4차원 유클리드 공간 R^4안의 유한개의 서로 만나지 않는 surface들의 smooth embedding F를 곡면고리(surface-link)라 부르며, 특히, 2차원 구면 S^2들로 이루어진 곡면고리 F를 2차원 고리(2-link), 단 하나의 S^2의 smooth embedding F를 2차원 매듭이라 부른다. R^4안의 두 곡면고리 F와 F' 사이에 F를 F'로 옮겨주는 방향을 보존하는 smooth 미분동형사상 h : (R^4
4차원 유클리드 공간 R^4안의 유한개의 서로 만나지 않는 surface들의 smooth embedding F를 곡면고리(surface-link)라 부르며, 특히, 2차원 구면 S^2들로 이루어진 곡면고리 F를 2차원 고리(2-link), 단 하나의 S^2의 smooth embedding F를 2차원 매듭이라 부른다. R^4안의 두 곡면고리 F와 F' 사이에 F를 F'로 옮겨주는 방향을 보존하는 smooth 미분동형사상 h : (R^4, F) → (R^4, F')이 존재할 때 F와 F'을 동형(equivalent)이라고 한다. 곡면고리에 특정한 방법으로 어떤 양을 잘 정의하고 동형인 곡면고리에 대해 그 양이 변하지 않으면, 그 잘 정의된 양을 곡면고리 불변량(surface-link invariant)이라 부른다. 곡면고리 불변량의 주요한 기능은 동형이 아닌 곡면고리들을 분류 하는데 이용되며, 또한 이 불변량은 각각의 곡면고리가 가지는 고유한 특성을 내포하고 있기 때문에 곡면고리의 성질 및 주위 공간 R^4-F(또는 S^4-F)의 위상적, 기하적 성질을 연구하는 매우 중요한 연구 수단 및 방법으로 활용된다. 따라서 새로운 불변량의 개발, 계산방법, 기존 불변량들과의 상호관계, 특성 및 활용에 대한 연구가 2차원 매듭이론의 핵심 연구 분야이다. 3차원 유클리드 공간 R^3안의 1차원 고리의 Jones 다항식과 같이 state-sum model 및 skein relation에 의해 정의 및 계산 가능한 2차원 매듭에 대한 불변량의 존재 여부는 2차원 매듭이론 분야의 매우 중요한 미해결 문제이다. 1987년 Kauffman은 3차원 공간 안의 1차원 매듭 및 고리의 불변량인 Kauffman bracket 다항식을 소개하였다. 본 연구는 다항식 환 R[A_1,⋯,A_m]의 원소를 값으로 하는 3차원 공간 안의 1차원 매듭 및 고리의 불변량을 이용하여 주어진 ch-diagram D에 L-다항식 [[D]]=[[D]](A,x,y,z,w) ∈ R[A_1,⋯,A_m, x,y,z,w]을 정의하고 이들 변수에 적당한 값을 대입하는 방법으로 2차원 매듭 및 고리의 새로운 불변량을 건설하였다. 특히, L-다항식의 건설 과정은 3차원 공간 안의 1차원 매듭의 Jones polynomial에 대한 Kauffman의 state model과 매우 흡사 할 뿐 만 아니라, L-다항식 [[D]]는 곡면고리의 ch-diagram으로부터 Jones polynomial을 위시한 1차원 고리에 대한 대부분의 다항식 불변량들이 가지는 skein relation에 의해 계산된다. 한편, 2차원 매듭을 기술하는 방법의 하나로 최근 알려진 ch-diagrams modulo Yoshikawa moves를 사용하여 Cup/Cap moves, Band slide move, Band swim move에 대한 L-다항식 [[D]]의 변화를 설명하는 다항식 환 R[A_1,⋯,A_m, x,y,z,w]의 obstruction ideal J를 정의하고 obstruction ideal에 대한 L-다항식 [[D]]의 ideal coset [[D]]+J가 곡면고리의 불변량이 됨을 보임으로서 다항식 환 R[A_1,⋯,A_m]에서 값을 가지는 3차원 공간 안의 1차원 매듭 및 고리의 불변량 및 주어진 곡면고리의 ch-diagram D로부터 곡면고리의 ideal coset invariant를 건설하는 방법을 개발하였다. 또한 ideal coset [[D]]+J의 unique normal form 역시 곡면고리의 불변량이 되며, normal form은 곡면고리의 ch-diagram D의 L-다항식 [[D]]으로부터 Mathematica 또는 Maple 프로그램의 Grobner Basis Package를 사용하여 계산할 수 있다. 한편, 1차원 고리의 성분 불변량을 사용한 ideal coset invariant를 구하고, triangle 및 square type ch-diagram으로 나타내어지는 2차원 매듭들에 대해 L-다항식 및 ideal coset invariant을 계산하였다. 또한, 2차원 매듭 F의 ch-diagram D로부터 F의 Khovanov-Jacobsson number을 계산하는 방법과 가상매듭의 불변량을 이용한 2차원 매듭의 state-sum 불변량의 건설 방법을 개발하고 ch-diagram의 braid presentation, ch-braid index를 정의하였으며 이들 불변량들을 이용하여 특정한 부류의 2차원 매듭의 특성 연구에 활용하였다. 또한, 가상매듭의 index polynomial, arrow polynomial 및 VA-polynomial을 이용한 가상매듭의 주기 판정법을 개발하고 magnatic graph를 이용한 방향이 주어진 곡면매듭의 state-sum 불변량을 건설하였다.
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