[논문]최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조한 지도방안 탐색

방정숙; 이유진

문제 정의

본 논문에서는 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정을 보다 의미있게 이해할 수 있도록 ‘인수막대3)’라는 교구를 개발하였다.
본 연구는 ‘약수와 배수’ 단원에서 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조한 지도 방안을 설계하고 적용해 봄으로써 약수와 배수 지도에 대한 구체적인 시사점을 얻고자 의도했다.
셋째, 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정의 원리를 약수와 배수의 의미와 연결하여 지도할 필요가 있으며 이를 반영한 교과서 구성이 필요하다. 본 연구에서는 계산 결과 즉, 겹쳐진 인수막대가 왜 두 수의 약수인지 배수인지 살펴보는 과정을 통해 최대공약수와 최소공배수를 구하는 알고리즘의 의미를 이해하도록 지도하였다. 이처럼 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정의 의미를 이해하기 위해서는 앞서 학습한 약수와 배수의 개념이 유기적으로 연결되어야 한다.
문항은 크게 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 적용할 수 있는지(단순 계산 문제)와 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법의 의미를 이해하는지(의미 이해 문제)로 나누어 분석하였다. 우선 최대공약수와 최소공배수를 구하는 3가지 방법에 따른 정답률(2~4번, 8~10번 문항)의 차이를 비교・분석하여 학생들이 선호하는 풀이 방법이 무엇인지 알아보았다. 두 번째로 알고리즘의 의미(5~7번, 11~13번 문항)를 이해하고 있는지 분석하였다.
이 학생들은 단순 계산 문항을 모두 해결하였으며, 나머지 문항에서 의미 있는 응답을 한 학생들로, 문제해결과정에서 드러나는 학생들의 이해를 분석하기 위해 의 분석 내용 및 초점을 활용하여 학생들이 주어진 질문에 대해 설명할 수 있는지 살펴보았다.
추가적으로 기존의 교과서대로 약수와 배수를 학습한 5학년 학생들의 결과도 함께 비교・분석하여 새로운 지도방안의 특징을 좀 더 명확하게 살펴보았다. 이러한 연구 결과를 토대로 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정을 보다 의미 있게 지도하기 위한 실질적인 시사점을 도출하고, 이러한 지도 방안을 수학 수업으로 구현할 수 있는 가능성을 탐색하고자 하였다.
이와 같은 선행연구를 바탕으로 본 연구에서는 초등과 중등에서 모두 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 제대로 지도하지 않는 문제점을 해결하고자 약수와 배수의 의미를 통해 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 이해할 수 있도록 지도 방안을 구안했다. 특히 중등에서 최대공약수와 최소공배수 부분이 약화되고 소인수분해를 강조하여 다루고 있기 때문에 초등에서 비교적 소인수분해의 연산과정을 약화시키고 약수와 배수의 의미 이해와 알고리즘의 원리를 이해하는데 초점을 맞추었다.
이와 같은 선행연구를 바탕으로, 본 연구에서는 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 약수와 배수의 의미를 강조하였고, 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 지도할 때 두 수를 소인수분해한 결과와 연결하여 그 의미를 생각해 볼 기회를 제공했다. 또한 기존의 연구에서 제안한 다양한 시각화 방안을 토대로 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법의 의미를 시각화할 수 있는 교구를 개발하여 활용하였다.
이와 같은 연구 배경과 필요성을 바탕으로, 본 논문에서는 초등학교 약수와 배수 단원에서 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조한 지도방안에 대하여 연구하였다. 이를 위하여 선행 연구를 토대로 도출된 지도 방향을 바탕으로 수업을 계획하였고, 학생들의 검사지와 면담 결과를 중심으로 학생 사고를 분석하였다.
약수와 배수의 지도와 관련된 선행 연구를 검토해 보면 크게 세 가지 측면으로 정리해볼 수 있다. 첫째, 스키마(schema)의 측면에서 약수와 배수 지도에 대한 시사점을 구안하는 연구이다. 학생들에게 일차적 개념에 대한 중요성을 인식시켜주고, 이차적 개념과 같은 상위 단계의 개념을 형성할 때 필요한 연결고리인 각각의 개념이나 스키마 그리고 변형된 스키마를 많이 제공하는 것이 중요하다고 강조한다.
본 연구는 ‘약수와 배수’ 단원에서 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조한 지도 방안을 설계하고 적용해 봄으로써 약수와 배수 지도에 대한 구체적인 시사점을 얻고자 의도했다. 특히 논문에서는 새로운 지도 방안을 적용한 4학년 학생들의 이해 특성을 분석하고, 부가적으로 기존의 지도 방안을 적용한 5학년 학생들의 검사지와 면담 결과와의 차이를 살펴봄으로써 새로운 지도 방안의 효과를 간접적으로 분석하고자 했다. 본 연구 결과를 토대로 한 결론 및 제언을 제시하면 다음과 같다.

