The purpose of this study is to investigate how students' mathematical creativity changes through problem-solving instruction using problem-posing for elementary school students and to explore instructional methods to improve students' mathematical creativity in school curriculum. In this study, non...
The purpose of this study is to investigate how students' mathematical creativity changes through problem-solving instruction using problem-posing for elementary school students and to explore instructional methods to improve students' mathematical creativity in school curriculum. In this study, nonequivalent control group design was adopted, and the followings are main results. First, problem-solving lessons with problem-posing had a significant effect on students' mathematical creativity, and all three factors of mathematical creativity(fluency, flexibility, originality) were also significant. Second, the lessons showed meaningful results for all upper, middle, and lower groups of pupils according to the level of mathematical creativity. When analyzing the effects of sub-factors of mathematical creativity, there was no significant effect on fluency in the upper and middle groups. Based on the results, we suggest followings: First, there is a need for a systematic guidance plan that combines problem-solving and problem-posing, Second, a long-term lesson plan to help students cultivate novel mathematical problem-solving ability through insights. Third, research on teaching and learning methods that can improve mathematical creativity even for students with relatively high mathematical creativity is necessary. Lastly, various student-centered activities in math classes are important to enhance creativity.
The purpose of this study is to investigate how students' mathematical creativity changes through problem-solving instruction using problem-posing for elementary school students and to explore instructional methods to improve students' mathematical creativity in school curriculum. In this study, nonequivalent control group design was adopted, and the followings are main results. First, problem-solving lessons with problem-posing had a significant effect on students' mathematical creativity, and all three factors of mathematical creativity(fluency, flexibility, originality) were also significant. Second, the lessons showed meaningful results for all upper, middle, and lower groups of pupils according to the level of mathematical creativity. When analyzing the effects of sub-factors of mathematical creativity, there was no significant effect on fluency in the upper and middle groups. Based on the results, we suggest followings: First, there is a need for a systematic guidance plan that combines problem-solving and problem-posing, Second, a long-term lesson plan to help students cultivate novel mathematical problem-solving ability through insights. Third, research on teaching and learning methods that can improve mathematical creativity even for students with relatively high mathematical creativity is necessary. Lastly, various student-centered activities in math classes are important to enhance creativity.
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문제 정의
따라서 본 연구에서는 초등학교 학생들을 대상으로 문제 만들기를 적용한 문제 해결 수업을 통해 학생들의 수학적 창의성이 얼마나 변화하는지를 알아보고, 학교 교육과정 내에서 학생들의 수학적 창의성을 향상시키기 위한 구체적인 지도 방안을 모색하고자 한다. 또한 학생들의 창의성 수준에 따라 효과적인 창의성 향상 지도 방안을 찾아보고자 하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
본 연구는 초등학교 6학년 학생들에게 문제 만들기 활동을 적용한 문제해결 수업을 실시한 후 수학적 창의성 및 수학적 창의성의 세 가지 하위요인별 측정 결과가 비교집단과 어떠한 차이를 보이는지, 실험집단을 수준별로 분류하였을 때 각 집단의 수학적 창의성 결과 차이가 어떻게 나타나는지를 분석함으로써, 이러한 수학 수업의 수학적 창의성 교육에 대한 효과뿐만 아니라 구체적인 교수방법을 알아보고자 하였다. 본 연구 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
가설 설정
첫째, 문제 만들기 활동을 적용한 문제해결 수업을 실시한 실험집단과 일반 문제해결 수업을 한 비교집단 사이의 수학적 창의성에 차이가 있는가?
그 결과<표Ⅲ-1>는 과 같다. 표에서 알 수 있듯이 학업성취도 결과 비교에서 두 집단이 거의 동질집단임을 가정할 수 있다.
제안 방법
이 연구를 위한 연구대상은 경상남도 창원시의 S초등학교 6학년 2개 학급을 선정하였다. 1개 반을 실험집단으로 설정하고, 나머지 반 중에서 학업성취도 평가 결과가 실험집단과 비슷한 1개 반을 비교집단으로 설정하였다. 연구문제 2를 실행하기 위하여 실험집단을 사전 창의성 검사 결과에 따라 상(7명), 중(9명), 하(7명)로 나누었다.
