표준화된 자연수 곱셈 알고리즘3)은 곱셈의 계산 과정을 간략화한 것으로, 올림이 있는 자연수 곱셈의 경우 올림하는 수를 피승수의 위에 작게 표기하고 있다. 하지만 이러한 올림하는 수 표기 방식은 승수가 한 자리 수인 경우에만 교과서에 제시되고 있어, 승수가 두 자리 수인 경우에는 교사와 학생들이 자기 나름의 표기 방식을 선택하도록 요구하고 있다. 이에 본 연구는 현행 교과서에서의 올림이 있는 자연수 곱셈의 알고리즘 접근 방법을 살펴보고, 3, 4, 5, 6학년 학생들의 올림이 있는 자연수 곱셈 알고리즘에서 나타나는 올림하는 수 표기 방식을 분석하였다. 또한, 핀란드 수학 교과서와 선행 연구에 나타난 올림이 있는 자연수 곱셈 알고리즘 지도 내용을 분석함으로써 자연수 곱셈 알고리즘의 제시 방법에 대한 시사점을 추출하였다. 그 결과로 다음과 같이 제안한다. 첫째, 교사용 지도서나 교과서에 올림하는 수를 표기하는 방법에 대한 예시가 필요하다. 둘째, 올림하는 수를 체계적으로 표기하는 것의 좋음을 학생이 인식하도록 지도되어야 한다. 셋째, 대안적인 자연수 곱셈 알고리즘과 올림하는 수 표기 방법에 대한 교사의 이해가 요구된다.
표준화된 자연수 곱셈 알고리즘3)은 곱셈의 계산 과정을 간략화한 것으로, 올림이 있는 자연수 곱셈의 경우 올림하는 수를 피승수의 위에 작게 표기하고 있다. 하지만 이러한 올림하는 수 표기 방식은 승수가 한 자리 수인 경우에만 교과서에 제시되고 있어, 승수가 두 자리 수인 경우에는 교사와 학생들이 자기 나름의 표기 방식을 선택하도록 요구하고 있다. 이에 본 연구는 현행 교과서에서의 올림이 있는 자연수 곱셈의 알고리즘 접근 방법을 살펴보고, 3, 4, 5, 6학년 학생들의 올림이 있는 자연수 곱셈 알고리즘에서 나타나는 올림하는 수 표기 방식을 분석하였다. 또한, 핀란드 수학 교과서와 선행 연구에 나타난 올림이 있는 자연수 곱셈 알고리즘 지도 내용을 분석함으로써 자연수 곱셈 알고리즘의 제시 방법에 대한 시사점을 추출하였다. 그 결과로 다음과 같이 제안한다. 첫째, 교사용 지도서나 교과서에 올림하는 수를 표기하는 방법에 대한 예시가 필요하다. 둘째, 올림하는 수를 체계적으로 표기하는 것의 좋음을 학생이 인식하도록 지도되어야 한다. 셋째, 대안적인 자연수 곱셈 알고리즘과 올림하는 수 표기 방법에 대한 교사의 이해가 요구된다.
The standardized algorithm of natural number multiplication simplify the procedure of arithmetic. In the case of multiplication algorithm with regrouping, we write small the carrying number on the multiplicand. But, teachers and students have to make their own way about the case of two digits multip...
The standardized algorithm of natural number multiplication simplify the procedure of arithmetic. In the case of multiplication algorithm with regrouping, we write small the carrying number on the multiplicand. But, teachers and students have to make their own way about the case of two digits multipliers, because Korean elementary mathematics textbooks just deal with the case of the one digit multipliers. In this study, we investigated Korean current elementary mathematics textbooks related to multiplication algorithm with regrouping, and analyzed the result of research on the real condition about marking the carrying number. Besides, we reviewed the guidance contents of algorithm of natural number multiplication in Finland's math textbook and literature. By conclusions, we suggest several implications as followed; First, we need some examples of the way to mark the carrying number in teacher's guidance books and textbooks. Second, teachers try for students to feel the good points of the systematic ways to mark the carrying number. Third, teachers understand algorithm of natural number multiplication and the alternative ways about marking the carrying number.
