다중해법 문제는 수학적 창의성 함양에 적합하다고 알려져 왔다. 그런데 학생들이 제시한 다중해법들이 모두 유용하거나 의미 있는지, 학생들이 다중해법을 찾아 나가면서 어떤 사고를 하는지에 대한 연구는 매우 부족하다. 본 연구는 학생들이 제시한 다중해법 간에 질적 차이가 존재하는지, 존재한다면 수학적 창의성의 관점에서 어떤 차이인지를 확인하는 데 목표를 둔다. 이를 위해 영재교육원에 재원 중인 중학교 2학년 학생 8명에게 두 가지 버전의 과제를 제시한 후, 해법 간에 나타난 질적 차이를 분석하였다. 연구 결과, 처음에 제시한 해법과 나중에 제시한 해법 간에 차이가 있었으며, 유연성과 독창성 면에서 질적으로 상당한 차이가 나타났다. 이에 다중해법 문제를 설계하고 적용함에 있어 이와 같은 질적 차이를 고려할 필요가 있음을 결론으로 제시하였다.
다중해법 문제는 수학적 창의성 함양에 적합하다고 알려져 왔다. 그런데 학생들이 제시한 다중해법들이 모두 유용하거나 의미 있는지, 학생들이 다중해법을 찾아 나가면서 어떤 사고를 하는지에 대한 연구는 매우 부족하다. 본 연구는 학생들이 제시한 다중해법 간에 질적 차이가 존재하는지, 존재한다면 수학적 창의성의 관점에서 어떤 차이인지를 확인하는 데 목표를 둔다. 이를 위해 영재교육원에 재원 중인 중학교 2학년 학생 8명에게 두 가지 버전의 과제를 제시한 후, 해법 간에 나타난 질적 차이를 분석하였다. 연구 결과, 처음에 제시한 해법과 나중에 제시한 해법 간에 차이가 있었으며, 유연성과 독창성 면에서 질적으로 상당한 차이가 나타났다. 이에 다중해법 문제를 설계하고 적용함에 있어 이와 같은 질적 차이를 고려할 필요가 있음을 결론으로 제시하였다.
Tasks of multiple solutions have been said to be suitable for the cultivation of mathematical creativity. However, studies on the fact that multiple solutions presented by students are useful or meaningful, and students' thoughts while finding multiple solutions are very short. In this study, we set...
Tasks of multiple solutions have been said to be suitable for the cultivation of mathematical creativity. However, studies on the fact that multiple solutions presented by students are useful or meaningful, and students' thoughts while finding multiple solutions are very short. In this study, we set goals to confirm the qualitative differences among the multiple solutions presented by the students and, if present, from the viewpoint of mathematical creativity. For this reason, after presenting the set of tasks of the two versions to eight mathematically gifted students of the second-grade middle school, we analyzed qualitative differences that appeared among the solutions. In the study, there was a difference among the solution presented first and the solutions presented later, and qualitatively substantial differences in terms of flexibility and creativity. In this regard, it was concluded that the need to account for such qualitative differences in designing and applying multiple solutions should be considered.
Tasks of multiple solutions have been said to be suitable for the cultivation of mathematical creativity. However, studies on the fact that multiple solutions presented by students are useful or meaningful, and students' thoughts while finding multiple solutions are very short. In this study, we set goals to confirm the qualitative differences among the multiple solutions presented by the students and, if present, from the viewpoint of mathematical creativity. For this reason, after presenting the set of tasks of the two versions to eight mathematically gifted students of the second-grade middle school, we analyzed qualitative differences that appeared among the solutions. In the study, there was a difference among the solution presented first and the solutions presented later, and qualitatively substantial differences in terms of flexibility and creativity. In this regard, it was concluded that the need to account for such qualitative differences in designing and applying multiple solutions should be considered.
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문제 정의
그렇지 않을 경우 풀이 순서를 확인하기 어려울 수 있고, 풀이 과정이 생략되거나 해답 간에 중첩되어 학생들의 풀이를 연구자가 해석하기 힘들 수 있다. 둘째, 많은 학생이 다중해법을 제시할 수 있게 하기 위해서이다. 일반적으로 문제를 해결할 때, 답을 얻기 위한 다양한 과정보다는 답을 산출하는 데에 더 큰 관심을 두기 때문에 두 가지 버전의 활동지를 배부하였다.