두 검사지의 난이도를 맞추기 위하여, 연구자는 참고한 두 가지 검사지에서 각각의 문항을 분석하여 비슷한 관련사고 영역끼리 분류하였으며, 비슷한 관련사고 영역으로 분류된 문항의 난이도를 분석하여 상, 중, 하 세 단계로 나누었다.
둘째, 본 연구에서는 상당한 기간 동안 수학 문제를 게시함으로써 문제의 해결 방법을 다양하게 생각할 수 있도록 학생들의 사고를 자극하였다. 이는 학생들의 수학적 창의성의 하위요소 중 특히 독창성을 향상시키는 데 크게 기여한 것으로 보인다.
이 단원에서 공부한 내용은 ‘정비례와 반비례’이다. 따라서 학생들은 정비례식을 구해서 문제를 해결하는 방법과 표를 그려 문제를 해결하는 방법을 가장 먼저 제시하였다. 또한, 그림과 수직선을 이용하는 해결 방법도 제안하였다.
따라서 학생들은 정비례식을 구해서 문제를 해결하는 방법과 표를 그려 문제를 해결하는 방법을 가장 먼저 제시하였다. 또한, 그림과 수직선을 이용하는 해결 방법도 제안하였다. 문제 해결 과정 역시, 1차시 수업에 비하여 매우 정교화되어 있음을 알 수 있다.
이 연구의 연구문제를 해결하기 위하여 먼저 사전에 실시한 학업성취도 평가를 t-검정을 통해 실험집단과 비교집단 사이의 동질성 검사를 실시하였다. 문제설정을 적용한 문제해결 수업을 실시하기 전과 후, 실험집단과 비교집단 전체에 대해 창의적 문제 해결력 검사를 각각 실시하였다. 연구과제 1을 해결하기 위해 두 집단의 사전검사와 사후검사 결과는 t-검정을 통해 분석하였으며, 연구과제 2의 해결을 위해 실험집단에 대한 사전검사와 사후검사는 비모수 검정(윌콕슨 부호 순위 검정)을 통해 분석하였다.
본 검사는 한국교육개발원의 수학 창의적 문제해결력 검사지(김홍원, 김명숙, 방승진, 황동주, 1997)와, 김원석(2011)의 수학적 창의성 검사지 문항을 재구성하여 사전·사후 검사지를 제작하였다.
문제 만들기에 대한 연구의 대부분이 문제해결수업 중에 문제 만들기를 활동을 실시하여 그 결과를 분석하였으며, 학생들이 수업 중에 직접 만든 문제를 수업이 끝난 후에도 오랜 시간 동안 생각하고 탐구하도록 지도한 연구는 찾아보기 힘들었다. 본 연구에서는 Torrance와 Safter의 부화 모형을 참고하여 수학수업을 실시 한 후 교과내용을 넘어서 후속활동을 해 나가는 부화단계를 적극적으로 반영하였다. 즉, 문제 만들기를 적용한 문제해결 수업을 실시하고 학생들이 만든 문제에 대해 상당한 기간 동안 다양한 풀이 방법을 생각해 보는 시간을 갖도록 하였으며.
본 연구에서는 수학적 창의성의 하위요인으로 정의한 유창성, 융통성, 독창성 세 가지를 각각 평가하며, 각 문항에 따른 채점 기준 예시는 과 같다.
비슷한 수준의 2개 반을 선정하여 사전 수학 창의적 문제해결력 검사( 참고)를 실시한 후 1개 반은 실험집단으로 문제 만들기를 적용한 문제해결 수업을 실시하고, 다른 1개 반은 비교집단으로 일반적인 문제해결 수업을 실시하였다. 이후 사후 수학 창의적 문제해결력 검사를 실시한 후 각 집단의 사전 검사와 사후 검사 점수를 비교하였다
정비례와 반비례) 중 문제해결 차시를 각 2차시씩 총 6차시로 수업을 설계하고 실시하였다. 설계한 모든 수업이 끝나고 사후 동형검사를 통하여 문제 만들기를 적용한 문제해결 수업이 수학적 창의성에 미치는 영향을 살펴보았다.
