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문제 정의
- 본 연구에서는 수학 문제 만들기 활동에 나타난 학생들의 수학적 창의성을 분석하였다. 이를 위해 초등학교 3학년 상 수준 5명, 중 수준 7명, 하 수준 4명을 포함한 16명 학생을 연구대상으로 문제 만들기 활동을 포함한 정규 수학 수업을 8주 동안 30분은 교과서의 내용으로 진행하였고, 나머지 10분은 문제 만들기 활동으로 진행하였다.
- 본 연구의 목적은 수학 수업에서 문제 만들기 활동 결과를 이용하여 초등학교 3학년 학생들의 수학적 창의성을 분석하는 것이다. 이를 위해 학기 초에 실시한 학업 성취도 평가와 담임교사의 수시 관찰 평가 결과를 바탕으로 초등학교 3학년 연구 대상 학생 16명을 상 수준 5명, 중 수준 7명, 하 수준 4명의 세 수준으로 나누었다.
- 이에 본 논문은 수학 문제 만들기 활동에 나타난 학생들의 창의성 정도를 분석해 보고자 한다. 이를 위해 수학 문제 만들기 활동에서 학생들이 만든 문제를 이용하여 학생별, 성취 수준별에 따라 수학적 창의성을 유창성, 융통성, 독창성 영역으로 나누어 창의성 점수를 산출하였다.
제안 방법
- 결과적으로 학생들이 스스로 만든 문제를 이용하여 조건 변경, 일반화 추구, 새로운 유형 제시로 구분하여 문항의 질적 분석을 한 결과, 다음과 같은 것을 알 수 있었다. 첫째, 학생들이 만든 문제의 수에서는 상, 중, 하 수준의 학생들 간에 큰 차이가 나타나지 않았다.
- 이 절에서는 학생들이 스스로 만든 문제를 옳게 해결할 수 있는 문제만을 대상으로 하여 학생들의 창의성 점수 산출을 위해 유창성, 융통성, 독창성 영역으로 구분하고, 이를 바탕으로 창의성 점수를 산출하여 분석하였다. 그리고 분석은 학생별ㆍ성취 수준별로 구분하여 실시하였다.
- 이를 위해 학기 초에 실시한 학업 성취도 평가와 담임교사의 수시 관찰 평가 결과를 바탕으로 초등학교 3학년 연구 대상 학생 16명을 상 수준 5명, 중 수준 7명, 하 수준 4명의 세 수준으로 나누었다. 그리고 연구 대상 학생들과 문제 만들기 활동을 포함한 정규 수학 수업을 8주 동안 수학 시간에 진행하였다. 수업은 40분 수업을 두 부분으로 나누어 30분은 교과서의 내용으로 진행하였고, 나머지 10분은 문제 만들기 활동으로 진행하였다3).
- 그리고 학생들이 산출한 문제를 바탕으로 ‘조건 변경, 일반화 추구, 새로운 유형 제시’로 구분하여 문항의 질적 분석을 하였다.
- 따라서 문제 만들기 활동에서 보여주는 창의적인 능력과 다른 기법을 활용한 다양한 영역의 창의적인 능력과의 관계에 대한 추가적인 연구가 필요하다. 넷째, 본 연구에서는 문제 만들기 활동을 8주간 실시하면서 문제 만들기 활동을 한 결과를 바탕으로 창의성 점수를 산출하였다. 그런데 시간의 경과에 따른 창의성 점수에서는 상관관계를 발견할 수가 없었다.
- 이러한 방식의 장점은 한 가지 반응에 대해 그 반응의 창의적인 가치를 독창성과 융통성 및 유창성에 기반을 두고, 차별화하여 점수화할 수 있다는 것이다. 따라서 본 연구에서는 문제 만들기 활동에서 학생들의 창의성을 분석하기 위하여 Leikin(2009)의 방법을 변형하여 사용하기로 하였다.
- 자료 분석에서는 학생별, 성취 수준별에 따라 수학적 창의성을 유창성, 융통성, 독창성 영역으로 나누어 각 값을 산출한 후에 창의성 점수를 산출하였다. 또한 학생들이 산출한 문제에 대한 내용의 질적 분석을 위하여 학생들이 산출한 문제를 바탕으로 조건 변경, 일반화 추구, 새로운 유형 제시로 문제를 구분하여 문항의 질적 분석을 하였다.
