과 도형의 움직임을 관찰할 수 있는 시각적 효과를 가져온 다는 것이 확인되었다.
후속연구
둘째, 수학교육에서는 유추에 의한 발견학습의 교육 범위가 상당히 넓게 진행될 수 있고 학생의 수학적 사고력을 증진시킬 수 있다는 점에서 여러 수학 단원과 내용에 대해서도 유추에 의한 발견학습의 추가적인 연구가 필요하다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
Geogebra는 무엇인가?
Geogebra는 Geometry(기하학)과 Algebra(대수학)이 합쳐져서 만들어진 단어로 기하, 대수, 미적분, 통계 및 이산수학을 쉽게 다룰 수 있는 무료로 사용 가능한 교육용 수학 소프트웨어이다. 특히 대수와 기하를 접목하여 이를 유용하게 활용할 수 있다는 큰 장점이 있으며 메뉴들도 다른 여러 프로그램에 비하여 부족할 것이 없고 학교 현장에서 사용하기에 필요한 도구들이 거의 들어가 있다.
수학에 있어서 시각적 이미지는 어떻게 추론을 가능하게 만드는가?
시각적 이미지는 보다 높은 추상적 단계에 도달하기 위한 하나의 수단으로써 도형의 개념과 명제들 사이의 형식적인 관계에 대한 이해와 문제에 대한 분석을 도와줌으로써 귀납, 유추, 분석 등의 추론을 가능하게 해준다(류현아, 2008).
Geogebra의 장점은 무엇인가?
Geogebra는 Geometry(기하학)과 Algebra(대수학)이 합쳐져서 만들어진 단어로 기하, 대수, 미적분, 통계 및 이산수학을 쉽게 다룰 수 있는 무료로 사용 가능한 교육용 수학 소프트웨어이다. 특히 대수와 기하를 접목하여 이를 유용하게 활용할 수 있다는 큰 장점이 있으며 메뉴들도 다른 여러 프로그램에 비하여 부족할 것이 없고 학교 현장에서 사용하기에 필요한 도구들이 거의 들어가 있다.
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