초등 수학 교과서의 수학 용어 정의 및 문장제에 사용된 표현의 문장 복잡성 비교 분석 A Comparative Analysis of the Word Depth Appearing in Representations Used in the Definitions of Mathematical Terms and Word Problem in Elementary School Mathematics Textbook원문보기
본 연구는 현행 초등 수학 교과서 내 주요 용어의 정의 및 단원평가의 문장제에 사용된 표현을 구문론적 관점에서 문장 복잡성(Yngve, 1960)에 따라 비교분석하였다. 분석 결과, 교과서 내 용어의 정의와 문장제에 사용된 표현에서 저학년 교과서의 문장 복잡성이 낮게 구성되었고, 각 용어의 개별 특성에 따라 문장 구조 및 형태가 서로 다르게 나타나며, 전반적으로 간결하며 문장 복잡성이 낮게 해당 용어의 정의 및 문장제가 서술되었고 용어 정의의 문장이 문장제의 문장보다 복잡하게 구성되었음을 알 수 있었다. 초등학생이 복잡한 문장으로 인하여 수학적 개념 학습의 어려움을 겪지 않도록 교과서 내 문장을 명확하게 서술하고, 적절한 시각적 자료를 함께 제시하며, 개별 학습자의 문해 수준에 알맞은 설명을 보다 섬세하게 고려하여 제공하는 등의 노력이 필요하다.
본 연구는 현행 초등 수학 교과서 내 주요 용어의 정의 및 단원평가의 문장제에 사용된 표현을 구문론적 관점에서 문장 복잡성(Yngve, 1960)에 따라 비교분석하였다. 분석 결과, 교과서 내 용어의 정의와 문장제에 사용된 표현에서 저학년 교과서의 문장 복잡성이 낮게 구성되었고, 각 용어의 개별 특성에 따라 문장 구조 및 형태가 서로 다르게 나타나며, 전반적으로 간결하며 문장 복잡성이 낮게 해당 용어의 정의 및 문장제가 서술되었고 용어 정의의 문장이 문장제의 문장보다 복잡하게 구성되었음을 알 수 있었다. 초등학생이 복잡한 문장으로 인하여 수학적 개념 학습의 어려움을 겪지 않도록 교과서 내 문장을 명확하게 서술하고, 적절한 시각적 자료를 함께 제시하며, 개별 학습자의 문해 수준에 알맞은 설명을 보다 섬세하게 고려하여 제공하는 등의 노력이 필요하다.
As the main mathematical concepts are presented and expressed in various ways through textbooks during the teaching and learning process, it is necessary to look at the representations used in elementary math textbooks to find effective guidance. This study analyzed sentences used in the definition ...
As the main mathematical concepts are presented and expressed in various ways through textbooks during the teaching and learning process, it is necessary to look at the representations used in elementary math textbooks to find effective guidance. This study analyzed sentences used in the definition of mathematical terms and unit assessments of current elementary mathematics textbooks according to word depth (Yngve, 1960) from a syntactic perspective. As a result of the analysis, it could be seen that the sentences in textbook were generally concise, the word depth was lower, and the sentence structure and form were different depending on the individual characteristics of each term. Also, the sentences in the lower grade textbooks were more easily constructed, and the sentences of the term definition were more complex than the sentences of the unit assessments. Efforts should be made to help learners learn mathematical concepts, such as clarifying sentences in textbooks, presenting visual materials together, and providing additional explanations to suit the level of individual learners.
As the main mathematical concepts are presented and expressed in various ways through textbooks during the teaching and learning process, it is necessary to look at the representations used in elementary math textbooks to find effective guidance. This study analyzed sentences used in the definition of mathematical terms and unit assessments of current elementary mathematics textbooks according to word depth (Yngve, 1960) from a syntactic perspective. As a result of the analysis, it could be seen that the sentences in textbook were generally concise, the word depth was lower, and the sentence structure and form were different depending on the individual characteristics of each term. Also, the sentences in the lower grade textbooks were more easily constructed, and the sentences of the term definition were more complex than the sentences of the unit assessments. Efforts should be made to help learners learn mathematical concepts, such as clarifying sentences in textbooks, presenting visual materials together, and providing additional explanations to suit the level of individual learners.
