[논문]랜덤효과를 포함한 영과잉 포아송 회귀모형에 대한 베이지안 추론: 흡연 자료에의 적용

김연경; 황범석

doi:10.5351/kjas.2018.31.2.287

랜덤효과를 포함한 영과잉 포아송 회귀모형에 대한 베이지안 추론: 흡연 자료에의 적용
A Bayesian zero-inflated Poisson regression model with random effects with application to smoking behavior 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.31 no.2, 2018년, pp.287 - 301

김연경 (중앙대학교 응용통계학과) , 황범석 (중앙대학교 응용통계학과)

초록
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0이 과도하게 많이 나타나는 자료는 여러 다양한 분야에서 흔히 볼 수 있다. 이러한 자료들을 분석할 때 대표적으로 영과잉 포아송 모형이 사용된다. 특히 반응변수들 사이에 상관관계가 존재할 때에는 랜덤효과를 영과잉 포아송 모형에 도입해서 분석해야 한다. 이러한 모형은 주로 빈도론자들의 접근방법으로 분석되어왔는데, 최근에는 베이지안 기법을 사용한 분석도 다양하게 발전되어 왔다. 본 논문에서는 반응변수들 사이에 상관관계가 존재하는 경우 랜덤효과가 포함된 영과잉 포아송 회귀모형을 베이지안 추론 방법을 토대로 제안하였다. 이 모형의 적합성을 판단하기 위해 모의 실험을 통해 랜덤효과를 고려하지 않은 모형과 비교 분석하였다. 또한, 실제 지역사회 건강조사 흡연 자료에 직접 응용하여 그 결과를 살펴보았다.

Abstract ▼ AI-Helper

It is common to encounter count data with excess zeros in various research fields such as the social sciences, natural sciences, medical science or engineering. Such count data have been explained mainly by zero-inflated Poisson model and extended models. Zero-inflated count data are also often correlated or clustered, in which random effects should be taken into account in the model. Frequentist approaches have been commonly used to fit such data. However, a Bayesian approach has advantages of prior information, avoidance of asymptotic approximations and practical estimation of the functions of parameters. We consider a Bayesian zero-inflated Poisson regression model with random effects for correlated zero-inflated count data. We conducted simulation studies to check the performance of the proposed model. We also applied the proposed model to smoking behavior data from the Regional Health Survey (2015) of the Korea Centers for disease control and prevention.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 반응변수 사이에 상관관계가 존재하는 영과잉 이산형의 형태를 띠는 자료에 대해서 랜덤효과를 포함한 영과잉 포아송 모형을 고려하여 베이지안 접근방법을 사용하여 추론을 하려고 한다. 제시된 방법으로 전국의 20대 남자의 흡연 자료에 적용해본다.
그 중에서도 기존의 빈도론자들의 MLE이 가지고 있는 한계를 극복하고자 베이지안 추론 방법이 다양하게 발전되어 왔다. 본 논문에서는 반응변수들 사이에 상관관계가 존재하는 경우를 분석하기 위해 랜덤효과가 포함된 ZIP 회귀모형을 베이지안 추론 방법을 토대로 제안하였다.

가설 설정

b1, . . . , bI는 독립적인 표준정규분포를 따르는 랜덤효과이고 그에 상응하는 계수는 γ라고 가정한다.
반응변수들이 서로 상관관계가 존재하는 영과잉 이산형 데이터에 대해서 본 논문에서 제안된 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형의 적합성을 검증하기 위해 각기 다른 6개의 시나리오로 구성된 모의 실험을 시행하였다. 각 시나리오들은 분석의 간편성을 위해 하나의 공변량을 베르누이 분포 부분과 포아송 분포 부분에 공통적으로 사용한다고 가정한다. 즉, 식 (2.
본 논문에서는 공변량을 베르누이 분포 부분과 포아송 분포 부분에 공통적으로 사용한다고 가정하였고, 랜덤효과를 위해 랜덤 절편이 포아송 모형 부분에만 포함된다고 가정하였다. 서로 다른 공변량을 도입하고, 랜덤 기울기를 포함한 랜덤효과를 베르누이와 포아송 분포 두 부분에 모두 포함시킨다면 보다 일반적인 모형으로 발전시킬 수 있을 것이다.

