본 논문에서는, 볼-빔 시스템에 입-출력 궤환 선형화 기법을 적용하여 추종 궤적 r(t)를 추종하도록 제어기를 설계하였다. 설계한 제어기로 시뮬레이션 및 실험에 적용한 결과, 실험에서 오차가 크게 발생하였다. 이러한 이유는 외란 및 입력정합조건을 만족하지 못해 발생한 것으로 판단되어 볼-빔 시스템의 기존 모델링에서 적절한 외란을 추가하여, 시뮬레이션을 통해 실험 결과와 비슷한 유효한 모델링임을 입증하였다. 그러나, 여전히 저하된 성능으로 인해 bang-bang 제어기를 추가로 적용하였다. 결과적으로, 시스템의 불확실성에 대해 강인하고 향상된 성능을 시뮬레이션 및 실험결과를 통해 검증하였다.
본 논문에서는, 볼-빔 시스템에 입-출력 궤환 선형화 기법을 적용하여 추종 궤적 r(t)를 추종하도록 제어기를 설계하였다. 설계한 제어기로 시뮬레이션 및 실험에 적용한 결과, 실험에서 오차가 크게 발생하였다. 이러한 이유는 외란 및 입력정합조건을 만족하지 못해 발생한 것으로 판단되어 볼-빔 시스템의 기존 모델링에서 적절한 외란을 추가하여, 시뮬레이션을 통해 실험 결과와 비슷한 유효한 모델링임을 입증하였다. 그러나, 여전히 저하된 성능으로 인해 bang-bang 제어기를 추가로 적용하였다. 결과적으로, 시스템의 불확실성에 대해 강인하고 향상된 성능을 시뮬레이션 및 실험결과를 통해 검증하였다.
In this paper, we apply the input-output linearization technique to tracking the follow-up trajectory r(t) in the ball-beam system. There exist system disturbance and various uncertainties, the conventional input-output linearization based control yields some noticeable errors in tracking performanc...
In this paper, we apply the input-output linearization technique to tracking the follow-up trajectory r(t) in the ball-beam system. There exist system disturbance and various uncertainties, the conventional input-output linearization based control yields some noticeable errors in tracking performance. As a result, a new robust control technique for the uncertainty of the system was proposed and its improved performance verified through simulation and experimental results. So, more realistic system model is obtained with unmatched uncertainties and disturbance. Then, in order to improve the control performance, a new optimal bang-bang control input is additionally added.
In this paper, we apply the input-output linearization technique to tracking the follow-up trajectory r(t) in the ball-beam system. There exist system disturbance and various uncertainties, the conventional input-output linearization based control yields some noticeable errors in tracking performance. As a result, a new robust control technique for the uncertainty of the system was proposed and its improved performance verified through simulation and experimental results. So, more realistic system model is obtained with unmatched uncertainties and disturbance. Then, in order to improve the control performance, a new optimal bang-bang control input is additionally added.
* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.
문제 정의
이에 따라, 초기 과도상태에서 정상상태 궤도로 진입하는 단계의 상태값으로부터 bang-bang 제어기를 추가하였고, bang-bang 제어기의 효과로 인해 시뮬레이션 및 실험 결과에서 추종 오차를 감소시키는 보다 향상된 성능을 확인하였다. 따라서, 외란 및 입력정합조건에 부합하지 못하면서 파라미터의 불확실성에 대해서도 강인하고 성능을 향상시키는 새로운 제어 기법을 제안하였다.
제안 방법
그리고 스위칭의 횟수가 적으면 쇠공이 추종 궤적을 추종하면서 bang-bang 입력전압이 한 방향으로만(+ or –방향) 입력되어 치우지게 되고, 스위칭이 많으면 기존의 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기 보다 bang-bang 제어기의 영향이 더 커져 성능이 저하될 수 있기 때문에, 스위칭 횟수에 대한 영향을 관찰하기 위해 스위칭 수 N은 1초를 기준으로 0 ∼ 24회까지 설정하였다.
다음은 파라미터 Kbb의 불확실성과 추가한 외란 dex1,dex2,dex3,dex4를 시뮬레이션 및 실험을 통해 볼-빔 시스템의 강인성을 확인하고, 유효한 모델링인 것을 검증한다.
볼-빔 시스템(Ball and beam system) 역시 불확실성을 포함하고 있기 때문에 예외가 아니지만, [9],[10]을 바탕으로 불확실성을 포함하고 있더라도 조정제어를 통해 시뮬레이션과 실험결과 간에 큰 차이가 없는 것을 확인할 수 있다. 따라서, 이번 연구는 볼-빔 시스템의 추종 제어를 다루기로 한다. 먼저, 볼-빔 시스템에 입-출력 궤환 선형화 기법을 적용하여 시뮬레이션 및 실험을 비교한 결과 [9],[10]과는 달리 큰 차이가 발생하였다.