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문제 정의
따라서 본 연구에서는 정의 표현 및 단원평가 문장제의 분석 결과를 6개 학년별, 5개 영역별(수와 연산, 도형, 측정, 규칙성, 자료와 가능성)로 그 특성을 비교분석하여 수학 교과서 용어 정의에 사용된 표현 및 단원평가 문장제의 문장이 문장 복잡성 면에서 어떤 특성을 보이는지 살펴보고 교과서에서의 언어적 표현 방법 개선은 물론 수학 교수 학습 방법 개선에 시사하는 바를 도출하였다.
그동안 수학교육에서 구문론적 관점에서 문장 복잡성에 관련된 연구가 여러 차례 진행 되었으나 대부분의 연구가 수학 문장제의 구조 분석 및 해결 방안 모색을 목적으로 진행 되었다(김진숙, 1997; 김성희, 2004; 김한나, 2005; 이병옥·안병곤, 2008). 따라서 현행 교과서 내 서술된 문장을 문장 복잡성을 기준으로 분석하여 살펴봄으로써 학습자의 수학 용어 이해를 도울 수 있는 수업 설계를 위한 시사점을 제공하고자 한다.
본 연구는 이러한 구문론적 관점에서 교과서 문장의 표현 방법 및 교수학습 방법 개선에 대한 시사점을 얻기 위해 현행 2015 교육과정에 따른 초등수학 교과서 내 수학 용어 정의 및 단원평가 문장제에 사용된 표현을 문장 복잡성을 기준으로 분석하였다. 분석 결과 및 시사점은 다음과 같다.
단원평가 문항을 구성하는 문장의 역할과 용어의 정의 표현 문장의 역할에는 차이가 있으나 양측 모두 교수 학습 과정에서 습득하는 학습 내용 요소인 수학 용어에 대해 다루고 있고 본 차시에 제시되는 수학적 내용을 함축적으로 나타내는 등 단원의 주요 학습 요소를 습득하는데 필요한 문장으로서의 대표성을 갖는 공통점이 있다. 이러한 분석을 통해 용어의 정의 표현과 문장제 문장의 복잡성을 학년별, 영역별로 비교 분석하여 교과서 문장의 특성 및 서술 경향을 살피고자 하였다. 단원평가 문항의 문장을 분석에 활용한 38개 단원은 <표 3>와 같다.
교수 학습 과정 내 수학 용어 정의 방법에 대해 Ginther(1964), 조영미(2001), Winicki-Landman과 Leikin(2000) 등의 연구를 살펴볼 수 있다. 이러한 연구는 교수학적 변환을 거친 수학 용어가 교수 학습 과정 및 교과서 내에서 정의되는 방법과 기능에 대해 살펴보고 있으며, 학문적 정의와 다르게 서술된 수학 용어 정의의 역할에 주목하고 있다.
제안 방법
‘2, 4, 6, 8, 10’처럼 예시로 등장하는 것이 여러 개인 경우 구성소 1개로 간주하였으며 이는 정의 표현 중 여러 개의 그림이 삽입된 경우 그림을 구성소 1개로 간주하여 계산한 것과 같은 방법으로 분석하여 분석의 일관성을 유지하기 위함이다. 각 문장을 구성하는 모든 요소를 포함하되 주어와 서술어를 중심으로 하는 의미 단위로 분절하여 분석하였고 정의 표현 문장과 단원평가 문장제에 동일한 기준을 적용하였다. 이때, 문장 복잡성 값을 소수 셋째 자리에서 반올림하여 계산하였다.
본연구는 교과서에 나타나는 여러 표현 체계를 대등한 체계로 인식하는 관점을 취한다. 교과서 지면(紙面)에 나타난 표현 중 시각적, 언어적, 기호적 표현을 대상으로 분석하되, 이러한 표현을 구문론적 관점에서 분석하였다.
그들은 모든 수학적 개념에는 속성 또는 조건을 구성하는 문장이 있다고 주장하였다. 또한, 수학적 개념의 정의가 이름을 부여하고, 개념에 대한 조건을 설정하고, 새로운 개념을 정의하기 위해 이전에 사용된 개념을 사용해야 하고 충분한 조건이 최소여야 하며 임의적이어야 한다는 특성을 제시했다.