제안 방법

총 6개의 모의 실험 시나리오에 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형과 랜덤효과를 고려하지 않은 ZIP 회귀모형을 각각 적합시켜 그 결과를 비교하였다. 각 모수의 사후추정을 위해 사전분포의 영향을 최소로 한 무정보적인(noninformative) 사전분포를 다음과 같이 고려하였다.
영과잉 자료의 비율을 조정하기 위해 (α, β, γ)의 참값을 다양하게 변화시켜서 베르누이 분포의 모수 p와 포아송 분포의 모수 λ의 값을 결정하였다. 또한, 표본크기가 미치는 영향을 보기 위해 전체 개체수를 200과 1,000으로 나누어서 시나리오를 구성하였다. 총 6개의 모의 실험 시나리오는 Table 4.
모의 실험을 통해서 두 모형을 평가하고 비교하기 위해 먼저 DIC를 계산하였다. 여기서는 100개의 데이터셋에 대해 DIC의 평균값을 제시하였다.
각 모수 추정치의 수렴여부를 판단하기 위해 trace plot과 Gelman과 Rubin의 #을 사용하였다. 모형의 비교를 위해 랜덤효과를 고려하지 않은 모형 역시 같은 방법으로 적합시켜 그 결과를 비교해 보았다.
반응변수들 사이에 상관관계가 존재한다고 가정할 때, 랜덤효과를 고려한 모형이 얼마나 잘 적합하는지를 보여주기 위해 모의 실험에서 각기 다른 6가지의 시나리오를 바탕으로 분석하였다. 모의 실험 결과 모든 시나리오에서 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형이 랜덤효과를 고려하지 않은 모형보다 훨씬 작은 DIC를 가지고 있었다.
반응변수들이 서로 상관관계가 존재하는 영과잉 이산형 데이터에 대해서 본 논문에서 제안된 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형의 적합성을 검증하기 위해 각기 다른 6개의 시나리오로 구성된 모의 실험을 시행하였다. 각 시나리오들은 분석의 간편성을 위해 하나의 공변량을 베르누이 분포 부분과 포아송 분포 부분에 공통적으로 사용한다고 가정한다.
영과잉 자료의 비율을 조정하기 위해 (α, β, γ)의 참값을 다양하게 변화시켜서 베르누이 분포의 모수 p와 포아송 분포의 모수 λ의 값을 결정하였다.
여기서는 추정값의 수렴을 개선하기 위하여 구체적으로 분산조정 메트로폴리스(adaptive Metropolis) 알고리즘 (Haario 등, 2005)을 사용하였다. 즉, 각 단계에서 제안분포(proposal distribution)로서 정규분포를 사용할 때, 현재 모수의 값을 평균으로 사용하고 분산에 대해서는 경험적(empirical) 분산과 조정계수를 사용하여 매 단계마다 제안분포를 조정하였다. 예를 들어, t + 1 시점의 모수 θ^(t+1)을 업데이트하기 위해서 다음과 같은 후보값(candidate value) θ^∗를 사용한다.
1과 같고, 이를 바탕으로 각 시나리오별로 데이터셋을 100개씩 생성하였다. 총 6개의 모의 실험 시나리오에 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형과 랜덤효과를 고려하지 않은 ZIP 회귀모형을 각각 적합시켜 그 결과를 비교하였다. 각 모수의 사후추정을 위해 사전분포의 영향을 최소로 한 무정보적인(noninformative) 사전분포를 다음과 같이 고려하였다.
548의 값을 가짐으로써 시도별로 상당한 차이가 나고 있음을 알 수 있다. 흡연량을 설명해주는 공변량으로써 신체질량지수(BMI), 음주여부(drink), 신체활동일수(phy.act), 가구소득(fm.income)이 분석에 사용되었다. 신체질량지수는 연속형 변수로서 25 이상일 경우 비만이라고 알려져 있다.