1개 반을 실험집단으로 설정하고, 나머지 반 중에서 학업성취도 평가 결과가 실험집단과 비슷한 1개 반을 비교집단으로 설정하였다. 연구문제 2를 실행하기 위하여 실험집단을 사전 창의성 검사 결과에 따라 상(7명), 중(9명), 하(7명)로 나누었다.
비슷한 수준의 2개 반을 선정하여 사전 수학 창의적 문제해결력 검사( 참고)를 실시한 후 1개 반은 실험집단으로 문제 만들기를 적용한 문제해결 수업을 실시하고, 다른 1개 반은 비교집단으로 일반적인 문제해결 수업을 실시하였다. 이후 사후 수학 창의적 문제해결력 검사를 실시한 후 각 집단의 사전 검사와 사후 검사 점수를 비교하였다
이후, 비슷한 관련사고 영역에서 같은 난이도의 문항을 2개씩 총 8개의 문항을 선별하여 각각 4개의 문항으로 사전·사후 검사지를 제작하였다.
학기 초 실험집단 2개 반 중 1개 반에 대하여 사전검사를 실시하였다. 이후, 실험집단에 대하여 6학년 2학기 3개의 단원(2. 비례식과 비례배분, 3. 원기둥, 원뿔, 구, 5. 정비례와 반비례) 중 문제해결 차시를 각 2차시씩 총 6차시로 수업을 설계하고 실시하였다. 설계한 모든 수업이 끝나고 사후 동형검사를 통하여 문제 만들기를 적용한 문제해결 수업이 수학적 창의성에 미치는 영향을 살펴보았다.
본 연구에서는 Torrance와 Safter의 부화 모형을 참고하여 수학수업을 실시 한 후 교과내용을 넘어서 후속활동을 해 나가는 부화단계를 적극적으로 반영하였다. 즉, 문제 만들기를 적용한 문제해결 수업을 실시하고 학생들이 만든 문제에 대해 상당한 기간 동안 다양한 풀이 방법을 생각해 보는 시간을 갖도록 하였으며. 이러한 활동이 수학적 창의성에 어떤 영향을 미치는지에 대해서 살펴보았다.
학기 초 실험집단 2개 반 중 1개 반에 대하여 사전검사를 실시하였다. 이후, 실험집단에 대하여 6학년 2학기 3개의 단원(2.
효과적인 문제 만들기 활동을 위하여 과 같이 수업 활동지를 제작하였고, 단원별로 모둠별 활동지, 개인별 활동지 총 2개의 활동지를 제작하였다.
이러한 결과는 수학 문제 만들기를 적용한 문제해결 수업이 학생들의 수학적 창의성 신장에 긍정적인 영향을 주었음을 알 수 있으며, 이를 통해 문제해결 수업에서 문제 만들기 활동이 중요한 수업 전략임을 다시 한번 확인할 수 있다. 효과적인 수업을 위하여 문제 만들기 활동을 하면서 모둠에서 가장 창의적으로 문제를 만든 학생에게 보상하는 활동을 넣어 최대한 독창적인 문제를 만들 수 있게 하였으며, 몇 차례의 활동을 통해 학생들은 문제를 바꾸는 여러 가지 방법들 즉, 숫자 바꾸기, 장면 바꾸기, 정보 제공하기 등 다양한 방법을 조합하여 새로운 문제를 만들어내도록 장려하였다.
대상 데이터
본 연구의 대상이 6학년이고 연구 실행 기간이 2학기이므로, 2학기 5단원 가운데 2단원 비례식과 비례배분, 3단원 원기둥·원뿔·구, 5단원 정비례와 반비례 3개의 단원을 선정하여 문제 만들기를 적용한 수업을 와 같이 구성하였다.
