[논문]디리슈레 혼합모형을 이용한 함정 전투체계 부품의 고장시간 분포 추정

이진환; 김정훈; 정봉주; 김경택

doi:10.11627/jkise.2019.42.4.194

디리슈레 혼합모형을 이용한 함정 전투체계 부품의 고장시간 분포 추정
An Application of Dirichlet Mixture Model for Failure Time Density Estimation to Components of Naval Combat System 원문보기

Journal of Korean Society of Industrial and Systems Engineering = 한국산업경영시스템학회지, v.42 no.4, 2019년, pp.194 - 202

이진환 (한남대학교 산업공학과) , 김정훈 (합동군사대학교 공군대학) , 정봉주 (한남대학교 산업공학과) , 김경택 (한남대학교 산업공학과)

Abstract ▼ AI-Helper

Reliability analysis of the components frequently starts with the data that manufacturer provides. If enough failure data are collected from the field operations, the reliability should be recomputed and updated on the basis of the field failure data. However, when the failure time record for a component contains only a few observations, all statistical methodologies are limited. In this case, where the failure records for multiple number of identical components are available, a valid alternative is combining all the data from each component into one data set with enough sample size and utilizing the useful information in the censored data. The ROK Navy has been operating multiple Patrol Killer Guided missiles (PKGs) for several years. The Korea Multi-Function Control Console (KMFCC) is one of key components in PKG combat system. The maintenance record for the KMFCC contains less than ten failure observations and a censored datum. This paper proposes a Bayesian approach with a Dirichlet mixture model to estimate failure time density for KMFCC. Trends test for each component record indicated that null hypothesis, that failure occurrence is renewal process, is not rejected. Since the KMFCCs have been functioning under different operating environment, the failure time distribution may be a composition of a number of unknown distributions, i.e. a mixture distribution, rather than a single distribution. The Dirichlet mixture model was coded as probabilistic programming in Python using PyMC3. Then Markov Chain Monte Carlo (MCMC) sampling technique employed in PyMC3 probabilistically estimated the parameters' posterior distribution through the Dirichlet mixture model. The simulation results revealed that the mixture models provide superior fits to the combined data set over single models.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 다기능 통제콘솔과 같이, 동일한 여러 개의 부품이 존재하면서 각 개별 부품에 대해서는 통계분석을 할 만큼 고장 자료가 빈번하지 않은 경우, 완전 자료 및 중도절단 자료 모두를 이용하여 부품의 신뢰성을 계산하는 문제를 다룬다.
본 연구에서는 동일한 여러 개의 부품이 존재하면서 각 개별 부품에 대하여는 통계분석을 할 만큼 고장 데이터가 빈번하지 않은 경우, 디리슈레 혼합모형을 이용하여 고장시간 분포를 계산하는 방법을 제시 하였다. 이 방법은 고장시간 분포를 단일모형이 아닌 다수의 모집단분포를 결합한 혼합모형으로 표현한다는 특징을 가진다.
본 장에서는 디리슈레 혼합모형을 이용하여, 유도탄고속함에 설치된 다기능 통제콘솔의 고장시간에 대한 확률밀도함수를 도출하는 예를 서술한다. 다기능 통제콘솔의 고장 자료를 모아, 수리 후부터 고장까지의 시간을 누적하여 기록한 다음, 각 함정에서 온 고장 자료가 균일하게 영향을 갖게 하기 위하여 총 누적 시간이 동일하도록 자료를 정리하였다.

