[논문]2015 개정 교육과정에 따른 <수학 II> 교과서에 나타난 수학사 활용 유형 분석

김은숙; 조완영

doi:10.7468/jksmee.2019.33.4.471

2015 개정 교육과정에 따른 <수학 II> 교과서에 나타난 수학사 활용 유형 분석
An Analysis of the Patterns of Using History in Textbook Developed under the 2015-Revised Curriculum 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series E: Communications of Mathematical Education, v.33 no.4, 2019년, pp.471 - 488

김은숙 (충북남성중학교) , 조완영 (충북대학교)

초록
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본 연구의 목적은 2015 개정 교육과정에 따른 <수학II> 교과서의 수학사 활용 실태를 분석하는 데 목적이 있다. 연구 목적을 달성하기 위해 Jankvist(2009)의 수학사 활용에 대한 이유와 방법에 따른 수학사 활용 유형을 토대로 2015 개정 교육과정에 따른 9종의 <수학II> 교과서에 나타난 수학사 활용 유형의 분포와 특징을 분석하였다. 분석 결과 첫째, 수학교과서에 제시된 수학사 과제가 대부분 정의적 도구로 사용되었고, 인지적 도구나 목표에 해당하는 과제는 소수에 불과했다. 둘째, 정의적 도구로 분류된 수학사 과제 대부분이 수학사나 수학자의 일화를 소개하는 것이고 수학자가 겪었던 어려움 등을 통해 수학의 인간적 측면을 보여주는 수학자 과제는 1개이다. 셋째, 정의적 도구와 목표로 분류된 수학사 과제는 모두 설명 자료이고, 인지적 도구로 분류된 수학사 과제 10개 중 2개는 설명 자료, 8개는 모듈 자료이다. 수학교육에서 수학사 활용의 중요성과 가치를 고려할 때, 인지적 도구-모듈 자료, 목표-모듈 자료 형식의 수학사 과제를 개발하고 이를 교과서나 수학 수업에서 적극 활용할 필요가 있다.

Abstract ▼ AI-Helper

This paper aims to examine how mathematical history is used in textbooks according to the 2015-Revised Curriculum. We analyze the distribution and characteristics of making use of the mathematical history in the nine textbooks, using the framework suggested by Jankvist (2009) on the whys and hows of using historical tasks. First, the tasks related to mathematical history in the textbooks are mostly used as an affective tool, while few tasks are used as a cognitive tool. Second, most of the historical tasks of the type of an affective tool are introducing the anecdotes of mathematicians or in the history of mathematics, and only one case is trying to show human nature of mathematics by illuminating the difficulties mathematicians were faced with. Third, all the mathematical history tasks used as affective tools and goals are illumination materials, while only two out of the ten tasks in the category of a cognitive tool are illumination materials, yet eight others are modular ones. Considering the importance and value of using mathematical history in the math education, this paper recommends that more modular materials on mathematical history tasks in the category of cognitive tools and goals should be developed and their deployment in the textbooks or courses should be promoted.

주제어

표/그림 (16)

표 <표 II-1> Siu Man-Keung의 수학사 활용 범주(ABCD)의 의미 및 효과(정현, 2015, 재인용)
표 <표 II-2> 분석틀(장혜원, 2015)
표 <표 III-1> 수학교과서의 수학사 과제 개수
표 <표 III-2> 분석틀(이유)
표 <표 III-3> 분석틀(방법)
그림 [그림 III-1] 수학사 과제 분석 방법
그림 [그림 III-2] 두 가지 유형으로 분류된 수학사 과제
표 <표 IV-1> 수학교과서의 수학사 과제 유형
그림 [그림 IV-1] C 교과서의 수학사 과제
그림 [그림 IV-2] E 교과서
그림 [그림IV-4] B 교과서의수학사소개
그림 [그림 IV-3] D 교과서의 수학자 소개
그림 [그림 IV-5] C 교과서의 수학사 소개
그림 [그림 IV-6] B 교과서의 인지적 도구 수학사 과제 (배종숙 외, 2018)
그림 [그림 IV-7] F 교과서의 인지적 도구 수학사 과제 (고성은 외, 2018)
그림 [그림 IV-8] 목표로 활용된 수학사 과제