제안 방법

4학년 학생들의 활동지, 관찰 기록지, 검사지( 참조) 등을 수집하였으며, 그 결과를 좀 더 명확하게 이해하기 위해 추가적으로 5학년 학생들을 대상으로 4학년 학생들과 동일한 검사지를 제공하여 자료를 수집하였다.
본 연구에서는 선행 연구를 통하여 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조하는 수업 과제를 도출하고, 이를 활용하여 <표 2>와 같이 교수・학습 과정을 재구성하였다. 5학년 1학기 1단원 약수와 배수 9차시 중 본 차시(2~6차시)에 1차시를 증배하여 총 6차시 수업을 구성하였다. 본 연구에서 진행한 6차시의 수업 중 4~6차시는 가장 핵심이 되는 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 다루는 차시로 기존의 수업 내용을 전면 재구성하여 수업을 구성하였다.
검사지 중 단순 계산 문제(2, 3, 4, 8, 9, 10번 문항)에서의 응답 유형을 와 같이 오답의 경우, 문제 파악 오류, 계산 오류, (최대공약수 문제에서) 최소공배수를 구함, 무응답으로, 정답의 경우, 지정된 방법을 사용한 경우와 다른 방법을 사용한 경우로 나누어 분석하였다.
검사지는 김희리(2015) 검사지의 기본 문항 중 1, 2, 3, 6번 문항을 4학년 수준에 맞게 수의 크기를 조정하여 본 검사지의 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12번 문항으로 활용하였고, 김희리(2015) 검사지의 4번 문항의 내용을 수정·보완하여 본 검사지의 5, 11번 문항으로 구성하였다.
이상의 선행 연구를 반영하여, 본 연구에서는 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 약수와 배수의 의미를 강조한 지도방안을 적용했다. 구체적으로 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 지도할 때, 약수와 배수의 의미와 연결 지어 설명하고 학생들에게 왜 결과값이 최대공약수와 최소공배수인지 정당화할 수 있는 기회를 제공하는 등 학생들이 최대공약수와 최소공배수를 구할 때 단순히 결과값만 구하는 것이 아니라 그 의미를 생각하며 구할 수 있도록 지도 방안을 구안했다.
검사지 중 단순 계산 문제(2, 3, 4, 8, 9, 10번 문항)에서의 응답 유형을 <표 5>와 같이 오답의 경우, 문제 파악 오류, 계산 오류, (최대공약수 문제에서) 최소공배수를 구함, 무응답으로, 정답의 경우, 지정된 방법을 사용한 경우와 다른 방법을 사용한 경우로 나누어 분석하였다. 구체적으로 학생들이 주어진 문제 대신 예시에 제시된 수의 최대공약수를 구하는 것처럼 문제의 지시사항을 제대로 이해하지 못한 경우에는 문제 파악 오류 유형으로 분류하였으며, 소인수분해를 잘못하거나, 곱셈을 잘못하는 등 연산 과정에서의 실수나 알고리즘을 적용하는데 있어 제대로 적용하지 못한 경우에는 계산 오류 유형으로 분류하였다.
따라서 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조한 지도 방안의 효과를 알아보기 위해 아직 약수와 배수를 학습하지 않았지만 연산 능력이 5학년과 가장 유사한 4학년 학생들을 연구 대상으로 선정하였다. 다만 4학년 학생들의 이해 정도만 살펴보아서는 새로운 지도방안의 상대적인 장점이 무엇인지 명확하게 알아보기 어려울 것으로 예상되어, 기존의 교과서로 약수와 배수를 학습한 5학년 학생들과의 차이도 부가적으로 살펴보았다. 이를 위해 연구 대상인 4학년 학생들과 같은 C초등학교 5학년 25명 학생들을 추가로 선정하였으며, 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 어떻게 이해하는지 차이를 중점적으로 분석하였다.
우선 최대공약수와 최소공배수를 구하는 3가지 방법에 따른 정답률(2~4번, 8~10번 문항)의 차이를 비교・분석하여 학생들이 선호하는 풀이 방법이 무엇인지 알아보았다. 두 번째로 알고리즘의 의미(5~7번, 11~13번 문항)를 이해하고 있는지 분석하였다. 검사지 중 단순 계산 문제(2, 3, 4, 8, 9, 10번 문항)에서의 응답 유형을 <표 5>와 같이 오답의 경우, 문제 파악 오류, 계산 오류, (최대공약수 문제에서) 최소공배수를 구함, 무응답으로, 정답의 경우, 지정된 방법을 사용한 경우와 다른 방법을 사용한 경우로 나누어 분석하였다.