본 연구에 앞서 분석 방법의 신뢰도를 확인하기 위하여 연구자를 포함한 3인의 초등 교사를 대상으로 교과서에 서술된 정의 표현 문장의 문장 복잡성 지수를 산출하는 예비 실험을 진행하였다. 그 결과 분석자에 따른 문장 구조 분석 및 결과 값의 차이가 있으나 문장의 구조가 복잡한 경우 문장의 구조가 단순한 문장에 비하여 문장 복잡성이 일관성 있게 높은 값으로 나타남을 확인하였으며, 문장 구조 분석 및 결과 값이 여러 형태로 나오는 경우 별도의 합의 과정을 거쳤다.
이 밖에도 용어와 기호의 정의에 사용된 표현을 문장 복잡성 분석 방법으로 비교하기 위하여 용어의 정의가 제시된 38개 단원의 평가 문장제를 같은 방법을 이용하여 분석하였 다. 단원평가 문항을 구성하는 문장의 역할과 용어의 정의 표현 문장의 역할에는 차이가 있으나 양측 모두 교수 학습 과정에서 습득하는 학습 내용 요소인 수학 용어에 대해 다루고 있고 본 차시에 제시되는 수학적 내용을 함축적으로 나타내는 등 단원의 주요 학습 요소를 습득하는데 필요한 문장으로서의 대표성을 갖는 공통점이 있다.
이를 위해 Yngve(1960)의 문장 복잡성 분석 방법에 따라 현행 초등학교 1~6학년 교과서내 용어와 기호의 정의에 사용된 표현의 구조를 분석하였으며, 용어의 정의에 사용된 표현의 복잡성을 측정하기 위하여 단원평가 문항의 문장을 비교의 대상으로 삼아 분석하였다. 이는 용어의 정의 표현 문장의 역할과 단원평가 문항을 구성하는 문장의 역할에는 차이가 있으나, 수학 교과서의 단원평가가 교과서 단원의 문장으로부터 그 형식이나 맥락을 제공받아 평가 문항에 반영되며(강완 외, 2013) 본 차시에서 다루어진 학습 내용 요소 및교수학적 도구 역할을 하는 표현 방식이 단원평가 문항에서도 일관되게 사용될 것으로 기대되어(장혜원·임미인, 2019) 단원의 주요 학습 요소를 습득하는데 필요한 문장으로서의 대표성을 갖기 때문이다.
대상 데이터
분석 과정 중 정의 표현 문장이 ‘높이’, ‘옆면’, ‘모서리’ 등과 같이 수학 용어가 다른 도형의 특징과 함께 재서술되는 경우 각각의 경우를 모두 고려하여 총 172가지 경우를 분석하였다.
우리나라는 국가 교육과정에서 학습요소로 지정된 용어가 제시될 때 교과서에 해당 정의가 서술되는 과정을 따르고 있다. 현행 2015 교육과정이 반영된 1~6학년 초등학교 교과 서를 대상으로 선정하였으며, 2015 수학과 교육과정에 명시된 학습요소 중 교과서 지면에 별도 표기되어 나타나는 용어와 기호의 정의에 사용된 언어적 표현을 대상으로 분석하였 다. 분석 과정 중 정의 표현 문장이 ‘높이’, ‘옆면’, ‘모서리’ 등과 같이 수학 용어가 다른 도형의 특징과 함께 재서술되는 경우 각각의 경우를 모두 고려하여 총 172가지 경우를 분석하였다.
이론/모형
Yngve가 제시한 분석은 어휘의 개수나 문장의 길이 등을 이용하여 계산하는 다른 방법과 달리 문장의 의미 구조로부터 복잡성 값을 나타낸 것으로 수학 교육과 관련하여 문장의 난도를 결정하는 통사적 복잡성의 척도로 이용할 수 있으므로(Loftus & Suppes, 1972) 정의 표현 문장 및 단원평가 문장제 문장의 언어적 특성을 살펴보려는 해당 연구의 목적에더 적절하다. 따라서 Yngve 지수의 계산 방법을 활용하되 한글 구구조분석(정태구, 1995) 방법에 적용하여 지수를 계산하였다.