본 연구는 학생들이 순서대로 제시한 다중해법 간에 수학적 창의성 관점에서 질적인 차이가 있는지를 알아보기 위한 연구이다. 이를 위해 학생들에게 두 가지 버전의 활동지를 배부하였으며, 두 번째 활동지는 첫 번째 활동지와 달리 제시문의 마지막 부분에 가능한 다양한 방법으로 해결하라는 조건을 추가하였다.
본 연구에서는 창의성의 구성요소인 유창성, 유연성, 독창성, 정교성을 가지고 창의성 분석을 하고자 한다. 해법의 개수로 유창성을, 서로 다른 해법의 범주 개수로 유연성을 평가한다.
본 연구의 목적은 학생들이 순서대로 제시한 다중해법 간에 질적 차이가 있는지를 수학적 창의성 관점에서 확인하는 데에 있다. 따라서 특정한 사례를 상세하고 심층적으로 분석하여 탐구하는 사례 연구 방법을 사용하였다(우정호 외, 2006).
본 연구의 목표는 학생들이 순서대로 제시한 다중해법 과제의 답안 간에 수학적 창의성의 관점에서 질적 차이가 있는지를 알아보는 것이다. 따라서 중학교 1학년 교과서에서 볼 수 있는 유형의 과제 3개를 다중해법 과제로 변형하여 설계하였다.
이에 본 연구에서는 우선 창의성과 수학적 창의성의 정의, 연구 대상 등의 연구 흐름을 살펴보고, 수학적 창의성을 평가하기 위한 요소와 평가 도구를 개관한 후, 다중해법 과제를 정의하고자 한다. 이를 근거로 창의성 평가 도구를 개발하여 학생들에게 테스트한 후 학생들이 순서대로 제시한 다중해법 간에 수학적 창의성 관점에서 질적인 차이가 있는지를 알아보고자 한다.
이에 본 연구에서는 우선 창의성과 수학적 창의성의 정의, 연구 대상 등의 연구 흐름을 살펴보고, 수학적 창의성을 평가하기 위한 요소와 평가 도구를 개관한 후, 다중해법 과제를 정의하고자 한다. 이를 근거로 창의성 평가 도구를 개발하여 학생들에게 테스트한 후 학생들이 순서대로 제시한 다중해법 간에 수학적 창의성 관점에서 질적인 차이가 있는지를 알아보고자 한다.
제안 방법
두 번째 과제는 <표 III-2>와 같이 5개 범주의 해법을 가진 다중해법 과제이고, 세 번째 과제는 <표 III-3>과 같이 쌓기나무 관련 과제이다. 다중해법 과제는 과제 3중에서 활동2-3)과 활동3-3)인데, 난도가 높기 때문에 이를 활동 3개로 세분화하였다. 특히, 활동3-3)에서 전체 면의 개수를 구하기 위해서는 수열, 급수와 같은 선행지식이 필요하다.
본 연구의 목표는 학생들이 순서대로 제시한 다중해법 과제의 답안 간에 수학적 창의성의 관점에서 질적 차이가 있는지를 알아보는 것이다. 따라서 중학교 1학년 교과서에서 볼 수 있는 유형의 과제 3개를 다중해법 과제로 변형하여 설계하였다. 수학교육 연구원들의 온라인 커뮤니티를 통해 과제를 검토받았고, 과제 3은 별도로 3명의 수학교육 전문가에게 조언을 받음으로써 과제 타당성을 확보하였다.
본 연구의 목적은 학생들이 순서대로 제시한 다중해법 간에 질적 차이가 있는지를 수학적 창의성 관점에서 확인하는 데에 있다. 따라서 특정한 사례를 상세하고 심층적으로 분석하여 탐구하는 사례 연구 방법을 사용하였다(우정호 외, 2006).
본 연구는 학생들이 순서대로 제시한 다중해법 간에 수학적 창의성 관점에서 질적인 차이가 있는지를 알아보기 위한 연구이다. 이를 위해 학생들에게 두 가지 버전의 활동지를 배부하였으며, 두 번째 활동지는 첫 번째 활동지와 달리 제시문의 마지막 부분에 가능한 다양한 방법으로 해결하라는 조건을 추가하였다. 학생들이 제출한 답안지의 분석은 답안 유형과 답안 제시 순서, 전체 해법 공간에서의 비율 등에 주목하여 이루어졌다.