특히 중등에서 최대공약수와 최소공배수 부분이 약화되고 소인수분해를 강조하여 다루고 있기 때문에 초등에서 비교적 소인수분해의 연산과정을 약화시키고 약수와 배수의 의미 이해와 알고리즘의 원리를 이해하는데 초점을 맞추었다. 또한 기존의 교과서에서 잘 드러나지 않았던 소인수분해 활용 방법과 나눗셈 방법 사이의 연결을 강화하여 지도하도록 계획했다.
이와 같은 선행연구를 바탕으로, 본 연구에서는 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 약수와 배수의 의미를 강조하였고, 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 지도할 때 두 수를 소인수분해한 결과와 연결하여 그 의미를 생각해 볼 기회를 제공했다. 또한 기존의 연구에서 제안한 다양한 시각화 방안을 토대로 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법의 의미를 시각화할 수 있는 교구를 개발하여 활용하였다. 구체적으로 약수와 배수의 수학적 의미를 강조하기 위해 두 수의 소인수분해 결과를 어떻게 연결하느냐에 따라 최대공약수 또는 최소공배수가 된다는 것을 시각적으로 보여주었으며, 결과값이 왜 최대공약수, 최소공배수인지 색을 통해 구분할 수 있도록 했다.
최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조한 교수・학습 과정안을 개발한 절차는 다음과 같다. 먼저 문헌검토를 토대로 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정의 의미를 강조하기 위한 지도 과제를 도출하고, 이를 바탕으로 교수・학습 과정안을 작성하였다. 이후 과제와 활동 문항들이 학생들의 수준에 적절한지를 판단하고자, 연구 대상과 동일한 학교에 재학 중인 4학년 학생을 대상으로 예비 검사를 실시하였다.
문항은 크게 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 적용할 수 있는지(단순 계산 문제)와 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법의 의미를 이해하는지(의미 이해 문제)로 나누어 분석하였다. 우선 최대공약수와 최소공배수를 구하는 3가지 방법에 따른 정답률(2~4번, 8~10번 문항)의 차이를 비교・분석하여 학생들이 선호하는 풀이 방법이 무엇인지 알아보았다.
최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정의 의미를 말로 설명하는 것은 매우 복잡하며 특히 초등학생들이 이해하기에 어렵다. 본 연구에서 이러한 어려움을 극복하고자 인수막대라는 시각적인 교구를 활용하여 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정을 지도하였다. 그 결과 학생들은 알고리즘의 의미를 좀 더 쉽게 설명할 수 있었으며 특히 최소공배수에서 공통된 인수와 공통되지 않은 인수를 곱해준 수가 두 수의 배수가 되고, 공통된 인수를 한 번 곱하는 것이 최소가 됨을 시각적으로 확인할 수 있었다.
5학년 1학기 1단원 약수와 배수 9차시 중 본 차시(2~6차시)에 1차시를 증배하여 총 6차시 수업을 구성하였다. 본 연구에서 진행한 6차시의 수업 중 4~6차시는 가장 핵심이 되는 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 다루는 차시로 기존의 수업 내용을 전면 재구성하여 수업을 구성하였다.
본 연구에서는 선행 연구를 통하여 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조하는 수업 과제를 도출하고, 이를 활용하여 와 같이 교수・학습 과정을 재구성하였다.
본 연구에서는 최대공약수를 구하는 과정에서 의미 이해에 초점을 맞춰 최대공약수 알고리즘에 대한 학생 응답을 과 같이 분석하였다.
본 연구의 대상은 초등학생이지만, 약수와 배수 단원의 경우 중학교까지 관련성이 크기 때문에 약수와 배수에 대한 학생 이해를 초등뿐만 아니라 중등까지 포함하여 살펴보았다. 김희리(2015)는 초등학교 5학년 학생들의 약수와 배수 관련한 문제 풀이를 분석한 결과, 정의를 이용하여 최대공약수와 최소공배수를 구하는 문제에서 오류가 많은 반면 나눗셈 방법(각 수를 공통인 인수로 나누어서 구하는 방법)을 사용할 때는 정답률이 더 높다는 점을 지적했다.
한편, 초등수준에서 시각화를 강조한 연구에서는 주로 퀴즈네어 막대가 활용되었다(구광조, 전평국, 김성만, 류기천, 안영옥, 이영주 외, 1997; 류성림, 2002). 서로 다른 퀴즈네어 막대 2개의 왼쪽 끝을 맞추고 첫 번째로 길이가 같을 때까지 늘어놓는 방법을 활용하여 최소공배수를 구함으로써 최소공배수의 개념과 연산 과정을 시각화하였다.
