초록 ▼

연구개요
쉐퍼다항식은 Umbral 적분에서 유래되었습니다. 중요한 쉐퍼다항식으로는 에르밋 다항식, 라구아르 다항식, 베르누이 다항식, 아벨 다항식 등이 있습니다. 1991년 Shapiro는 멱급수 환에서 정의된 리오단 배열 또는 리오단 행렬이라 부르는 무한 하삼각 행렬을 원소로 갖는 리오단군의 개념을 소개하였습니다. 무한 일반선형군의 부분군인 이군의 개념은 리오단 행렬을 두 멱급수로 표현함으로서 행렬의 구조를 쉽게 이해할 수 있습니다. 더욱이 두 멱급수를 어떤 열의 생성함수를 이용하여 얻은 리오단 행렬의 (n,k)-성분은 조합

연구개요
쉐퍼다항식은 Umbral 적분에서 유래되었습니다. 중요한 쉐퍼다항식으로는 에르밋 다항식, 라구아르 다항식, 베르누이 다항식, 아벨 다항식 등이 있습니다. 1991년 Shapiro는 멱급수 환에서 정의된 리오단 배열 또는 리오단 행렬이라 부르는 무한 하삼각 행렬을 원소로 갖는 리오단군의 개념을 소개하였습니다. 무한 일반선형군의 부분군인 이군의 개념은 리오단 행렬을 두 멱급수로 표현함으로서 행렬의 구조를 쉽게 이해할 수 있습니다. 더욱이 두 멱급수를 어떤 열의 생성함수를 이용하여 얻은 리오단 행렬의 (n,k)-성분은 조합적 성질을 갖게 되어 조합론 연구에도 새로운 연구방법을 제시합니다. 1994년에 Sprugnoli도 여러 가지 예를 통하여 리오단 군은 이론적으로도 중요할 뿐만 아니라 수학 및 응용분야에서 연구되는 여러 가지 조합적 대상의 이산적 구조를 밝히는데 매우 유용하다는 것을 제시하였습니다.
d-직교다항식은 vector Pade approximants, vectorial continued fractions 그리고 고차 미분방정식의 다항식 해에 관한 연구와 밀접한 관계가 있습니다.
모든 쉐퍼다항식의 계수행렬은 리오단 행렬이 되며 기존의 d-직교다항식에서 리오단 행렬을 이용한 연구는 없었습니다. 그러므로 리오단 행렬을 이용한 접근은 기존에 알려지지 않았던 새로운 결과 또는 풀기 어려웠던 문제를 쉽게 풀 수 있는 중요한 도구가 될 것입니다.

연구 목표대비 연구결과
리오단 행렬의 성분을 수직 또는 수평한 선형결합으로 표현하는 수열이 항상 존재함을 보이고, 이를 이용하여 리오단 군에 있는 원소중에서 involution이 될 조건을 찾아냈습니다. 또한, production matrix의 determinant와 쉐퍼다항식이 d-직교다항식이 될 조건을 구할 수 있었습니다.
직교 다항식으로 잘 알려진 라구아르다항식을 q-아날로그 리오단 행렬을 이용하여 새로운 방법으로 q-아날로그 하였으며, 순열의 분해와 q-rook number의 inversion을 이용하여 조합적 해석을 주었습니다. 그리고 잘 알려진 라구아르다항식의 대수적 성질 및 근의 성질 또한 q-날로그에서도 잘 보존됨을 확인하였습니다.
리오단 그래프는 잘 알려진 Pascal 그래프와 Toeplitz 그래프 및 기타 일부 그래프 제품군에 대한 광범위한 일반화입니다. 리오단 그래프에는 여러 가지 흥미로운 속성이 있으며, 이는 특정한 컴퓨터 네트워크를 생성하거나 그래프 불변량 값을 계산하는 알고리즘을 설계 할 때 유용한 정보를 얻는 데 유용 할 수 있습니다. 리오단 행렬을 이용하여 그래프의 프랙탈 성질, diameter, 그래프의 분활, 고유값 등에 관한 연구를 하였습니다.

연구개발결과의 중요성
d-직교다항식은 어떠한 d+1차 미분방정식의 해가된다. 미분 방정식에 관한 연구는 공학, 물리학, 경제학, 생물학 등 많은 분야 에서 중요한 역할을 하며 정수론, 근사 이론, 특수이론 및 연산자 의 스펙트럼 이론 등의 다양한 수학 분야로 응용될 수 있습니다.
직교다항식의 근의 특성에 관한연구는 많이 연구되어 왔다. 예를 들면 어떤 직교 다항식의근의 움직임은 특정 해밀토니안의 입자의 움직임에 대응되기 때문에 근에 관한 연구 결과들은 주로 어떤 적분 가능한 다양체 문제에 관한 연구로부터 파생된다고 알려져 있다. 또한 어떤 2-직교다항식이 생성소멸과정과 밀접한 관계가 있음이 확인되었습니다.
직교다항식의 선형 결합에 관한응용으로서 레이더에 의해 얻어진 데이터로부터 직교다항식의 선형결합을 이용하여 불필요한 정보(집, 나무 등)를 걸러내어 지형을 얻어내는 것에 관한 연구가 있었습니다. 그러므로 쉐퍼형태의 d-직교다항식을 연구하는 것은 중요한 연구가 될 것입니다.

(출처 : 요약문 3p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 3
• 목차 ... 4
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 4
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 5
• 4. 참고문헌 ... 5
• 5. 연구성과 ... 7
• 끝페이지 ... 9