자료 분석은 학생들이 작성한 활동지를 중심으로 하였다. 활동지에 적혀 있는 답안을 분류하였고, 그다음으로 첫 번째 버전의 활동지와 두 번째 버전의 활동지에 적힌 답안의 차이에 주목하였다.
두 번째 버전의 활동지에는 과제는 똑같지만 각 문항 마다 다양한 방법으로 풀어보라는 조건을 추가하였다. 학생들에게 먼저 첫 번째 버전의 활동지를 배부하고, 문제를 해결하게 하였다. 다 해결한 학생들에게는 두 번째 버전의 활동지를 배부하였다.
학생들의 활동은 토요일 1차시에 걸쳐 이루어졌다. 학생들이 순서대로 제시한 다중해법 간에 유연성, 독창성, 정교성 면에서 질적인 차이가 있는지를 명확히 하기 위해 학생들에게 2가지 버전의 활동지를 배부하여 45분 동안 해결하게 하였다.
학생들의 활동은 토요일 1차시에 걸쳐 이루어졌다. 학생들이 순서대로 제시한 다중해법 간에 유연성, 독창성, 정교성 면에서 질적인 차이가 있는지를 명확히 하기 위해 학생들에게 2가지 버전의 활동지를 배부하여 45분 동안 해결하게 하였다.
본 연구에서는 창의성의 구성요소인 유창성, 유연성, 독창성, 정교성을 가지고 창의성 분석을 하고자 한다. 해법의 개수로 유창성을, 서로 다른 해법의 범주 개수로 유연성을 평가한다. 독창성은 전체 해법 공간1)과 해당 영역의 해법 공간의 비율을 가지고 평가하며, 정교성은 풀이 과정의 정교화, 세련됨을 가지고 평가한다.
자료 분석은 학생들이 작성한 활동지를 중심으로 하였다. 활동지에 적혀 있는 답안을 분류하였고, 그다음으로 첫 번째 버전의 활동지와 두 번째 버전의 활동지에 적힌 답안의 차이에 주목하였다. 학생들의 풀이에 대한 해석이 불가능한 경우나 추가 확인이 필요한 부분에 대해서는 개별적으로 학생들에게 연락을 취하여 확인하였다.
대상 데이터
이 중 남학생은 5명, 여학생은 3명이다. 대상자로 선정된 8명은 교육지원청 영재선발 고사에 합격한 학생으로서 수학에 관심과 흥미가 높고, 수학적 성취능력이 뛰어난 학생들이다. 이후부터는 이 8명의 학생을 S1, S2,,, S8으로 지칭한다.
연구자가 다중해법 간의 질적 차이를 확인하기 위해서는 학생들이 수학에 흥미와 관심이 있고, 문제에 제시된 조건에 맞는 다양한 답을 제시하여야 한다. 따라서 본 연구에서는 서울 소재의 지역교육지원청 영재교육원에 재원 중인 2학년 학생들을 연구대상으로 삼았다. 이 중 남학생은 5명, 여학생은 3명이다.
따라서 본 연구에서는 서울 소재의 지역교육지원청 영재교육원에 재원 중인 2학년 학생들을 연구대상으로 삼았다. 이 중 남학생은 5명, 여학생은 3명이다. 대상자로 선정된 8명은 교육지원청 영재선발 고사에 합격한 학생으로서 수학에 관심과 흥미가 높고, 수학적 성취능력이 뛰어난 학생들이다.
성능/효과
두 번째 풀이 전략에서는 범주3 유형을 많이 이용했으며, 이 유형은 세 번째 풀이 전략인 범주2 유형보다 전체 해법에서 차지하는 비율이 높다. 결과적으로 풀이 순서에 따라서 첫 번째보다는 두 번째, 두 번째보다는 세 번째 풀이 전략의 독창성이 높았다.
넷째, 과제별로 첫 번째 풀이 전략이 속한 범주에 편중된 정도가 달랐다. 본 연구에서는 과제 1과 과제 2의 경우 첫 번째 풀이 전략이 한 범주에 편중된 정도가 심하지만, 과제 3의 활동 2-3)과 3-3)에서는 편중된 정도가 약했다.
