[논문]정약용의 구고원류

김영욱

doi:10.14477/jhm.2019.32.3.097

정약용의 구고원류
Gugo Wonlyu of Jeong Yag-yong 원문보기

김영욱 (Dept. of Math., Korea Univ.)

This paper is an outgrowth of a study on recent papers and presentations of Hong Sung Sa, Hong Young Hee and/or Lee Seung On on Gugo Wonlyu which is believed to be written by the famous Joseon scholar Jeong Yag-yong. Most of what is discussed here is already explained in these papers and presentations but due to brevity of the papers it is not understood by most of us. Here we present them in more explicit and mathematical ways which, we hope, will make them more accessible to those who have little background in history of classical Joseon mathematics. We also explain them using elementary projective geometry which allow us to visualize Pythagorean polynomials geometrically.

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문제 정의

이 논문에서는 특별히 勾股源流에 나타나는 다항식의 사전배열(lexicographic) 순서와 위에서 설명된 다항식 구조를 조금 쉽게 설명하고 이 책의 내용의 특징 내지는 용도 두 가지 정도를 짚어보려고 한다.
이제 평면의 삼각형의 세 변의 크기 순서쌍을 이런 방법으로 평면으로 옮겨보자. 즉 0 ≤ a ≤ b ≤ c라 하고 이를 평면에 나타내 보면 (A = a/c, B = b/c)라는 점으로 나타나게 된다.

가설 설정

3. 이 책은 맨 처음에 『勾股弦和較相求法』이라는 章으로 시작된다. 이 제목은 數理精蘊의 제목을 그대로 따온 것이고 앞부분의 쉬운 내용을 정리해 놓았다.
5. 어떤 변환 공식은 구고현의 관계식(a² + b² = c²)을 써서 변환하고 있으므로 직각삼각형에 대해서만 성립하는 등식이다. 이런 등식을 우리는 피타고라스 항등식(Pythagorean Identity, Pid)이라고 부른다.
6. 다수의 공식은 이러한 관계식을 사용하지 않으므로 모든 삼각형에 대해서 성립하는 항등식(Universal Identity, Uid)이다.
8. 그런데 弦和和, 弦和較, 弦較和, 弦較較 (또는 10개의 和較 전부)는 a, b, c의 선형결합이므로 이들은 선형종속이다. 따라서 이것들로 표현된 다항식을 다른 방법으로 나타내는 방법의 수는 무한히 많다.

제안 방법

한편 이 책을 쓴 저자는 정구고에서 恰盡이 되어 두 2차식의 차가 0이 되는 그런 경우를 많이 찾았으며 그 과정에서 1차식으로서 恰盡이 되는 경우를 4가지 확인하였다. 이 4가지 경우는 정구고가 만족시키는 1차다항식으로서 계수가 간단히 되는 것을 모두 찾은 것이다.

성능/효과

2. 그는 조선의 正祖(통치 시기는 1776–1800)代의 인물로서 과학 부문에서는 서양 과학, 수학 및 기술의 도입에 적극적이었다.
이 책의 저자가 스스로 구고술의 계산 방법을 마스터하지 못했다는 증거는 이 책을 전부 분석하면 나온다. 이 책을 분석하면 시작부분에 비해서 뒷부분으로 가면서 계산이 발전되고 오류가 적어진다는 것을 알 수 있다. 즉 저자는 이 책을 저술하는 동안에 구고술을 익혀가고 있었다.
조금 정확히 이야기하면 a, b, c의 정수 계수 선형결합 가운데 3 : 4 : 5에서 값이 0이 되는 그런 다항식으로 계수의 절대값이 모두 1 또는 2 또는 3인 것을 다 찾은 것이다. 이런 형태를 恰盡으로 따로 분류하여 놓음으로써 Pythagorean polynomial의 구조를 나름대로 밝힌 것이 되며, 전체적으로 근대 대수학의 기호 없이 대수적 구조를 일부 서술하는 성과를 보였다고 하겠다.[2]

핵심어

질문

논문에서 추출한 답변

동양의 구고술의 특징은 무엇인가?

동양의 구고술은 직각삼각형 문제의 계산 과정에서 가장 자주 나타나는 중요한 표현들로서 구고현의 선형결합 가운데 기본 10개를 뽑아 이름을 붙였다. 정약용은 이들과 구고현들로 이루어진 두 항짜리 이차식을 모두 공부하면서 이를 자기만의 순서로 배열하였다.

진(盡)은 무슨 의미인가?

흡진이라은 용어에서 진(盡)은 계산에서 남는 것이 없이 떨어진다는 뜻으로 오래 전부터 쓰였으나, 이 글자가 흡(恰)자와 함께 쓰인 것은 산학계몽이 처음이라고 하며 이 용어가 나타난 예로는 개방석쇄문의 첫번째 문제 풀이(術) 끝에서 「···除實恰盡合問」이라는 표현으로 나타난다. 진구소는 이와 유사한 표현으로 「適盡」이라는 표현을 사용하기도 했다.

정약용의 행보는 어떠하였는가?

2. 그는 조선의 正祖(통치 시기는 1776–1800)代의 인물로서 과학 부문에서는 서양 과학, 수학 및 기술의 도입에 적극적이었다. 3. 1801년에 西學 특히 기독교를 탄압하는 辛酉邪獄에 휘말려 귀양을 갔으며 시골과 섬에서 1818년까지 18년동안 流配생활을 했다.

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