그 결과, 시뮬레이션 및 실험 결과에서 모두 오차의 경계를 감소시킴으로써 저하되었던 추종의 성능을 향상시켰다. 따라서, 파라미터의 불확실성에 대해서는 강인성을 그리고 외란 및 입력정합조건에 부합하지 못하는 불확실성에 대해서도 성능을 향상시키는 새로운 강인한 제어 기법을 제안하였고, 시뮬레이션 및 실험 결과를 통해 입증하였다.
이에 따라, 실험 환경과 유사한 조건을 갖추기 위해 볼-빔 시스템의 상태방정식에 시변외란을 임의로 추가하다보니 자연스럽게 입력정합조건을 만족하지 못하는 시스템이 되었다. 또한, 제안한 제어기의 강인성을 입증하기 위해 볼-빔 시스템에서 불확실성을 포함하는 파라미터 Kbb에 대해서도 함께 고려하였다. 이렇게 외란, 입력정합조건, 파라미터의 불확실성을 고려한 시스템 제어기의 시뮬레이션을 통해 유효한 모델링인 것을 입증하였다.
본 논문에서는, 볼-빔 시스템에 입-출력 궤환 선형화 기법을 적용하여 추종 궤적 r(t)를 추종하도록 제어기를 설계하였다. 그러나, 대부분의 물리적 시스템과 마찬가지로 볼-빔 시스템 또한 외란으로 인해 불가피하게 오차가 발생하였다.
8은 3장의 기존의 시뮬레이션 결과에서 bang-bang 제어기를 t=t1 + (i-1)T ~ t1 + iT동안 추가하여 쇠공의 위치 x1, 모터의 각 x3, 추종오차 e, 입력전압 u를 나타낸 것이다. 앞에서와 마찬가지로 bang-bang 제어기의 성능을 확인하기 위해 극점 및 외란은 동일한 조건에서 진행하였으며, bang-bang 제어기의 입력 전압의 크기는 3.2[v], 스위칭 수는 25초 동안 총 250회를 하였다.
먼저, 볼-빔 시스템에 입-출력 궤환 선형화 기법을 적용하여 시뮬레이션 및 실험을 비교한 결과 [9],[10]과는 달리 큰 차이가 발생하였다. 이러한 이유는 알 수 없는 외란과 입력정합조건에 부합하지 못해 영향을 미친것으로 판단되어 시뮬레이션에서도 실험 환경과 유사한 조건을 갖추기 위해 볼-빔 시스템의 상태방정식에 비선형 성분 즉, 외란을 적절히 추가하여 제어기를 설계하였다. 결과적으로 외란을 추가함으로써 입력정합조건을 만족하지 못하게 되었으며, 재모델링한 제어기로 시뮬레이션과 실험 결과 간에 큰 차이가 없어 유효한 모델링인 것을 입증하였다.
한편, [3],[12]에서는 일정 시간 동안 특정 경계 내에 유한한 스위칭을 통해 시스템의 응답을 유지하는 bang-bang 제어 기법이 보고 되어있다. 이러한 점을 근거하여 본 논문에서는 앞서 언급한 [9],[10]을 통해 볼-빔 시스템에서는 조정 제어가 효과적이지만, 추종 제어에는 부족하여 적절하게 bang-bang 제어 기법을 적용하면 추종 오차의 경계를 감소시키는데 효과적일 것으로 판단되어, bang-bang 제어를 통해 오차의 경계를 감소시켜 성능을 향상시킬 수 있는 제어기를 설계한다.
참고문헌 [9],[10]을 통해 Kbb = 0.4183[m/rad•s2], K = 1.5286[rad/V•s], τ = 0.0248[s]이고, 쇠공의 반경과 빔의 길이를 통해 쇠공의 초기위치와 모터의 초기각을 설정하였다.
성능/효과
(ii) 최적입력 신호 uoptimal은 bang-bang 제어기의 입력신호 u± 로 근사화 할 수 있다.
이러한 이유는 알 수 없는 외란과 입력정합조건에 부합하지 못해 영향을 미친것으로 판단되어 시뮬레이션에서도 실험 환경과 유사한 조건을 갖추기 위해 볼-빔 시스템의 상태방정식에 비선형 성분 즉, 외란을 적절히 추가하여 제어기를 설계하였다. 결과적으로 외란을 추가함으로써 입력정합조건을 만족하지 못하게 되었으며, 재모델링한 제어기로 시뮬레이션과 실험 결과 간에 큰 차이가 없어 유효한 모델링인 것을 입증하였다. 하지만, 여전히 제어기의 저하된 성능은 피할 수 없었다.