대상 데이터

본 연구에 사용된 자료는 한국 질병관리본부(Korea Centers for Disease Control and Prevention)에서 실시한 2015년 지역사회 건강조사 자료로서, 본 연구에서는 전국 17개 시·도 20대(만 20–29세) 남자의 흡연량에 대한 데이터를 사용하였다.
본 논문에서는 반응변수 사이에 상관관계가 존재하는 영과잉 이산형의 형태를 띠는 자료에 대해서 랜덤효과를 포함한 영과잉 포아송 모형을 고려하여 베이지안 접근방법을 사용하여 추론을 하려고 한다. 제시된 방법으로 전국의 20대 남자의 흡연 자료에 적용해본다. 구체적으로 2장에서는 영과잉 자료에 대한 모형을 차례로 설명하고, 3장에서는 베이지안 추론방법을 간략히 설명한다.
또한, 표본크기가 미치는 영향을 보기 위해 전체 개체수를 200과 1,000으로 나누어서 시나리오를 구성하였다. 총 6개의 모의 실험 시나리오는 Table 4.1과 같고, 이를 바탕으로 각 시나리오별로 데이터셋을 100개씩 생성하였다. 총 6개의 모의 실험 시나리오에 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형과 랜덤효과를 고려하지 않은 ZIP 회귀모형을 각각 적합시켜 그 결과를 비교하였다.

데이터처리

여기서 95% 신용구간은 MCMC를 통해 얻은 표본을 분위수(quantile-based) 방법을 사용하여 계산하였다. 또한, 95% 신용구간을 기준으로 한 포함확률(coverage probability; CP)을 계산하고, 제곱근평균제곱오차(root mean squared error; RMSE) RMSE =#를 통하여 추정치의 편향(bias)과 분산을 측정하였다. Table 4.
여기서는 100개의 데이터셋에 대해 DIC의 평균값을 제시하였다. 또한, 보다 구체적인 모수들의 비교를 위해 각 모수들의 사후 평균을 100개의 데이터셋에 대해 평균값을 구한 후 모수의 참값과 비교하였다. 마찬가지로 95% 신용구간(credible interval; CI)의 100개에 대한 평균값을 제시하였다.