The standardized algorithm of natural number multiplication simplify the procedure of arithmetic. In the case of multiplication algorithm with regrouping, we write small the carrying number on the multiplicand. But, teachers and students have to make their own way about the case of two digits multipliers, because Korean elementary mathematics textbooks just deal with the case of the one digit multipliers. In this study, we investigated Korean current elementary mathematics textbooks related to multiplication algorithm with regrouping, and analyzed the result of research on the real condition about marking the carrying number. Besides, we reviewed the guidance contents of algorithm of natural number multiplication in Finland's math textbook and literature. By conclusions, we suggest several implications as followed; First, we need some examples of the way to mark the carrying number in teacher's guidance books and textbooks. Second, teachers try for students to feel the good points of the systematic ways to mark the carrying number. Third, teachers understand algorithm of natural number multiplication and the alternative ways about marking the carrying number.
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문제 정의
이에 본 연구에서는 2009 개정 교육과정에 따른 우리나라 수학 교과서에서 올림이 있는 자연수 곱셈의 알고리즘 접근 방법을 상세하게 살펴보고, 3, 4, 5, 6학년 학생들을 대상으로 올림이 있는 자연수 곱셈 알고리즘에서 올림하는 수를 표기하는 방식을 분석하고자 한다. 또한, 핀란드 교과서와 자연수 곱셈 알고리즘과 관련된 문헌들을 살펴봄으로써, 자연수 곱셈 알고리즘 지도 방법에 대한 시사점을 추출하고자 한다.
이에 본 연구에서는 2009 개정 교육과정에 따른 우리나라 수학 교과서에서 올림이 있는 자연수 곱셈의 알고리즘 접근 방법을 상세하게 살펴보고, 3, 4, 5, 6학년 학생들을 대상으로 올림이 있는 자연수 곱셈 알고리즘에서 올림하는 수를 표기하는 방식을 분석하고자 한다. 또한, 핀란드 교과서와 자연수 곱셈 알고리즘과 관련된 문헌들을 살펴봄으로써, 자연수 곱셈 알고리즘 지도 방법에 대한 시사점을 추출하고자 한다.
8문제에는 승수가 한 자리 수, 두 자리 수인 6문제와 승수가 세 자리 수인 2문제를 포함하였다. 교육과정에 포함되지 않은 승수가 세 자리 수인 2문제를 포함시킨 이유는 자연수 곱셈의 학습이 완성된 후, 승수가 세 자리 수인 새로운 상황에 자연수 곱셈 알고리즘을 적용하는 방법을 확인하고자 한 것이다.
본 연구에서 올림하는 수 표기 방법의 분석은 올림하는 수 표기 유형, 유형별 빈도, 유형별 정답률의 세 가지 측면에서 이루어졌다. 올림하는 수 표기 유형과 유형별 빈도의 분석은 학생들의 올림하는 수 표기 방법의 실태를 확인하고자 함이고, 유형별 정답률 분석은 올림하는 수 표기 유형에 따라 정답률의 차이를 확인함으로서 올림하는 수 표기 방법에 대한 시사점을 이끌어내고자 함이다. (두 자리 수)×(두 자리 수), (세 자리 수)×(두 자리 수), (두 자리 수)×(세 자리 수)는 2문항씩 제시되어 정답률보다는 평균으로 비교하는 것이 적합하다고 판단되어 평균을 분석하였다.
그 과정을 정리하면 [그림 8]과 같다. 본 연구의 분석을 통해 나타난 올림하는 수 표기 유형의 설명과 구체적인 예는 분석 결과에 제시하였다.
승수가 한 자리 수인 경우는 이미 교과서에 올림하는 수 표기 방법을 제시하고 있기 때문에, 승수가 두 자리 수인 경우의 올림하는 수 표기 지도에 관해 시사점을 줄 수 있는 내용을 확인하고자 하였다.
본 연구는 올림이 있는 자연수 곱셈 알고리즘에서 올림하는 수에 대한 표기 방법이 교과서에 구체적으로 제시되어 있지 않고, 현직 교사의 풀이 방법에서도 다양한 형태로 나타나는 것에 의문점을 가지고 그 지도 방법에 대해 논의하고자 하였다.