- 수업은 연구자와 문제 만들기 수업 방법에 대한 협의와 논의를 거쳐 담임교사에 의해 진행되었다. 문제 만들기 활동을 위해 연구 대상 16명의 학생들에게 문제 만들기 활동을 위한 사전 교육을 실시하였다. 사전 교육에서는 Brown & Walter(1983)가 제시하는 What if not 전략에 따라 문제를 만들고 해결해 보도록 하였다.
- 문제 만들기 활동을 통해 학생들의 수학적 창의성을 분석하기 위한 자료를 수집하기 위하여 3, 6, 8주차의 수업 외 시간을 활용하여 별도로 제작한 2개 문제씩을 원 문제로 하여 문제 만들기 활동을 하고, 학생들의 결과물을 수집하여 창의성 정도를 분석하였다.
- 본 연구에서 학생들이 만든 문제에 대한 유창성, 융통성, 독창성 영역에 대한 분석은 에서 제시한 분석 방법을 따랐으며, 본 연구에서 이용한 문제와 학생의 반응에 따른 분석의 예는 다음과 같다.
- 분석 방법은 창의성 분석 방법과 마찬가지로 학생별ㆍ성취 수준별로 구분하여 분석하였다. 상 수준 학생의 문항 구성 방법은 <표 Ⅳ-4>와 같다.
- 수학적 창의성의 주요 요소인 유창성, 융통성, 독창성 영역의 점수를 산출하기 위하여, 과 같이 Leikin(2009)에서 다양한 해결책이 있는 문제해결에 대한 창의성 분석 방법을 문제 만들기에 적합하도록 재구성하여 활용하였다.
- 이 절에서는 학생들이 산출한 문제에 대한 내용의 질적 분석을 위하여 학생들이 산출한 문제를 조건 변경(C), 일반화 추구(G), 새로운 유형 제시(N)로 구분하여 문항의 질적 분석을 하였다. 본 연구에서 학생들이 만든 문제에 대한 질적 분석의 예를 다음 <그림 Ⅳ-2>와 같이 제시하였다.
- 이 절에서는 학생들이 스스로 만든 문제를 옳게 해결할 수 있는 문제만을 대상으로 하여 학생들의 창의성 점수 산출을 위해 유창성, 융통성, 독창성 영역으로 구분하고, 이를 바탕으로 창의성 점수를 산출하여 분석하였다. 그리고 분석은 학생별ㆍ성취 수준별로 구분하여 실시하였다.
- 이에 본 논문은 수학 문제 만들기 활동에 나타난 학생들의 창의성 정도를 분석해 보고자 한다. 이를 위해 수학 문제 만들기 활동에서 학생들이 만든 문제를 이용하여 학생별, 성취 수준별에 따라 수학적 창의성을 유창성, 융통성, 독창성 영역으로 나누어 창의성 점수를 산출하였다. 그리고 학생들이 산출한 문제를 바탕으로 ‘조건 변경, 일반화 추구, 새로운 유형 제시’로 구분하여 문항의 질적 분석을 하였다.
- 본 연구에서는 수학 문제 만들기 활동에 나타난 학생들의 수학적 창의성을 분석하였다. 이를 위해 초등학교 3학년 상 수준 5명, 중 수준 7명, 하 수준 4명을 포함한 16명 학생을 연구대상으로 문제 만들기 활동을 포함한 정규 수학 수업을 8주 동안 30분은 교과서의 내용으로 진행하였고, 나머지 10분은 문제 만들기 활동으로 진행하였다. 문제 만들기 활동을 위해 연구 대상 16명의 학생들에게 문제 만들기 활동을 위한 사전 교육을 실시하였다.
- 본 연구의 목적은 수학 수업에서 문제 만들기 활동 결과를 이용하여 초등학교 3학년 학생들의 수학적 창의성을 분석하는 것이다. 이를 위해 학기 초에 실시한 학업 성취도 평가와 담임교사의 수시 관찰 평가 결과를 바탕으로 초등학교 3학년 연구 대상 학생 16명을 상 수준 5명, 중 수준 7명, 하 수준 4명의 세 수준으로 나누었다. 그리고 연구 대상 학생들과 문제 만들기 활동을 포함한 정규 수학 수업을 8주 동안 수학 시간에 진행하였다.