본 연구에서는 선행 연구 중 Yngve의 방법을 사용하여 문장 복잡성을 측정하였다. Yngve가 제시한 분석은 어휘의 개수나 문장의 길이 등을 이용하여 계산하는 다른 방법과 달리 문장의 의미 구조로부터 복잡성 값을 나타낸 것으로 수학 교육과 관련하여 문장의 난도를 결정하는 통사적 복잡성의 척도로 이용할 수 있으므로(Loftus & Suppes, 1972) 정의 표현 문장 및 단원평가 문장제 문장의 언어적 특성을 살펴보려는 해당 연구의 목적에더 적절하다.
Yngve지수는 수학 문제의 문법적 깊이를 측정하는 도구로서 타당성이 검증되었으며(김 진숙, 1997) 초등학교 수학 교과서 문장제의 문장 복잡성을 측정하기 위한 여러 선행 연구 (김진숙, 1998; 김성희, 2004; 김한나, 2005; 이병옥·안병곤, 2008)에서 활용된 바 있다. 본연구에서 Yngve지수를 우리나라의 언어학 문헌에서 제시된 한글 구구조분석(정태구, 1995) 에 적용하여 계산한 방법은 다음과 같다.
정의를 서술한 문장 표현의 구문론적 분석을 위해 Yngve지수를 이용하였다. Yngve지수는 변형생성문법의 분석방법인 구구조분석으로 문장의 구조를 수형도를 이용하여 나타내어 수치를 붙인 것이다.
성능/효과
각 영역 내 용어의 정의가 교과서에 명확히 서술된 경우는 수와 연산 영역 71.43%, 도형 영역 93.33%, 측정 영역 95%, 규칙성 영역 100%, 자료와 가능성 영역 77.78%로 나타났 다. 수와 연산 영역의 경우 용어의 정의가 서술되지 않은 비율이 28.
교과서 내 수학 용어의 정의 표현에 그림, 수직선 등의 시각적 보조 자료를 함께 제시한 경우는 1학년 10.00%, 2학년 70.59%, 3학년 51.35%, 4학년 63.16%, 5학년 67.31%, 6학년 78.38%로 나타나 교과서 내 용어를 정의하기 위하여 추가적인 자료가 다수 활용되고 있음을 확인할 수 있다. 한글 해득 및 수학적 개념의 이해가 미흡한 1·2학년의 경우 학습자의 수준을 고려하여 저학년 학생들이 이해하기 어려운 추상적인 개념(덧셈, 뺄셈 등)과 같은 용어를 언어적 표현을 사용하여 그 의미를 설명하는 대신 [그림 3]처럼 그림 등을 활용한 예시를 제시하거나 교과서 내 활동을 통해 암묵적으로 해당 용어의 정의를 설명하는 경우가 다수 관찰되었으며 1학년 보조자료 활용 사례의 비율이 낮게 나타난 것은 교과서내 수학 용어의 정의가 생략된 영향이 크다.
[그림 14] 교과서 내 정의 표현과 문장제의 문장 복잡성의 영역별 비교
교과서 내 정의 표현과 문장제의 문장 복잡성을 영역별로 비교한 결과 수와 연산, 규칙성 영역을 제외한 도형, 측정, 자료와 가능성 영역은 정의 표현 문장의 복잡성 값이 문장 제의 복잡성 값보다 더 높게 나타났다
. 이러한 특징은 수와 연산 영역 내 용어의 정의가 생략된 경우가 많고, 규칙성 영역이 6학년에 배정되어 문장제가 복잡한 문장으로 구성된 경우가 많은 것이 영향을 미친 것으로 보인다.
또한, 초등학생이 이해하기 어려운 추상적인 개념(자연수 등)이나 행동을 묘사하는 경우(덧셈, 뺄셈 등), 해당 용어의 의미에 대한 구체적인 설명 대신 익숙한 예시를 통해 용어를 도입하는 경우가 다수 관찰되었다. 규칙성 영역의 경우 타 영역에 비해 문장 복잡성 지수 값의 분포가 높게 나타났으며 학생들에게 생소한 용어를 예시를 통해 설명하되 예시의 내용을 구체적으로 풀어 설명하는 경우, 문장이 길어지고 구조가 복잡해지면서 문장 복잡성 값이 높게 나타났다.