다섯째, 과제별로 답안을 제시한 정도가 달랐다. 과제의 난도에 따라 해법을 한 가지도 제시하지 못한 학생부터 세 가지의 해법을 제시한 학생까지 있었다.
이 사실과 <표 IV-2>에서의 수치 비교를 통해 첫 번째 풀이 전략의 독창성이 두 번째, 세 번째 풀이 전략들의 독창성보다 낮다는 것을 알 수 있다. 두 번째 풀이 전략에서는 범주3 유형을 많이 이용했으며, 이 유형은 세 번째 풀이 전략인 범주2 유형보다 전체 해법에서 차지하는 비율이 높다. 결과적으로 풀이 순서에 따라서 첫 번째보다는 두 번째, 두 번째보다는 세 번째 풀이 전략의 독창성이 높았다.
둘째, 영재 학생들은 현재 방법보다 더 효율적이지 않거나, 세련되지 않은 풀이, 또는 독창적이지 않은 풀이라면 해결 전략으로 제시하지 않는 경향이 있었다. 이는 과제 1에서 S3이 첫 번째 방법으로 평균을 이용해 간단히 해결한 후, 나머지 모든 학생이 사용한 범주1의 일반적인 풀이 방법을 제시하지 않았다는 점과 과제 3의 활동 3-3)에서 정사영을 이용해 해결한 S5가 층별로 구하는 범주1에 해당하는 풀이를 제시하지 않았다는 점 그리고 다양한 해결 전략을 제시하지 않은 이유로 다른 풀이의 필요성을 느끼지 못해서라고 답변한 것을 근거로 들 수 있다.
두 번째 그룹은 창의성 평가 요소 중 두 가지가 발현된 경우이며 유창성과 정교성이 발현된 사례와 유창성과 유연성이 발현된 사례가 있었다. 마지막으로 창의성의 평가 요소 중 세 가지가 발현된 경우에는 유창성과 유연성, 독창성이 함께 드러난 사례가 있었다. 학생들이 두 개 이상의 해법을 제시하기 위해서는 먼저 제시한 해법과 관련된 내용 기반 고착과 알고리즘 고착(Haylock, 1987, 1997)에서 벗어나야 하는데, 그 정도에 따라 유창성만 발현될 수도 있고, 유창성과 유연성 그리고 독창성이 함께 발현될 수 있다.
범주1 유형은 과제 1과 같은 유형의 문제를 해결할 때 가장 널리 사용되는 문제해결 전략으로써, 학생들은 주어진 문제를 해결할 때 가장 익숙하고, 알고리즘에 의해 해결할 수 있는 전략 또는 기존에 성공 경험이 있는 알고리즘(Haylock, 1987, 1997)을 사용한다는 것을 확인할 수 있다. 범주1 유형은 식을 세우기는 쉽지만, 방정식의 해를 구하는 과정은 복잡하다.
넷째, 과제별로 첫 번째 풀이 전략이 속한 범주에 편중된 정도가 달랐다. 본 연구에서는 과제 1과 과제 2의 경우 첫 번째 풀이 전략이 한 범주에 편중된 정도가 심하지만, 과제 3의 활동 2-3)과 3-3)에서는 편중된 정도가 약했다. 과제 특성을 살펴보면 과제 1, 2는 대수 문제이고, 학생들이 이와 유사한 유형의 과제를 많이 풀어보아서 그들에게 익숙하고, 이전의 성공 경험이 있는 알고리즘에 의해 상대적으로 쉽게 해결할 수 있는 과제였다.
본 연구에서는 학생들이 순서대로 제시한 다중해법 간에 수학적 창의성 관점에서 질적 차이가 있는지를 확인하고자 하였고, 영재 학생들을 대상으로 연구한 결과 다중해법 간에 질적 차이가 있는 것으로 확인이 되었다. 따라서 창의성 함양 또는 평가를 위해 다중해법 과제를 설계하고 적용을 할 때 이와 같은 질적인 차이를 고려할 필요가 있다.