가설 설정

고장 자료를 분석할 때 중도절단 자료를 제외하였으며, 고장 분포를 단일 분포로 가정하여 자료에 가장 적합한 분포를 선택하였다.
본 연구에서는 개별 부품의 고장 패턴에 대한 추세 검정을 할 때에 중도절단 자료를 포함하여 검정을 하며, 고장시간 분포를 적합(fitting)할 때도 중도절단 자료를 포함하여 사용한다. 또한 결합된 자료에 대해서 단일 분포가 아니라 파라미터 값이 다른 함수들의 혼합된 분포 형태로 가정하여 확률밀도함수를 구한다.
본 사례연구에서는 각 부품의 고장 패턴은 동일한 확률밀도함수를 가지되, 사용조건에 따라 파라미터 값만 달라진다고 가정한다. 또한, 한 부품의 고장 패턴은 사용 조건의 변경에 따라, 확률밀도함수의 파라미터 값이 여러번 변할 수 있다고 가정한다. 사용된 데이터 45개중에서 완전 데이터는 37개 이다.
본 사례연구에서는 각 부품의 고장 패턴은 동일한 확률밀도함수를 가지되, 사용조건에 따라 파라미터 값만 달라진다고 가정한다. 또한, 한 부품의 고장 패턴은 사용 조건의 변경에 따라, 확률밀도함수의 파라미터 값이 여러번 변할 수 있다고 가정한다.
ADT는 근사적으로 Anderson-Darling 통계량 분포를 따른다. 이 ADT는 단조 증가, 단조감소 추세 및 비단조 추세 모두에 대하여 민감하기 때문에 ADT가 큰 값을 가지면 귀무가설을 기각한다.
RP란 부품이 수리되면 새로운 부품으로 교체한 것으로 본다. 이 경우, 부품을 수리한 후 다음 고장까지의 시간 분포는 iid(independently and identically distributed)라 가정한다. 본 장에서는 고장 패턴이 RP라는 귀무가설을 설정하고 이에 관한 검정 통계량을 살펴본다.
이 모형에서, 각 관측치는 M개의 부모집단중 하나로부터 샘플링 된다고 가정하며, j번째 부모집단으로부터 샘플링될 확률은 πj다.
Na와 Chang[17]은 좌측 중도절단 자료가 있는 탱크 고장 자료를 결합한 후 EM(Expectation-Maximization) 알고리즘을 사용하여 고장률을 추정하는 방법을 제시하였다. 이 연구에서는 결합된 고장 자료의 고장 패턴이 와이블(Weibull) 분포를 따른다고 가정하여 파라미터를 추정하였다. 좌측 중도절단 자료를 사용하였다는 점에서 자료를 효율적으로 활용한 연구다.

제안 방법

수집된 다기능 통제콘솔의 고장 자료는 중도절단 자료를 포함하고 있다. 각 함정에서 온 부품의 고장 패턴이 RP인지를 검정하기 위하여 중도절단 자료가 포함된 고장 자료에 대한 AD 유형 검정과 LR 유형 검정을 실행하였다. [Table 1]은 검정 결과를 보여준다.
다기능 통제콘솔의 고장 자료를 모아, 수리 후부터 고장까지의 시간을 누적하여 기록한 다음, 각 함정에서 온 고장 자료가 균일하게 영향을 갖게 하기 위하여 총 누적 시간이 동일하도록 자료를 정리하였다.
디리슈레 혼합모형의 시뮬레이션을 통하여, 각 커널 함수에 대한 파라미터들을 추정한 다음, 어떤 모형이 데이터에 가장 잘 적합하는 지를 테스트하여, 최적 모형을 선택한다. 중도절단 자료가 존재하므로, 완전 자료에 잘 적합하는 모형이 최적 모형이라고 할 수 없다.
본 논문에서는 카플란-마이어 방법으로 구한 생존 함수에 가장 근접한 모형을 최적모형으로 선택한다. 카플란-마이어 방법으로 구한 생존 함수와 혼합모형으로부터 구한 생존함수와의 차이를 테스트하기 위하여 Two-Sample Kolmogorov-Smirnov(KS) 테스트를 이용한다.
본 연구에서는 개별 부품의 고장 패턴에 대한 추세 검정을 할 때에 중도절단 자료를 포함하여 검정을 하며, 고장시간 분포를 적합(fitting)할 때도 중도절단 자료를 포함하여 사용한다. 또한 결합된 자료에 대해서 단일 분포가 아니라 파라미터 값이 다른 함수들의 혼합된 분포 형태로 가정하여 확률밀도함수를 구한다.
이 경우, 부품을 수리한 후 다음 고장까지의 시간 분포는 iid(independently and identically distributed)라 가정한다. 본 장에서는 고장 패턴이 RP라는 귀무가설을 설정하고 이에 관한 검정 통계량을 살펴본다.
시뮬레이션을 수행하여 커널 함수 별로 혼합모형의 파라미터들의 사후 확률을 구한 후, 이를 이용하여 생존함수를 구하였다.
혼합 모형을 사용함으로써 사용환경에 따른 고장시간 패턴의 변화 가능성까지 유연하게 표현할 수 있는 장점이 있다. 아울러, 개별 부품의 고장 패턴에 대한 추세 검정을 할 때에 중도절단 자료를 포함하여 검정을 하며, 고장시간 분포를 적합할 때도 중도절단 자료를 포함하여 사용함으로서, 고장 자료를 효율적으로 활용한다. 본 연구에서 제시한 방법을 적용하여 해군함정에 사용되는 다기능 통제콘솔의 고장시간 밀도 함수를 구한 결과, 사용된 모든 커널함수에서 단일모형보다 혼합모형을 적용했을 때, 카플란-마이어 생존 곡선에 보다 근접한 분포를 생성하였다.
Kim과 Kim[8]은 중도절단 자료를 포함하여 무기체계의 고장 자료를 수집 하였다. 완전 자료에 대한 추세 검정을 수행하여 경향성이 없음을 확인한 후 고장 자료를 통합하고, MINITAB을 사용하여 자료에 가장 적합한 분포를 선택하였다. Seo 등[22]은 함정용 유도탄에 대한 신뢰도 분석을 위하여 고장 자료의 모집단이 단일 분포를 따른다는 가정 하에서 가장 적합한 분포를 선택한 후, 표본을 통해 파라미터를 추정하였다.
혼합모형에 사용할 커널 분포로, 신뢰성 분포 추정에 널리 사용되는 Weibull 분포, Lognormal 분포, Loglogistic 분포를 사용하였다. 커널 분포에 사용되는 파라미터의 사전 분포로 HalfNormal 분포를 사용하였으며, 각 커널에 맞도록 범위를 부여하였다.