구체적으로 ‘인수막대’란 주어진 두 수를 소인수분해하여 OHP 필름으로 제작한 막대에 칸마다 기입한 것이다. 실제 두 수의 최대공약수나 최소공배수를 구하는 과정에서 학생들이 인수막대를 최대로 겹쳐보는 활동을 통해 최대공약수와 최소공배수를 구하는 원리를 탐구할 수 있도록 하였다. 예를 들어 [그림 3]의 좌측과 같이 12와 8을 소인수분해한 후 막대에 기록하고 최대로 겹쳤을 때, 그 공통된 인수 4는 최대공약수가 됨을 확인할 수 있다.
앞서 단순 계산 문제의 분석과 달리 의미 이해 문제의 경우 검사지에 드러난 학생 응답만으로는 유형을 명확하게 확정하기 어려운 경우가 많았기 때문에 과 같이 응답 유형을 나눈 후 빈도수 분석 대신 학생들의 응답을 토대로 심층 면담을 진행하여 학생의 이해를 좀 더 자세히 살펴보았다.
예비 검사를 토대로 교수・학습 과정안과 학생 활동지를 수정・보완하여 교수・학습 과정안을 보완한 후, 전문가 검토를 통하여 교수・학습 과정안과 학생 활동지의 적절성을 점검하고 논의 내용을 반영하여 최종적으로 교수・학습 과정안을 완성하였다(주요 활동의 예시는 참조).
최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조한 수업을 진행하기 위해 연구자는 총 6차시의 교수・학습 과정안을 설계하였다(<표 2> 참조). 이 중 4~6차시는 본 연구의 핵심이 되는 차시로, 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 약수와 배수의 의미를 강조하여 지도할 수 있도록 재구성하여 수업을 진행하였다. 4학년 학생들의 활동지, 관찰 기록지, 검사지(<표 4> 참조) 등을 수집하였으며, 그 결과를 좀 더 명확하게 이해하기 위해 추가적으로 5학년 학생들을 대상으로 4학년 학생들과 동일한 검사지를 제공하여 자료를 수집하였다.
이 중 학습 지도 방법은 최대공약수의 경우‘최대공약수의 정의를 이용하여 구하는 방법’, ‘각 수를 공통인 인수(또는 공약수)로 나누어서 구하는 방법’, ‘소인수분해를 이용하여 구하는 방법’으로 나누어 분석하였으며, 최소공배수의 경우 ‘최소공배수의 정의를 이용하여 구하는 방법’, ‘각 수를 공통인 인수(또는 공약수)로 나누어 구하는 방법’, ‘소인수분해를 이용하여 구하는 방법’, ‘두수의 곱을 두 수의 최대공약수로 나누어 구하는 방법’으로 나누어 분석하였다.
5학년 학생들을 대상으로 기존의 약수와 배수 수업을 진행한 결과 선행연구에서와 마찬가지로 학생들이 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 기계적으로 적용하며, 그 의미를 이해하지 못하는 문제점을 발견하였다. 이러한 문제점을 바탕으로 [그림 3]과 같이 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 시각적으로 의미를 확인할 수 있는 교구와 교구 활용 방법을 개발하였으며, 학생 수준에서 이해가능한지 알아보기 위해 약수와 배수에 대한 선행학습이 이루어지지 않은 4학년 학생들에게 적용하였다.
이러한 분석 결과를 바탕으로 본 논문에서는 수를 가장 작은 수들의 곱으로 나타내어 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 ‘소인수분해를 활용하여 구하는 방법’으로 추가하여 과 같이 정리하였으며, 이후 본 논문에서는 학습 지도 방법 중 ‘소인수분해를 활용하여 구하는 방법’과 ‘각 수를 공통인 인수로 나누어 구하는 방법’의 의미 이해 없이 절차만을 단순히 적용하는 것을 알고리즘으로 간주하여 서술하였다.
이와 같은 연구 배경과 필요성을 바탕으로, 본 논문에서는 초등학교 약수와 배수 단원에서 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조한 지도방안에 대하여 연구하였다. 이를 위하여 선행 연구를 토대로 도출된 지도 방향을 바탕으로 수업을 계획하였고, 학생들의 검사지와 면담 결과를 중심으로 학생 사고를 분석하였다. 추가적으로 기존의 교과서대로 약수와 배수를 학습한 5학년 학생들의 결과도 함께 비교・분석하여 새로운 지도방안의 특징을 좀 더 명확하게 살펴보았다.
다만 4학년 학생들의 이해 정도만 살펴보아서는 새로운 지도방안의 상대적인 장점이 무엇인지 명확하게 알아보기 어려울 것으로 예상되어, 기존의 교과서로 약수와 배수를 학습한 5학년 학생들과의 차이도 부가적으로 살펴보았다. 이를 위해 연구 대상인 4학년 학생들과 같은 C초등학교 5학년 25명 학생들을 추가로 선정하였으며, 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 어떻게 이해하는지 차이를 중점적으로 분석하였다.