이를 위해 본 연구에서는 현행 교과서 지도 내용을 살펴보고, 3, 4, 5, 6학년을 대상으로, 조사를 실시하여 올림이 있는 자연수 곱셈 알고리즘의 올림하는 수를 표기하는 방법에 중점을 두고 분석하였다. 또한 올림하는 수 표기에 관한 지도의 시사점을 얻고자, 핀란드 교과서와 선행 연구를 살펴보았다.
본 연구는 표준화된 자연수 곱셈 알고리즘과 올림하는 수 표기의 특정한 방법을 사용하자고 주장하는 것은 아니다. 단지, 이러한 논의를 통해서 올림하는 수의 체계적인 표기의 중요성에도 불구하고 학생들과 교사들에게 지나치게 열려 있는 곱셈 알고리즘의 올림하는 수 표기 방법에 대해 고민해보고, 실제 교육 현장에서 교사들의 지도 방향에 대해 몇 가지 제안을 해보고자 하였다.
제안 방법
(두 자리 수)×(두 자리 수), (세 자리 수)×(두 자리 수), (두 자리 수)×(세 자리 수)는 2문항씩 제시되어 정답률보다는 평균으로 비교하는 것이 적합하다고 판단되어 평균을 분석하였다.
이때, (한 자리 수)×(두 자리 수)도 승수가 두 자리 수인 곱셈에 해당하지만, 곱셈 알고리즘에서 제시된 다른 승수 두 자리 수인 문제와는 다르게, 조사 대상 학생이 사용하는 알고리즘에 따라 올림의 발생 유무가 결정되어 (두 자리 수)×(두 자리 수), (세 자리 수)×(두 자리 수)와는 별도로 분석하였다.
본 연구에서 올림하는 수 표기 방법의 분석은 올림하는 수 표기 유형, 유형별 빈도, 유형별 정답률의 세 가지 측면에서 이루어졌다. 올림하는 수 표기 유형과 유형별 빈도의 분석은 학생들의 올림하는 수 표기 방법의 실태를 확인하고자 함이고, 유형별 정답률 분석은 올림하는 수 표기 유형에 따라 정답률의 차이를 확인함으로서 올림하는 수 표기 방법에 대한 시사점을 이끌어내고자 함이다.
이러한 분석을 위해서는 올림하는 수 표기 방법을 유형화하는 것이 먼저 이루어져야 하는데, 이와 관련된 선행연구는 김수미(2012)에서 곱셈 계산 오류의 간단한 실수의 예로 올림하는 수 표기 방법을 ‘받아 올림 수치를 체계적으로 기록, 받아 올림 수치를 중복해서 기록, 받아 올림 수치를 여기저기 기록’ 으로 유형화한 것이 있다. 본 연구에서는 처음부터 제시된 틀을 사용하여 유형화하기보다는, 조사 자료에 제시된 다양한 반응들을 살펴보고 1차 분석을 통해 올림하는 수 표기 방법을 유사한 유형끼리 묶어 분류하도록 하였다. 그 결과, 승수의 자릿수에 따라 올림하는 수 표기 방법에 차이가 있음을 발견하고, 승수의 자릿수에 따라 올림하는 수 표기 방법을 유형화(1차 유형)하였다.
이러한 영향에 의해 표기 방법이 다양하지는 않았다. 올림하는 수 표기 방법은 교과서에 제시된 방법으로 표기한 경우(TS1), 자신만의 방법으로 식의 다른 부분에 표기한 경우(TS2), 표기하지 않는 경우(TS3)로 유형을 분류하였다. 그 구체적인 예와 유형별 빈도 및 정답률은 <표 2>와 같다.
(한 자리 수)×(두 자리 수)의 올림하는 수 표기는 승수가 두 자리 수인 경우와 별도로 분석하고 유형화하였다.