AI 본문요약
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문제 정의

모듈 자료로 분류될 수 있는 교과서의 수학사 자료들은 대부분 1시간 이내의 작은 크기이며 수학사 자체가 독립 과목으로 편성된 사례도 없다. 따라서 본 연구에서는 모듈을 교육과정의 수학 주제와 관련이 있고 학생의 수학적 이해를 위한 질문을포함하고 있으며, 1시간 이내에 다룰 수 있는 것으로 정의한다.
본 연구는 Jankvist(2009)의 수학사 활용에 대한 이유와 방법에 따른 수학사 활용 유형을 토대로 2015 개정교육과정에 따른 교과서의 수학사 활용 실태를 분석하는 데 목적이 있다.
수학사를 수학과 다른 학문 사이의 연결고리로 활용할 때, 의도가 이것을 통해 학생들의 동기를 유발하는 데 있다면 정의적 도구로 활용된 것이고, 다른 학문 분야의 문제를 해결하는 과정에서 수학 개념이 발생 했음을 보여주는 데 의도가 있다면 목표로서의 수학사에 해당된다(Jankvist, 2009). 본 연구는 교과서에 제시된 수학사 자료를 Jankvist(2009)가 제시한 수학사를 활용하는 이유와 방법을 기준으로 분류한 수학사 활용 유형을 기준으로 분석하는데 있다. 따라서 수학사 자료가 실제로 수업에서 어떻게 활용될 수 있는지를 고려하지 않으며, 교과서에 제시된 수학사 자료를 토대로 저자의 의도가 어떤 것인지를 해석하는 것에 초점을 둔다.
본 연구에서는 이러한 문제의식을 바탕으로 2015 개정 교육과정에 따른 교과서의 수학사 활용 실태를 분석하는 데 목적이 있다.

