초록 ▼

□ 연구개요
다양체 또는 오비폴드의 기본군의 리군 G으로의 표현의 동치류 공간인 G-지표다양체를 연구한다. 이 연구는 주로 구체적인 예를 찾고 또한 좋은 좌표계를 구하는 것이 목표이다. 놀랍게도 이런 문제는 보기보다 쉽지 않다. 특히 symplectic 구조가 있는 경우에 구조와 부합하는 좌표계를 찾는 것이다. 이러한 노력을 통해서 여러 지표 다양체의 전체적인 위상적인 구조를 이해하려 한다.

□ 연구 목표대비 연구결과
(1) 첫 번째 목표로는 곡면의 기본군의 PSL(n,R)-표현의 지표다양체을 매개화 한다.

□ 연구개요
다양체 또는 오비폴드의 기본군의 리군 G으로의 표현의 동치류 공간인 G-지표다양체를 연구한다. 이 연구는 주로 구체적인 예를 찾고 또한 좋은 좌표계를 구하는 것이 목표이다. 놀랍게도 이런 문제는 보기보다 쉽지 않다. 특히 symplectic 구조가 있는 경우에 구조와 부합하는 좌표계를 찾는 것이다. 이러한 노력을 통해서 여러 지표 다양체의 전체적인 위상적인 구조를 이해하려 한다.

□ 연구 목표대비 연구결과
(1) 첫 번째 목표로는 곡면의 기본군의 PSL(n,R)-표현의 지표다양체을 매개화 한다. 여기서 positive 표현의 공간에 대해서는 Fock-Goncharov의 방법론을 사용하여 좋은 좌표계를 구한다. 특히 local structure를 연구하고 symplectic 좌표계를 구한다. 다음 목적으로는 곡면군의 positive가 아닌 Anosov SL(4,R)-표현의 공간을 매개화하려 한다. 우리는 PSO(3,1)-표현 중 reducible 한 표현에서 시작하거나 Kleinian군의 변형을 연구하게 된다. 결과로서는 PSL(3,R)-지표다양체의 Goldman 좌표계가 global Darboux 좌표계임을 보였다. Anosov SL(4,R)-지표다양체의 일부를 매개화 했다.
(2) 두 번째 목표는 3-차원 다양체 군의 SL(4,R)-표현의 지표다양체를 연구한다. 여기서는 3-차원 다양체중 knot, link complement를 주로 연구한다. 결과로서는 weakly V-orderable Coxeter 3-차원 오비폴드의 볼록실사영 변형 공간의 쌍곡점에서의 smoothness를 보였다. 그러나 link complement중 어떤 것이 변형이 쉽게 계산 가능한 클래스는 찾지 못했다.
(3) 세 번째 목표는 리군 G과 genus가 2인 폐곡면 S에 대해서 Hom(π₁(S), G)/G의 위상적인 구조를 연구한다. 문론 GIT-quotient를 구하려 하는 것이다. G=SL(2,C)인 경우 우리는 적당하게 이 공간을 분해하여 위상구조를 이해하려 한다. 결과로는 이 공간의 모든 stratum의 기하위상구조를 알아내었다.

□ 연구개발결과의 중요성
성공적으로 이러한 문제들이 해결될 경우 앞으로는 일반적인 semisimple 리군으로 이론을 확장하려 한다. 또한 genus가 2이상인 경우도 연구하려 한다. 또한 현재는 compact 리군과 Yang-Mills 이론을 사용하는 기존의 방법론에서 벋어서 나보자는 노력을 하는데 의미를 부여하고 싶다.
위상수학자 Hans Freudenthal은 기하위상 자체적인 연구보다 기하 위상을 이용해서 다른 분야를 연구하는 것이 진정한 기하위상의 목적이라고 생각하였다. 여기에 부합하는 기하위상 수학적 연구라고 생각한다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 3
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 4
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 6
• 4. 참고문헌 ... 6
• 5. 연구성과 ... 7
• 끝페이지 ... 8