하지만 학생 반응을 분석한 결과, 승수와 피승수를 바꾸어 문제를 다시 써서 해결한 경우를 제외하고, (두 자리 수)×(한 자리 수)에서 올림하는 수를 표기하듯이 표기한 경우가 다수 발견되어 별도로 유형을 구분하였다. 올림하는 수를 표기하여 해결한 경우 ST1, 올림하는 수를 표기하지 않고 해결한 경우 ST2로 분류하였고, 교과서에 제시된 것과 같이 승수를 분해하여 계산한 경우를 ST3, 마지막으로 승수와 피승수를 바꾸어 다시 쓴 후 계산한 경우를 ST4로 유형화하였다. 그 구체적인 예와 유형별 빈도와 정답률은 <표 3>과 같다.
4문제가 평가된 (두 자리 수)×(두 자리 수), (세 자리 수)×(두 자리 수)는 정답률이 아닌 평균으로 올림하는 수 표기 방법과의 관계를 살펴보았다.
(두 자리 수)×(세 자리 수)에서 새롭게 나타난 유형인 TT7은 승수가 세 자리 수인 것이 익숙하지 않은 학생들이 임의적으로 피승수와 승수를 바꾸어 계산한 경우이다. 문제를 새롭게 작성하거나, 문제는 그대로 둔 채 승수가 두 자리 수인 경우의 알고리즘으로 해결한 학생의 응답은 TT7의 유형에 포함하였다. (두 자리 수)×(세 자리 수)의 올림하는 수 표기 유형별 학생 수와 (두 자리 수)×(세 자리 수)인 2문항을 각각 2점으로 하여 평균을 정리하면 <표 6>과 같다.
이를 위해 본 연구에서는 현행 교과서 지도 내용을 살펴보고, 3, 4, 5, 6학년을 대상으로, 조사를 실시하여 올림이 있는 자연수 곱셈 알고리즘의 올림하는 수를 표기하는 방법에 중점을 두고 분석하였다. 또한 올림하는 수 표기에 관한 지도의 시사점을 얻고자, 핀란드 교과서와 선행 연구를 살펴보았다.
대상 데이터
수학교과서와 익힘책을 참고하여 올림이 있는 자연수 곱셈 8문제를 선정하였다. 8문제에는 승수가 한 자리 수, 두 자리 수인 6문제와 승수가 세 자리 수인 2문제를 포함하였다.
올림이 있는 자연수 곱셈은 3학년부터 지도되기 때문에 3학년부터 조사를 실시하였고, 자연수 곱셈 알고리즘의 변화 유무를 확인하고자 3, 4, 5, 6학년을 대상으로 이루어졌다. 조사 대상은 3학년(26명), 4학년(27명), 6학년(25명) 각각 1학급씩과 5학년(48명) 2학급으로, 경기도 소재의 중소도시에 위치한 초등학교에서 무작위추출로 학급을 선정하였다.
올림이 있는 자연수 곱셈은 3학년부터 지도되기 때문에 3학년부터 조사를 실시하였고, 자연수 곱셈 알고리즘의 변화 유무를 확인하고자 3, 4, 5, 6학년을 대상으로 이루어졌다. 조사 대상은 3학년(26명), 4학년(27명), 6학년(25명) 각각 1학급씩과 5학년(48명) 2학급으로, 경기도 소재의 중소도시에 위치한 초등학교에서 무작위추출로 학급을 선정하였다.
데이터처리
이때, (한 자리 수)×(두 자리 수)도 승수가 두 자리 수인 곱셈에 해당하지만, 곱셈 알고리즘에서 제시된 다른 승수 두 자리 수인 문제와는 다르게, 조사 대상 학생이 사용하는 알고리즘에 따라 올림의 발생 유무가 결정되어 (두 자리 수)×(두 자리 수), (세 자리 수)×(두 자리 수)와는 별도로 분석하였다. 2차 분석을 통해 올림하는 수 표기 유형의 구분이 지나치게 세부적이어서 하나의 유형으로 통합할 수 있거나 별도로 구분할 필요성이 있는 유형을 수정(2차 유형)하여 분석한 후, 최종 유형을 확정하고 이를 적용하여 유형별 빈도 및 정답률(또는 평균) 분석을 실시하였다. 그 과정을 정리하면 [그림 8]과 같다.
