본 연구의 목적은 고등학교 2학년 학생들의 행렬의 개념에 대한 이해 정도를 알아봄으로써 행렬 개념 지도에 대한 시사점을 제공하고자 하는데 있다.
이를 위하여 다음과 같이 연구문제를 설정하였다.
1. 고등학교 2학년 학생들의 행렬 개념에 대한 이해 정도는 어떠한가?
가. 행렬의 정의에 대한 이해 정도는 어떠한가?
나. 행렬의 성질에 대한 이해 정도는 어떠한가?
다. 행렬과 연립방정식과의 관계에 대한 이해 정도는 어떠한가?
2. 고등학교 2학년 학생들의 행렬의 정의와 성질 및 계산 과정에서 나타나는 오답의 특징은 무엇인가?
위의 연구문제를 해결하기 위해 연구자가 임의로 선정하여 대전 광역시에 소재한 D고등학교 3학급, 충북 청주시에 소재한 S고등학교 1학급, 충남 계룡시에 소재한 K고등학교 2학급의 총 211명을 대상으로 조사 연구하였다.
검사지는 15문항으로 구성되어 있고 하위문항까지 총 32문항으로 구성되었으며 행렬의 정의와 성질, 그리고 연립방정식과 행렬의 관계에 대한 문항으로 구성되었다.
본 연구를 통하여 얻은 결론은 다음과 같다.
가. 행렬의 정의에 관한 이해도와 오답유형
행렬의 정의에 대한 이해정도는 자료값을 통한 행렬의 구성과 행렬의 크기에 대한 문항의 정답율이 평균 92.5%, 행렬간의 상동의 조건에 대한 문항의 정답율이 97.5%, 행렬의 덧셈과 곱셈의 연산방법에 대한 문항의 정답율이 각각 98.5%, 99.5% 로 전체적으로 매우 높은 값으로 나타났다.
행렬의 연산조건에 대한 문항에 대한 정답율 중 행렬간의 덧셈연산의 조건에 대한 문항은 정답율 92.2%로 매우 높은 편이었지만 행렬간의 곱셈연산의 조건에 대한 문항은 정답율 67.6%로 덧셈연산의 조건에 대한 문항과 큰 차이를 보였다. 주목할 점은 곱셈연산에 대해 두 행렬간의 곱의 조건과 세 행렬간의 곱의 조건에 대한 정답율의 차이가 크게 나타난 것이다. 행렬의 곱셈의 조건에 대한 문항에서 오답자 중에 주어진 두 행렬의 곱셈이 성립되는 답안을 고른 학생이 오답자의 45.5%로 절반 가까이 차지하는 반면 세 행렬의 곱이 성립되는 답안을 고른 학생은 오답자의 25.8%로 낮게 나타나 행렬의 곱이 성립되는 조건은 알고 있지만 행렬의 곱을 통해서 생성되는 행렬의 크기에 대한 이해는 낮은 것으로 나타났다.
...
본 연구의 목적은 고등학교 2학년 학생들의 행렬의 개념에 대한 이해 정도를 알아봄으로써 행렬 개념 지도에 대한 시사점을 제공하고자 하는데 있다.
이를 위하여 다음과 같이 연구문제를 설정하였다.
1. 고등학교 2학년 학생들의 행렬 개념에 대한 이해 정도는 어떠한가?
가. 행렬의 정의에 대한 이해 정도는 어떠한가?
나. 행렬의 성질에 대한 이해 정도는 어떠한가?
다. 행렬과 연립방정식과의 관계에 대한 이해 정도는 어떠한가?
2. 고등학교 2학년 학생들의 행렬의 정의와 성질 및 계산 과정에서 나타나는 오답의 특징은 무엇인가?
위의 연구문제를 해결하기 위해 연구자가 임의로 선정하여 대전 광역시에 소재한 D고등학교 3학급, 충북 청주시에 소재한 S고등학교 1학급, 충남 계룡시에 소재한 K고등학교 2학급의 총 211명을 대상으로 조사 연구하였다.