오류의 형태는 다양했지만 공통적으로 약수와 배수의 의미를 제대로 이해하지 못하는 것이 오류의 주요한 원인으로 지적되었다. 이상의 선행 연구를 반영하여, 본 연구에서는 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 약수와 배수의 의미를 강조한 지도방안을 적용했다. 구체적으로 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 지도할 때, 약수와 배수의 의미와 연결 지어 설명하고 학생들에게 왜 결과값이 최대공약수와 최소공배수인지 정당화할 수 있는 기회를 제공하는 등 학생들이 최대공약수와 최소공배수를 구할 때 단순히 결과값만 구하는 것이 아니라 그 의미를 생각하며 구할 수 있도록 지도 방안을 구안했다.
다만 학생들이 인수막대를 활용함에 있어 두 수의 공통인수를 두 인수막대를 겹쳤을 때 포개어지는 부분에 배열해야 하며, OHP 필름에 수를 기입하기 위해 네임펜을 사용해야 하는 등 어려움이 예상되었다. 이에 학생들이 처음 교구를 활용할 때는 교사가 인수막대에 인수를 써서 제시하였으며, 이를 통해 학생들이 인수막대에 익숙해진 후에는 OHP 필름을 제시하지 않고 학습지에 [그림 4]와 같이 막대 형태를 제시하였다. 이 위에 학생들이 인수분해 결과를 기입한 후 공통인수에 ○, 공통되지 않은 인수에 △ 표시를 하여 활용할 수 있도록 하거나 겹친 형태의 인수막대를 추가로 그릴 수 있도록 안내하였다.
이처럼 검사지의 응답만으로 학생이 알고리즘의 의미를 이해하고 있는지 파악하기에 어려움이 있어 면담을 통해 최대공약수의 의미 이해를 ‘최대’의 측면과 ‘공약수’의 측면으로 나누어 분석하였다.
먼저 문헌검토를 토대로 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정의 의미를 강조하기 위한 지도 과제를 도출하고, 이를 바탕으로 교수・학습 과정안을 작성하였다. 이후 과제와 활동 문항들이 학생들의 수준에 적절한지를 판단하고자, 연구 대상과 동일한 학교에 재학 중인 4학년 학생을 대상으로 예비 검사를 실시하였다. 예비 검사를 토대로 교수・학습 과정안과 학생 활동지를 수정・보완하여 교수・학습 과정안을 보완한 후, 전문가 검토를 통하여 교수・학습 과정안과 학생 활동지의 적절성을 점검하고 논의 내용을 반영하여 최종적으로 교수・학습 과정안을 완성하였다(주요 활동의 예시는 <표3> 참조).
최대공약수 문항에서와 마찬가지로 최소공배수를 구하는 과정에서 의미 이해에 초점을 맞춰 최소공배수 알고리즘에 대한 응답 유형을 와 같이 분류하였다.
최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조한 수업을 진행하기 위해 연구자는 총 6차시의 교수・학습 과정안을 설계하였다( 참조).
이를 위하여 선행 연구를 토대로 도출된 지도 방향을 바탕으로 수업을 계획하였고, 학생들의 검사지와 면담 결과를 중심으로 학생 사고를 분석하였다. 추가적으로 기존의 교과서대로 약수와 배수를 학습한 5학년 학생들의 결과도 함께 비교・분석하여 새로운 지도방안의 특징을 좀 더 명확하게 살펴보았다. 이러한 연구 결과를 토대로 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정을 보다 의미 있게 지도하기 위한 실질적인 시사점을 도출하고, 이러한 지도 방안을 수학 수업으로 구현할 수 있는 가능성을 탐색하고자 하였다.
검사지는 김희리(2015) 검사지의 기본 문항 중 1, 2, 3, 6번 문항을 4학년 수준에 맞게 수의 크기를 조정하여 본 검사지의 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12번 문항으로 활용하였고, 김희리(2015) 검사지의 4번 문항의 내용을 수정·보완하여 본 검사지의 5, 11번 문항으로 구성하였다. 추가적으로 약수와 배수의 의미를 묻는 문항(1번)과 공약수와 최대공약수의 차이를 알아보는 문항(7번), 두 수의 곱이 최소공배수가 아닌 이유를 설명하는 문항(13번)을 더하여 본 검사지를 구성하였다.

대상 데이터

1차 검사지 분석 결과를 바탕으로 학생 사고를 더 면밀히 살펴보기 위해 학년별로 5명을 초점학생으로 선정하여 총 10명을 대상으로 면담을 진행하였다. 이 학생들은 단순 계산 문항을 모두 해결하였으며, 나머지 문항에서 의미 있는 응답을 한 학생들로, 문제해결과정에서 드러나는 학생들의 이해를 분석하기 위해 <표 6>의 분석 내용 및 초점을 활용하여 학생들이 주어진 질문에 대해 설명할 수 있는지 살펴보았다.