관찰 2: 시뮬레이션 결과 fig. 3의 (c)를 관찰하면 외란으로 인해 추종 오차가 대략 6∼8[cm]로 나타났고, 실험 결과 fig. 4의 (c)를 관찰하면 추종 오차가 대략 4∼6[cm]인 것을 확인할 수 있으며, 입력전압의 크기도 유사한 것을 확인할 수 있다.
이에 따라, 기존의 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기가 구동되고 있는 상황에서 쇠공이 초기 과도상태에서 벗어나 정상상태 궤도로 진입하고 있는 단계의 상태값으로부터, 적절한 스위칭 및 bang-bang 입력신호를 특정 시간동안 보충하였다. 그 결과, 시뮬레이션 및 실험 결과에서 모두 오차의 경계를 감소시킴으로써 저하되었던 추종의 성능을 향상시켰다. 따라서, 파라미터의 불확실성에 대해서는 강인성을 그리고 외란 및 입력정합조건에 부합하지 못하는 불확실성에 대해서도 성능을 향상시키는 새로운 강인한 제어 기법을 제안하였고, 시뮬레이션 및 실험 결과를 통해 입증하였다.
2에서 시뮬레이션 결과를 관찰하면 쇠공이 추종 궤적 r(t)를 목표하는 만큼 추종하고 있어 오차가 없는 것을 확인할 수 있다. 그러나 실험 결과를 관찰하면 쇠공이 추종 궤적을 따라 가지 못해 오차가 최대 6[cm]까지 발생한 것을 확인할 수 있다. 이러한 이유는 볼-빔 시스템이 완전한 공칭 모델이 아니며, 알 수 없는 외란 및 입력정합조건(Input matching condition)을 만족하지 못해 오차가 발생한 것을 유추해 볼 수 있다.
따라서, 추종오차와 입력전압이 실제 시스템에 근접하여 큰 차이가 없는 것을 바탕으로 앞에서 수정한 모델링이 유효한 것을 입증하였다. 그러나, 입-출력 궤환 선형화 기법을 적용한 제어기만으로는 추종 궤적 r(t)를 추종하는 성능이 측정잡음, 노이즈, 외란 등으로 인해 만족스럽지 못한 것을 확인할 수 있다. 따라서, 제어기의 성능을 향상시키기 위해서는 입-출력 궤환 선형화 기법에 새로운 강인한 제어기법을 추가하여 더욱더 정밀도를 높일 수 있는 제어가 필요하다.
따라서, 기존의 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기를 구동시키면서 특정 시간의 상태값에서 bang-bang 제어기의 T*를 특정 주기 T<T*로 안정한 값을 설정하여 추가로 적용하면 오차의 경계를 감소시켜 추종 성능을 향상시킬 수 있다.
4의 (c)를 관찰하면 추종 오차가 대략 4∼6[cm]인 것을 확인할 수 있으며, 입력전압의 크기도 유사한 것을 확인할 수 있다. 따라서, 추종오차와 입력전압이 실제 시스템에 근접하여 큰 차이가 없는 것을 바탕으로 앞에서 수정한 모델링이 유효한 것을 입증하였다. 그러나, 입-출력 궤환 선형화 기법을 적용한 제어기만으로는 추종 궤적 r(t)를 추종하는 성능이 측정잡음, 노이즈, 외란 등으로 인해 만족스럽지 못한 것을 확인할 수 있다.
(ii)는 볼-빔 시스템의 허용 가능한 입력 전압이 ±15[v]인 것을 고려하여 적절히 설정하면 하드웨어적으로 아무런 문제가 없다. 또한, 최적의 입력 신호는 제어 성능 측면에서 구현 가능한 bang-bang 입력 신호로 근사화 될 수 있음을 나타내고 있다. 즉, (i),(ii)조건이 충족되고, 실제 새로운 입력신호 uoptimal을 구현하기에는 계산 과정이 복잡하다는 어려움이 있기 때문에, 계산하기 쉬운 time optimal 기법이 필요하며, 한정된 수의 스위칭을 갖는 bang-bang 제어기는 실제로 쉽게 구현이 가능하다는 관점에서 uoptimal = u± 로 대체할 수 있다.