검사지는 15문항으로 구성되어 있고 하위문항까지 총 32문항으로 구성되었으며 행렬의 정의와 성질, 그리고 연립방정식과 행렬의 관계에 대한 문항으로 구성되었다.
본 연구를 통하여 얻은 결론은 다음과 같다.
가. 행렬의 정의에 관한 이해도와 오답유형
행렬의 정의에 대한 이해정도는 자료값을 통한 행렬의 구성과 행렬의 크기에 대한 문항의 정답율이 평균 92.5%, 행렬간의 상동의 조건에 대한 문항의 정답율이 97.5%, 행렬의 덧셈과 곱셈의 연산방법에 대한 문항의 정답율이 각각 98.5%, 99.5% 로 전체적으로 매우 높은 값으로 나타났다.
행렬의 연산조건에 대한 문항에 대한 정답율 중 행렬간의 덧셈연산의 조건에 대한 문항은 정답율 92.2%로 매우 높은 편이었지만 행렬간의 곱셈연산의 조건에 대한 문항은 정답율 67.6%로 덧셈연산의 조건에 대한 문항과 큰 차이를 보였다. 주목할 점은 곱셈연산에 대해 두 행렬간의 곱의 조건과 세 행렬간의 곱의 조건에 대한 정답율의 차이가 크게 나타난 것이다. 행렬의 곱셈의 조건에 대한 문항에서 오답자 중에 주어진 두 행렬의 곱셈이 성립되는 답안을 고른 학생이 오답자의 45.5%로 절반 가까이 차지하는 반면 세 행렬의 곱이 성립되는 답안을 고른 학생은 오답자의 25.8%로 낮게 나타나 행렬의 곱이 성립되는 조건은 알고 있지만 행렬의 곱을 통해서 생성되는 행렬의 크기에 대한 이해는 낮은 것으로 나타났다.
역행렬에 대한 정의에 대한 문항 중 역행렬이 성립되는 조건에 대한 문항의 정답율은 60.8%로 나타났다. 오답의 유형 중 곱해서 단위행렬이 나오면 역행렬이라는 이유가 가장 많은 것으로 보아 역행렬의 정의에서 행렬의 크기에 대한 이해정도가 낮음을 알 수 있다.
나. 행렬의 성질에 과한 이해도와 오답유형
행렬의 성질에 대한 이해정도를 알아보기 위한 문항 중 행렬에서 성립되는 법칙에 대한 문항의 정답율은 16.7%로 나타난 것으로 보아 행렬에서 성립되는 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙, 역원, 항등원에 대한 이해가 낮은 것으로 나타났다. 주로 나타난 오답의 유형은 행렬에서 성립되는 않는 법칙은 곱셈의 교환법칙뿐이라는 유형과 곱셈의 교환법칙, 역원, 항등원의 존재성이 모두 성립되지 않는 법칙이라는 유형으로 대부분의 학생들이 덧셈에 대한 교환법칙과 역원, 항등원의 존재성에 대한 이해는 높으나 곱셈에 대한 교환법칙, 역원, 항등원의 존재성에 대한 이해는 낮은 것으로 나타났다. 특히 행렬에서 곱셈에 대한 역원이 일반적으로 존재하지 않는다는 답을 선택한 학생이 41.2%로 나타나 행렬에서 역행렬의 존재성에 대한 이해가 낮음을 알 수 있다.
행렬의 곱셈에 대한 성질 중 영인자에 대한 이해를 알아보기 위한 문항에서 서로 다른 행렬로 제시된 영인자에 대한 문항은 90.2%로 높은 정답율을 보였지만 자기자신의 곱으로 표현된 영인자에 대한 문항의 정답율은 62.3%로 낮은 수치를 보여 서로 다른 행렬간의 곱에서는 영인자의 존재를 잘 인식하지만 자기자신의 곱에 대한 영인자의 존재성을 인식하기 어려워하는 것으로 해석할 수 있다. 그리고 소거법칙이 대한 문항의 정답율도 49%로 낮은 것으로 보아 영인자의 존재에 대해서는 잘 알고 있지만 영인자를 이용한 문제의 해결은 어려워하는 것으로 해석할 수 있다.