제안 방법

9종의 교과서에 제시된 수학사 과제를 수집하여 [그림 Ⅲ-1]과 같은 방법으로 분석하였다.
”는 정리의 역이 성립하지 않는다는 것을 설명할 수 있다는 의미에서 인지적 도구로 분류될 수도 있다. 그러나 교과서에서 읽기 자료로 제시되어 있고, 인지적 도구로서의 활용은 잘 드러나지 않기 때문에 이 자료는 정의적 도구와 목표로서의 수학사 활용으로 분류하였다. 또한 이와 같이 하나의 수학과제가 두 가지의 범주로 분류될 때 하나는 (1)과 같이 괄호로 표시하였다.
Jankvist(2009)는 수학사를 활용하는 이유를 도구로서의 수학사와 목표로서의 수학사, 수학사를 활용하는 방법을 설명자료(illumination), 모듈 자료(modules), 수학사 기반 자료로 구분하였다. 도구로서의 수학사 활용을 정의적 도구와 인지적 도구, 역사 발생적 도구로 구분하였다. 수학교육에서 수학사 활용에 대한 Jankvist(2009)의 범주화는 이유와 방법을 토대로 수학교육에서 수학사 활용의 다양한 측면을 정리했다는 점에서 의미가 있으며, 특히 인지적 도구와 목표로서의 수학사 활용은 수학교육에서 수학사를 보다 더 유연하고 다양하게 활용할 기회를 제공한다.
Jankvist(2009)는 수학사를 활용하는 이유를 도구와 목표로 분류하였으며, 도구로서의 수학사 활용을 다시 정의적 도구, 인지적 도구, 역사 발생적 도구로 분류하였다. 또한 수학사를 활용하는 방법을 설명자료, 모듈자료, 수학사 기반 자료로 구분하였다. 이유와 방법을 종합하면 6가지의 유형이 나오지만 이러한 6가지 유형을 개별화하는 것은 큰 의미가 없다고 판단하여 본 연구에서는 수학사 자료를 활용한 이유와 방법을 중심으로 분류하였으며 이러한 분석틀을 <표 Ⅲ-2>와 <표 Ⅲ-3>과 같이 요약할 수 있다.
<수학Ⅱ> 교과서는 함수의 극한, 미분, 적분 3개의 대단원으로 구성되어 있다. 먼저 수학사 활용 유형의 분포를 분석한 후, 수학사 활용 유형별 특징을 분석한다.
분석 결과의 타당성을 높이기 위해 연구자 2명 외에 수학교육을 전공하는 박사과정 학생 1명과 석사과정 학생 2명 모두 5명이 개별적으로 분석한 후 4명 이상이 일치한 경우는 다수의 의견을 따라 이유와 방법을 결정하였으며, 그렇지 않은 경우는 토론을 통하여 합의 후 결정하였다.
Jankvist(2009)는 수학사 활용에 대한 선행연구를 분석하여 수학교육에서 수학사를 왜, 어떻게 활용하는가를기준으로 범주화하였으며, 수학사를 활용하는 이유를 도구로서의 수학사와 목표로서의 수학사, 수학사를 활용하는 방법을 설명자료(illumination), 모듈 자료(modules), 수학사 기반 자료로 범주화하였다. 수학교육에서 수학사를 활용하는 이유를 도구로서의 수학사와 목표로서의 수학사 두 가지로 구분하였다.
연구 목적을 달성하기 위해 Jankvist(2009)의 수학사 활용에 대한 이유와 방법에 따른 수학사 활용 유형을 토대로 2015 개정 교육과정에 따른 교과서에 나타난 수학사 활용 유형의 분포와 특징을 분석하였다.
이유와 방법을 종합하면 6가지의 유형이 나오지만 이러한 6가지 유형을 개별화하는 것은 큰 의미가 없다고 판단하여 본 연구에서는 수학사 자료를 활용한 이유와 방법을 중심으로 분류하였으며 이러한 분석틀을 와 과 같이 요약할 수 있다.

이론/모형

본 연구에서는 Jankvist(2009)가 제시한 수학교육에서 수학사를 활용하는 이유와 방법에 따른 수학사 활용 유형을 이용하여 2015 개정 교육과정에 따른 교과서에 제시된 수학사 자료의 유형을 분석하였다.