4의 (b)를 관찰한다. 먼저, 주기를 3,5,6초로 나누게 되면 5초 간격일 때, 모터의 각도가 대략적으로 양극단의 최대값( x-(-0.433) ~ x+(+0.156)[rad]) 근처이며, 3,6초 일 때는 제각각인 것을 확인할 수 있다. 다시 분석하면 쇠공의 속도를 감소시키기 위해 모터의 각도가 최대가 되었을 때, 즉, 쇠공의 속도가 0근처가 되는 지점에서 bang-bang 제어기의 입력을 추가해야 관성의 영향을 가장 덜 받을 수 있기 때문에 Table.
앞서 언급했듯이 볼-빔 시스템에 제어기를 적용하여 구동시키면 시스템 자체의 불확실성과 알 수 없는 외란 및 입력정합조건을 만족하지 못해 시뮬레이션과는 달리 실험에서는 오차가 발생하여 성능이 저하된 결과를 확인하였다. 따라서, 시뮬레이션에서도 실험 환경과 비슷한 조건을 갖추기 위해 식 (1)을 다시 표현할 수 있다.
한편, [12]에서는 피드백이 중단되었을 때, 일정 시간 동안 특정 경계 내에 유한한 스위칭을 통해 시스템의 응답을 유지하는 bang-bang 제어 기법이 보고 되어있다. 이러한 점을 근거로 하여 본 논문에서는 앞서 언급한 [9],[10]을 통해 볼-빔 시스템에서는 조정 제어가 효과적이지만, 추종 제어에는 부족하여 적절하게 bang-bang 제어 기법을 적용하면 추종 오차의 경계를 감소시키는데 효과적일 것으로 판단하였다. 이에 따라, 기존의 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기가 구동되고 있는 상황에서 쇠공이 초기 과도상태에서 벗어나 정상상태 궤도로 진입하고 있는 단계의 상태값으로부터, 적절한 스위칭 및 bang-bang 입력신호를 특정 시간동안 보충하였다.
또한, 제안한 제어기의 강인성을 입증하기 위해 볼-빔 시스템에서 불확실성을 포함하는 파라미터 Kbb에 대해서도 함께 고려하였다. 이렇게 외란, 입력정합조건, 파라미터의 불확실성을 고려한 시스템 제어기의 시뮬레이션을 통해 유효한 모델링인 것을 입증하였다. 하지 만, 볼-빔 시스템의 내·외부 요인으로 인해 성능이 저하된 결과를 얻게 되었다.
하지 만, 볼-빔 시스템의 내·외부 요인으로 인해 성능이 저하된 결과를 얻게 되었다. 이에 따라, 초기 과도상태에서 정상상태 궤도로 진입하는 단계의 상태값으로부터 bang-bang 제어기를 추가하였고, bang-bang 제어기의 효과로 인해 시뮬레이션 및 실험 결과에서 추종 오차를 감소시키는 보다 향상된 성능을 확인하였다. 따라서, 외란 및 입력정합조건에 부합하지 못하면서 파라미터의 불확실성에 대해서도 강인하고 성능을 향상시키는 새로운 제어 기법을 제안하였다.
8[v])로 설정하여 추종 오차와 입력 전압을 나타낸 것이다. 입력 전압, 스위칭 횟수 그리고 주기는 모두 작지도 크지도 않은 중간값에서 가장 효과가 돋보였다. 따라서, 시뮬레이션 결과를 통해 B2를 bang-bang 제어기의 기준으로 설정한다.
후속연구
여기서, 입력정합조건이란, 제어 변수들이 포함되어있는 상태방정식에만 불확실성이 들어가야 한다는 구조적 성질이다[7]. 이처럼 볼-빔 시스템의 내적으로 불확실성 요인과 외적으로 외란을 고려하지 않았을 때의 시뮬레이션과 실험 결과를 비교 하였을 때, 오차가 크게 발생했기 때문에 시뮬레이션에서도 실험 환경과 비슷한 조건을 갖춘 좀 더 유효한 모델링을 설계해야 할 필요성이 있다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
대부분 제어 방법의 문제점은?
[1],[3]-[6],[8],[10]-[12],[14]-[17]. 하지만, 대부분의 제어 방법은 입력정합조건(Input matching conditi -on)에 부합할 때, 불확실성에 대한 강인성을 보이거나, 많은 제약조건으로 인해 실제로 설계하기도 힘들고 적용하기도 매우 어렵다. 또한, 입력정합조건에 부합하지 못할 때는 강인성을 보장할 수 없다는 단점이 있다.
bang-bang 제어 기법이란?