행렬의 곱셈에 대한 성질 중 역행렬의 성질에 대한 이해를 알아보기 위한 문항들의 정답율은 54.4%, 57.8%, 43.1%와 53.4%로 나타난 것으로 보아 절반에 가까운 학생들이 역행렬의 성질에 대한 이해가 낮은 것으로 나타났다. 주목할 점은 43.1%로 가장 정답율이 낮은 행렬과 역행렬의 곱셈의 교환법칙에 대한 문항인데 곱셈의 교환법칙이 성립되지 않는 것에 대한 개념이 역행렬의 성질을 이해하는데 장애가 되고 있는 것으로 해석할 수 있다.
다. 행렬과 연립방정식과의 관계에 대한 이해도와 오답유형
행렬과 연립방정식의 상호변환에 대한 문항의 정답율은 94.1%, 96.1%로 매우 높게 나타났다. 하지만 연립방정식을 행렬로 변환한 후에 해를 구하는 문항의 정답율은 28.9%로 매우 낮게 나타났고 무응답율 역시 33.8%로 높게 나타났다. 이 문항에서 나타난 오답의 특징들을 살펴보면 그래프로 주어진 방정식의 해의 의미를 이해하지 못하고 무리한 대입으로 계산을 못하게 된 오답의 유형이 있었으며 주어진 방정식이 아닌 그래프상에서 구한 y=f(x) 꼴의 연립방정식을 행렬로 잘못 변환한 오답의 유형도 나타났다. 연립방정식을 행렬로 변환한 후에 해의 존재성을 찾는 문항의 정답율은 40.7%, 46.1%로 나타났다. 행렬과 역행렬의 상호변환의 과정에 대한 이해정도가 낮은 것으로 해석된다.
본 연구의 목적은 고등학교 2학년 학생들의 행렬의 개념에 대한 이해 정도를 알아봄으로써 행렬 개념 지도에 대한 시사점을 제공하고자 하는데 있다.
이를 위하여 다음과 같이 연구문제를 설정하였다.
1. 고등학교 2학년 학생들의 행렬 개념에 대한 이해 정도는 어떠한가?
가. 행렬의 정의에 대한 이해 정도는 어떠한가?
나. 행렬의 성질에 대한 이해 정도는 어떠한가?
다. 행렬과 연립방정식과의 관계에 대한 이해 정도는 어떠한가?
2. 고등학교 2학년 학생들의 행렬의 정의와 성질 및 계산 과정에서 나타나는 오답의 특징은 무엇인가?
위의 연구문제를 해결하기 위해 연구자가 임의로 선정하여 대전 광역시에 소재한 D고등학교 3학급, 충북 청주시에 소재한 S고등학교 1학급, 충남 계룡시에 소재한 K고등학교 2학급의 총 211명을 대상으로 조사 연구하였다.
검사지는 15문항으로 구성되어 있고 하위문항까지 총 32문항으로 구성되었으며 행렬의 정의와 성질, 그리고 연립방정식과 행렬의 관계에 대한 문항으로 구성되었다.
본 연구를 통하여 얻은 결론은 다음과 같다.
가. 행렬의 정의에 관한 이해도와 오답유형
행렬의 정의에 대한 이해정도는 자료값을 통한 행렬의 구성과 행렬의 크기에 대한 문항의 정답율이 평균 92.5%, 행렬간의 상동의 조건에 대한 문항의 정답율이 97.5%, 행렬의 덧셈과 곱셈의 연산방법에 대한 문항의 정답율이 각각 98.5%, 99.5% 로 전체적으로 매우 높은 값으로 나타났다.
