중학교 수학교과서와 중학생들의 반 힐레 기하수준에 관한 연구 A Study on the Van Hiele Level of Middle school Mathematics Textbooks and Middle school students' geometric thinking원문보기
본 연구에서는 중학교 수학교과서에서 기하 영역의 반 힐레 수준과 학생들의 반 힐레 수준을 비교 분석하였다. 교육과정이 개정되어 오면서 기하 영역에서의 내용은 감소되었지만 반 힐레 수준의 변화는 크지 않았고, 교과서에 제시되어 있는 내용의 기하 수준과 학생의 기하 수준과는 차이가 많이 남을 알 수 있었다. 교과서의 반 힐레 수준은 1학년의 경우 1, 2, 3수준, 2, 3학년의 경우 2, 3, 4수준에 분포되어 있고, 학생의 수준은 1학년의 경우 1수준 이하가 69%, 2, 3학년의 경우 2수준 이하가 각각 73.7%, 47.6%로 나타나 차이가 큼을 알 수 있다. 특히 2, 3학년의 경우 문제에서보다 교과서 본문의 내용의 반 힐레 4수준 비율이 높아 학생에게 어려움을 야기할 수 있음을 알 수 있었다.
본 연구에서는 중학교 수학교과서에서 기하 영역의 반 힐레 수준과 학생들의 반 힐레 수준을 비교 분석하였다. 교육과정이 개정되어 오면서 기하 영역에서의 내용은 감소되었지만 반 힐레 수준의 변화는 크지 않았고, 교과서에 제시되어 있는 내용의 기하 수준과 학생의 기하 수준과는 차이가 많이 남을 알 수 있었다. 교과서의 반 힐레 수준은 1학년의 경우 1, 2, 3수준, 2, 3학년의 경우 2, 3, 4수준에 분포되어 있고, 학생의 수준은 1학년의 경우 1수준 이하가 69%, 2, 3학년의 경우 2수준 이하가 각각 73.7%, 47.6%로 나타나 차이가 큼을 알 수 있다. 특히 2, 3학년의 경우 문제에서보다 교과서 본문의 내용의 반 힐레 4수준 비율이 높아 학생에게 어려움을 야기할 수 있음을 알 수 있었다.
This study compared and analyzed the van Hiele levels of geometry contents in middle school mathematics textbooks and those of students' thinking. As the mathematics curriculum was revised recently, the amount of contents in the geometry area were reduced, but the van Hiele level did not change much...
This study compared and analyzed the van Hiele levels of geometry contents in middle school mathematics textbooks and those of students' thinking. As the mathematics curriculum was revised recently, the amount of contents in the geometry area were reduced, but the van Hiele level did not change much, and the gap between the van Hiele level of geometric contents presented in the textbooks and the level of students' geometric thinking still remained unchaged. The van Hiele levels of the geometric contents in the textbooks were distributed in the levels of 1, 2, 3 in the first grade, and 2, 3, 4 in the second and third grade. In the case of the first grade, 69% of the students were less than or equal to level 2, and 73.7% and 47.6% of the students in the second and third grades were less than or equal to level 3, respectively. Especially, in the case of the second and third grade, the ratio of the 4th level of the contents presented in the textbook is higher than the problem, which can cause difficulties for the students.
This study compared and analyzed the van Hiele levels of geometry contents in middle school mathematics textbooks and those of students' thinking. As the mathematics curriculum was revised recently, the amount of contents in the geometry area were reduced, but the van Hiele level did not change much, and the gap between the van Hiele level of geometric contents presented in the textbooks and the level of students' geometric thinking still remained unchaged. The van Hiele levels of the geometric contents in the textbooks were distributed in the levels of 1, 2, 3 in the first grade, and 2, 3, 4 in the second and third grade. In the case of the first grade, 69% of the students were less than or equal to level 2, and 73.7% and 47.6% of the students in the second and third grades were less than or equal to level 3, respectively. Especially, in the case of the second and third grade, the ratio of the 4th level of the contents presented in the textbook is higher than the problem, which can cause difficulties for the students.
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문제 정의
기하는 고대에서 지금까지 서양에서 중요한 교과목으로 가르쳐 왔지만 학생들의 수준에 비해 지나 치게 엄밀한 점 때문에 학생들은 기하를 공부할 때 곤란을 겪어 왔다. 본 연구에서는 현재의 중학교의 효율적인 기하 교수 학습을 위해 중학교 수학 교과서의 기하영역의 반 힐레 수준과 학생들의 수준 을 분석하였다. 이를 위해 교육과정이 변함에 따라 중학교 수학교과서 기하영역의 반 힐레 수준의 변 화가 있었는지, 중학교 교과서의 반 힐레 수준과 중학생들의 반 힐레 수준은 얼마나 차이가 나는지를 분석하였다.