이론/모형

6)에 나타난 각 모수의 조건부 사후분포는 일반적으로 알려진 표준적인 분포의 형태를 띠고 있지 않다. 따라서 모수를 추정하기 위해 MCMC 알고리즘 중에서도 메트로폴리스-해스팅스(Metropolis-Hastings; MH) 알고리즘을 사용하고자 한다. 다음과 같은 단계를 거쳐 MCMC 알고리즘은 진행된다.
모수 추정방법으로는 3.2장에서 소개한 MCMC 방법 중 하나인 분산조정 메트로폴리스 알고리즘을 사용하였는데, 50,000번의 반복시행과 25,000번의 제거(burn-in)를 통해 얻은 표본을 바탕으로 추정치를 계산하였다. 각 모수 추정치의 수렴여부를 판단하기 위해 trace plot과 Gelman과 Rubin의 #을 사용하였다.
모수 추정방법으로는 3.2장에서 소개한 MCMC 알고리즘을 사용하였는데, 50,000번의 반복시행과 25,000번의 제거(burn-in)를 통해 얻은 표본을 바탕으로 추정값을 계산하였다.
구체적으로 2장에서는 영과잉 자료에 대한 모형을 차례로 설명하고, 3장에서는 베이지안 추론방법을 간략히 설명한다. 사전분포(prior distribution)와 사후분포(posterior distribution)를 계산하고, 이를 바탕으로 MCMC 방법의 단계를 설명한다. 모형 선택을 위해서 사용할 deviance information criterion (DIC)의 개념에 대해서 간략히 설명한다.
또한, ϵ은 분산이 0이 되는 것을 막기 위한 아주 작은 상수값을 나타낸다. 알고리즘의 수렴 여부를 확인하기 위해서 골고루 퍼져있는 다양한 값들을 초기값으로 설정해서 MCMC를 실행한 후에 일반적인 베이지안 진단법(Bayesian diagnostics)을 사용한다. 여기서는 trace plot과 더불어 Gelman과 Rubin의 potential scale reduction factor, #을 사용한다 (Gelman 등, 2014).
마찬가지로 95% 신용구간(credible interval; CI)의 100개에 대한 평균값을 제시하였다. 여기서 95% 신용구간은 MCMC를 통해 얻은 표본을 분위수(quantile-based) 방법을 사용하여 계산하였다. 또한, 95% 신용구간을 기준으로 한 포함확률(coverage probability; CP)을 계산하고, 제곱근평균제곱오차(root mean squared error; RMSE) RMSE =#를 통하여 추정치의 편향(bias)과 분산을 측정하였다.
여기서는 추정값의 수렴을 개선하기 위하여 구체적으로 분산조정 메트로폴리스(adaptive Metropolis) 알고리즘 (Haario 등, 2005)을 사용하였다. 즉, 각 단계에서 제안분포(proposal distribution)로서 정규분포를 사용할 때, 현재 모수의 값을 평균으로 사용하고 분산에 대해서는 경험적(empirical) 분산과 조정계수를 사용하여 매 단계마다 제안분포를 조정하였다.
이를 보안하기 위해 최근에는 베이지안 추론 방법이 많이 사용되어 왔다 (Angers와 Biswas, 2003; Rodrigues, 2003; Ghosh 등, 2006; Oh와 Lim, 2006; Jang 등, 2008; Shim 등, 2011; Lee 등, 2011a; Liu와 Powers, 2012). 이러한 베이지안 접근법들은 기본적으로 마코프체인 몬테카를로(Markov chain Monte Carlo; MCMC) 방법을 사용하여 모수의 사후분포(posterior distribution)를 찾아내려고 한다. MCMC 방법이 유용하게 널리 사용되고 있지만, 영과잉 이산형 자료같은 복잡한 형태의 혼합 자료의 경우에 잘 적합하지 않는 경우가 발생하기 때문에 이를 해결하기 위해서 다양하게 개선된 MCMC 방법이 개발되고 있다.