행렬의 연산조건에 대한 문항에 대한 정답율 중 행렬간의 덧셈연산의 조건에 대한 문항은 정답율 92.2%로 매우 높은 편이었지만 행렬간의 곱셈연산의 조건에 대한 문항은 정답율 67.6%로 덧셈연산의 조건에 대한 문항과 큰 차이를 보였다. 주목할 점은 곱셈연산에 대해 두 행렬간의 곱의 조건과 세 행렬간의 곱의 조건에 대한 정답율의 차이가 크게 나타난 것이다. 행렬의 곱셈의 조건에 대한 문항에서 오답자 중에 주어진 두 행렬의 곱셈이 성립되는 답안을 고른 학생이 오답자의 45.5%로 절반 가까이 차지하는 반면 세 행렬의 곱이 성립되는 답안을 고른 학생은 오답자의 25.8%로 낮게 나타나 행렬의 곱이 성립되는 조건은 알고 있지만 행렬의 곱을 통해서 생성되는 행렬의 크기에 대한 이해는 낮은 것으로 나타났다.
역행렬에 대한 정의에 대한 문항 중 역행렬이 성립되는 조건에 대한 문항의 정답율은 60.8%로 나타났다. 오답의 유형 중 곱해서 단위행렬이 나오면 역행렬이라는 이유가 가장 많은 것으로 보아 역행렬의 정의에서 행렬의 크기에 대한 이해정도가 낮음을 알 수 있다.
나. 행렬의 성질에 과한 이해도와 오답유형
행렬의 성질에 대한 이해정도를 알아보기 위한 문항 중 행렬에서 성립되는 법칙에 대한 문항의 정답율은 16.7%로 나타난 것으로 보아 행렬에서 성립되는 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙, 역원, 항등원에 대한 이해가 낮은 것으로 나타났다. 주로 나타난 오답의 유형은 행렬에서 성립되는 않는 법칙은 곱셈의 교환법칙뿐이라는 유형과 곱셈의 교환법칙, 역원, 항등원의 존재성이 모두 성립되지 않는 법칙이라는 유형으로 대부분의 학생들이 덧셈에 대한 교환법칙과 역원, 항등원의 존재성에 대한 이해는 높으나 곱셈에 대한 교환법칙, 역원, 항등원의 존재성에 대한 이해는 낮은 것으로 나타났다. 특히 행렬에서 곱셈에 대한 역원이 일반적으로 존재하지 않는다는 답을 선택한 학생이 41.2%로 나타나 행렬에서 역행렬의 존재성에 대한 이해가 낮음을 알 수 있다.
행렬의 곱셈에 대한 성질 중 영인자에 대한 이해를 알아보기 위한 문항에서 서로 다른 행렬로 제시된 영인자에 대한 문항은 90.2%로 높은 정답율을 보였지만 자기자신의 곱으로 표현된 영인자에 대한 문항의 정답율은 62.3%로 낮은 수치를 보여 서로 다른 행렬간의 곱에서는 영인자의 존재를 잘 인식하지만 자기자신의 곱에 대한 영인자의 존재성을 인식하기 어려워하는 것으로 해석할 수 있다. 그리고 소거법칙이 대한 문항의 정답율도 49%로 낮은 것으로 보아 영인자의 존재에 대해서는 잘 알고 있지만 영인자를 이용한 문제의 해결은 어려워하는 것으로 해석할 수 있다.
행렬의 곱셈에 대한 성질 중 역행렬의 성질에 대한 이해를 알아보기 위한 문항들의 정답율은 54.4%, 57.8%, 43.1%와 53.4%로 나타난 것으로 보아 절반에 가까운 학생들이 역행렬의 성질에 대한 이해가 낮은 것으로 나타났다. 주목할 점은 43.1%로 가장 정답율이 낮은 행렬과 역행렬의 곱셈의 교환법칙에 대한 문항인데 곱셈의 교환법칙이 성립되지 않는 것에 대한 개념이 역행렬의 성질을 이해하는데 장애가 되고 있는 것으로 해석할 수 있다.