- 자료 분석에서는 학생별, 성취 수준별에 따라 수학적 창의성을 유창성, 융통성, 독창성 영역으로 나누어 각 값을 산출한 후에 창의성 점수를 산출하였다. 또한 학생들이 만든 문제에 대한 분석 대상으로는 스스로 만든 문제를 해결할 수 있는 문제의 효율성을 만족하는 문제만으로 하였다.
성능/효과
- 각 수준별 학생들의 창의성 점수는 전반적으로 성취 수준이 높을수록 높게 나타났다. 그렇지만 문항별에 따라 창의성 점수에서는 큰 차이가 나는 것으로 나타났으며, 이러한 현상은 성취 수준이 높을수록 심하였고, 상대적으로 성취 수준이 낮은 학생들에게서는 각 문항 간에 큰 차이를 보이지 않았다.
- 47이었으며, 중 수준과 하 수준 학생들의 창의성 점수에 비해 아주 높게 나타났다. 각 학생별로는 학생 D의 창의성 점수가 가장 높았으며, 학생 C가 가장 낮은 창의성 점수를 보였다. 그렇지만 학생 C의 창의성 점수는 중 수준과 하 수준 학생 중 한 명(학생 H)을 제외하고 가장 높게 나타났다.
- 92였으며, 상 수준 학생들의 창의성 점수에 비해서도 크게 낮지만, 하 수준의 학생들의 창의성 점수에 비해서도 아주 높게 나타났다. 각 학생별로는 학생 H의 창의성 점수가 가장 높았으며, 학생 F의 창의성 점수가 가장 낮게 나타났다.
- 그리고 문항구성 방법에서는 ‘조건 변경’ 문제가 ‘새로운 유형 제시’ 문제보다 6배 이상 높게 나타났으며, 이런 결과는 상 수준 학생들에 비해 훨씬 큰 차이를 나타내었다.
- 그리고 상 수준 학생의 문항 구성 방법을 살펴보면, 문제에 제시된 조건을 변경한 ‘조건 변경’ 문제는 전체 구성 문항 중 69.7%, 주어진 문제에서 특별한 상황에 적용할 수 있는 일반적인 형식을 만드는 ‘일반화 추구’ 문제는 0%, 문제의 해나 수학적 접근 방법, 적용되는 연산, 원리나 정리가 부합되는 문제를 구성하는 ‘새로운 유형 제시’ 문제는 30.3%로 나타났다.
- 그리고 전체 문항에 따라 학생들이 산출한 문항의 수에서는 큰 차이는 없었지만, 문항 구성 방법에서는 ‘조건 변경’ 문제가 ‘새로운 유형 제시’ 문제보다 2배 이상 높게 나타났으며, ‘일반화 추구’ 문제는 하나도 산출하지 못하였다.
- 그리고 중 수준 학생의 문항 구성 방법을 살펴보면, 문제에 제시된 조건을 변경한 ‘조건 변경’ 문제는 전체 구성 문항 중 85.4%, 주어진 문제에서 특별한 상황에 적용할 수 있는 일반적인 형식을 만드는 ‘일반화 추구’ 문제는 0%, 문제의 해나 수학적 접근 방법, 적용되는 연산, 원리나 정리가 부합되는 문제를 구성하는 ‘새로운 유형 제시’ 문제는 14.6%로 나타났다.
- 그리고 창의성 점수가 높은 중 수준 학생들의 창의성 점수도 상 수준의 창의성 점수와 유사하게 각 문항 간에 창의성 점수에서 큰 차이가 나타났다. 그렇지만 높은 수준의 창의성 점수를 나타낸 학생 중에서 학생 H와 학생 K는 6문제 중에서 학생 H는 2, 4, 5번에, 학생 K는 1번에 높은 점수를 받은 것을 제외하고는 나머지 5명의 학생들의 창의성 점수와 유사하게 낮은 창의성 점수를 나타내었다.
- 그리고 하 수준 학생의 문항 구성 방법을 살펴보면, 문제에 제시된 조건을 변경한 ‘조건 변경’ 문제는 전체 구성 문항 중 96.4%, 주어진 문제에서 특별한 상황에 적용할 수 있는 일반적인 형식을 만드는 ‘일반화 추구’ 문제는 0%, 문제의 해나 수학적 접근 방법, 적용되는 연산, 원리나 정리가 부합되는 문제를 구성하는 ‘새로운 유형 제시’ 문제는 3.6%로 나타났다.
