초록 ▼

○ 연구개요
본 연구는 대칭함수의 집합에서 가장 일반적인 형태로 알려져 있는 맥도날드 다항식에 관련된 다양한 조합적인 공식을 찾는 것을 목표로 하였다. 맥도날드 다항식은 조합론 뿐 아니라 표현론, 대수적 기하학, 양자 역학 등 다양한 분야에서 응용되는 매우 중요한 수학적 대상으로 최근 많은 수학자들에 의해 활발히 연구되고 있다. 첫번째 주제로 맥도날드 다항식의 적분형식을 일반적인 슈어 대칭 함수로 전개한 결과의 슈어 함수 계수의 조합적 공식을 찾는 연구를 하였고, 두 번째 주제로 준 대칭홀-리틀우드 다항식의 t-피에리 공식을

○ 연구개요
본 연구는 대칭함수의 집합에서 가장 일반적인 형태로 알려져 있는 맥도날드 다항식에 관련된 다양한 조합적인 공식을 찾는 것을 목표로 하였다. 맥도날드 다항식은 조합론 뿐 아니라 표현론, 대수적 기하학, 양자 역학 등 다양한 분야에서 응용되는 매우 중요한 수학적 대상으로 최근 많은 수학자들에 의해 활발히 연구되고 있다. 첫번째 주제로 맥도날드 다항식의 적분형식을 일반적인 슈어 대칭 함수로 전개한 결과의 슈어 함수 계수의 조합적 공식을 찾는 연구를 하였고, 두 번째 주제로 준 대칭홀-리틀우드 다항식의 t-피에리 공식을 증명하는 것을 목표로 하였다. 그래프 이론,표현론 등 다양한 분야의 수학적 도구를 이용하여 연구 주제에 접근할 수 있었다.

○ 연구 목표대비 연구결과
본 연구의 첫 번째 연구 주제는 맥도날드 다항식의 적분형식을 특정한 형태로 변형한 경우 슈어 함수로 전개했을 때 계수가 q에 대한 양의 다항식이 됨을 증명하는 것이었고, 이를 해결하는 방법으로 잭 대칭함수에 대한 식으로의 변형을 생각하였다.
그러나 이러한 접근 방법 또한 일반적인 경우에 대한 증명은 쉽지 않았다. 맥도날드 다항식의 슈어 계수를 계산하는 연구에 중점적인 도움이 되는 LLT 함수의 슈어 계수를 계산하는 공식에 관한 연구 성과가 있었다. 맥도날드 함수를 LLT함수로 전개한 경우 계수가 q,t-positive임이 알려진 사실이기 때문에 LLT함수의 슈어 계수를 게산하는 조합적인 공식을 알아낸다면 이것이 직접적으로 맥도날드 다항식의 슈어계수를 계산할 수 있도록 해주므로 이 연구 성과는 매우 중요하다.
한편, q-integral을 이용한 다양한 조합적 대상을 계산하는 식을 증명하는 연구에서 많은 성과가 있었는데, skew shape의 standard Young tableaux의 개수를 세는 공식이 product formula의 형태로 표현이 된다는 사실 포함 다양한 알려진 추측에 대한 증명 방법을 q-integral technique을 이용하여 제시하였다.

○ 연구개발결과의 중요성
맥도날드 다항식은 이미 다양한 수학분야와의 연관성이 알려져 있어, 그와 관련된 조합적 공식은 수학 분야 전반에 걸쳐 적용이 가능한 매우 중요하고 유용한 연구 결과이다. 연구 성과의 일환인 LLT 함수의 슈어 계수 계산 과정에서 쓰인 linear relation은 이미 다른 수학자들에 의해 응용되어 Hopf algebra, Hessenberg variety를 연구하는 연구자들에 의해 chromatic symmetric function을 연구하는데 적용되었고, 활발한 후속 연구가 진행중이다.
q-integral에 관한 연구 또한 basic hypergeometric series identity와의 연관성 등을 적용시키며 다양한 수학 분야들 간의 융복합적인 연구를 이끌어 가는 역할을 하고 있다.

(출처 : 연구결과 요약문 3p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 3
• 목차 ... 4
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 5
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 7
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 12
• 4. 참고문헌 ... 13
• 5. 연구성과 ... 15
• 대표적 연구실적 ... 18
• 끝페이지 ... 29