다. 행렬과 연립방정식과의 관계에 대한 이해도와 오답유형
행렬과 연립방정식의 상호변환에 대한 문항의 정답율은 94.1%, 96.1%로 매우 높게 나타났다. 하지만 연립방정식을 행렬로 변환한 후에 해를 구하는 문항의 정답율은 28.9%로 매우 낮게 나타났고 무응답율 역시 33.8%로 높게 나타났다. 이 문항에서 나타난 오답의 특징들을 살펴보면 그래프로 주어진 방정식의 해의 의미를 이해하지 못하고 무리한 대입으로 계산을 못하게 된 오답의 유형이 있었으며 주어진 방정식이 아닌 그래프상에서 구한 y=f(x) 꼴의 연립방정식을 행렬로 잘못 변환한 오답의 유형도 나타났다. 연립방정식을 행렬로 변환한 후에 해의 존재성을 찾는 문항의 정답율은 40.7%, 46.1%로 나타났다. 행렬과 역행렬의 상호변환의 과정에 대한 이해정도가 낮은 것으로 해석된다.
The purpose of this study was to analysis the high school (11th grade) student's understanding on the concept of matrix
The questions for this research were as follows;
1. How much understanding do eleventh graders have about the concept of matrix?
1) How much understanding do eleventh graders have ...
The purpose of this study was to analysis the high school (11th grade) student's understanding on the concept of matrix
The questions for this research were as follows;
1. How much understanding do eleventh graders have about the concept of matrix?
1) How much understanding do eleventh graders have about the definition of matrix?
2) How much understanding do eleventh graders have about the properties of matrix?
3) How much understanding do eleventh graders have about the relationship of matrix and simultaneous eqation?
2. What are the features of wrong answers elevens graders produce with respect to the definition, features and solution process of the irrational expression?
To analyze these problems, a survey was performed through the paper-and -pencil test to 211 high school students from three eleventh-grade classes in D high school in Daejeon metropolitan city, a eleventh-grade classes in S high school in Chongju city and two eleventh-grade classes in K high school in Gyeryong city.
The test paper was composed of 15 questions about the definition, properties of matrix and relationship of matrix and simultaneous eqation and designed in accordance with the current curriculum of high school.
Based on the findings of the study, the following conclusions were reached.
A. Understanding level and type of wrong answer for the definition of matrix
In the case of understanding level for the definition of matrix, correct answer rate of questionnaire for the configuration of matrix through the data value and size of matrix was 92.5% in average, correct answer rate of questionnaire for the condition of the above between matrixes was 97.5%, and the correct answer rates of questionnaires for the operation method of matrix's addition and multiplication were 98.5%, 99.5%, respectively, therefore, in general, these rates were appeared to be very high in their value.
In the case of the questionnaire for the condition of addition operation between matrixes among the correct answer rates on the questionnaire for the matrix's operation condition, the correct answer rate of 92.2% was very high, however, in the case of the questionnaire for the multiplication operation's condition between matrixes, the correct answer rate was 67.6%, which showed large difference from the questionnaire for the multiplication's condition between the two matrixes. The point to be noticed is the appearance of large difference of correct answer rates for the multiplication's conditions between two matrixes and three matrixes for the multiplication operation. In the case of the multiplication's condition of matrix, while the students, among the respondents with wrong answer, who selected the answer with which the multiplication of two matrixes is established was 45.5% of the respondents with wrong answer, which occupied nearly half of them, the students who selected the answer with which the multiplication of three matrixes is established appeared to be the lower value of 25.8% of the respondents with wrong answer, therefore, it was appeared that the condition with which the multiplication of matrix is established was understood, however, the understanding for the size of matrix which is generated through the multiplication of matrix was insufficient.
Among the questionnaires on the definition for the inverse matrix, the correct answer rate of the questionnaire with which the inverse matrix is established was appeared to be 60.8%. Based on the fact that the most predominant reason among the types of wrong answer is that it is the inverse matrix when unit matrix is generated by multiplying, the insufficiency of understanding level for the size of matrix at the definition of the inverse matrix can be understood.