Primasatya, Jatmiko(2018)은 초등학교 5학년을 대상으로 한 최근의 연구에서 반 힐레 이론을 적용한 멀티미디어 기하 환경에서 학습한 학생이 그렇지 않은 학생에 비해 기하의 사고 능력이 낫다는 결론을 내리고 있다. 이 외에도 다양한 연구 결과들이 발표되고 있다 지금부터는 반 힐레기하 수준 이론과 관련하여 중학교 교과서 수준 분석, 학생의 수준 분석, 기하 수준을 향상시키기 위한 방안의 측면에서 실시된 선행연구를 살펴보고자 한다.
(문항) 다음에 직각삼각형ABC가 있다. 이 직각삼각형ABC의 세 변에 정삼각형 ACE, ABF, BCD를 만들자. 그러면, , ,는 공통인 한 점에서 만난다는 것을 증명할 수 있다.
가설 설정
① 과 의 길이는 같다.
제안 방법
각 단원별 내용별로 반 힐레의 수준을 분석하는데 있어서는 교과서의 내용과 문제의 제시에 있어서 서로 다른 수준을 갖는 경우가 많으므로, ‘내용’과 ‘문제’의 두 부분으로 나누어 조사하였다.
둘째, 2015개정교육과정을 반영하는 교과서를 학습하는 중학교 1, 2학년 학생, 2009개정 교육과정을 반영하는 교과서를 학습하는 중학교 3학년을 대상으로 반 힐레 수준을 조사하여 교과서와 학생의 수준의 차이가 있는지를 비교 분석하고 반 힐레 기하 수준의 향상에 도움이 될 수 있는 교수·학습 방법 의 방안을 찾고자 한다.
각 단원별 내용별로 반 힐레의 수준을 분석하는데 있어서는 교과서의 내용과 문제의 제시에 있어서 서로 다른 수준을 갖는 경우가 많으므로, ‘내용’과 ‘문제’의 두 부분으로 나누어 조사하였다. 또한 2007 개정 교육과정을 기준으로 단원을 구분해 분석하였다. 교육과정이 변화함에 있어서 학습 내용의 적정 화가 이루어졌으며 이때 내용의 감축과 학년 간 이동을 크게 꼽을 수 있다.
본 연구는 기하영역을 중심으로 2007개정교육과정부터 2015개정교육과정에서 교과서의 반 힐레 수 준을 분석하였다. 또한 학생들의 기하적 사고의 반 힐레 수준을 분석하였다.
본 연구는 기하영역을 중심으로 2007개정교육과정부터 2015개정교육과정에서 교과서의 반 힐레 수 준을 분석하였다. 또한 학생들의 기하적 사고의 반 힐레 수준을 분석하였다.
교과서는 핵심 내용과 그에 따른 예제와 문제로 구분되어 있다. 이를 분석할 때에는 문항 자체의 수준과 지도서에 제시된 모범답안에서 제시된 내용을 바탕으로 수준을 분석하였다. 이를 위해 반 힐레 Level test에서 제시되는 문항의 유형과 David Fuy의 주장을 기준으로 교과서를 분석하였다.
본 연구에서는 현재의 중학교의 효율적인 기하 교수 학습을 위해 중학교 수학 교과서의 기하영역의 반 힐레 수준과 학생들의 수준 을 분석하였다. 이를 위해 교육과정이 변함에 따라 중학교 수학교과서 기하영역의 반 힐레 수준의 변 화가 있었는지, 중학교 교과서의 반 힐레 수준과 중학생들의 반 힐레 수준은 얼마나 차이가 나는지를 분석하였다.
이를 위해 본 연구에서는 2007개정, 2009개정, 2015개정 교육과정 기하영역의 변화를 분석하고, 3개 출판사의 중학교 1～3학년 수학교과서를 대상으로 반 힐레 수준이론에 근거하여 반 힐레 수준을 분석 하였다. 3학년의 경우는 2007개정, 2009개정 교육과정을 분석하였다.
이를 위해 첫째, 2007개정 교육과정부터 2015개정 교육과정에 해당하는 중학교 1～3학년의 교과서의 기하 영역의 반 힐레 수준을 분석하고 그 변화를 살펴보고자 한다.