성능/효과
첫째, 올림이 있는 자연수 곱셈에서 승수가 한 자리 수인 경우는 수모형, 승수가 두 자리 수인 경우는 모눈종이 모델을 이용하여 곱셈에 대한 이해와 알고리즘에 접근하고 있다.
둘째, 승수가 두 자리 수인 경우에 사용되는 모눈종이 모델은 알고리즘이 간략화된 자연수 곱셈 알고리즘과 바로 연결 짓기에는 어려움이 있다. 시각적 모델에 의해 학생들은 (두 자리 수)×(두 자리 수)의 곱셈이 4개의 부분곱의 덧셈으로 구성됨을 확인할 수 있으나, 자연수 곱셈 알고리즘에서는 2개의 부분곱을 제시하고 있다.
셋째, 곱셈의 세로셈 알고리즘의 경우, 승수가 한 자리 수일 때에는 올림하는 수를 표기하고 있지만 승수가 두 자리 수일 때에는 올림하는 수를 표기하고 있지 않다. 승수가 한자리 수인 경우, 올림하는 수를 표기하는 방법은 ‘올림하는 수 2를 1위에 작게 적어 둘거야’ 와 같이 구체적으로 제시하고 있지만, 승수가 두 자리 수인 경우에는 교사용 지도서에서도 올림하는 수의 표기 예가 제시되고 있지 않아, 교사와 학생이 자기 나름의 방법을 사용하여 계산하도록 하고 있다.
본 연구에서는 처음부터 제시된 틀을 사용하여 유형화하기보다는, 조사 자료에 제시된 다양한 반응들을 살펴보고 1차 분석을 통해 올림하는 수 표기 방법을 유사한 유형끼리 묶어 분류하도록 하였다. 그 결과, 승수의 자릿수에 따라 올림하는 수 표기 방법에 차이가 있음을 발견하고, 승수의 자릿수에 따라 올림하는 수 표기 방법을 유형화(1차 유형)하였다. 이때, (한 자리 수)×(두 자리 수)도 승수가 두 자리 수인 곱셈에 해당하지만, 곱셈 알고리즘에서 제시된 다른 승수 두 자리 수인 문제와는 다르게, 조사 대상 학생이 사용하는 알고리즘에 따라 올림의 발생 유무가 결정되어 (두 자리 수)×(두 자리 수), (세 자리 수)×(두 자리 수)와는 별도로 분석하였다.
(세 자리 수)×(한 자리 수)의 올림하는 수 표기에서 TS1은 전체 유형의 69.0%로 가장 높은 비율을 차지하였고, TS3는 13.3%로 가장 낮았다.
(세 자리 수)×(한 자리 수)의 올림하는 수 표기 방법 중에서 학생들은 교과서에 제시된 올림하는 수 표기 방법을 선호하였으며 정답률도 높게 나타났다.
TS1은 4학년에서 가장 높은 비율을 차지하였으나, 6학년 학생들에서는 TS2가 차지하고 있는 비율이 확연하게 증가하고 있다. 올림하는 수 표기 유형에 따른 정답률은 교과서에 제시된 방법으로 표기하는 TS1의 정답률이 89.7%로 가장 높았으며, 올림하는 수를 표기하지 않는 TS3의 정답률은 66.7%로 가장 낮게 나타났다.
(세 자리 수)×(한 자리 수)의 올림하는 수 표기 방법 중에서 학생들은 교과서에 제시된 올림하는 수 표기 방법을 선호하였으며 정답률도 높게 나타났다. 하지만, 학년이 증가함에 따라 교과서에 제시된 방법이 아닌 자신만의 방식으로 올림하는 수를 표기하는 것을 확인 할 수 있었다. 이는 학생들이 자연수 곱셈 알고리즘을 학습하는 초기에는 교과서에 제시된 알고리즘을 그대로 따르는 경향이 높지만, 점차 자신만의 방식을 찾아 적용한다고 해석할 수도 있고, (세 자리 수)×(한 자리 수) 이후에 학습되는 자연수 곱셈 알고리즘이 올림하는 수 표기 방법을 구체적으로 제시하고 있지 않기 때문에 그로 인해 올림하는 수 표기 방법이 변화되었다고 볼 수도 있다.