연구 당시 5학년 학생들은 1학기 수학 중 약수와 배수 단원의 학습을 마친 상태였고, 약분과 통분, 분수의 덧셈과 뺄셈 단원에서 최대공약수와 최소공배수를 구하는 연습을 한 상태였다. 따라서 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조한 지도 방안의 효과를 알아보기 위해 아직 약수와 배수를 학습하지 않았지만 연산 능력이 5학년과 가장 유사한 4학년 학생들을 연구 대상으로 선정하였다. 다만 4학년 학생들의 이해 정도만 살펴보아서는 새로운 지도방안의 상대적인 장점이 무엇인지 명확하게 알아보기 어려울 것으로 예상되어, 기존의 교과서로 약수와 배수를 학습한 5학년 학생들과의 차이도 부가적으로 살펴보았다.
본 연구를 위해 대전광역시 소재 C초등학교 4학년 24명의 학생들을 연구 대상으로 선정하였으며, 대상 학생들은 학력 수준과 가정의 사회・경제적 수준이 대체로 낮은 편이다. 4학년을 연구 대상으로 선정한 이유는 현행 교육과정과 관련이 있다.
4학년 학생들의 활동지, 관찰 기록지, 검사지(<표 4> 참조) 등을 수집하였으며, 그 결과를 좀 더 명확하게 이해하기 위해 추가적으로 5학년 학생들을 대상으로 4학년 학생들과 동일한 검사지를 제공하여 자료를 수집하였다. 수집한 검사지 중 5문제 이상 무응답일 경우 분석 대상에서 제외하여 4학년 20개, 5학년 23개의 검사지를 대상으로 분석하였다.

성능/효과

또한 기존의 연구에서 제안한 다양한 시각화 방안을 토대로 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법의 의미를 시각화할 수 있는 교구를 개발하여 활용하였다. 구체적으로 약수와 배수의 수학적 의미를 강조하기 위해 두 수의 소인수분해 결과를 어떻게 연결하느냐에 따라 최대공약수 또는 최소공배수가 된다는 것을 시각적으로 보여주었으며, 결과값이 왜 최대공약수, 최소공배수인지 색을 통해 구분할 수 있도록 했다.
그 결과 5학년 학생 5명 중 4명의 학생은 처럼 알고리즘의 의미를 묻는 질문에 제대로 설명하지 못한 채 “공통된 부분만 곱하면 최대공약수이다”라고 대답하며 방법적인 측면만 설명하는 경향이 있었다.
본 연구에서 이러한 어려움을 극복하고자 인수막대라는 시각적인 교구를 활용하여 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정을 지도하였다. 그 결과 학생들은 알고리즘의 의미를 좀 더 쉽게 설명할 수 있었으며 특히 최소공배수에서 공통된 인수와 공통되지 않은 인수를 곱해준 수가 두 수의 배수가 되고, 공통된 인수를 한 번 곱하는 것이 최소가 됨을 시각적으로 확인할 수 있었다. 이처럼 약수와 배수에서 사각형 모델, 퀴즈네어 막대 같은 시각적 모델 활용이 유용하다는 것은 선행연구에서도 확인되었지만(박현아, 2010; 류성림, 2002), 본 연구에서는 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정의 의미를 시각적으로 나타낼 수 있는 모델을 제시했다는 점에서 의미가 있다.
둘째, 시각적인 교구를 활용하여 직관적으로 계산 원리를 지도하는 것은 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정의 의미를 지도하는 데 도움이 된다. 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정의 의미를 말로 설명하는 것은 매우 복잡하며 특히 초등학생들이 이해하기에 어렵다.
특히 전체 인수막대가 18과 30의 최소공배수임을 배수의 정의 즉, 3×2×3의 5배이므로 18의 배수이고, 2×3×5의 3배이므로 30의 배수가 된다는 것을 설명할 수 있었다. 따라서 알고리즘에서 겹쳐지는 수는 한 번만 곱한 후 나머지 수를 곱한 값 즉 전체 막대가 최소공배수임을 배수의 정의와 인수막대를 통해 이해하고 있음을 알 수 있었다. 앞서 3×2×3×5를 계산했던 5학년의 사례와 달리 4학년 학생은 3×2×3×5가 18과 30의 최소공배수임을 설명하기 위해 3×2×3×5를 계산하지 않고 인수막대를 통해 전체 인수막대 안에 3×2×3(18)과 2×3×5(30)가 있다는 사실을 통해 3×2×3×5가 18과 30의 배수임을 설명할 수 있었다.
또한 5학년 학생 모두 최대공약수를 구하기 위해서는 2가 아닌 2×2 즉 최대한 많은 인수를 곱해야지 공약수 중 가장 큰 수인 최대공약수를 구할 수 있다는 것은 설명할 수 있었다.
