초록 ▼

□ 연구개요
매듭이론과 그래프이론은 위상수학과 조합론의 핵심 연구 분야이며, 물리나 화학, 컴퓨터 공학 등의 분야와도 밀접하게 연관되어 있다. 왜냐하면 이들은 자연계와 사회현상에서 항상 나타나는 모형들이기 때문이다. 특히 매듭은 DNA 및 단백질과 같은 고분자 사슬의 분자 구조를 연구하는데 수학적으로 유용하게 사용되는 대표적인 모델이다. 본 과제는 매듭이론, 그래프이론, 열거조합론, 그리고 통계역학의 핵심주제들에 관하여 세 가지 방향으로 연구한다.
(1) 그래프의 다양한 막대수 불변량들과 DNA 고차코일의 조밀성에 관한

□ 연구개요
매듭이론과 그래프이론은 위상수학과 조합론의 핵심 연구 분야이며, 물리나 화학, 컴퓨터 공학 등의 분야와도 밀접하게 연관되어 있다. 왜냐하면 이들은 자연계와 사회현상에서 항상 나타나는 모형들이기 때문이다. 특히 매듭은 DNA 및 단백질과 같은 고분자 사슬의 분자 구조를 연구하는데 수학적으로 유용하게 사용되는 대표적인 모델이다. 본 과제는 매듭이론, 그래프이론, 열거조합론, 그리고 통계역학의 핵심주제들에 관하여 세 가지 방향으로 연구한다.
(1) 그래프의 다양한 막대수 불변량들과 DNA 고차코일의 조밀성에 관한 연구
(2) 물리학적 평면 격자 모형들의 계수를 위한 상태행렬점화 방법의 개발 및 완성
(3) 그래프의 본질 꼬임 판정에 관한 연구

□ 연구 목표대비 연구결과
본 과제에서 대칭형 DNA 고차코일의 ropelength를 직접 계산함으로써, 기존 최소길이를 갖는 것으로 알려졌던 circular DNA의 길이보다 10% 이상 길이를 축소시켜 DNA 고차코일이 가장 조밀함을 보였다. 이것은 DNA 고차코일이 다른 어떤 모형보다도 안정된 상태임을 보여주는 것으로, 매우 조밀하고 안정된 DNA 고차코일의 모형을 직접 구현한 것이다. 이 결과는 폐환상 DNA에서 고리수 증감에 따라 supercoiling이 자연현상에 자주 등장하는 이유를 수학적으로 엄밀한 해석을 제공한 뛰어난 업적이다.
그리고 물리 양자이론의 수학적 모델 중의 하나인 quantum knot mosaic의 계수를 위해 개발한 상태행렬방법을 일반적인 격자 모형의 계수에 응용할 수 있도록 확장해 물리학에서 자주 등장하는 다양한 제한평면격자 안에서의 모형들을 계수할 수 있게되었다. 특히 3차원 격자 모형을 계수하기 위한 3D-SMRM 알고리즘의 초기 모델인 1-slab SMRM 방법을 구현하여 dimer covering, rigid lattice link 등 몇 가지 1-slab 3차원 격자 모형들을 계수하였다.
22-edge 그래프들 중에 본질 꼬임 가능한 집합을 restoring method라는 복잡한 그래프를 다룰 수 있는 매우 독창적인 도구를 사용 분류하였고, 더 나아가 bipartite 23-edge 그래프의 본질 꼬임에 대해서도 완벽한 분류를 하였다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과 (연구개발결과의 중요성)
매듭의 ropelength에 대한 연구는 단순히 위상수학 내의 연구에서 벗어나 물리나 생물 분야와의 연관성을 지닌 연구로서 과학적 현상을 수학적 사고를 통해 규명하는 방식을 띠고 있으며 학제간 연구라는 큰 흐름에도 부합되고 있다. 특히 DNA 구조를 다루는 분야와 깊게 관여하고 있어 향후 물리학, 생물학 등의 다양한 분야에 응용될수 있다. 그리고 매듭의 막대수, 격자 막대수에 관련한 매듭 에너지를 theta-curve에 적용하여 우수한 결과들을 도출하였는데, 화학이나 생물학 같은 분야에서 DNA와 단백질의 원형 분자 또는 분자 사슬의 적절한 수학적 모델로서 응용될 수 있다.
1-slab SMRM 방법을 일반화하여 향후 3D-SMRM 알고리즘을 완성하게 된다면, 3차원 dimer covering, domino tiling, independent vertex set, rigid lattice link 등 다양한 3차원 격자 모형들을 계수하게 된다. 3차원 격자모델 계수는 기존에 연구 결과가 전무하므로, 본 연구의 파급 효과는 매우 클 것이다.
또한, 본 연구팀은 지난 5년간 이 연구과제와 관련된 13편의 SCI 등재 논문을 포함하여 총 22편의 논문을 발표하였고, 현재 7편의 논문을 투고 중에 있다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• (1) 그래프의 불변량과 DNA 고차코일의 조밀성에 관한 연구 ... 4
• (2) 상태행렬점화 알고리즘(State Matrix Recursion Method, SMRM)의 개발 및 완성 ... 4
• (3) 그래프의 본질 꼬임(intrinsical knottedness) 판정에 관한 연구 ... 5
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 6
• (1) 그래프의 불변량과 DNA 고차코일의 조밀성에 관한 연구 ... 6
• (2) 상태행렬점화(SMRA) 알고리즘의 개발 및 완성 ... 6
• (3) 그래프의 IK 판정에 관한 연구 ... 7
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 9
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 12
• (1) 그래프의 불변량과 DNA 고차코일의 조밀성에 관한 연구 ... 12
• (2) 상태행렬점화 알고리즘의 개발 및 완성 ... 12
• (3) 그래프의 IK 판정에 관한 연구 ... 13
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 14
• 6. 참고문헌 ... 15
• 붙임1. 세부 정량적 연구개발성과 ... 17
• 붙임2. 연구책임자 대표적 연구실적 및 증빙(요약문 및 사본) ... 19
• 끝페이지 ... 31