(한 자리 수)×(두 자리 수)에서는 ST1이 차지하는 비율이 38.1%로 가장 높았고, 그 뒤로 교과서에 제시된 알고리즘에 따른 유형인 ST3가 27.0%를 차지하였다.
정답률에 있어서는 교과서에 제시된 알고리즘으로 계산한 유형인 ST3의 정답률이 97.1%로 가장 높았고, ST1은 87.5%의 정답률을 보였다. ST1의 오류 중에는 9×7=63에서 받아 올리는 수 6을 9×30=270에 더하지 않고 273을 정답으로 쓴 경우가 발견되었는데, 이는 승수를 자릿값에 따라 분해하여 계산하는 데 익숙한 학생들이 올림하는 수가 발생하여 표기는 하였으나 그 처리에 어려움이 있었던 것으로 보인다.
5%에 이른다. 이를 통해 상당수의 학생들은 승수가 두 자리 수인 자연수 곱셈에서 자기 나름의 방식으로 올림하는 수를 표기하고 있음을 알 수 있고, 특히 MT1과 MT2가 차지하는 비율은 63.2%로 올림하는 수를 구분지어 표기하는 것을 선호하고 있음을 알 수 있다.
1문제당 1점씩 부여하여 4~6학년의 평균을 구한 결과는 <표 5>와 같다. MT6 유형의 평균이 3.5로 가장 높았고, 그 다음으로 MT1, MT2 순으로 평균이 높음을 확인할 수 있었다. 문제에 따라 다양한 유형의 올림하는 수 표기 방법을 사용하는 MT6의 오류가 가장 적다는 결과는 흥미롭지만, MT1과는 유형 빈도에 차이가 있음에 유의할 필요가 있다.
문제에 따라 다양한 유형의 올림하는 수 표기 방법을 사용하는 MT6의 오류가 가장 적다는 결과는 흥미롭지만, MT1과는 유형 빈도에 차이가 있음에 유의할 필요가 있다. 또한 MT1, MT2와 같이 올림하는 수를 구분지어 표기하는 유형의 평균이 MT3의 일관성이 없는 불규칙한 표기보다는 평균이 높다는 점은 자연수 곱셈 지도시 올림하는 수를 체계적으로 기록하도록 하는 것이 계산 오류를 줄일 수 있는 방법이 될 수 있음을 시사한다.
(두 자리 수)×(세 자리 수)의 경우, 학생들은 승수의 자릿값에 따라 분해하여 올림하는 수를 표기하는 TT1(33.3%)보다는 [그림 9]와 같이 피승수와 승수를 머릿속에서 바꾸거나, 실제로 바꾸어 써서 계산하는 유형인 TT7(40.7%)을 더 선호하는 것으로 나타났다.
6학년에서는 TT1이 차지하는 비율이 가장 높고, 4, 5학년에서는 TT7의 비율이 가장 높았다. 4학년에서 6학년으로 학년이 올라갈수록 TT7의 비율이 감소하고 있는 것으로 보아, 학년이 높아짐에 따라 자연수 곱셈 알고리즘에 대한 이해를 바탕으로 승수가 세 자리 수인 경우까지 적용하고 있음을 알 수 있다.
첫째, (세 자리 수)×(한 자리 수), (한 자리 수)×(두 자리 수), (두 자리 수)×(두 자리수), (세 자리 수)×(두 자리 수), (두 자리 수)×(세 자리 수)의 알고리즘에서 나타나는 올림하는 수 표기 방법을 유형화할 수 있었다.
다섯째, (두 자리 수)×(두 자리 수), (세 자리 수)×(두 자리 수)일 때, 다양한 유형을 사용하는 MT6를 제외하고 평균이 높았던 해결 방법은 올림하는 수를 구분하여 표기하는 경우이다.
넷째, (두 자리 수)×(두 자리 수), (세 자리 수)×(두 자리 수)일 때, 학생들은 승수를 분해하여 생기는 부분곱의 올림하는 수를 구분하여 표기하는 것을 선호하며, 그 방법은 매우 다양했다.