이처럼 앞서 단순 계산 문제 중 최대공약수에서 나눗셈 방법(방법3) 적용 시 정답률이 가장 높았던 것과 관련지어 볼 때 4, 5학년 학생들이 최대공약수를 구하는 나눗셈 방법을 적용하고 이해하는데 어려움이 적었다. 또한 5학년 학생들의 에피소드를 살펴보았을 때 공약수의 의미 즉, 공통되는 약수라는 점과 공통되는 인수만 곱한다는 나눗셈 방법의 방법적인 측면이 가시적으로 연결되어 있으며, 공통된 인수를 모두 곱해야지 가장 값이 커지기 때문에 최대공약수의 최대라는 용어와 쉽게 연결 지을 수 있었다. 하지만 알고리즘의 의미, 즉 공통된 인수만을 곱한 수가 최대공약수임을 설명할 때 5학년 학생들은 대부분 용어의 유사성을 들어 알고리즘을 정당화한 반면, 4학년 학생들은 인수막대를 활용하여 공통된 인수들의 곱이 각 수의 약수가 됨을 정의를 통해 설명할 수 있었다.
또한 처럼 공통인 인수를 모두 곱해주었을 때 그 수가 두 수의 최대공약수가 됨을 약수의 정의와 인수막대를 이용해 잘 이해하고 있음을 알 수 있었다.
앞서 3×2×3×5를 계산했던 5학년의 사례와 달리 4학년 학생은 3×2×3×5가 18과 30의 최소공배수임을 설명하기 위해 3×2×3×5를 계산하지 않고 인수막대를 통해 전체 인수막대 안에 3×2×3(18)과 2×3×5(30)가 있다는 사실을 통해 3×2×3×5가 18과 30의 배수임을 설명할 수 있었다. 또한 학생들이 언어적으로 표현하지는 않았지만 공통인 인수를 겹쳐도 즉 한 번만 곱하더라도 전체 인수막대 안에 18과 30이 포함되어 있어 18과 30의 공배수가 될 수 있음을 이해하고 있다는 것을 알 수 있었다.
’처럼 학생의 사고를 좀 더 살펴볼 필요가 있는 의미 있는 답변도 있었다. 면담을 실시하여 학생의 답변을 심층 분석한 결과 최대공약수와 달리 4, 5학년 학생 간 차이가 더 명확하게 드러났다. 5학년 학생들은 대부분 왜 공통인 인수에 공통되지 않은 인수를 곱해주면 최소공배수가 되는지, 공통된 인수만 곱했던 최대공약수와 달리 공통된 인수에 공통되지 않은 인수까지 곱하는데도 최소공배수가 되는지 대부분 응답하지 못했다.
검사지 중 단순 계산 문제에서의 응답 결과를 분석한 결과는 <표 7>과 같다. 선행연구의 결과와 유사하게 4학년뿐만 아니라 5학년도 최대공약수를 구할 때 방법3(나눗셈 방법 이용, 4번 문항), 방법1(정의 이용, 2번 문항), 방법2(소인수분해 활용, 3번 문항)의 순으로 정답률이 높았으며, 최소공배수보다 최대공약수 문제에서의 정답률이 높은 것으로 드러났다. 다만 최대공약수와 달리 최소공배수를 구할 때 방법3(나눗셈 방법 이용, 10번 문항)에 비해 방법1(정의 이용, 8번 문항)의 정답률이 높았는데 이를 통해 학생들은 최대공약수에서 보다 최소공배수를 구할 때 나눗셈 방법(방법3)을 적용하는 것을 어려워한다고 볼 수 있다.
이는 최대공약수와 달리 공통된 인수는 한 번만 곱한 후 공통되지 않은 인수들을 곱하는 방법적인 측면과 공배수의 의미 사이에 직관적인 연결이 어려우며 최대공약수보다 더 많은 인수를 곱함에도 공배수 중 가장 작은 최소공배수가 되는지 이해하기 어렵기 때문으로 보인다. 이러한 어려움을 반영하듯 단순 계산 문제 중 최대공약수와 달리 최소공배수에서 나눗셈 방법(방법3)을 적용했을 때의 정답률보다 의미를 이용한 방법1에서의 정답률이 더 높았다. 즉 학생들이 최소공배수를 구하는 알고리즘의 적용을 더 어려워하고 있음을 알 수 있다.
반면 4학년 학생들은 모두 <에피소드 5>처럼 최소의 의미를 이해하고 있었으며, 3명의 학생이 <에피소드 6>처럼 공통인 부분에 공통이 아닌 나머지 수를 곱하는 알고리즘의 의미를 최소공배수의 정의와 연결 지어 설명할 수 있었다. 이를 통해 공통인 부분에 공통이 아닌 나머지 수를 곱했을 때 그 수가 두 수의 최소공배수가 됨을 배수의 의미와 인수막대를 이용해 이해하고 있음을 알 수 있었다.