하지만, 여전히 제어기의 저하된 성능은 피할 수 없었다. 한편, [12]에서는 피드백이 중단되었을 때, 일정 시간 동안 특정 경계 내에 유한한 스위칭을 통해 시스템의 응답을 유지하는 bang-bang 제어 기법이 보고 되어있다. 이러한 점을 근거로 하여본 논문에서는 앞서 언급한 [9],[10]을 통해 볼-빔 시스템에 서는 조정 제어가 효과적이지만, 추종 제어에는 부족하여 적절하게 bang-bang 제어 기법을 적용하면 추종 오차의 경계를 감소시키는데 효과적일 것으로 판단하였다.
비선형 제어 시스템의 예시는?
한편, [12]에서는 피드백이 중단되었을 때, 일정 시간 동안 특정 경계 내에 유한한 스위칭을 통해 시스템의 응답을 유지하는 bang-bang 제어 기법이 보고 되어있다. 이러한 점을 근거로 하여본 논문에서는 앞서 언급한 [9],[10]을 통해 볼-빔 시스템에 서는 조정 제어가 효과적이지만, 추종 제어에는 부족하여 적절하게 bang-bang 제어 기법을 적용하면 추종 오차의 경계를 감소시키는데 효과적일 것으로 판단하였다. 이에 따라, 기존의 입-출력 궤환 선형화 기반 제어기가 구동되고 있는 상황에서 쇠공이 초기 과도상태에서 벗어나 정상상태 궤도로 진입하고 있는 단계의 상태값으로부터, 적절한 스위칭 및 bang-bang 입력신호를 특정 시간동안 보충하였다.
참고문헌 (17)
S. Aditi and P. Bhanu, "Robust backstepping control of ball and beam system with external disturbance estimator," International Conference on Power Electronics, Intelligent Control and Energy Systems, 2016, pp. 1-5.
C. T. Chen, Linear System Theory and Design, 3rd Ed., Oxford University Press Inc., 1999.
H.-L. Choi and J. Hammer, "Optimal robust control of nonlinear time-delay systems: Maintaining low operating errors during feedback outages," International Journal of Control, vol. 91, no. 2, pp. 297-319, 2018.
J. Huang and C. F. Lin, "Robust nonlinear control of the ball and beam system," American Control Conference, vol. 1, pp. 306-310, 1995.
R. M. Hirschorn, "Incremental sliding mode control of the ball and beam," IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 47, no. 10, pp. 1696-1700, 2002.DOI: 10.1109/TAC.2002.803538
B. K. Jeon, P. H. Chang, and J. Y. Park, "Robust control for the system with unmatched uncertainty," Journal of Control, Automation and Systems Engineering, vol. 7, no. 2 pp. 95-101, 2001.
H. K. Khalil, Nonlinear Systems, 3rd Ed., Prentice Hall Inc., 2002.
M. C. Lai, C. C. Chien, C. Y. Cheng, Z. Xu, and Y. Zhang, "Nonlinear tracking control via approximate back-stepping," American Control Conference, vol. 2, pp. 1339-1343, 1994.
K.-T. Lee, M.-G. Jeong and H.-L. Choi, "Control of a ball and beam system using switching control method," Trans. Korean Institute of Electrical Engineers, vol. 66, no. 1, pp. 72-81, 2017.
K.-T. Lee and H.-L. Choi, "Switching Control of Ball and Beam System using Partial State Feedback: Jacobian and Two-Step Linearization Methods," Trans. Korean Institute of Electrical Engineers, vol. 66, no. 5, pp. 819-832, 2017.
L. Marton and B. Lantos, "Stable adaptive ball and beam control," Mechatronics, 2006 IEEE International Conference, 2006, pp. 507-512.
S.-Y. Oh and H.-L. Choi, "Robust optimal control of nonlinear systems with system disturbance during feedback disruption," Asian Journal of Control, vol. 20, no. 6, pp.1-14, 2018.DOI:10.1002/asjc.1695.
M. Ramirez-Neria, H. Sira-Ramirez, R. Garrido-Moctezuma, and A. Luviano-Juarez, "Linear robust generalized proportional integral control of a ball and beam system for trajectory tracking tasks," American Control Conference, pp. 4719-4724, 2016.
S. Willard. General Topology. Addison-Wesley, Reading. MA,2004.
T. Turker, H. Gorgun, E. Zergeroglu, and G. Cansever, "Exact model knowledge and direct adaptive controllers on ball and beam," Mechatronics, ICM2007 4th IEEE International Conference, pp. 1-6, 2007.
W. N. White, J. Patenaude, M. Foss, and D. Garcia, "Direct lyapunov approach for tracking control of underactuated mechanical systems," American Control Conference, pp. 1341-1346, 2009.
※ AI-Helper는 부적절한 답변을 할 수 있습니다.