본 연구에 앞서 분석 방법의 신뢰도를 확인하기 위하여 연구자를 포함한 3인의 초등 교사를 대상으로 교과서에 서술된 정의 표현 문장의 문장 복잡성 지수를 산출하는 예비 실험을 진행하였다. 그 결과 분석자에 따른 문장 구조 분석 및 결과 값의 차이가 있으나 문장의 구조가 복잡한 경우 문장의 구조가 단순한 문장에 비하여 문장 복잡성이 일관성 있게 높은 값으로 나타남을 확인하였으며, 문장 구조 분석 및 결과 값이 여러 형태로 나오는 경우 별도의 합의 과정을 거쳤다.
둘째, 학년에 비해 영역 내 정의 표현의 문장 복잡성 평균값이 비교적 균일하였으며, 특정 영역에 따른 특징보다 개별 용어의 문장 구조 및 용어가 포함된 학년이 문장 복잡성 평균값에 상대적으로 큰 영향을 미치는 것으로 나타났다. 이러한 경향이 단원평가의 문장제 분석에서도 유사하게 나타났으며, 이는 학년에 따른 학습자의 문해력을 고려하여 교과서의 문장을 서술한 것이 원인으로 보인다.
또한, 각 영역에 해당하는 용어의 수가 수와 연산 35개, 도형 79개, 측정 40개, 자료와 가능성 9개, 규칙성 9개 등으로 그 차이가 크게 나타났으며 이러한 차이가 평균값 및 분포에도 영향을 미쳤다. 도형 영역의 경우 [그림 8], [그림 9]과 같이‘밑변’,‘높이’ 등의 단어가 ‘삼각형’, ‘평행사변형’, ‘사다리꼴’등 상황에 따라 그 정의가 각각 서술되는 과정에서 용어의 개수가 늘어나고 각각의 문장이 다르게 서술되어 전체 영역의 평균값에 영향을 미쳤다.
문장제를 구성하는 텍스트를 분석한 결과 영역별 문장 복잡성 평균값이 수학 교과서 내영역에 관계없이 2 이상 3 미만으로 나타났다. 측정 영역의 문장 복잡성 평균값이 2.
58로 그 값이 높게 나타났으나, 해당 영역 내 용어의 수가 타 영역에 비해 적고 해당 영역의 용어가 모두 교과서에 서술되었음을 감안하여야 한다. 반면, 개별 단어의 정의 표현 문장의 복잡성 값은 최소 1.2부터 최대 4.26까지 그 폭이 넓게 나타났으 며, 영역에 따른 전반적인 경향보다 개별 단어 각각에 따른 문장 복잡성의 차이가 더 크게 나타났다.
보조 자료 활용은 도형·측정 영역에서 주로 발견되었으며, 이는 정의된 용어가 대부분 구체적 표상을 가리키는 해당 영역의 특성에서 비롯된 것으로 추정된다. 반면, 수와 연산및 규칙성 영역은 별도의 시각적 표현 대신 언어적 표현 및 기호적 표현이 주로 나타났다.
분석 결과에 따르면, 규칙성, 측정, 도형, 자료와 가능성, 수와 연산 순서로 문장 복잡성 값의 평균이 높게 나타났으나, 각 영역별 문장 복잡성은 수와 연산을 제외하면 2.30~2.58 사이로 비교적 균일하게 나타났다.
시각적 보조 자료를 함께 활용하여 용어의 정의를 표현한 경우를 영역별로 살펴보면 수와 연산 8.57%, 도형 92.41%, 측정 70%, 자료와 가능성 22.22%, 규칙성 22.22%로 나타났다. 보조 자료 활용은 도형·측정 영역에서 주로 발견되었으며, 이는 정의된 용어가 대부분 구체적 표상을 가리키는 해당 영역의 특성에서 비롯된 것으로 추정된다.