중학교 수학 교과서는 3종 교과서를 선택하여 2007개정교육과정에서부터 2015개정 교육과정까지의 반 힐레 수준을 분석하여 수준의 변화가 있는지를 살펴보았다.
대상 데이터
(1) 중소도시 J시 지역의 중학교 수학교과서로 사용 빈도가 높은 A, B, C 세 출판사의 1∼3학년 기하영역을 분석대상으로 선정하였다.
(2) 중소도시의 3개의 중학교 1, 2, 3학년 3학급씩 총 810명을 연구대상으로 하였다. D중학교 1, 2, 3학년 3학급씩, E중학교 1, 2, 3학년 3학급씩, F중학교 1, 2, 3학년 3학급씩을 대상으로 1학년 총 268 명, 2학년 총 270명, 3학년 총 282명으로 총 810명을 대상으로 반 힐레 수준을 측정하였다.
이를 위해 본 연구에서는 2007개정, 2009개정, 2015개정 교육과정 기하영역의 변화를 분석하고, 3개 출판사의 중학교 1～3학년 수학교과서를 대상으로 반 힐레 수준이론에 근거하여 반 힐레 수준을 분석 하였다. 3학년의 경우는 2007개정, 2009개정 교육과정을 분석하였다. 또한, D중학교 1～3학년 3학급씩 268명, E중학교 1～3학년 3학급씩 270명, F중학교 1～3학년 3학급씩 272명으로 총 810명을 대상으로 반 힐레 수준을 측정하여 다음과 같은 결론을 얻었다.
(2) 중소도시의 3개의 중학교 1, 2, 3학년 3학급씩 총 810명을 연구대상으로 하였다. D중학교 1, 2, 3학년 3학급씩, E중학교 1, 2, 3학년 3학급씩, F중학교 1, 2, 3학년 3학급씩을 대상으로 1학년 총 268 명, 2학년 총 270명, 3학년 총 282명으로 총 810명을 대상으로 반 힐레 수준을 측정하였다.
이론/모형
반 힐레 검사지에서 배점을 부여하고 수준을 부여하는 방법은 Usiskin(1982)이 사용한 방법을 활용 던 이창연, 황우형(2010)의 배점 방식을 택하였다. 이 방법은 학생이 문항을 전혀 모르는 채 많은 문항을 맞추기는 확률적으로 어렵다는 점을 기준으로 하여 수준을 판정하는 것이다.
이를 분석할 때에는 문항 자체의 수준과 지도서에 제시된 모범답안에서 제시된 내용을 바탕으로 수준을 분석하였다. 이를 위해 반 힐레 Level test에서 제시되는 문항의 유형과 David Fuy의 주장을 기준으로 교과서를 분석하였다. 같은 평행사변형에 관한 문제라 할지라도 묻는 내용과 방법에 따라 다양한 수준으로 나타날 수 있다.
학생의 반 힐레 수준을 검사하는데 사용한 도구는 미국 Chicago대학에서 Usiskin(1982)이 개발한 5지 선다형 25문항 중 21～25번을 제외한 20문항으로 구성된 반 힐레 수준 검사지이다.
성능/효과
넷째, 학년이 올라감에 따라 학생의 반 힐레 수준 또한 상승하고 있지만 각 학년마다 많은 학생들 이 낮은 수준에 머물러 있다. 1학년 학생의 경우 모두 1수준이하에 도달한 학생이 69%이상이고 2학년의 경우 여전히 2수준 이하의 학생들이 차지하는 비율은 73.7%, 3학년의 경우 2수준 이하의 학생들이 차지하는 비율은 47.6%로 나타났다. 또 상당수의 학생들은 학년에 상관없이 낮은 수준에 머물러 있음은 특기할 만한 일이라 할 수 있다.
이때 D, E, F중학교 2학년 학생 수는 각각 109명, 85명, 76명이었다. 2학년의 반 힐레 수준을 살펴 보면 2수준과 준3수준이 39.1%, 3수준과 준4수준이 11.13%로 수준이 향상됨을 알 수 있었다. 여전히 2수준 이하의 학생들이 차지하는 비율은 73.
넷째, 학년이 올라감에 따라 학생의 반 힐레 수준 또한 상승하고 있지만 각 학년마다 많은 학생들 이 낮은 수준에 머물러 있다. 1학년 학생의 경우 모두 1수준이하에 도달한 학생이 69%이상이고 2학년의 경우 여전히 2수준 이하의 학생들이 차지하는 비율은 73.