대상 데이터

[Figure 1]에서 Unit 6, 7, 8은 해당 기간 동안 전혀 고장이 나지 않았다. 본 논문에서는 고장 패턴이 RP인 부품 1, 2, 3, 4, 5와 고장이 나지 않은 부품 6, 7, 8의 기록을 하나의 데이터 셋으로 결합하여 확률밀도함수 도출의 자료로 사용하였다.
또한, 한 부품의 고장 패턴은 사용 조건의 변경에 따라, 확률밀도함수의 파라미터 값이 여러번 변할 수 있다고 가정한다. 사용된 데이터 45개중에서 완전 데이터는 37개 이다. 분포에 적합하기 위한 최소 샘플사이즈는 5~10개로 보는 것이 일반적이므로, 부모집단의 수의 최대치는 3~7이라 볼 수 있으며, 보수적인 관점으로 보아 7로 고정하였다
수집된 다기능 통제콘솔의 고장 자료는 중도절단 자료를 포함하고 있다. 각 함정에서 온 부품의 고장 패턴이 RP인지를 검정하기 위하여 중도절단 자료가 포함된 고장 자료에 대한 AD 유형 검정과 LR 유형 검정을 실행하였다.

데이터처리

시뮬레이션을 수행하여 커널 함수 별로 혼합모형의 파라미터들의 사후 확률을 구한 후, 이를 이용하여 생존함수를 구하였다. 도출된 생존 함수는 KS 테스트를 실행하여 카플란-마이어 생존 함수와 비교 하였다. [Table 3]는 각 커널 함수에 대하여, 부모분포함수의 수에 따른 KS 테스트를 실행하여 얻어진 유의확률을 나타내었다.

이론/모형

베이지안 추론을 이용한 시뮬레이션은 파이썬 프로그램과 PyMC3[21]를 사용하여 수행하였다. PyMC3는 사용자가 프로그래밍 코드로 나타낸 확률적 모형에 대하여 자동적으로 베이지안 추론을 행하는 확률적 프로그래밍(Probabilistic Programming) 언어다.
본 논문에서는 카플란-마이어 방법으로 구한 생존 함수에 가장 근접한 모형을 최적모형으로 선택한다. 카플란-마이어 방법으로 구한 생존 함수와 혼합모형으로부터 구한 생존함수와의 차이를 테스트하기 위하여 Two-Sample Kolmogorov-Smirnov(KS) 테스트를 이용한다. KS 테스트는 두 개의 데이터 집합이 같은 분포로부터 왔는지를 점검하는 테스트이다.
혼합모형에 사용할 커널 분포로, 신뢰성 분포 추정에 널리 사용되는 Weibull 분포, Lognormal 분포, Loglogistic 분포를 사용하였다. 커널 분포에 사용되는 파라미터의 사전 분포로 HalfNormal 분포를 사용하였으며, 각 커널에 맞도록 범위를 부여하였다.
혼합모형의 파라미터를 추정하는 방법으로, EM 알고리즘, 베이지안 추론 등이 있으며, 본 논문에서는 베이지안추론을 사용한다. 베이지안 추론의 MCMC(Markov Chain Monte Carlo)를 이용하여 위 혼합모형에 대한 시뮬레이션을 하면, 수집된 관측 데이터에 적합된 π_j와 θ_j의 사후확률(posterior) 분포를 추정할 수 있다.

