[논문]Box-Cox변환을 이용한 다변량 공정능력 분석

문혜진; 정영배

doi:10.11627/jkise.2019.42.2.018

[국내논문] Box-Cox변환을 이용한 다변량 공정능력 분석
Analysis of Multivariate Process Capability Using Box-Cox Transformation 원문보기

Journal of Korean Society of Industrial and Systems Engineering = 한국산업경영시스템학회지, v.42 no.2, 2019년, pp.18 - 27

문혜진 (인천대학교 산업경영공학과) , 정영배 (인천대학교 산업경영공학과)

Abstract ▼ AI-Helper

The process control methods based on the statistical analysis apply the analysis method or mathematical model under the assumption that the process characteristic is normally distributed. However, the distribution of data collected by the automatic measurement system in real time is often not followed by normal distribution. As the statistical analysis tools, the process capability index (PCI) has been used a lot as a measure of process capability analysis in the production site. However, PCI has been usually used without checking the normality test for the process data. Even though the normality assumption is violated, if the analysis method under the assumption of the normal distribution is performed, this will be an incorrect result and take a wrong action. When the normality assumption is violated, we can transform the non-normal data into the normal data by using an appropriate normal transformation method. There are various methods of the normal transformation. In this paper, we consider the Box-Cox transformation among them. Hence, the purpose of the study is to expand the analysis method for the multivariate process capability index using Box-Cox transformation. This study proposes the multivariate process capability index to be able to use according to both methodologies whether data is normally distributed or not. Through the computational examples, we compare and discuss the multivariate process capability index between before and after Box-Cox transformation when the process data is not normally distributed.

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문제 정의