<표Ⅳ-4>와 같이 위의 모든 결과를 종합해 볼 때, 수학 문제 만들기를 적용한 문제해결 수업은 학생들의 수학적 창의성에 효과가 있으며, 수학적 창의성의 하위 요소인 유창성, 융통성, 독창성 3개의 영역에서도 사후에는 통계적으로 유의한 차이가 있음을 알 수 있다. 여기서 사후검사의 비교집단에서 답안을 아예 작성하지 않고 빈 검사지를 제출한 학생들이 있어서 23명 가운데 17명의 검사 결과를 분석하였다.
이 연구를 위한 연구대상은 경상남도 창원시의 S초등학교 6학년 2개 학급을 선정하였다. 1개 반을 실험집단으로 설정하고, 나머지 반 중에서 학업성취도 평가 결과가 실험집단과 비슷한 1개 반을 비교집단으로 설정하였다.
데이터처리
”에 대한 결과를 분석 하기 위해, 실험집단과 비교집단을 대상으로 실험 전·후 수학 창의적 문제해결력 검사(: 사전검사)를 실시하고 그 차이를 분석하였다.
다음으로 실험 후 실시한 수학 창의적 문제해결력 검사 결과가 각 사전에 나눈 세 집단별로 어떤 차이를 보이는지에 대해 비모수 검정을 실시하여 그 차이를 분석하였다.
실험집단과 비교집단의 학업성취도 평가 평균 차이를 검증하기 위하여 1학기 지필평가 점수에 대하여 독립표본 t-검증을 실시하였다. 그 결과<표Ⅲ-1>는 과 같다.
문제설정을 적용한 문제해결 수업을 실시하기 전과 후, 실험집단과 비교집단 전체에 대해 창의적 문제 해결력 검사를 각각 실시하였다. 연구과제 1을 해결하기 위해 두 집단의 사전검사와 사후검사 결과는 t-검정을 통해 분석하였으며, 연구과제 2의 해결을 위해 실험집단에 대한 사전검사와 사후검사는 비모수 검정(윌콕슨 부호 순위 검정)을 통해 분석하였다.
이 연구의 연구문제를 해결하기 위하여 먼저 사전에 실시한 학업성취도 평가를 t-검정을 통해 실험집단과 비교집단 사이의 동질성 검사를 실시하였다. 문제설정을 적용한 문제해결 수업을 실시하기 전과 후, 실험집단과 비교집단 전체에 대해 창의적 문제 해결력 검사를 각각 실시하였다.
다음으로 실험 후 실시한 수학 창의적 문제해결력 검사 결과가 각 사전에 나눈 세 집단별로 어떤 차이를 보이는지에 대해 비모수 검정을 실시하여 그 차이를 분석하였다. 표본의 수가 작고 실험 전 결과 값과 실험 후 결과 값이 짝을 이루고 있으며 분포에 대한 가정이 어렵기 때문에 비모수적 방법 중 윌콕슨 부호 순위 검정(Wilcoxon Signed Rank Test)를 실시하였다.
이론/모형
문제 만들기를 적용한 문제해결 수업을 위하여 Polya의 문제해결 질문 권고 목록 및 Torrance의 부화 모형을 적용한 수업 단계를 와 같이 설정하였다.
본 연구에서도 학생들의 수학적 창의성 측정을 위하여 Haylock(1987), Silver (1997), Leikin과 Lev(2013), 이경화(2015) 등 에서 제시된 세 가지 하위요소 즉, 유창성, 융통성, 독창성을 기준으로 분석하며, 그 내용은 과 같다.
본 연구의 연구문제를 해결하기 위하여 비동등 통제집단설계(nonequivalent control group design)를 적용하였으며 구체적인 실험 설계 모형은 와 같다.
성능/효과
1~4차시의 수업을 거치고 5~6차시에 들어섰을 때 [그림Ⅳ-2]처럼 학생들이 제시하는 문제 해결 방법이 다양해지고, 해결 과정도 보다 정교해짐을 확인하였다.