셋째, (세 자리 수)×(한 자리 수)의 경우, 교과서에 제시된 대로 올림하는 수를 표기하는 경우가 그렇지 않은 경우보다 정답률이 높았다.
(세 자리 수)×(한 자리 수)의 경우, 교과서에 제시된 대로 올림하는 수를 표기하는 학생수가 차지하는 비율이 69.0%이었고, (한 자리 수)×(두 자리 수)의 경우, 교과서에 제시된 알고리즘인 ST3와 승수와 피승수를 바꾸어 교과서에 제시된 올림하는 수 표기로 해결한 ST1을 합치면 65.1%의 학생들이 교과서 제시 방법을 따르고 있었다.
둘째, (세 자리 수)×(한 자리 수), (한 자리 수)×(두 자리 수)의 경우, 교과서에 제시된 알고리즘과 올림하는 수를 표시하는 방법에 따라 문제를 해결하는 빈도가 매우 높았다.
앞서 제시한 문제와 달리, (두 자리 수)×(세 자리 수)의 문제는 학생에게 익숙하지 유형으로, 승수가 두 자리 수인 문제에 비해 평균이 매우 낮았다. 그 중에서 평균이 가장 높은 유형은 TT5의 경우였고, 그 다음으로 TT1의 평균이 높았다.
하지만 이러한 경향은 4학년에서 6학년으로 학년이 올라감에 따라 줄어들고 있다. 즉, TT7이 각 학년에서 차지하는 비율은 55.6%, 42.9%, 23.8%로 점차 감소하고 있음을 확인할 수 있었다.
일곱째, 학생들은 자연수 곱셈 알고리즘에서 올림하는 수를 암기하기보다는 표기하여 문제를 해결한다. 올림하는 수 표기 없이 계산한 경우인 TS3, ST2, MT5, TT5의 각 유형에서 차지하는 비율은 각각 13.
올림이 있는 자연수 곱셈 알고리즘의 올림하는 수 표기 방법에 대한 실태 조사 결과를 통해, 학생들은 올림하는 수를 암기하기보다는 표기하는 것을 선호한다는 것을 알 수 있었다. 또한, 교과서에 올림하는 수 표기 방법이 제시되어 있는 승수가 한 자리 수인 경우, 교과서에 제시된 올림하는 수 표기 유형의 사용 빈도가 높고 그 유형에 대한 정답률도 높다는 것을 확인할 수 있었다.
올림이 있는 자연수 곱셈 알고리즘의 올림하는 수 표기 방법에 대한 실태 조사 결과를 통해, 학생들은 올림하는 수를 암기하기보다는 표기하는 것을 선호한다는 것을 알 수 있었다. 또한, 교과서에 올림하는 수 표기 방법이 제시되어 있는 승수가 한 자리 수인 경우, 교과서에 제시된 올림하는 수 표기 유형의 사용 빈도가 높고 그 유형에 대한 정답률도 높다는 것을 확인할 수 있었다. 반면, 교과서에 올림하는 수 표기 방법이 제시되지 않은 승수가 두 자리 수인 경우에는 학생들의 표기 방식이 매우 다양하고, 올림하는 수를 구분하여 표기하는 유형의 평균이 높다는 점을 확인할 수 있었다.
또한, 교과서에 올림하는 수 표기 방법이 제시되어 있는 승수가 한 자리 수인 경우, 교과서에 제시된 올림하는 수 표기 유형의 사용 빈도가 높고 그 유형에 대한 정답률도 높다는 것을 확인할 수 있었다. 반면, 교과서에 올림하는 수 표기 방법이 제시되지 않은 승수가 두 자리 수인 경우에는 학생들의 표기 방식이 매우 다양하고, 올림하는 수를 구분하여 표기하는 유형의 평균이 높다는 점을 확인할 수 있었다.
둘째, 학생들에게 올림하는 수를 표기할 때에는 산발적으로 표기하기 보다는 체계적으로 표기하는 것의 좋음을 인식시킬 필요가 있다. 실태 조사 결과에서 승수가 두 자리 수인 경우, 올림하는 수를 구분하여 표기하는 학생들이 문제를 더 정확하게 해결하는 것을 확인할 수 있었다. 체계적인 표기를 통해 계산의 오답을 줄일 수 있고, 계산 과정에서 자신이 범한 오류 또한 쉽게 확인할 수 있을 것이다.