성능/효과

9종의 교과서에 제시된 과제는 81개이지만 유형별 분류된 과제는 중복 분석된 과제 2개를 포함하여 83개(81(2))로 나타났다.
9종의 교과서에 제시된 수학사 과제 83개 중 정의적 도구가 69개(83%), 인지적 도구가 10개(12%)로 나타났으며, 목표로서의 수학사 과제는 4개(5%)에 불과했다.
<수학Ⅱ> 교과서에 제시된 수학사 과제가 대부분 동기나 흥미 유발 등을 위한 정의적 도구로 분류되었고, 교과서 저자에 따라 수학사 과제의 활용 정도가 다양하며, 특히 수학 내용 전개 과정에 수학사 관련 내용이 포함되지 않았음을 확인할 수 있었다. 따라서 수학교육에서 수학사를 보다 다양한 이유와 방법으로 적극 활용하기 위해서는 수학과 교육과정에서 어떤 방식으로든 수학사 활용에 관한 내용이 포함될 필요가 있다.
둘째, 수학교육에서 수학사를 활용하는 이유에서 정의적 도구로 분류된 수학사 과제 대부분이 수학사나 수학자의 일화를 소개하는 것이고 수학자가 겪었던 어려움 등을 통해 수학의 인간적 측면을 보여주는 수학자 과제는 1개에 불과한 것으로 나타났다. 정의적 도구로 분류된 과제 69개 중 수학자를 소개한 과제가 44개(63%)로 나타났으며, 기호 이야기를 포함한 수학사 소개는 24개(36%), 수학자의 당혹감을 표현하여 수학의 인간적 측면을 보여준 수학사 과제는 1개로 나타났다.
이러한 결과는 교과서에 제시된 수학사가 흥미를 유발하기 위한 동기로서의 역할을 하는 것이 대부분이고(권오남, 박정숙, 김은지, 2013), 수학사를 활용하는 수학수업이 학생들의 수학학습태도와 학습동기에 긍정적인 영향을 미칠 것(김기원, 감혜성, 2003; 이성철, 전상표, 2004)이라는 연구 결과와 일치한다. 또한 교과서에 제시된 모든 수학사 과제가 교과서 내용 전개 과정에 포함되지 않고 단원의 도입부분이나 마무리 부분, 본문의 교과서 날개 부분에 별도로 제시되었음을 확인할 수 있었다.
또한 연속함수는 모든 점에서 기울기를 구할 수 있는 미분 가능한 함수라고 생각했었지만, 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능한 함수를 발견하여 수학의 발달이 이루어졌음을 보여 주고 있고, ‘블랑망제 함수 곡선’이라는 이름에 문화가 영향을 끼치고 있음을 보여준다는 점에서 목표로서의 수학사 활용 예로 분류할 수 있다.
인지적 도구로 분류된 10개의 수학사 과제는 모두 수학사에 나타난 관점과 표현을 현재의 학습 내용과 비교하는 수학사 과제였으며, 인지장애의 확인과 극복에 관한 수학사 과제는 발견하지 못했다. 목표로 분류된 4개의 수학사 과제 중 2개는 미적분 개념을 누가 발견했는가에 대한 논쟁에 대한 것이고, 수학과 사회문화가 상호 영향을 주면서 발달한다는 측면을 보여주는 수학사 과제가 1개, 시대에 따른 수학의 모습과 발전 과정을 보여 주는 수학사 과제가 1개로 나타났다.
본 연구를 통해 2015 개정 교육과정에 따른 9종의 교과서에 제시되어 있는 수학사 과제가 대부분 정의적 도구-설명 자료로 분류될 수 있음을 확인할 수 있었다.
셋째, 정의적 도구와 목표로 분류된 수학사 과제는 모두 설명 자료이고, 인지적 도구로 분류된 수학사 과제 10개 중 2개도 설명 자료이며, 나머지 8개만 모듈 자료이다. 모듈 자료는 수업 단위로 활용될 수 있고, 수학사 자료와 학생들의 활동을 연결시킬 수 있다.
첫째, 수학교과서에 제시된 수학사 과제가 대부분 정의적 도구로서 활용될 수 있는 것이고 인지적 도구나 목표로 활용될 수 있는 수학사 과제는 매우 부족한 것으로 나타났다. 9종의 <수학 Ⅱ> 교과서에 제시된 수학사 과제 83개 중 정의적 도구가 69개(83%), 인지적 도구가 10개(12%)로 나타났으며, 목표로서의 수학사 과제는 4개(5%)에 불과했다.