본 연구는 최근 연구되었던 역정규 손실함수를 이용한 다변량 공정능력지수인 MC_pI모형을 대상으로 연구의 적용범위를 확장하고자 한다. 즉, 후)적용 범위를">적용범위를 확장하고자 한다. 즉, 분석대상의 모든 변수들이 다변량 정규분포를 따른다는 가정을 전제로 제안된 기존 연구모형 MC_pI의 한계를 극복할 수 있는 공정능력의 분석을 제안하고자 한다. 따라서 본 연구에서는 다변량의 공정 데이터들이 후)분석 대상의">분석대상의 모든 변수들이 다변량 정규분포를 따른다는 가정을 전제로 제안된 기존 연구모형 MC_pI의 한계를 극복할 수 있는 공정능력의 분석을 제안하고자 한다. 따라서 본 연구에서는 다변량의 공정 데이터들이 정규분포뿐 만 아니라 비정규분포에서도 적용 가능한 MC_pI의 공정능력 분석 프로세스를 수립할 것이다.
대다수의 통계 소프트웨어 패키지들은 다양한 UVN 검정법의 기능들을 포함하고 있다. 따라서 본 연구에서는 사용자들이 용이하게 다변량 공정능력지수 MC_pI 분석을 실시할 수 있도록 통계 패키지의 UVN 검정을 이용하여 다변량으로 확장한 정규성(MVN : Multivariate Normality) 검정을 수행하는 프로세스를 제안하고자 한다.
">제안되었다[3]. 따라서 본 연구에서는 공정의 변수들이 비정규분포를 따른다면 정규변환을 이용하여 정규분포에 근사하도록 변환시킨 후 MVN을 만족하는 조건하에서 다변량 공정능력지수 MC_pI를 이용하여 공정능력을 평가하고자 한다. 그리고 MVN을 만족시키기 위해 후)조건 하에서">조건하에서 다변량 공정능력지수 MC_pI를 이용하여 공정능력을 평가하고자 한다. 그리고 MVN을 만족시키기 위해 정규변환을 수행한 경우와 그렇지 않은 경우에서의 MC_pI결과값을 비교하여 공정상태에 관한 평가에 미치는 영향을 비교하고자 한다.
후)50이상일">50 이상일 경우에는 검정력이 떨어지는 한계점을 가지고 있다. 따라서 본 연구에서는 표본의 수에 대한 제약을 받지 않으면서 검정력이 우수한 Anderson-Darling(AD) 검정을 채택하고자 한다. Anderson, Darling에 의해 제안된 AD 검정은 적합도 검정을 기반으로 분석하며, AD 검정 통계량 A²는 다음과 Royston 검정과 더불어 MVN 검정을 위해 다변량의 왜도와 첨도도 함께 확인하고자 한다. Small은 변환된 개별 변수의 는 모든 변수들이 다변량 정규분포를 따를 때 적합한 척도 모형이다. 그러기에 본 연구에서는 이러한 한계점을 벗어나 비정규분포일 경우에도 MC_pI를 이용하여 공정능력을 분석할 수 있도록 확장하는 방법을 제안한다. 즉, 공정으로부터 수집된 원본 데이터에 대하여 정규성을 검정하고 그 결과가 정규분포를 따르지 않는다고 판정될 때 이에 대한 적절한 조치를 취함으로써 올바른 그러기에 본 연구에서는 이러한 한계점을 벗어나 비정규분포일 경우에도 MC_pI를 이용하여 공정능력을 분석할 수 있도록 확장하는 방법을 제안한다. 즉, 공정으로부터 수집된 원본 데이터에 대하여 정규성을 검정하고 그 결과가 정규분포를 따르지 않는다고 판정될 때 이에 대한 적절한 조치를 취함으로써 올바른 공정능력 평가를 수행하고자 한다.
05이면 H0를 채택한다. 또한 각각의 변수들에 대한 왜도와 첨도를 분석하여 AD 검정 결과와 함께 검토한다. 이들 중 하나라도 정규성을 벗어난다면 Box-Cox변환 방법에 의해 원본 데이터를 정규분포에 근사하도록 변환시킨다.
후)정규확률밀도함 수">정규확률밀도함수 f(X)에 영향을 준다. 그로 인하여 역정규 손실함수의 기대값이 변하기 때문에 결국 다변량 공정능력지수 MC_pI의 결과에 대한 변화를 확인하고자 한다.
후)가정 하에서">가정하에서 제안된 척도이다. 하지만 본 연구에서는 공정 데이터들이 비정규분포를 따를 경우도 포함하여 평가할 수 있는 MC_pI의 분석 방법을 확장하여 제안하였다. 그리고 MC_pI공정능력 분석을 위한 가장 선행하는 분석은 개별 변수들의 UVN 검정과 MVN 검정을 실시하여 그 결과에 따라 분석 방법을 이원화하여 수행하도록 제안하였다.
따라서 본 연구는 목표치에 대한 치우침, 경제적 손실, 변수들간의 상관관계, 대칭성, 비대칭성 등 다양한 정보력과 유용성의 장점을 가진 다변량 공정능력 지수 MC_pI에 대하여 정규분포를 따를 경우나 따르지 않을 경우 모두를 분석할 수 있는 MC_pI의 적용범위를 보다 넓게 확장시키는 제안이 될 것이다.

