보고서 정보
주관연구기관 |
홍익대학교 Hongik University |
연구책임자 |
정순모
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보고서유형 | 최종보고서 |
발행국가 | 대한민국 |
언어 |
한국어
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발행년월 | 2016-06 |
과제시작연도 |
2015 |
주관부처 |
미래창조과학부 Ministry of Science, ICT and Future Planning |
등록번호 |
TRKO201700013315 |
과제고유번호 |
1345237646 |
사업명 |
이공학개인기초연구지원 |
DB 구축일자 |
2017-11-18
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DOI |
https://doi.org/10.23000/TRKO201700013315 |
초록
▼
한국연구재단의 일반연구자지원사업(기본연구지원사업)의 연구비 지원을 받은 지난 3년 동안 SCI급 수학전문 학술잡지에 31편의 논문과 SCOPUS급 학술잡지에 6편의 논문을 발표하였다. 이로 미루어 보면, 한국연구재단의 일반연구자지원사업이 풀뿌리연구를 효율적으로 진흥시키고 있음을 짐작케 한다.
먼저, 미분방정식의 하이어스와 울람의 안정성에 관하여 간단히 소개하자. 어떤 n계 선형미분방정식F(y(n), y(n-1), ..., y0’, y, χ)=0이 하이어스와 울람의 안정성을 갖는다 함은,
한국연구재단의 일반연구자지원사업(기본연구지원사업)의 연구비 지원을 받은 지난 3년 동안 SCI급 수학전문 학술잡지에 31편의 논문과 SCOPUS급 학술잡지에 6편의 논문을 발표하였다. 이로 미루어 보면, 한국연구재단의 일반연구자지원사업이 풀뿌리연구를 효율적으로 진흥시키고 있음을 짐작케 한다.
먼저, 미분방정식의 하이어스와 울람의 안정성에 관하여 간단히 소개하자. 어떤 n계 선형미분방정식F(y(n), y(n-1), ..., y0’, y, χ)=0이 하이어스와 울람의 안정성을 갖는다 함은, 임의의 양의 상수 ε에 대하여 n번 연속미분가능인 임의의 함수 y가 미분부등식 F(y(n), y(n-1), ..., y0’, y, χ)≤ε을 만족하기만 하면 본래의 미분 방정식 F(y0(n), y0(n-1), ..., y0’, y0, χ)=0과 y(χ)-y0(χ)≤ε을 동시에 만족하는 함수 y0와 상수 K가 반드시 존재함을 뜻한다. 더욱이 어떤 n계 선형미분방정식 F(y(n), y(n-1), ..., y’, y, χ)=0이 일반화된 하이어스와 울람의 안정성을 갖는다 함은, 적당한 함수 φ(χ)에 대하여 n번 연속미분가능인 임의의 함수 가 미분부등식 F(y(n), y(n-1), ..., y’, y, χ)=0≤φ(χ)을 만족하기만 하면 본래의 미분방정식 F(y0(n), y0(n-1), ..., y0’, y0, χ)=0과 y(χ)-y0(χ)≤Φ(χ)을 동시에 만족하는 함수 y0와 적당한 함수 Φ(χ)가 반드시 존재함을 뜻한다.
지난 3년 동안 기본연구 과제를 통하여 얻은 결과들 가운데 가장 우수한 것은 다음 정리를 찾아내어 증명한 것이라 생각하는데, 이 정리는 그 응용 가능성 때문에 활용범위가 매우 넓을 것으로 예상한다.
정리. “일반적인 n계 선형미분방정식 F(y(n), y(n-1), ..., y’, y, χ)=0이 n번 연속미분가능인 단조 일대일 대응(monotone one-to-one correspodence)에 의해서 m계 선형미분방정식 G(z(m), z(m-1), ..., z’, z, t)=0으로 변환된다고 하자. (일반적으로 m=n일 것으로 짐작되는데 이것의 사실여부가 이 정리의 내용에 영향을 끼칠 정도로 중요하지 않다.) 이때, 본래의 미분방정식 F(y(n), y(n-1), ..., y’, y, χ)=0이 (일반화된) 하이어스와 울람의 안정성을 가질 필요충분조건은 변환된 미분방정식 G(z(m), z(m-1), ..., z’, z, t)=0이 (일반화된) 하이어스와 울람의 안정성을 갖는 것이다.”
지금까지 대부분의 수학자들은 널리 알려진 선형미분방정식의 (일반화된) 하이어스와 울람의 안정성을 제각각의 방법으로 증명하는 정도에 그쳤지만, 연구책임자가 증명한 위의 정리는 서로 변환 가능한 선형미분방정식의 짝에 적용할 수 있는 포괄적인 내용을 담고 있다. 좀 더 자세히 설명하면, 어떤 n계 선형미분방정식이 (일반화된) 하이어스와 울람의 안정성을 가짐을 이미 증명하였다면, 이 미분방정식이 ‘n번 연속미분가능인 단조 일대일 대응’에 의해서 변환된 m계 선형미분방정식은 자연적으로 (일반화된) 하이어스와 울람의 안정성을 갖게 됨을 위의 정리를 통하여 알게 되므로, 연구자들이 굳이 변환된 선형미분방정식의 (일반화된) 하이어스와 울람의 안정성을 반복해서 증명할 필요가 없게 되었다. 이로 미루어 보면, 이 정리가 자주 인용될 것이라 예상된다.
그밖에도 대표적인 편미분방정식인 라플라스 방정식 △u=0, 열방정식 △u(χ,t) = ut(χ,t), 파동방정식 utt(χ,t) = c2uzz(χ,t) 및 슈뢰딩거 방정식의 일반화된 하이어스와 울람의 안정성을 증명하였고, 또 다른 논문에서는 모든 단항식 함수방정식을 포함하는 커다란 함수방정식 군의 일반화된 하이어스와 울람의 안정성을 쉽게 증명할 수 있는 방법을 제시함으로써 각각의 함수방정식의 안정성을 증명할 때마다 지루하게 되풀이되는 증명과정을 과감히 생략할 수 있는 길을 터주었다.
(출처 : Ⅰ. 연구결과 요약문 4P)
목차 Contents
- 표지 ... 1
- 목차 ... 3
- Ⅰ. 연구결과 요약문 ... 4
- Ⅱ. 연구내용 및 결과 ... 5
- 1. 연구과제의 개요 ... 5
- 2. 국내외 기술개발 현황 ... 5
- 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 5
- 4. 목표 달성도 및 관련 분야에의 기여도 ... 6
- 5. 연구결과의 활용계획 ... 7
- 6. 연구과정에서 수집한 해외과학기술정보 ... 7
- Ⅲ. 연구성과 ... 8
- 끝페이지 ... 13
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