후속연구

예를 들어 인수막대에서 공통인 인수들의 곱이 왜 최대공약수이고, 공통인 인수와 공통이 아닌 인수들의 곱이 왜 최소공배수인지 생각해보도록 지도하는 데 초점을 두는 것이다. 그리고 소인수분해에 대한 자세한 내용은 중학교 교육과정에서 상세히 다룰 것을 제안한다. 이를 통해, 학생들이 수를 가장 작은 수의 곱으로 표현하는 연산 과정에서의 어려움을 줄이고 대신 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정의 의미 이해에 좀 더 초점을 맞출 수 있을 것이다.
또한 최대공약수와 최소공배수를 구하는 알고리즘과 관련이 높은 곱셈식을 보고 배수와 약수를 찾는 내용도 약수와 배수의 관계를 다루는 차시에서 분절적으로 지도하기 때문에 학생들이 그 연관성을 알기가 어렵다. 따라서 약수, 공약수, 최대공약수 그리고 배수, 공배수, 최소공배수를 연속적으로 지도하고 곱셈식을 보고 배수와 약수를 찾는 내용을 각각 약수와 배수를 지도하는 차시에 함께 지도한다면 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정을 이해하는 측면에서 장점이 있을 것이다.
그리고 소인수분해에 대한 자세한 내용은 중학교 교육과정에서 상세히 다룰 것을 제안한다. 이를 통해, 학생들이 수를 가장 작은 수의 곱으로 표현하는 연산 과정에서의 어려움을 줄이고 대신 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정의 의미 이해에 좀 더 초점을 맞출 수 있을 것이다.
이상의 연구 결과를 통하여 알 수 있듯이, 시각적 교구를 활용하여 학생들은 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정의 의미를 이해할 수 있으며 이를 통해 약수와 배수의 의미 이해를 강화하고 후속 단원 및 후속 학년과의 연계를 강화할 수 있을 것으로 보인다. 이에 본 연구가 초등학생들을 위해 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조한 지도 방안을 고안하는 데 도움이 되기를 기대한다.
이상의 연구 결과를 통하여 알 수 있듯이, 시각적 교구를 활용하여 학생들은 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정의 의미를 이해할 수 있으며 이를 통해 약수와 배수의 의미 이해를 강화하고 후속 단원 및 후속 학년과의 연계를 강화할 수 있을 것으로 보인다. 이에 본 연구가 초등학생들을 위해 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정에서 의미를 강조한 지도 방안을 고안하는 데 도움이 되기를 기대한다.

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	역사적으로 약수와 배수 개념은 왜 의미가 있는가?	역사적으로 ‘약수와 배수’ 개념은 정수론의 여러 개념과 정리를 바탕으로 하는 중요한 내용이며, 초등학교와 중학교 교육과정에서 모두 다루어지는 주제이다(박현아, 2010). 특히 초등학교 교육과정에서 약수와 배수는 자연수 이론의 중심이 되며, 더 나아가 분수의 이해 및 사칙연산에서 기초가 된다(최지영, 강완, 2003).
	초등학교 교육과정에서 약수와 배수가 중요한 이유는?	역사적으로 ‘약수와 배수’ 개념은 정수론의 여러 개념과 정리를 바탕으로 하는 중요한 내용이며, 초등학교와 중학교 교육과정에서 모두 다루어지는 주제이다(박현아, 2010). 특히 초등학교 교육과정에서 약수와 배수는 자연수 이론의 중심이 되며, 더 나아가 분수의 이해 및 사칙연산에서 기초가 된다(최지영, 강완, 2003). 이 외에도 약수와 배수 개념은 비와 비례 개념 발달에 영향을 주며(고은성, 이경화, 2007), 실생활 문제 해결에 폭넓게 사용되고 있다(이영희, 2009).
	박현아(2010)는 중학교 학생들이 최대공약수와 최소공배수에서 범하는 오류의 원인을 어떻게 나누었나?	중학교 학생들도 초등학교 학생들이 범하는 오류와 유사한 오류를 범한다. 예를 들어 박현아(2010)는 학생들이 최대공약수와 최소공배수 관련 내용에서의 오류 원인을 용어 정의, 소인수분해, 공통인 인수, 문장제에 대한 이해 부족으로 나누어 진단하였다. 특히 나눗셈 방법을 적용하는 과정에서 학생들이 많은 오류를 범한다고 지적하며, 이는 학생들이 최대공약수와 최소공배수를 구할 때 의미는 모른 채 단순히 계산과정을 암기하고 기계적으로 반복훈련만 했기 때문이라고 주장했다.

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