초록 ▼

□ 연구개요
주어진 사영대수다양체 위의 적절한 벡터 다발 (혹은 coherent sheaf)의 코호몰로지군, 혹은 그의 relative version인 고차직상을 관찰하는 것은 현대 대수기하학 연구에서 가장 기본적인 연구방법론으로 꼽힌다. 그 중요성에도 불구하고 이들의 정의는 복잡하고, 대부분의 경우 계산은 난해하기 그지없다. 이에 대수다양체 위의 외부대수를 활용한 일반적인 컴퓨터 계산 알고리즘의 개발을 진행하였다.

□ 연구 목표대비 연구결과
연구의 목표로 다음 3가지 주제의 이론적 증명 완성과 컴퓨터 알고리

□ 연구개요
주어진 사영대수다양체 위의 적절한 벡터 다발 (혹은 coherent sheaf)의 코호몰로지군, 혹은 그의 relative version인 고차직상을 관찰하는 것은 현대 대수기하학 연구에서 가장 기본적인 연구방법론으로 꼽힌다. 그 중요성에도 불구하고 이들의 정의는 복잡하고, 대부분의 경우 계산은 난해하기 그지없다. 이에 대수다양체 위의 외부대수를 활용한 일반적인 컴퓨터 계산 알고리즘의 개발을 진행하였다.

□ 연구 목표대비 연구결과
연구의 목표로 다음 3가지 주제의 이론적 증명 완성과 컴퓨터 알고리즘 개발 및 구현을 제안하였다.

연구목표.
1) (함자성 I) 벡터 다발 (혹은 coherent sheaf)간의 사상에 대해 코호몰로지 군/고차직상 사이의 유도사상을 계산한다.
2) (함자성 II) 연접층 간의 짧은 완전열에 대해 코호몰로지 군/고차직상 사이의 연결사상을 계산하고, 코호몰로지 군의 긴 완전열을 계산한다.
3) (고차직상의 Y-구조) Eisenbud-Erman-Schreyer의 이론을 적용하여 얻어지는 고차직상의 Beilinson 함자표현으로부터 Y-가군 구조를 복원, 계산한다.

L. Barrott 와의 공동연구를 통해 (1), (2)의 이론적 증명을 완성하였고, 알고리즘 역시 제안하였으나 기존 참조한 (다른 저자가 배포한) 패키지의 버그로 구현 계획에 다소 차질을 빚고 있다. (3)의 경우 알고리즘 제안과 계산 알고리즘의 구현에 이르렀으며, 이론적 증명의 최종 검증 작업을 하고 있어 조만간 논문 투고가 가능할 것으로 예상한다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과 (연구개발결과의 중요성)
이 연구에서 제안한 방법론 및 계산 알고리즘의 강력한 점은 임의의 사영대수다양체와, 그들 사이의 사영사상에 대해서 벡터다발 및 coherent sheaf의 코호몰로지 군과 고차직상을 계산하는 방법론을 제안한다는 점에 있다. 이를 통해 여러 기하적 상황에서 자연스럽게 등장하는 코호몰로지 군 및 고차직상을 실제로 계산하고, 대수곡면 혹은 고차원 대수다양체 위의 벡터다발에 대한 이해와 연구직관을 한 단계 끌어 올릴 수 있을 것으로 추정한다.
현실적인 한계점으로는 이 방법론에 요구되는 계산작업의 양이 매우 커서 기존의 방법론으로 계산할 수 없었던 대상에 대해서 새로운 계산결과를 기대할 수 있는 대상이 한정적이다. 특히 direct image sheaf의 계산량은 너무나 방대하여, 대수곡선 혹은 대수곡면의 global 1-dimensional family로 볼 수 있는 일부 특수한 형태의 대수곡면, 혹은 3-fold를 제외하고는 슈퍼컴퓨터를 사용하여도 유의미한 계산결과를 얻을수 없을 것으로 예측된다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 5
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 10
• 1) 정성적 연구개발성과(연구개발결과) ... 10
• 2) 세부 정량적 연구개발성과 ... 11
• 3) 목표 달성 수준 ... 11
• 4) 목표 미달 시 원인 분석 ... 11
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 12
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 13
• 6. 참고문헌 ... 14
• 붙임1. 세부 정량적 연구개발성과 ... 15
• 붙임2. 연구책임자 대표적 연구실적 및 증빙(요약문 및 사본) ... 18
• 끝페이지 ... 20