성능/효과

214)배 가량 증가하게 된다. 0보다 큰 담배량에 대한 포아송 모형에서의 추정치에 따르면, BMI가 증가하면서 흡연량은 늘어나고, 신체활동일수와 가구소득이 증가함에 따라 흡연량은 감소하는 것으로 나타났다. 증가와 감소에 대한 크기 자체는 작지만, 통계적으로 유의한 결과를 보여주고 있다.
반면 랜덤효과를 고려치 않은 ZIP 회귀모형의 경우 현저히 낮은 모수의 포함확률(6–92%)을 나타내었다. RMSE를 통한 모형 비교에서도 랜덤효과를 포함한 모형이 훨씬 작은 RMSE값을 가지고 있음을 알 수 있었다.
대체적으로 수렴이 잘 이루어지고 있음을 알 수 있고, 또한 각 모수들에 대한 Gelman과 Rubin의 Rˆ값이 1에 가깝게 나오는 것을 확인할 수 있었다.
이를 통해 전자의 모형이 데이터를 더 잘 적합하고 있다고 결론내릴 수 있었다. 또한 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형을 사용하면 모수의 참값에 가까운 추정치들을 구할 수 있었고, 각각의 모수에 대해 95% 전후의 포함확률을 가지고 있음을 확인할 수 있었다. 반면 랜덤효과를 고려치 않은 ZIP 회귀모형의 경우 현저히 낮은 모수의 포함확률(6–92%)을 나타내었다.
서로 다른 공변량을 도입하고, 랜덤 기울기를 포함한 랜덤효과를 베르누이와 포아송 분포 두 부분에 모두 포함시킨다면 보다 일반적인 모형으로 발전시킬 수 있을 것이다. 또한 본 논문에서 사용한 실제 자료는 표본의 크기가 상당히 크기 때문에 베이지안 추론 방법의 장점을 쉽게 보여줄 수가 없었다. 보다 적합한 실제 자료를 찾아서 분석해 보는 것도 향후 과제 중 하나가 될 수 있을 것이다.
α₀, α₁, β₀, β₁에 대한 RMSE가 랜덤효과 모형이 랜덤효과 없는 모형보다 더 작은 값을 가지고 있음을 알 수 있다. 또한, 표본크기가 커지면 같은 영과잉 비율 시나리오에 대해 RMSE가 작아지는 것으로 나타났다. 예를 들어, 영과잉 비율이 80% 정도되는 시나리오 III과 VI을 비교해보면, 모형에 상관없이 모든 모수들에 대해 RMSE가 현저히 줄어들고 있음을 확인할 수 있다.
이를 통해 전자의 모형이 데이터를 더 잘 적합하고 있다고 결론내릴 수 있다. 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형에서 모수들의 추정치는 대체적으로 참값에 가까운 값을 얻을 수 있었다. 모수들에 대한 포함확률을 살펴보면, 모든 시나리오의 경우에 대해서 γ를 제외한 α₀, α₁, β₀, β₁이 95% 전후의 포함확률을 띠고 있음을 알 수 있다.
2는 모의 실험의 결과를 나타내고 있다. 먼저 두 모형의 적합성을 비교하기 위해 시나리오별로 DIC를 비교해보면, 모든 시나리오에서 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형이 랜덤효과를 고려하지 않은 모형보다 훨씬 작은 값들을 가지고 있음을 알 수 있다. 이를 통해 전자의 모형이 데이터를 더 잘 적합하고 있다고 결론내릴 수 있다.
모수들에 대한 포함확률을 살펴보면, 모든 시나리오의 경우에 대해서 γ를 제외한 α0, α1, β0, β1이 95% 전후의 포함확률을 띠고 있음을 알 수 있다.
반응변수들 사이에 상관관계가 존재한다고 가정할 때, 랜덤효과를 고려한 모형이 얼마나 잘 적합하는지를 보여주기 위해 모의 실험에서 각기 다른 6가지의 시나리오를 바탕으로 분석하였다. 모의 실험 결과 모든 시나리오에서 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형이 랜덤효과를 고려하지 않은 모형보다 훨씬 작은 DIC를 가지고 있었다. 이를 통해 전자의 모형이 데이터를 더 잘 적합하고 있다고 결론내릴 수 있었다.
실제 흡연 자료를 대상으로 분석했을 때에도 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형이 그렇지 않은 모형보다 분석자료를 더 잘 설명하고 있음을 알 수 있었다. 모형의 비교를 위해 사용한 DIC값을 바탕으로 했을 때, 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형이 랜덤효과를 고려하지 않은 모형보다 더 좋은 모형이라는 결론을 내릴 수 있었다. 그리고, 모수들의 추정치를 해석할 때에도, 일반적으로 흡연에 미치는 영향과 대체적으로 비슷한 해석을 내릴 수 있었다.
실제 흡연 자료를 대상으로 분석했을 때에도 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형이 그렇지 않은 모형보다 분석자료를 더 잘 설명하고 있음을 알 수 있었다. 모형의 비교를 위해 사용한 DIC값을 바탕으로 했을 때, 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형이 랜덤효과를 고려하지 않은 모형보다 더 좋은 모형이라는 결론을 내릴 수 있었다.
모의 실험 결과 모든 시나리오에서 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형이 랜덤효과를 고려하지 않은 모형보다 훨씬 작은 DIC를 가지고 있었다. 이를 통해 전자의 모형이 데이터를 더 잘 적합하고 있다고 결론내릴 수 있었다. 또한 랜덤효과를 포함한 ZIP 회귀모형을 사용하면 모수의 참값에 가까운 추정치들을 구할 수 있었고, 각각의 모수에 대해 95% 전후의 포함확률을 가지고 있음을 확인할 수 있었다.
예를 들어, 영과잉 비율이 80% 정도되는 시나리오 III과 VI을 비교해보면, 모형에 상관없이 모든 모수들에 대해 RMSE가 현저히 줄어들고 있음을 확인할 수 있다. 전체적으로 반응변수들 간에 상관관계가 존재하는 영과잉 이산형 데이터에 대해서 랜덤효과를 고려한 모형이 그렇지 않은 모형에 비해서 더 잘 설명해주고 있음을 알 수 있었다.