- 첫째, 창의성의 점수에 대한 전체 평균으로 볼 때 성취수준별에 따라 상, 중, 하 수준에 따라 낮은 창의성 점수의 결과를 나타내었다. 둘째, 학생들은 문항에 따라 발현되는 창의성의 정도가 차이가 있음을 알 수 있었다. 따라서 문제해결에 필요한 원리나 학습 내용에 따라 창의성 발현의 정도를 확인할 필요가 있음을알 수 있다.
- 이것은 앞 절에서 알아본 바와 같이, 창의성 점수에서는 상, 중, 하 수준의 학생들 간에 큰 차이가 나타난 것과는 다른 결과이다. 둘째, 학생들이 만든 문제를 분석한 결과, 학생들은 수준에 관계없이 조건을 변경하여 문제를 만드는 비율이 아주 높았다. 그리고 이러한 현상은 상, 중, 하 순으로 갈수록 더욱 심해졌다.
- 그리고 문항에 따라 학생들의 창의성의 정도가 차이가 있음을 알 수 있었는바, 문제해결에 필요한 원리나 학습 내용에 따라 창의성 발현의 정도를 확인할 필요가 있음을 알 수 있었다. 둘째, 학생들이 만든 문제의 수에서는 상, 중, 하 수준의 학생들 간에 큰 차이가 나타나지 않았다. 이것은 앞 절에서 알아본 바와 같이 창의성 점수에서는 상, 중, 하 수준의 학생들 간에 큰 차이가 나타난 것과는 다른 결과이다.
- 따라서 상 수준의 학생들과 비교했을 경우에, 학생들이 산출한 문항의 수에서는 큰 차이는 없었지만, 구성한 문제의 내용 면에서는 ‘새로운 유형 제시’ 방법보다 ‘조건 변경’ 방법을 이용한 문제 만들기에 치중되어 있음을 알 수 있다.
- 그렇지만 반대로 새로운 유형의 문제를 만드는 면에서는 수준이 높을수록 비례하여 증가하는 것을 나타내었다. 셋째, 모든 학생들은 일반화를 추구하는 문제 만들기를 시도하지 못하였다. 이러한 결과는 연구대상이 3학년임을 고려할 때 당연한 결과로 받아들여진다.
- 따라서 문제해결에 필요한 원리나 학습 내용에 따라 창의성 발현의 정도를 확인할 필요가 있음을알 수 있다. 셋째, 본 연구에서 구분한 성취 수준은 연구가 시작되기 전에 학기 초에 실시한 성취도 평가와 교사의 수시 관찰 결과를 바탕으로 하였는바, 성취 수준과 창의성 점수에서 역전 현상을 보여주는 학생들이 관찰되었다. 따라서 문제 만들기 활동에서 보여주는 창의적인 능력과 다른 기법을 활용한 다양한 영역의 창의적인 능력과의 관계에 대한 추가적인 연구가 필요하다.
- 먼저, 상 수준 학생의 창의성 점수는 <표 Ⅳ-1>과 같다. 전체적으로 상 수준 5명 학생들의 창의성 점수의 평균은 1140.47이었으며, 중 수준과 하 수준 학생들의 창의성 점수에 비해 아주 높게 나타났다. 각 학생별로는 학생 D의 창의성 점수가 가장 높았으며, 학생 C가 가장 낮은 창의성 점수를 보였다.
- 다음으로 중 수준 학생들의 창의성 점수는 <표 Ⅳ-2>와 같다. 전체적으로 중 수준 7명 학생들의 창의성 점수의 평균은 113.92였으며, 상 수준 학생들의 창의성 점수에 비해서도 크게 낮지만, 하 수준의 학생들의 창의성 점수에 비해서도 아주 높게 나타났다. 각 학생별로는 학생 H의 창의성 점수가 가장 높았으며, 학생 F의 창의성 점수가 가장 낮게 나타났다.
- 마지막으로 하 수준 학생의 창의성 점수는 <표 Ⅳ-3>과 같다. 전체적으로 하 수준 4명 학생들의 창의성 점수의 평균은 13.44였으며, 상 수준과 중 수준의 학생들에 비해서 현저히 낮게 나타났다. 각 학생별로는 학생 M의 창의성 점수가 가장 높았으며, 이것은 중 수준의 4명의 학생들 보다 높게 나타났다.