가설 설정

후)수치예는">수치 예는 3변량일 때 다음의 규격 조건을 만족해야하는 경우로 가정한다.

제안 방법

후)주변 정규분포를">주변정규분포를 따른다고 해도 이것이 반드시 다변량 정규분포를 의미하지는 않기 때문에 MVN에 대한 검증 절차가 추가적으로 필요하다. 따라서 본 연구에서 MVN 검정을 수행하기 위한 프로세스의 첫번째 단계로 모든 변수들에 대하여 정규성 그래프와 UVN를 수행한다. 그 다음 단계로 왜도와 첨도를 확인한다.
즉, 공정영역의 산포 (ΣT) 대신에 목표치로부터 공정평균이 멀어짐에 따른 손실함수의 기대손실을 적용하였다.
UVN 결과 비정규분포를 따르는 데이터들은 Box-Cox의 정규변환을 이용하여 분석하고자 한다. Box, Cox에 의해 소개된 ‘Box-Cox 변환(Box-Cox Transformation)’은 멱변환(Power Transformation) 방법의 일종으로 랜덤 변수가 정규분포에 근사하도록 변환하는 방법이다.
후)공정 능력">공정능력 분석과정에서 가장 먼저 선행하고자 하는 분석이 정규성 검정(Normality Test)이다. 우선적으로 개별 변수들에 대하여 그래프(히스토그램, Q-Q plot, P-P plot)와 UVN 검정들(AD 검정, 왜도, 첨도)을 실시한다. 이들 중 하나라도 정규성을 벗어난다면 Box-Cox변환 방법에 의해 원본 데이터를 정규분포에 근사하도록 변환시킨다. 만약 UVN 검정이 모두 만족되더라도 Royston 검정과 다변량 왜도와 첨도를 분석하여 다변량 정규분포에 대한 검증을 실시한다.
후)정규변환된">정규 변환된 데이터에 대해서는 변환 전과 같은 UVN의 AD 검정법에 의해 정규성 검정을 실시하고 히스토그램, Q-Q plot, P-P plot 을 통해 변환된 데이터들이 정규분포에 근사하도록 바뀌었는지 확인한다. 그리고 MVN 검증을 위해 Royston 검정과 다변량 후)정규변환된">정규 변환된 데이터에 대해서는 변환 전과 같은 UVN의 AD 검정법에 의해 정규성 검정을 실시하고 히스토그램, Q-Q plot, P-P plot 을 통해 변환된 데이터들이 정규분포에 근사하도록 바뀌었는지 확인한다. 그리고 MVN 검증을 위해 Royston 검정과 다변량 왜도와 첨도를 분석한다.
변환된 데이터가 다변량 정규분포를 만족하면 해당 통계량을 산출하여 다변량 공정능력지수 MC_pI에 대입하기 위한 입력값들을 구한다.
후)3 변량에">3변량에 대한 다변량 공정능력 분석 프로세스는 [Figure 1]의 Flow Chart에 따라 실시하였다. 그리고 다변량 정규분포를 만족시키기 위해 정규변환을 수행한 경우와 그렇지 않은 경우의 MC_pI 결과값을 비교하고자 한다.
후)비정규 분포를">비정규분포를 따를 경우도 포함하여 평가할 수 있는 MC_pI의 분석 방법을 확장하여 제안하였다. 그리고 MC_pI공정능력 분석을 위한 가장 선행하는 분석은 개별 변수들의 UVN 검정과 MVN 검정을 실시하여 그 결과에 따라 분석 방법을 이원화하여 수행하도록 제안하였다. 정규성 검정 결과 정규분포를 따르지 않는다면 다양한 그리고 MC_pI공정능력 분석을 위한 가장 선행하는 분석은 개별 변수들의 UVN 검정과 MVN 검정을 실시하여 그 결과에 따라 분석 방법을 이원화하여 수행하도록 제안하였다. 정규성 검정 결과 정규분포를 따르지 않는다면 다양한 정규변환 방법 가운데 Box-Cox 변환에 의해 비정규분포의 데이터를 정규분포에 근사하도록 변환 방법을 공정능력 분석 프로세스에 추가하여 확장하였다.
후)일변량과다변량">일변량과 다변량 모두 정규분포를 따르지 않음을 확인할 수 있었다. 사용자가 MC_pI를 이용하여 다변량 공정능력 분석을 수행할 때 정규성 여부를 무시한 채 그대로 공정능력을 분석한 결과와 Box-Cox 변환을 수행하여 정규분포에 근사하도록 데이터를 변환한 후 공정능력을 분석한 결과를 비교해 보았다. 그리고 상관계수와 손실비용의 변화에 따른 MC_pI의 결과값 추이도 Box-Cox
데이터처리
- 후)매트랩(MATLAB) 프로그램을">매트랩(MATLAB)프로그램을 이용하여 Anderson-Darling 검정을 수행하게 되면 h값과 p-value의 결과에 따라 정규분포에 대한 가설 검정을 판정한다. h값(Hypothesis Test Result)의 후)공정 능력">공정능력 분석을 수행할 때 정규성 여부를 무시한 채 그대로 공정능력을 분석한 결과와 Box-Cox 변환을 수행하여 정규분포에 근사하도록 데이터를 변환한 후 공정능력을 분석한 결과를 비교해 보았다. 그리고 상관계수와 손실비용의 변화에 따른 MC_pI의 결과값 추이도 Box-Cox 변환 전과 후를 비교하였다. 우선 상관계수와 손실비용의 변화에 따른 양쪽 모두의 MC_pI
  이론/모형
  - 그 다음 단계로 왜도와 첨도를 확인한다. 그런 후에 Shapiro-Wilk검정을 다변량으로 확장한 Royston 검정과 다변량의 왜도와 첨도 접근법인 Small의 Q1, Q2를 실시한다[5].
  - MVN 검정을 위해 본 연구에서 채택하고자 하는 검정법은 UVN의 Shapiro-Wilk 검정을 n ≤ 2000인 표본에서 사용 가능하도록 다변량으로 확장한 Royston검정이며 검정 통계량 H는 다음과 같다[8].
  - 후)3 변량에">3변량에 대한 다변량 공정능력 분석 프로세스는 [Figure 1]의 Flow Chart에 따라 실시하였다. 그리고 다변량 정규분포를 만족시키기 위해

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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