3학년에서는 내용과 문제에서 3수준의 비율이 가장 높았고, 4수준의 경우 내용과 문제에서 많은 차이가 나타났다. 다루는 주제 측면에서 보면 2학년에서는 삼각형과 사각형의 성질을 증명하고 이를 정당화하기 위한 내용에서 반 힐레 의 4수준이 차지하는 비율이 높았고, 3학년에서는 삼각형과 원의 성 을 발견하고 이를 조직하는 과정에서 3수준이 차지하는 비율이 많아진 것으로 나타났다. 하지만 교육과정이 변함에 따라 수준의 변화는 미미하며 각 출판사마다 다뤄지는 내용 접근 방식이나 예제, 문제의 유형에는 큰 변화가 없었다.
둘째, 3학년 교과서에서는 3, 4수준의 경우 문제보다 내용의 수준이 높게 나타났고, 4수준의 경우에는 특히 심하게 나타났다. 이것은 교과서의 내용 구성을 변화시킬 필요가 있음을 시사한다.
내용부분이 여전히 4수준으로 높은 이유는 수학적 개념을 도입함에 있어서 논리적 근거를 제시하기 위해 여전히 ‘증명’을 통해 핵심 내용과 정리를 도입하기 때문이라고 판단된다. 또한 그에 반해 문제의 반 힐레 수준이 낮은 이유는 본문의 내용에서 도입한 결과를 적용하여 해결할 수 있어서 문항의 난이도는 높지 않은 것으로 파악된다.
최민정․손홍찬(2016)은 2009개정교육과정의 중학교 3학년을 대상으로 상위권집단과 하위권집단을 구분하여 반 힐레 Level Test를 실시하였다. 상집단의 경우 1수준 15.6%, 2수준은 37.3%, 3수준은 41%이고 4수준 이상에 해당하는 학생은 없는 것으로 조사되었으며, 하집단의 경우 1수준 미달이 18%, 1수준 38%, 준2수준은 19%, 2수준은 26%, 준3수준 이상에 해당하는 학생은 없는 것으로 나타났다고 하였다. 이에 상·하 두집단 사이에 반 힐레 수준의 차이가 크게 나타남으로써 하집단을 위한 적절한 교재의 구성이 필 요하며, 교수․학습 방법도 실험 관측을 통하여 기하적 성질을 귀납적으로 유추하는데 중점을 두고 엄밀한 연역적 증명은 지양할 필요가 있다고 제안하였다.
셋째, 교과서의 반 힐레 수준과 학생의 반 힐레 수준 사이에는 상당한 격차가 있음을 알 수 있었다. 교육과정이 바뀜에 따라 내용의 감축이 이루어졌고, 특히 어렵다고 생각되는 내용들을 삭제하여 난이도를 조정해왔지만, 현실은 교과서의 수준과 학생의 수준은 여전히 그 차이가 큼을 알 수 있다.
김미정, 이종희(1994)는 6차교육과정의 중학교 1, 2, 3학년을 대상으로 반 힐레 수준을 검사하였으며 임상면담을 통해 기하 수준과 수준의 진보를 파악하고자 하였다. 이 연구에서는 증명을 처음 배우는 중학교 2학년들의 약 93.6%, 중학교 3학년 학생들의 약 74.8%가 수준 2이하에서 사고하는 것으로 나타났는데, 이것은 학생들이 증명을 이해하는데 어려움을 갖게 되므로 증명을 도입하기 전에 비형식적인 기하 내용을 다루어주는 것이 바람직하다고 제시하였다. 또한, 학생들이 갖는 어려움을 제거하고 기하 수준을 향상시킬 수 있는 적절한 지도 내용 및 방법을 지속적으로 연구해야 할 것이라고 제안하였다.
중학교 1학년의 경우 A, B, C 출판사 모두 교육과정이 개정됨에 따라 교과서에서 다루는 핵심 내용을 제시함에 있어서 증명과정을 분할함으로써 수준을 낮추려는 노력이 보였으나 이는 소수에 불과 하며 핵심내용을 설명하는 방법이 거의 유사하여 4수준의 비율이 크게 감소되지 못한 것으로 나타났다. 한편, 세 출판사 모두 문제 부분에서 직접 증명을 삭제하고 설명을 요하는 문제로 변형하여 제시 하여 4수준의 비율이 줄고 3수준의 비율이 늘어난 것으로 나타났다.