문제를 해결하긴 했지만, 학생들에게 의미 있는 수학 활동이기보다는 기존의 해결 방법을 회상하거나 기존 절차에 의해서 쉽게 해결할 수 있는 모방적인 활동이다. 분석 방법에서 예측한 바와 같이 학생들이 첫 번째로 제시한 답안보다는 이후에 제시한 답안에서 창의성의 구성 요소인 정교성, 유연성, 독창성이 드러났다.
셋째, 학생들의 다중해법에 발현된 창의성의 평가 요소(유창성, 유연성, 독창성, 정교성)의 개수에 따라 학생들의 다중해법을 세 가지 그룹으로 구별할 수 있었다. 첫 번째 그룹은 창의성 평가 요소 중 한 가지만 발현된 경우로, 유창성만 발현된 경우와 독창성만 발현된 사례가 있었다.
여섯째, 수업에서 다중해법 과제를 이용하여 학생들의 창의성을 함양시킬 수 있다는 점을 시사한다. 이는 학생들의 첫 번째 해법보다는 그 이후의 해법이 더 창의적이라는 사실에서 그리고 학생들이 수학 영역 간에 연결을 지어 과제를 해결하는 것에 어려움을 보였다는 점을 근거로 한다.
학생들이 제출한 답안지의 분석은 답안 유형과 답안 제시 순서, 전체 해법 공간에서의 비율 등에 주목하여 이루어졌다. 연구 결과로부터 학생들의 해법 제시 순서에 따른 과제의 질에 차이가 있다는 것을 알게 되었고, 특히 독창성과, 유연성, 정교성 면에서 차이가 있다는 사실을 확인하였다. 이를 통해 학생들이 순서대로 제시한 다중해법 간에 창의성 관점에서 차이가 있다는 결론을 얻을 수 있었으며, 이와 관련하여 다음과 같은 논의를 할 수 있다.
첫 번째 풀이 전략이면서 범주2에 해당하는 해법의 비율은 전체 해법 공간의 44.4%를 차지하며, 의 값을 통해 첫 번째 풀이 전략의 독창성이 두 번째, 세 번째 풀이 전략들의 독창성보다 낮다는 것을 알 수 있다.
첫째, 학생들이 첫 번째로 제시한 답안과 나중에 제시한 답안 간에 수학적 창의성 측면에서 질적인 차이가 있었다. 첫 번째 풀이 방법은 학생들이 쉽게 생각해낼 수 있고, 알고리즘에 의해 답을 구할 수 있는 경우가 대다수였고, 이는 Lithner(2008)의 알고리즘에 의한 풀이, 모방적인 해결 방법이었다.
후속연구
본 연구와 관련하여 일반 학생을 대상으로 했을 때도 같은 결과가 나오는지, 영재 학생을 대상으로 한 연구와 어떤 차이가 있는지에 대한 후속 연구가 이루어지길 기대한다. 또한 다중해법 과제를 통한 창의성 측정과 평가에 관한 연구는 많지만, 창의성 함양을 위해 다중해법 과제를 이용한 연구는 미흡한 실정을 고려하여, 다중해법 과제를 이용해서 수업했을때 학생들의 창의성이 함양되는지에 대한 후속 연구가 이루어지길 기대한다.
이는 과제 1에서 S3이 첫 번째 방법으로 평균을 이용해 간단히 해결한 후, 나머지 모든 학생이 사용한 범주1의 일반적인 풀이 방법을 제시하지 않았다는 점과 과제 3의 활동 3-3)에서 정사영을 이용해 해결한 S5가 층별로 구하는 범주1에 해당하는 풀이를 제시하지 않았다는 점 그리고 다양한 해결 전략을 제시하지 않은 이유로 다른 풀이의 필요성을 느끼지 못해서라고 답변한 것을 근거로 들 수 있다. 만일 이 과제가 어떠한 선발을 위한 과제이거나 또는 다중해법을 많이 제시할수록 더 큰 보상을 한다고 할 때도 같은 결과가 도출될지에 대해서는 추가 연구가 필요하다.
따라서 창의성 함양 또는 평가를 위해 다중해법 과제를 설계하고 적용을 할 때 이와 같은 질적인 차이를 고려할 필요가 있다. 본 연구와 관련하여 일반 학생을 대상으로 했을 때도 같은 결과가 나오는지, 영재 학생을 대상으로 한 연구와 어떤 차이가 있는지에 대한 후속 연구가 이루어지길 기대한다. 또한 다중해법 과제를 통한 창의성 측정과 평가에 관한 연구는 많지만, 창의성 함양을 위해 다중해법 과제를 이용한 연구는 미흡한 실정을 고려하여, 다중해법 과제를 이용해서 수업했을때 학생들의 창의성이 함양되는지에 대한 후속 연구가 이루어지길 기대한다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
발산적 사고를 창의성의 주된 구성 요소로 보는 이유는?