후속연구

수학교육에서 수학사 활용의 중요성과 가치를 고려할 때, 인지적 도구-모듈 자료, 목표-모듈 자료 형식의 수학사 과제를 개발하고 이를 교과서나 수학 수업에서 적극 활용할 필요가 있다. 또한 수학과 교육과정에 수학사 활용 방안을 포함시키고 이를 토대로 수학교과서에서 본문의 내용 전개 과정에 수학사 과제를 연결시킬 수 있는 방안에 대한 후속연구가 요구된다. 이러한 과정에서 하나의 수학사 과제가 정의적 도구, 인지적 도구, 목표로서의 수학사 활용 모두를 포괄할 수도 있을 것이다.
본 연구는 Jankvist(2009)의 수학사 활용에 대한 이유와 방법에 따른 수학사 활용 유형을 토대로 2015 개정교육과정에 따른 <수학Ⅱ> 교과서의 수학사 활용 실태를 분석하는 데 목적이 있다. 수학 교과서의 수학사 활용실태 분석을 통해 궁극적으로 수학사를 보다 더 포괄적이고 유용하게 활용할 수 있는 방안을 탐색할 수 있을것이다. 이러한 연구 목적을 달성하기 위해 ‘2015 개정 교육과정에 따른 <수학Ⅱ> 교과서에 나타난 수학사 활용유형의 분포와 특징은 어떠한가?’를 연구문제로 설정하였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	Jankvist(2009)는 수학사를 활용하는 이유를 어떻게 구분하였나?	Jankvist(2009)는 수학사 활용에 대한 선행연구를 분석하여 수학교육에서 수학사를 왜, 어떻게 활용하는가를 기준으로 범주화하였다. Jankvist(2009)는 수학사를 활용하는 이유를 도구로서의 수학사와 목표로서의 수학사, 수학사를 활용하는 방법을 설명자료(illumination), 모듈 자료(modules), 수학사 기반 자료로 구분하였다. 도구로서의 수학사 활용을 정의적 도구와 인지적 도구, 역사 발생적 도구로 구분하였다. 수학교육에서 수학사 활용에 대한 Jankvist(2009)의 범주화는 이유와 방법을 토대로 수학교육에서 수학사 활용의 다양한 측면을 정리했다는 점에서 의미가 있으며, 특히 인지적 도구와 목표로서의 수학사 활용은 수학교육에서 수학사를 보다 더 유연하고 다양하게 활용할 기회를 제공한다.
	수학교육에 수학사 활용은 어떤 장점이 있는가?	수학교육에서 수학사 활용의 중요성과 가치는 여러 가지 측면에서 생각할 수 있다. 수학사는 수학에 대한 흥미와 동기 유발은 물론 수학 개념의 역동적인 발전과정이나 창의적 문제해결 과정에 대한 이해를 통해 수학 개념과 원리의 이해 등에도 도움이 되고, 다양한 문화와 수학의 발달 사이의 상호 작용을 이해하는데도 도움이 된다. 허민(1997)은 흥미나 동기유발 외에 수학의 유용성과 문화적 가치, 수학은 발전하는 학문임을 인식시킬 수있고, 수학의 ‘인간화’를 도모할 수 있으며, 수학학습의 어려움을 이해할 수 있고 교수방법을 개선할 수 있다는점을 근거로 수학교육에서 수학사를 도입할 필요성을 주장하고 있다(우정호, 민세영, 정연준, 2003). 수학교육의주요 이론인 Lakatos의 준경험주의, Freudental의 수학화 이론은 현대적인 역사 발생적 원리에 기반을 두고 있으며(민세영, 2002), Toeplitz(1963)가 수학의 역사 자체보다는 근원문제, 사실 및 그 증명의 발생과 이러한 발생의 결정적인 관점의 전환이 중요하다고 주장한 것에서도 수학교육에서 수학사 활용의 중요성을 찾을 수 있다(우정호, 2007, 재인용).
	목표로서의 수학사는 무엇에 초점을 두는가?	목표로서의 수학사란 수학사의 여러 가지 측면들을 학습하는 것 자체가 목표라는 의미이다. 목표로서의 수학사는 수학사 자체를 학습하는 것이 아니라 학문으로서의 수학의 역사발생 과정의 다양한 측면에 초점을 둔다는점에 주목해야 한다(Jankvist, 2009). 수학사를 이용하여 수학은 인간 활동의 산물이며 다양한 시대와 사회문화에서 수학이 존재하고 발달해 왔음을 보여주는 것, 이러한 문화가 수학발달에 영향을 끼쳤으며, 반대로 수학의발달이 사회문화에 영향을 끼쳤음을 보여주는 것, 수학 발달에 수학 내·외적 요소가 어떤 영향을 끼쳤는지를 보여주는 것도 목표로서의 수학사에 포함된다.

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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