셋째, 교사는 학생의 계산 과정에서 오류를 줄이기 위해 곱셈의 세로셈 알고리즘과 올림하는 표기의 대안적 방법에 관해 이해하고 있어야 한다. Ashlock(2010, 남승인 외 역, 2013)은 올림하는 수가 계산에 방해가 되어 생기는 오류의 예를 지적하고 부분곱의 바로 위에 올림하는 수를 적도록 하고 있다.
후속연구
둘째, 학생들에게 올림하는 수를 표기할 때에는 산발적으로 표기하기 보다는 체계적으로 표기하는 것의 좋음을 인식시킬 필요가 있다. 실태 조사 결과에서 승수가 두 자리 수인 경우, 올림하는 수를 구분하여 표기하는 학생들이 문제를 더 정확하게 해결하는 것을 확인할 수 있었다.
실태 조사 결과에서 승수가 두 자리 수인 경우, 올림하는 수를 구분하여 표기하는 학생들이 문제를 더 정확하게 해결하는 것을 확인할 수 있었다. 체계적인 표기를 통해 계산의 오답을 줄일 수 있고, 계산 과정에서 자신이 범한 오류 또한 쉽게 확인할 수 있을 것이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
초등학교에서 자연수 곱셈은 어떤 개념과 연결되어 있는가?
초등학교에서 자연수 곱셈은 분수, 비, 비율 등의 개념들과 연결되어 있는 것(정영옥, 2013; 김유경, 방정숙, 2013)으로, 자연수 곱셈 알고리즘의 단순한 암기와 연습보다는 곱셈의 의미와 계산 원리 이해의 중요성이 강조되어 왔다(정연준, 2011; 강흥규, 심선영, 2010; 정승진, 2004).
자연수 곱셈 지도시 올림 하는 수를 구분 지어 체계적으로 기록하는 것이 계산 오류를 줄이는 방법이라 본 이유는?
다섯째, (두 자리 수)×(두 자리 수), (세 자리 수)×(두 자리 수)일 때, 다양한 유형을 사용하는 MT6를 제외하고 평균이 높았던 해결 방법은 올림하는 수를 구분하여 표기하는 경우이다. 따라서 자연수 곱셈 지도시 올림하는 수를 구분지어 체계적으로 기록하도록 하는것이 계산 오류를 줄일 수 있는 방법이 될 수 있다.
자연수 곱셈 알고리즘 절차의 숙달 또한 중요하다고 본 이유는?
그러나 자연수 곱셈은 이후에 지도되는 자연수의 나눗셈, 분수의 곱셈과 나눗셈, 소수의 곱셈과 나눗셈 등의 계산에 기초가 되기 때문에 자연수 곱셈 알고리즘 절차의 숙달 또한 중요하다. 자연수 곱셈 알고리즘은 피승수와 승수의 분해에 따른 부분곱의 합의 과정(정연준, 2011; 변희현, 2011; 강흥규, 심선영, 2010)이 간략화된 것으로 십진기수법, 덧셈에 대한 분배법칙, 결합법칙 등이 주요 절차에 포함되기 때문에 그 절차를 숙달하는 데 많은 연습이 요구된다.
참고문헌 (16)
강흥규, 심선영 (2010). 알고리즘의 다양성을 활용한 두 자리 수 곱셈의 지도 방안과 그에 따른 초등학교 3학년 학생의 곱셈 알고리즘 이해 과정 분석. 한국초등수학교육학회지, 14(2), 287-314
Ashlock, R. B. (2010). Error patterns in computation: Using error patterns to help each student learn, 10th edition. Pearson Education. 남승인 외 (역) (2013). 초등수학 교수법-수학 오개념과 오류 바로잡기. 서울: 경문사.
Van de Walle, J. A. (2004). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally, 5th edition. Pearson Education. 남승인 외 (역) (2008). 수학을 어떻게 가르칠 것인가. 서울: 경문사.
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