넷째, 문제 해결 수업과 문제 만들기 수업은 교사 중심의 수업이 아닌, 학생들 스스로가 함께 고민하고 의견을 공유하며 다양한 해결책을 찾는 활동이 중심이 되어야 한다. 즉 창의성 신장을 위한 수업은 학생이 중심이 되어 학생들의 다양한 활동이 주가 되는 수업이 되어야 할 것이다.
넷째, 처음 문제 만들기를 적용한 문제 해결 수업에서 학생들이 만든 문제들은 기존 문제에서 몇 가지 조건을 바꾸는 정도였다. 그러나 수업을 몇 차례 거치면서 학생들은 기존의 문제를 상상하기 어려울 만큼 독창적으로 문제를 만들어내는 것을 확인할 수 있었다.
다섯째, 수학 문제 만들기를 적용한 문제해결 수업의 수학적 창의성에 대한 효과가 수학적 창의성의 수준에 따른 상, 중, 하 집단 모두에서 유의미한 결과가 나타났다. 그러나 수학적 창의성의 하위요소에 대하여 분석했을 때, 상위집단 및 중위집단에서는 유창성에서 유의미한 향상은 나타나지 않았다.
전체 점수에 대해서도 유의한 차이가 있는 것으로 나타났다. 따라서 수학 문제 만들기를 적용한 문제해결 수업은 상위, 중위 집단에서는 수학적 창의성의 하위요소 중 융통성, 독창성에서 유의한 효과를 보이고 있으며, 하위 집단에서는 유창성, 독창성에서 유의한 효과를 나타내었다. 일반적으로 융통성과 독창성을 유창성에 비해 더 중요한 창의성 요소라는 견해가 많으므로, 이러한 학습방법이 하위 집단 보다는 상위 및 중위 집단의 창의성 향상에 더 효과적이라고 말할 수 있다.
셋째, 수학 문제 만들기를 적용한 문제 해결 수업을 진행하면서 학생들의 문제 탐색 및 해결 과정에서 점점 더 다양한 해결 방안을 제시하고, 해결 과정도 정교화되고 있음을 확인할 수 있었다. 특히 이 과정은 모둠 활동을 중심으로 이루어졌으며, 여러 학생들이 함께 고민하고 의견을 나누는 과정을 통해 다양한 방법을 공유하고 문제 해결 과정을 보다 정교화시키는 기회가 되었음을 알 수 있다.
원기둥의 부피를 구하기 위해서 먼저 밑면의 넓이를 구해야 하는데, 이 때 옆면 가로의 길이인 원주를 이용하여 밑면의 반지름을 먼저 찾았다. 예시에 적용할 수 있는 수학적 개념에 원주를 구하는 식, 원의 넓이를 구하는 식 등 원기둥의 부피를 구하기 위해 기본적으로 필요한 내용들을 적지 않았으나, 해결 과정을 상당히 상세하게 나타내고 있음을 알 수 있다.
<표Ⅳ-4>와 같이 위의 모든 결과를 종합해 볼 때, 수학 문제 만들기를 적용한 문제해결 수업은 학생들의 수학적 창의성에 효과가 있으며, 수학적 창의성의 하위 요소인 유창성, 융통성, 독창성 3개의 영역에서도 사후에는 통계적으로 유의한 차이가 있음을 알 수 있다. 여기서 사후검사의 비교집단에서 답안을 아예 작성하지 않고 빈 검사지를 제출한 학생들이 있어서 23명 가운데 17명의 검사 결과를 분석하였다.
첫째, 수학 문제 만들기를 적용한 문제해결 수업 후 학생들의 수학적 창의성에서 유의미한 결과가 나타났으며, 수학적 창의성의 세 가지 하위요인(유창성, 융통성, 독창성)에 대해서도 모두 유의미한 결과를 보였다. 이러한 결과는 수학 문제 만들기를 적용한 문제해결 수업이 학생들의 수학적 창의성 신장에 긍정적인 영향을 주었음을 알 수 있으며, 이를 통해 문제해결 수업에서 문제 만들기 활동이 중요한 수업 전략임을 다시 한번 확인할 수 있다.