영역 간 문장 복잡성 평균값이 비교적 균일하게 나타났으나 규칙성 영역의 평균값은 다른 영역의 문장 복잡성 평균값이 2.03~2.22인 것에 비해 0.4 가량이 높게 나타났다. 이는 다른 영역의 수학 용어가 1학년부터 6학년까지 분포되어 있는 것과 달리 규칙성 영역 내학습요소가 6학년에 집중되어 있으며, 고학년 교과서 내 문장이 상대적으로 문장이 복잡 하게 구성되어 해당 영역의 평균값에 영향을 미친 것으로 보인다.
첫째, 저학년에 비해 중학년·고학년 교과서에 서술된 문장이 상대적으로 복잡성이 높게 구성되었으며, 학년이 높아질수록 교과서 내 정의가 문장으로 서술된 비율이 증가하였 다.
문장제를 구성하는 텍스트를 분석한 결과 영역별 문장 복잡성 평균값이 수학 교과서 내영역에 관계없이 2 이상 3 미만으로 나타났다. 측정 영역의 문장 복잡성 평균값이 2.03으로 가장 낮았으며 규칙성 영역의 문장 복잡성 평균값이 2.67로 가장 높았다.
후속연구
한편, 문장 복잡성 분석은 문장을 구성하는 각 단어 및 문장의 의미가 아니라 문장의 구조를 수치화하여 나타낸 것으로 용어의 정의에 나타난 언어적 표현의 특성을 설명하기에 한계가 있다. 각 문장을 구성하는 단어의 의미, 함께 제시되는 표상 및 은유 등에 대한 추가적인 분석을 활용한 후속 연구가 필요하다.
다섯째, 수업 중 학습자의 수학적 개념 이해를 위한 교사의 개별 지도가 필요하다. 인쇄 매체의 특성상 교과서 내 문장이 모든 학습자에게 동일하게 제시되기에 개별 학습자의 발달 단계에 따라 정의 표현 문장 및 단원평가 문장제의 이해에 어려움을 겪을 수 있다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
수학 용어의 정의는 무슨 역할을 하나?
기초 개념을 제외한 모든 수학적 개념들은 공식적인 정의를 가지고 있으며(Vinner & Dreyfus, 1989) 수학 용어의 정의는 수학의 다양한 요소들의 상태와 기능을 나타내는 역할을 한다(Pimm, 1993). 학교 수학에서의 정의는 학문을 목적으로 하는 수학에서의 정의와 달리 학습자에게 수학을 이해시키는 것을 목적으로 하는 바 그 서술 방식이 다를 수밖에 없으며(조영미, 2001) 교과서뿐 아니라 교수 학습 과정에서 동일한 수학 용어가 여러 가지 형태로 정의되고 사용되는 교수학적 변환이 종종 관찰된다.
수학적 개념의 특징은 무엇인가?
수학적 개념은 일상생활에서 사용되는 구체적인 개념부터 언어를 통해 명확하게 설명되기 어려운 추상적인 개념까지 매우 다양하다. 초등학교 수학 교과서에서는 개념의 도입과 이해를 돕기 위해 여러 수학 용어의 정의를 제시하고 있으며, 이러한 용어의 의미를 명확히 하기 위해 해당 용어를 교과서 내에서 다양한 방식으로 정의하여 사용하고 있다(권석일·박교식, 2011).
학습자의 수학 용어 어려움에 대응해, 초등 수학 교과서 및 교수 학습 과정에서 요구되는 점은?
이처럼 초등 수학 교과서 및 교수 학습 과정에서 수학 용어의 정의가 다양한 교수학적 변환 과정을 통해 재서술된 형태로 표현되고 있음에도 불구하고 많은 학습자가 수학 용어 학습 중 어려움을 경험하고 있다. 따라서 학습자가 수학 용어의 의미를 잘 이해할 수 있도록 학습자의 이해 수준과 언어 능력에 따라 적절하게 용어를 정의함은 물론 용어를 일관성 있게 사용해야 하고(백대현, 2010) 교과서 내 문장의 ‘형식’과 ‘내용’을 알맞은 방식으로 제시할 필요가 있다(김봉군, 2002).
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Loftus, E. F., & Suppes, P. (1972). Structural variables that determine problem-solving difficulty in computer-assisted instruction. Journal of Educational Psychology, 63(6), 531-542.
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