예를 들어, 수학자의 위대한 업적에 준하는 것만을 창의성으로 보는 입장에서의 수학적 산출물과 학생이 고착된 사고에서 벗어나는 것까지 창의성으로 보는 입장에서의 그것은 확연히 다르다. 창의성의 구성요소는 직관과 통찰(Ervynck, 1991), 발산적사고(Leikin, 2009; Leikin & Lev, 2013; Silver, 1997), 고착에서 벗어나는 것(Haylock, 1987) 등 다양하지만, Guilford(1967)가 발산적 사고를 창의적인 사고로 규정하고, Torrence(1974)가 유창성과 유연성, 독창성, 정교성 등 발산적 사고를 기반으로 한 창의성 평가 검사지를 개발한 이후로 발산적 사고를 창의성의 주된 구성 요소로 본다. 발산적 사고를 평가하기 위한 도구로는 문제 만들기(e.
창의성의 구성요소는?
예를 들어, 수학자의 위대한 업적에 준하는 것만을 창의성으로 보는 입장에서의 수학적 산출물과 학생이 고착된 사고에서 벗어나는 것까지 창의성으로 보는 입장에서의 그것은 확연히 다르다. 창의성의 구성요소는 직관과 통찰(Ervynck, 1991), 발산적사고(Leikin, 2009; Leikin & Lev, 2013; Silver, 1997), 고착에서 벗어나는 것(Haylock, 1987) 등 다양하지만, Guilford(1967)가 발산적 사고를 창의적인 사고로 규정하고, Torrence(1974)가 유창성과 유연성, 독창성, 정교성 등 발산적 사고를 기반으로 한 창의성 평가 검사지를 개발한 이후로 발산적 사고를 창의성의 주된 구성 요소로 본다. 발산적 사고를 평가하기 위한 도구로는 문제 만들기(e.
수학 연구 분야 안에서의 창의성 연구는?
2007 개정 교육과정 이래로 창의성은 학생들이 길러야 할 핵심역량 중 하나가 되었고, 수학 연구 분야 안에서도 창의성 연구는 활발하게 이루어지고 있다. 내용 면에서는 창의적인 개인, 창의적인 과정, 창의적 산출물, 창의성에 영향을 미치는 환경에 관한 연구 등이 있으며, 이들 각각을 분리해서 연구하지 않고, 인지적인 측면과 정의적인 측면, 환경적인 측면을 통합하여 연구하는 것이 최근의 흐름이다(이경화, 2015).
참고문헌 (29)
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Leikin, R., & Lev, M. (2013). Mathematical creativity in generally gifted and mathematically excelling adolescents: What makes the difference?. Zdm, 45(2), 183-197.
Leikin, R., & Levav-Waynberg, A. (2008). Solution spaces of multiple-solution connecting tasks as a mirror of the development of mathematics teachers' knowledge. Canadian Journal of Science, Mathematics, and Technology Education, 8(3), 233-251.
Levav-Waynberg, A., & Leikin, R. (2012). The role of multiple solution tasks in developing knowledge and creativity in geometry. Journal of Mathematical Behavior, 31, 73-90.
Pehkonen, E. (1997). Introduction to the concept "open-ended problem". In Pehkonen, E.(Ed.), Use of Open-Ended Problems in Mathematics Classroom (pp.7-11). Helsinki University
Sheffield, L. J. (2009). Developing mathematical creativity-questions may be the answer. In R. Leikin, A. Berman, & B. Koichu (Eds.), Creativity in mathematics and the education of gifted students (pp. 87-100). Rotterdam: Sense Publishers.
Silver, E. A. (1997). Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and problem posing. ZDM, 29(3), 75-80.
Sriraman, B. (2005). Are giftedness and creativity synonyms in mathematics? An analysis of constructs within the professional and school realms. The Journal of Secondary Gifted Education, 17, 20-36.
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