성능/효과

마지막 사건 발생시점부터 중도절단까지의 시간을 무시하는 것은 고장시간 분포에 상당한 편향을 야기할 수 있다는 연구가 있으므로[11], 완전 자료와 함께 중도절단 자료도 활용하는 분석의 필요성이 제기 된다. 둘째, 모든 선행 연구에서 결합된 자료에 대하여 단일분포 함수에 적합 하였다. 그러나, 동일한 부품도 설치 위치와 운용환경 등에 따라 상이한 고장 패턴이 나타날 수 있다[5, 14].
본 연구에서 제시한 방법을 적용하여 해군함정에 사용되는 다기능 통제콘솔의 고장시간 밀도 함수를 구한 결과, 사용된 모든 커널함수에서 단일모형보다 혼합모형을 적용했을 때, 카플란-마이어 생존 곡선에 보다 근접한 분포를 생성하였다.

후속연구

향후에는 본 연구에서 사용된 Weibull 분포, Lognormal 분포, Loglogistic 분포 이외의 다른 분포에도 적용하여 보다 더 적합성을 가지는 분포가 있는지 살펴볼 필요가 있다. 또한, 혼합된 분포에 영향을 미칠 수 있는 여러 요인들을 모형에 추가하여 시뮬레이션을 수행함으로써, 이러한 요인들이 분포에 미치는 영향을 확인하는 연구로 확장할 수 있을 것으로 기대한다.
어떠한 부품이 여러 대의 탱크나 여러 척의 함정 등과 같이 동일한 시스템에 사용 될 때 개별 부품에 관한 고장 횟수가 충분하지 않다면, 먼저 각 부품들의 고장 자료를 결합할 수 있는 조건을 갖추고 있는지를 추세 검정을 통하여 확인한다.
지금까지 언급된 연구들은 다음 두 가지 면에서 개선의 여지가 있다. 첫째, 중도절단 자료를 충분히 활용하지 않았다. 선행 연구에서 완전 자료를 사용한 연구들이 다수이며[8, 9, 10, 22, 12], 자료 수집 단계에서 중도절단 자료를 수집한 경우에도 분석단계에서는 완전 자료만을 사용한 경우도 있다[8, 9].
향후에는 본 연구에서 사용된 Weibull 분포, Lognormal 분포, Loglogistic 분포 이외의 다른 분포에도 적용하여 보다 더 적합성을 가지는 분포가 있는지 살펴볼 필요가 있다. 또한, 혼합된 분포에 영향을 미칠 수 있는 여러 요인들을 모형에 추가하여 시뮬레이션을 수행함으로써, 이러한 요인들이 분포에 미치는 영향을 확인하는 연구로 확장할 수 있을 것으로 기대한다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	중도절단 자료란?	둘째, 고장 자료는 중도절단 자료(censored data)를 포함하는 경우가 많다[14, 18]. 중도절단 자료는 생존기간의 양 끝점 중 한 쪽 이상이 알려져 있지 않은 경우를 의미한다. 중도절단 자료는 완전한 정보를 담고 있지는 않지만, 정보를 전혀 담고 있지 않은 것은 아니다.
	유도탄고속함의 전투체계는 어떻게 구성되어 있는가?	국내에서 개발한 해군 함정 전투체계의 시초인 유도탄고속함의 전투체계는 센서체계, 지휘무장통제체계, 무장체계로 구성되어 있다. 이 중에서 지휘무장통제 체계는 핵심 구성품인 한국형 다기능 통제콘솔(Korea MultiFunction Control Console, KMFCC), 지휘무장통제 캐비넷, 연동단 등으로 구성된다[9].
	Kim 등이 고장 자료를 이용할 때 어떻게 자료를 선택하였는가?	Kim 등[9]은 함정 전투체계 시스템에 사용된 부품들의 고장 자료를 이용하여 MTBF를 추정하고 운영대체장비의 소요분석을 최초로 제시하였다. 고장 자료를 분석할 때 중도절단 자료를 제외하였으며, 고장 분포를 단일 분포로 가정하여 자료에 가장 적합한 분포를 선택하였다. Na와 Chang[17]은 좌측 중도절단 자료가 있는 탱크 고장 자료를 결합한 후 EM(Expectation-Maximization) 알고리즘을 사용하여 고장률을 추정하는 방법을 제시하였다.

참고문헌 (22)

Austin, P.C. and Steyerberg, E.W., The Number of Subjects per Variable Required in Linear Regression Analyses, Journal of Clinical Epidemiology, 2015, Vol. 68, pp. 627-636.