- 결과적으로 학생들이 스스로 만든 문제를 이용하여 학생들의 창의성 점수를 산출하여 분석한 결과, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다. 첫째, 창의성의 점수에 대한 전체 평균으로 볼 때 성취수준별에 따라 상, 중, 하 수준에 따라 낮은 창의성 점수의 결과를 나타내었다. 둘째, 학생들은 문항에 따라 발현되는 창의성의 정도가 차이가 있음을 알 수 있었다.
- 결과적으로 학생들이 스스로 만든 문제를 이용하여 조건 변경, 일반화 추구, 새로운 유형 제시로 구분하여 문항의 질적 분석을 한 결과, 다음과 같은 것을 알 수 있었다. 첫째, 학생들이 만든 문제의 수에서는 상, 중, 하 수준의 학생들 간에 큰 차이가 나타나지 않았다. 이것은 앞 절에서 알아본 바와 같이, 창의성 점수에서는 상, 중, 하 수준의 학생들 간에 큰 차이가 나타난 것과는 다른 결과이다.
후속연구
- 또한 수학의 다양한 영역에서 창의성 정도를 측정하는 연구와 그들 사이의 상관관계를 분석할 필요가 있다. 더불어 문제 만들기 활동을 활용하여 창의성을 측정하는 연구에서 문제 만들기 과정에 대한 질적 연구가 병행되어야 할 것이다.
- 셋째, 본 연구에서 구분한 성취 수준은 연구가 시작되기 전에 학기 초에 실시한 성취도 평가와 교사의 수시 관찰 결과를 바탕으로 하였는바, 성취 수준과 창의성 점수에서 역전 현상을 보여주는 학생들이 관찰되었다. 따라서 문제 만들기 활동에서 보여주는 창의적인 능력과 다른 기법을 활용한 다양한 영역의 창의적인 능력과의 관계에 대한 추가적인 연구가 필요하다. 넷째, 본 연구에서는 문제 만들기 활동을 8주간 실시하면서 문제 만들기 활동을 한 결과를 바탕으로 창의성 점수를 산출하였다.
- 또한 개개의 학생별로도 각 문항 간에 창의성 점수에서 큰 차이가 나타났다. 따라서 문제 만들기 활동에서 학생들의 창의성 점수와 문제해결에 필요한 원리나 학습 내용과 같은 변인간의 관계에 대해서 추가적인 연구와 분석이 필요함을 알 수 있다.
- 본 연구에서 성취 수준과 창의성 점수에서 역전을 보여주는 학생이 관찰되듯이, 문제 만들기 활동에서 보이는 창의적 능력과 다른 기법을 활용한 다양한 영역의 창의적인 능력과의 관계에 대한 추가연구가 필요하다. 또한 수학의 다양한 영역에서 창의성 정도를 측정하는 연구와 그들 사이의 상관관계를 분석할 필요가 있다.
- 셋째, 모든 학생들은 일반화를 추구하는 문제 만들기를 시도하지 못하였다. 이러한 결과는 연구대상이 3학년임을 고려할 때 당연한 결과로 받아들여지지만, 추후의 일반화 능력의 신장을 위해 저학년에서부터 귀납적 추론을 요구하는 다양한 활동이 필요함을 알 수 있다.
- 예를 들어, 학생들의 수학적 창의성을 길러줄 수 있는 문제를 제시하거나(Sheffield, 2006), 다양한 답을 가지는 문제를 이용하여 창의성을 평가하거나(Leikin, 2009), 수학적 사고와 창의성의 연결을 통해 수학적 창의성을 고등 수학적 사고의 유형으로 제시하기도 하고(Evynck, 1991), 수학적 능력과 연결 짓기도 한다(Krutetskii, 1976). 이에 덧붙여 창의성의 연구에서 주요 위치를 차지하고 있는 확산적 사고의 측면에서 창의성 발현을 촉진하고, 그 결과를 확인하기 위해서는 산출된 아이디어에 대한 유창성, 융통성, 독창성, 정교성과 같은 준거를 바탕으로 학생들의 창의성을 평가할 수 있는 방안을 탐구할 필요가 있다. 이를 위한 방안으로 문제 만들기 활동을 들 수 있다.
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