첫째, 학생들은 문제를 해결한 후에도 기존의 문제를 변형하거나 새로운 문제를 만들어 봄으로써 창의적이고 확산적인 사고 활동을 이어나갈 수 있다. 따라서 문제 해결과 문제 만들기를 결합한 체계적인 지도 방안이 필요하다.
후속연구
끝으로, 본 연구는 경상남도 창원시의 S초등학교 6학년 2개 학급 학생을 대상으로 비교적 단기간에 실시되었으므로 연구결과를 다른 학년 및 다른 지역의 학생들까지 일반화하는 데는 제한점이 있을 수 있다.
둘째, 학생들이 끊임없이 수학적 사고를 이어나가고 통찰을 통해 독창적인 해를 찾거나, 더 나아가 새로운 수학적 지식을 창출해낼 수 있도록 장기적인 수업 계획과 이에 따른 교재 연구 및 개발이 필요하다.
셋째, 수학적 창의성이 비교적 높은 집단의 학생들은 수학적 창의성의 하위요소 중 유창성 부분이 처음부터 상당히 높게 나타났으므로, 유창성보다는 융통성과 독창성을 더욱 신장시킬 수 있는 교수·학습 방법을 찾아 적용할 필요가 있다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
수학적 창의성 향상을 위한 창의적인 과정의 최초 모델은?
학생들의 수학적 창의성을 향상시키기 위한 창의적인 과정에 대한 최초 모델은 잘 알려진 Wallas의 준비, 부화, 감지, 조명, 검증의 5단계 모델이라고 할 수 있으며, Sio & Ormerod(2009)는 2009년까지 이루어진 연구들을 토대로 부화 단계를 거치는 것이 문제해결에 긍정적인 영향을 미친다는 주장을 결론으로 제시하였다. Torrance & Safter(1990)는 부화단계를 교육에 도입한 ‘부화 수업모형’을 제안하였고, Torrance(1979)가 일찍이 제시했던 3단계 부화 수업 모형에서 1단계에서는 학생들의 학습의욕을 고취시키기 위하여 주의 집중, 호기심 유발, 상상력 자극 등 의 활동이 이루어진다.
급변하고 다양하며 복잡해지는 21세기 사회에서는 어떤 능력이 중요한가?
21세기의 사회는 매우 급속도로 변화하고 있으며, 더욱 다양하고 복잡해지고 있다. 이러한 사회에서는 다양한 지식을 적절히 활용하여 문제를 재구성하고 해결하는 능력, 적절하게 질문할 수 있는 능력, 그리고 창의적 사고력 등이 매우 중요하다. 미래 사회에서 필요한 지식은 대체로 이미 알려져 있는 지식이 아니라 새롭게 재구성된 지식이나 창조된 지식이며, 이러한 지식을 생성할 수 있는 능력이 바로 사고력을 기반으로 한 창의성이라 할 수 있다.
수학적 창의성을 기르는데 문제 만들기 활동이 좋은 방법이라는 점을 뒷받침하는 연구는?
문제를 해결하는 활동이 끝난 후 주어진 문제를 변형하여 새로운 문제를 만드는 문제 만들기 활동도 수학적 창의성을 기르는 좋은 한 가지 방법이다. NCTM(2000) 에서는 현대가 요구하는 수학적 소양을 갖추기 위하여 아동들은 수학 시간에 주어진 상황으로부터 문제를 새롭게 꾸며보거나 주어진 문제에서 조건을 바꾸어 새로운 문제를 구성해 볼 수 있는 기회를 가져야 함을 언급하였다. Brown & Walter(1993), Silver(1997), Silver & Cai(2005) 등은 수학 문제 만들기가 그동안 꾸준히 강조되어 왔던 수학적 문제 해결만큼 중요하다고 밝힌 바 있으며, 최근의 수학 교육에서는 문제 만들기가 상당히 주목을 받고 있는 것으로 보인다.
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