상세보기
Bendell, T., An Overview of Collection, Analysis, and Reliability Data in the Process Industries, IEEE Transactions on Reliability, 1998, Vol. 37, pp. 132-137.
Cho, H.J., Lim, J.H., and Kim, Y.S., A Comparison of the Reliability Estimation Accuracy between Bayesian Methods and Classical Methods Based on Weibull Distribution, Journal of the Korean Institute of Industrial Engineers, 2016, Vol. 42, No.4, pp. 256-262.

원문보기 상세보기
Frigyik, B.A., Kapila, A., and Gupta M.R., Introduction to the Dirichlet Distribution and Related Process, [Technical Report], UWEETR-2010-0006, [Seattle, USA] : University of Washington, 2010.
Garmabaki, A.H.S., Ahmadi, A., Block, J., Pham, H., and Kumar, U., A Reliability Decision Framework for Multiple Repairable Units, Reliability Engineering and System Safety, 2016, Vol. 150, pp. 78-88.

상세보기
Garmabaki, A.H.S., Ahmadi, A., Mahmood, Y.A., and Barabadi, A., Reliability Modelling of Multiple Repairable Units, Quality and Reliability Engineering International, 2016, Vol. 32, pp. 2329-2343.

상세보기
Jo, I.T., Lee, S.C., and Park, J.H., A Study on Reliability Growth through Failure Analysis by Operational Data of Avionic Equipments, Journal of Society of Korea Industrial and Systems Engineering, 2013, Vol. 36, No. 4, pp. 100-108.

원문보기 상세보기
Kim, M-S. and Kim, J.-J., Field Data Analysis for a Repairable System, Journal of the Korean Institute of Plant Engineering, 2017, Vol. 22, No. 3, pp. 3-10.
Kim, Y.-J., Oh, H.-S., and Choi, B.-W., A Study of Reliability analysis and Application on Naval Combat System Using Field Critical Failure Data, Journal of Society of Korea Industrial Systems Engineering, 2016, Vol. 39, No. 4, pp. 49-59.

원문보기 상세보기
Kvaloy, J.T. and Lindqvist, B.H., A Class of Tests for Trend in Time Censored Recurrent Event Data, Technometrics, 2019, DOI:10.1080/00401706.2019.1605936.
Lawless, J., Cigsar, C., and Cook, R., Testing for Monotone Trend in Recurrent Event Processes, Journal of Technometrics, 2012, Vol. 54, pp. 147-158.

상세보기
Lee, S.H. and Yum, B.J., Reliability Analysis Procedures for Repairable Systems and Related Case Studies, Journal of the KIMST, 2006, Vol. 9, No. 2, pp. 51-59.
Lewis, P.A.W. and Robinson, D.W., Testing for a Monotone Trend in a Modulated Renewal Process, Reliability and Biometry, SIAM, 1974, pp. 163-182.
Louit, D.M., Pascual, R., and Jardine, A.K.S., A Practical Procedure for the Selection of Time-to-Failure Models based on the Assessment of Trends in Maintenance Data, Reliability Engineering and System Safety, 2009, Vol. 94, pp. 1618-1628.

상세보기
Miller, J.W. and Harrison, M.T., A Simple Example of Dirichlet Process Mixture Inconsistency for the Number of Components, Advances in Neural Information Processing Systems, 2013, pp. 199-206.
Miller, J.W. and Harrison, M.T., Inconsistency of Pitman-Yor Process Mixtures for the Number of Components, Journal of Machine Learning Research, 2014, Vol. 15, No. 1, pp. 3333-3370.
Na, I.Y. and Chang, W., Multi-System Reliability Trend Analysis Model using Incomplete Data with Application to Tank Maintenance, Quality and Reliability Engineering International, 2017, Vol. 33, pp. 2385-2395.

상세보기
NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods, http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/, 2012.
Peduzzi, P., Concato, J., Kemper, E., and Feinstein, A.R., A Simulation Study of the Number of Events per Variable in Logistic Regression Analysis, Journal of Clinical Epidemiology, 1996, Vol. 49, pp. 1373-1379.

상세보기
Percy, D.F., Kobbacy, K.A.H., and Fawzi, B.B., Setting Preventive Maintenance Schedules When Data are Sparse, International Journal of Production Economics, 1997, Vol. 51, pp. 223-34.

상세보기
Salvatier, J., Wiecki, T.V., and Fonnesbeck, C., Probabilistic Programming in Python using PyMC3, PeerJ Computer Science, 2016, Vol. 2, article e55.
Seo, Y., Lee, K., Lee, Y., and Kim, J., Reliability Prediction Based on Field Failure Data of Guided Missile, Journal of Applied Reliability, 2018, Vol. 18, No. 3, pp. 250-259.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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