후속연구

또한 본 논문에서 사용한 실제 자료는 표본의 크기가 상당히 크기 때문에 베이지안 추론 방법의 장점을 쉽게 보여줄 수가 없었다. 보다 적합한 실제 자료를 찾아서 분석해 보는 것도 향후 과제 중 하나가 될 수 있을 것이다.
본 논문에서는 공변량을 베르누이 분포 부분과 포아송 분포 부분에 공통적으로 사용한다고 가정하였고, 랜덤효과를 위해 랜덤 절편이 포아송 모형 부분에만 포함된다고 가정하였다. 서로 다른 공변량을 도입하고, 랜덤 기울기를 포함한 랜덤효과를 베르누이와 포아송 분포 두 부분에 모두 포함시킨다면 보다 일반적인 모형으로 발전시킬 수 있을 것이다. 또한 본 논문에서 사용한 실제 자료는 표본의 크기가 상당히 크기 때문에 베이지안 추론 방법의 장점을 쉽게 보여줄 수가 없었다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	ZIP 모형은 무엇인가?	이와 같이 0의 값이 과도하게 많이 관측되는 자료를 분석하기 위해서 Cohen (1963)은 영과잉 포아송 모형(zero-inflated Poisson; ZIP)을 제안하였다. ZIP 모형은 0에 대한 점확률(point mass)과 기존의 포아송 분포를 혼합하여 영과잉 부분과 0이 아닌 부분을 설명하는 모형이다. Lambert (1992)는 공변량(covariates)을 모형에 도입하여 영과잉 포아송 회귀모형(ZIP regression; ZIPR)을 제안하였고, Greene (1994)은 음이항 분포(negative binomial)를 고려하여 영과잉 음이항 모형(zero-inflated negative binomial; ZINB)으로 확장하였다.
	이산형 자료에서 0이 과도하게 많은 경우에 포아송 모형의 특징은?	예를 들어, 어떤 제품의 불량품 개수, 자동차 보험금 청구 횟수, 1년 동안 병원 응급실 이용 횟수 등의 자료에서는 0의 값의 비율이 상당히 높게 나타난다. 일반적으로 셀 수 있는 이산형 자료에 대한 대표적인 모형인 포아송 모형에서는 평균과 분산이 동일하다는 가정이 성립해야 하지만, 0이 과도하게 많은 경우에는 평균에 비해 분산이 과도하게 커지는 현상이 나타나게 된다. 이와 같이 0의 값이 과도하게 많이 관측되는 자료를 분석하기 위해서 Cohen (1963)은 영과잉 포아송 모형(zero-inflated Poisson; ZIP)을 제안하였다.
	다변량 영과잉 포아송 모형, ZIP 모형 등의 분석에 빈도론자들의 접근 방법을 사용하는 것의 문제는?	이러한 모형의 분석방법으로 최대가능도 방법(maximum likelihood method)에 기반을 둔 빈도론자(frequentist)들의 접근 방법이 널리 사용되어 왔다. 하지만, 표본의 크기가 크지 않고, 영과잉 자료와 같이 매우 치우진 분포를 갖는 경우 최대가능도추정량(maximum likelihood estimator; MLE)은 점근적 정규성(asymptotic normality)이 성립하지 않는 단점을 가지고 있다. 이를 보안하기 위해 최근에는 베이지안 추론 방법이 많이 사용되어 왔다 (Angers와 Biswas, 2003; Rodrigues, 2003; Ghosh 등, 2006; Oh와 Lim, 2006; Jang 등, 2008; Shim 등, 2011; Lee 등, 2011a; Liu와 Powers, 2012).

참고문헌 (22)

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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