초록 ▼

□ 연구의 목적 및 내용
(1) 땋임군이 일반적인 땋임지수에 대해 CAT(0) 군인지 아닌지 판별한다.

(2) 연결 되어 있고(Connected) edge labels이 모두 3이상이며(Large Type) 삼각형이 없는(Triangle Free) 그래프의 아틴군(CLTTF)을 아틴군의 자기동형사상군의 표현을 찾는다.

(3) 그래프 2-땋임군이 기하학적으로 작용하는 평방 복체를 이용해서 그래프 2-땋임군이 직교 아틴군과 어떠한 관계가 있는지 밝힌다.

□ 연구결과
(1)기존의 알려진 결

□ 연구의 목적 및 내용
(1) 땋임군이 일반적인 땋임지수에 대해 CAT(0) 군인지 아닌지 판별한다.

(2) 연결 되어 있고(Connected) edge labels이 모두 3이상이며(Large Type) 삼각형이 없는(Triangle Free) 그래프의 아틴군(CLTTF)을 아틴군의 자기동형사상군의 표현을 찾는다.

(3) 그래프 2-땋임군이 기하학적으로 작용하는 평방 복체를 이용해서 그래프 2-땋임군이 직교 아틴군과 어떠한 관계가 있는지 밝힌다.

□ 연구결과
(1)기존의 알려진 결과인 땋임지수 6이하에서 땋임군이 CAT(0)라는 사실을 일반화해서 땋임지수 7에서도 땋임군이 CAT(0) 군임을 보였다.

(2) 특정 아틴군(CLTTF)이 Inversion automorphisms부분군 Partial conjugation부분군 그리고 새롭게 정의한 그래프 동형사상군의 semi-direct 거듭곱으로 표현됨을 보였다.

(3) 그래프 2-땋임군과 2차원 직교 아틴군은 CAT(0) 평방 복체에 기하학적으로 작용한다. 이들이 작용하는 CAT(0) 평방 복체는 기하학적으로 유사한 형태를 띠고 있다. 그래프 2-땋임군이 작용하는 CAT(0) 평방 복체는 2차원 직교 아틴군이 작용하는 CAT(0)평방 복체 또는 2차원 직교 아틴군의 HNN-확장이 작용하는 CAT(0) 평방 복체와 준등거리 사상적으로 같음을 보였다.

□ 연구결과의 활용계획
(1) 일반적인 땋임지수의 땋임군이 CAT(0) 인가 하는 문제와 나아가서 모든 아틴군이 CAT(0) 군인가 하는 문제에 도움이 될 것으로 기대된다.

(2) 아틴군, 콕세터군을 정의하는 그래프가 유일하지 않은 아틴군, 콕세터군의 자기동형사상의 표현을 찾는데 도움이 될 것으로 기대된다.

(3) 그래프 2-땋임군과 기하학적으로 유사한 군 표현을 갖는 2차원 직교 아틴군을 찾을수 있다. 이를 통해서 그래프 2-땋임군의 군 표현을 얻는 간단한 방법을 찾을 수 있을 것으로 기대된다. 또한 일반적 그래프 땋임군과 더 높은 차원의 정방 복체를 다루는 연구가 활성화 되고 위상수학의 로보틱스 응용에 중요한 계기가 될 것으로 기대된다.

( 출처 : 요약문 5p )

Abstract ▼

□ Purpose&contents
(1) Determining whether braid groups on arbitrary strands are CAT(0) group.

(2) Finding a presentation of an Artin group whose defining graph is connected, large type(edge labels are larger than 2) and triangle free.

(3) By using CAT(0) square complexes which grap

□ Purpose&contents
(1) Determining whether braid groups on arbitrary strands are CAT(0) group.

(2) Finding a presentation of an Artin group whose defining graph is connected, large type(edge labels are larger than 2) and triangle free.

(3) By using CAT(0) square complexes which graph 2-braid groups act on, we compare graph 2-braid groups with 2-dimensional right-angled Artin groups(2-dimensional RAAGs).

□ Result
(1) It is known that braid groups on less than or equal to 6 strands are CAT(0) group. We generalized this fact to show that the braid group on 7 strands is CAT(0).

(2) An Artin group whose defining graph is connected, large type(edge labels are larger than 2) and triangle free can be written as semi-direct product of inversion subgroup, partial conjugation subgroup and newly defined graph isomorphism group(product is not usual composition).

(3) Graph 2-braid groups and 2-dimensional RAAGs act geometrically on CAT(0) square complexes. These CAT(0) square complexes have geometrically common features. We show that a CAT(0) square complex which a graph 2-braid groups acts on is quasi-isometric to a CAT(0) square complex which a 2-dimensional RAAG or an HNN-extension of a 2-dimensional RAAG acts on.

□ Expected Contribution
(1) We expect that it will help to show general braid groups are CAT(0) and more generally every Artin group is CAT(0).

(2) We expect these results will help to understand a presentation of Artin group and Coxeter group whose defining graphs are not unique.

(3) We expect that for a given graph 2-braid group B₂Γ , we can find a 2-dimensional RAAG whose group presentation is similar with B₂Γ . From this fact, we will find a simple way to obtain a group presentation of B₂Γ. In addition, it is expected that researches dealing with general graph braid groups and higher dimensional CAT(0) cube complexes will be activated and become an important opportunity for robotics application of topology.

( 출처 : SUMMARY 6p )

목차 Contents

• 표지 ... 1목차 ... 3연구계획 요약문 ... 4연구결과 요약문 ... 5 한글요약문 ... 5 SUMMARY ... 6연구내용 및 결과 ... 7 1. 연구개발과제의 개요 ... 7 2. 국내외 기술개발 현황 ... 8 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 9 4. 목표달성도 및 관련분야에의 기여도 ... 10 5. 연구결과의 활용계획 ... 10 6. 연구과정에서 수집한 해외 과학기술정보 ... 11 7. 주관연구책임자 대표적 연구실적 ... 11 8. 참고문헌 ... 12 9. 연구성과 ... 13 10. 국가과학기술지식정보서비스에 등록한 연구시설‧장비 현황 ... 14 11. 연구개발과제 수행에 따른 연구실 등의 안전조치 이행실적 ... 14 12. 기타사항 ... 14별첨1 ... 15끝페이지 ... 16