초록 ▼

연구개요
비선형 분산 방 정식의 초기값문제에서 해가 가지는 다양한 시나리오를 연구하고자 한다. 해의 장기 적 존재성에서 출발하여 해의 점근적 수렴현상, 유한시간내의 폭발현상이 어떻게 구현 되는 지 이해 하는 것이 목표이다. 이는 선형 분산 현상과 비선형성의 효과로 부터 나오는 해의 집중 현상이 대립 하는 결과로서 비선형 파동역학에서 과 해의 장,단기적 존재성, 해의 점근적 수렴성, 혹은 폭발 현상, 솔리톤 해의 안정성 등을 연구한 다. 대표적인 비선형 현상인 솔리톤해를 중심으로 해가 유한 시간안 에 폭발하는 경우의 구체적인 동

연구개요
비선형 분산 방 정식의 초기값문제에서 해가 가지는 다양한 시나리오를 연구하고자 한다. 해의 장기 적 존재성에서 출발하여 해의 점근적 수렴현상, 유한시간내의 폭발현상이 어떻게 구현 되는 지 이해 하는 것이 목표이다. 이는 선형 분산 현상과 비선형성의 효과로 부터 나오는 해의 집중 현상이 대립 하는 결과로서 비선형 파동역학에서 과 해의 장,단기적 존재성, 해의 점근적 수렴성, 혹은 폭발 현상, 솔리톤 해의 안정성 등을 연구한 다. 대표적인 비선형 현상인 솔리톤해를 중심으로 해가 유한 시간안 에 폭발하는 경우의 구체적인 동력학적 성질을 수리해석학의 관점에서 정교하게 증명하는 것이 목적 이다. 본 연구에서는 복잡한 방정식에 기존에 잘 알려진 수학적 방법을 적용하기보다 매우 단순한 방 정식에 비교적 새롭고 –ODE 에서는 기존에 존재하는 것이지만 – 발전된, 그리고 PDE 모델에 적용하 기에 테크니컬한 방법을 적용하여 PDE의 수학적 테크닉의 범주를 넓히는 것이 목표이다.

연구 목표대비 연구결과
이 연구를 통하여 본 연구자가 얻은 결과들은 크게는 모두 비선형 변환을 활용한 것들이다. Poincare-Dulac normal form, 해밀토니언 동력학계의 Birkhoff normal form, Cole-Hopf transform, Logarithmic phase correction 등과 같은 기존에 ODE 이론에서 발전한 방법들을 편미분방정식 문제로 확대 적용하여 얻은 결과들이다. 또한 노말폼과 같은 비선형변환을 무한 반복하는 셋팅을 마련함으로써 많은 다른 동력학적 PDE 문제에 응용 가능성을 열어 놓았다. 첨부된 연구 결과를 간단히 요약하면 다음과 같다.
- Quadratic derivative nonlinear Schrodinger equation.
- 슈뢰딩거 타입의 해밀토니언 방정식에서 Birkhoff 노말폼을 사용하여 크기가 작은해의 장기적 안정성을 증명하였다.
- Vlasov-Poisson 방정식의 크기가 작은 해의 점근적 수렴성(Modified scattering)을 증명하였다.
- Derivative nonlinear Schrodinger equation에서 4 매스를 갖는 솔리톤 해의 안정성이 스케일 변환을 허용하는 오빗에서 성립함을 보였다.

연구개발결과의 중요성
본 연구과제에서의 핵심적인 기여는 비선형 방정식들에 쓰이는 수학적 방법들을 발전시키는 것에 있다고 할 수 있다. 수학 연구에서 우리가 고려하는 방정식들은 현실 세계의 물리적 상황을 지나치 게 단순화한 면이 있다. 그러나 역설적으로 그로 인해 방정식이 갖고 있는 수학적 대칭적 구조가 풍부하다. 이와 같은 대칭적 구조와 방정식이 가지는 특별한 구조를 활용하여 다양한 수학적 테크 닉을 적용하고 발전시킬 수 있는 테스트 베드가 된다고 할 수 있다.

(출처 : 요약문 3p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 3
• 목차 ... 4
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 4
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 6
• 4. 참고문헌 ... 7
• 5. 연구성과 ... 8
• 끝페이지 ... 8