중학교 2학년 교과서의 반 힐레 수준의 분석 결과 내용부분의 4수준의 비율이 출판사 구분 없이 모 두 50%가 넘는 반면 문제의 수준은 교육과정이 변화함에 따라 4수준의 비율이 감소하고 3수준의 비 율이 높게 나타났다. 내용부분이 여전히 4수준으로 높은 이유는 수학적 개념을 도입함에 있어서 논리적 근거를 제시하기 위해 여전히 ‘증명’을 통해 핵심 내용과 정리를 도입하기 때문이라고 판단된다.
첫째, 2007개정교육과정에서 2015개정교육과정이 변화함에 따라 적용되는 교과서 내용이나 문제의 유형에는 큰 변화가 없었으며, 내용의 감축으로 인한 수준의 비율의 변화만 보인 점이 아쉬웠다.
중학교 1학년의 경우 A, B, C 출판사 모두 교육과정이 개정됨에 따라 교과서에서 다루는 핵심 내용을 제시함에 있어서 증명과정을 분할함으로써 수준을 낮추려는 노력이 보였으나 이는 소수에 불과 하며 핵심내용을 설명하는 방법이 거의 유사하여 4수준의 비율이 크게 감소되지 못한 것으로 나타났다. 한편, 세 출판사 모두 문제 부분에서 직접 증명을 삭제하고 설명을 요하는 문제로 변형하여 제시 하여 4수준의 비율이 줄고 3수준의 비율이 늘어난 것으로 나타났다.
후속연구
8%가 수준 2이하에서 사고하는 것으로 나타났는데, 이것은 학생들이 증명을 이해하는데 어려움을 갖게 되므로 증명을 도입하기 전에 비형식적인 기하 내용을 다루어주는 것이 바람직하다고 제시하였다. 또한, 학생들이 갖는 어려움을 제거하고 기하 수준을 향상시킬 수 있는 적절한 지도 내용 및 방법을 지속적으로 연구해야 할 것이라고 제안하였다.
이를 통해 교육 내용의 질적 조화를 통해 학습자들의 기하 학습 부담을 줄이는 것과 함께 의미 있는 학습이 이루어질 수 있도록 장차 교육과정을 개선하고 교과서를 구성하는데 시사점을 제공할 수 있을 것이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
연구결과에 따르면 교과서의 반 힐레 수준과 학생의 반 힐레 수준은 차이가 있는가?
셋째, 교과서의 반 힐레 수준과 학생의 반 힐레 수준 사이에는 상당한 격차가 있음을 알 수 있었다. 교육과정이 바뀜에 따라 내용의 감축이 이루어졌고, 특히 어렵다고 생각되는 내용들을 삭제하여 난이도를 조정해왔지만, 현실은 교과서의 수준과 학생의 수준은 여전히 그 차이가 큼을 알 수 있다.
유클리드 원론은 무엇인가?
학교수학에서 유클리드의 기하학을 다루어 온 것에는 많은 논란이 있었다. 2300년 전에 지어진 유클리드 원론은 기하학뿐만 아니라 비율, 홀짝수, 소수, 무리수 등의 내용을 담고 있는 것으로 아리스 토텔레스의 논리학을 바탕으로 수학 이론을 정립한 최초의 책인데(이무현, 2002), 수학교육 현장에서는 오랜 동안 엄밀한 논리적 전개로 수학을 통해 두뇌를 도야해야 한다는 입장에서 유클리드 ‘원론’(Elements)의 교육이 주를 이루어 왔으나, 기하의 엄밀성에서 기인하는 복잡성과 난해함, 또는 접근 방법과 유용성의 인식 차이에 따라 학교 교육에서 기하를 어떻게 개선해야 하는지에 대한 논의는 18 세기 이후 줄기차게 지속되어 왔다.
반 힐레는 기하교수에서 주된 문제의 원인을 무엇이라 했나?
반 힐레는 연역적 추론이 학생들에게 자연스럽게 발 생하지 않는다는 관찰 결과를 토대로 연역적 추론에 대한 신중하고 체계적인 교육의 필요성을 강조하면서, 학생들에게 서로 다른 기하적 사고 수준이 존재함을 알고 이를 분석하였다. 각 수준에는 독특한 언어 구조가 있어서 서로 다른 수준에 있는 사람끼리는 의사소통에 많은 어려움을 겪는다고 주장하였으며 기하교수에서의 주된 문제는 교사가 학생에게 기대하는 수준과 학생들의 수준의 차이로부터 발생한다고 밝혔다. 이러한 상황을 극복하기 위하여 반 힐레는 교사가 학생의 수준을 파악하고 학생들의 수준에서 지도할 것을 권고하였다.
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