B. Understanding level and type of wrong answer for the characters of matrix
Among the questionnaires to investigate the understanding level for the character of matrix, the correct answer rate of the questionnaire for the rules which are established in the matrix was turned out to be 16.7%, therefore, it was appeared that the understanding for the exchange rule, inverse element, and identity element for the addition and multiplication was low. Mainly appeared types of wrong answer are the type that it is only the exchange rule of multiplication which can not be established in the matrix and the type that the existences of exchange rule of multiplication, inverse element, and identity element are the rules which can not be established entirely, therefore, it was appeared that most of the students had sufficient understanding on the existence of exchange rule, inverse element, and identity element for the addition, however, they have insufficient understanding on the existence of exchange rule, inverse element, and identity element for the multiplication. Especially in the matrix, the students who selected the answer that the inverse element for the multiplication is generally not existed were turned out to be 41.2%, therefore, the insufficiency of understanding for the existence of inverse element in the matrix can be presumed.
In the case of questionnaires to investigate the understanding for the zero divisor among the characters for the multiplication of matrix, the questionnaire for the zero divisor presented as different matrixes with each other was showing the high correct answer rate of 90.2%, however, the correct answer rate of the questionnaire for the zero divisor expressed as the multiplication of oneself was showing the lower value of 62.3%, therefore, it can be interpreted that in the multiplication between matrixes which are different with each other, the existence of the zero divisor is well understood, however, there was difficulty for the understanding on the existence of the zero divisor for the multiplication of oneself. In addition, as the correct answer rate of the questionnaire for the elimination rule was showing the lower value of 49%, it can be construed that the existence of the zero divisor was well understood, however, the solution of problem utilizing the zero divisor was regarded as difficult.
As the correct answer rates of the questionnaires to investigate the understanding for the character of inverse matrix among the characters for the multiplication of matrix were turned out to be 54.4%, 57.8%, 43.1% and 53.4%, respectively, nearly half of the students have insufficient understanding for the characters of inverse matrix. Point to be noticed was the questionnaire for the multiplication's exchange rule of the matrix and inverse matrix which showed the lowest correct answer rate of 43.1%, and this can be interpreted that the concept for the non-establishment of exchange rule of multiplication becomes the obstacle for the understanding of the characters of the inverse matrix.
C. Understanding level and type of wrong answer for the relation between matrix and simultaneous equations
Correct answer rates of the questionnaire for the mutual transformation between matrix and simultaneous equations were very high with the value of 94.1%, 96.1%, respectively. However, in the case of the questionnaire requesting the solution after transforming simultaneous equations into matrix, the correct answer rate was showing very low value of 28.9% and no answer rate was also appeared to be the higher value of 33.8%. When reviewing the characteristics of wrong answers appeared in this questionnaire, there was the type of wrong answer in which calculation was not performed due to the unreasonable substitution through the failure of understanding the meaning of the equation's solution which is given as graph, and there was also the type of wrong answer in which there was the transformation of simultaneous equations with the shape of y=f(x) which was obtained from the graph, not from the given equation, into the matrix. The correct answer rates of the questionnaire seeking the existence of solution after transforming simultaneous equations into matrix were turned out to be 40.7%, 46.1%, respectively. These were interpreted that the understanding level for the process of mutual transformation of matrix and inverse matrix was insufficient.
The purpose of this study was to analysis the high school (11th grade) student's understanding on the concept of matrix
The questions for this research were as follows;
1. How much understanding do eleventh graders have about the concept of matrix?
1) How much understanding do eleventh graders have about the definition of matrix?
2) How much understanding do eleventh graders have about the properties of matrix?
3) How much understanding do eleventh graders have about the relationship of matrix and simultaneous eqation?
2. What are the features of wrong answers elevens graders produce with respect to the definition, features and solution process of the irrational expression?
To analyze these problems, a survey was performed through the paper-and -pencil test to 211 high school students from three eleventh-grade classes in D high school in Daejeon metropolitan city, a eleventh-grade classes in S high school in Chongju city and two eleventh-grade classes in K high school in Gyeryong city.
The test paper was composed of 15 questions about the definition, properties of matrix and relationship of matrix and simultaneous eqation and designed in accordance with the current curriculum of high school.
Based on the findings of the study, the following conclusions were reached.
A. Understanding level and type of wrong answer for the definition of matrix
In the case of understanding level for the definition of matrix, correct answer rate of questionnaire for the configuration of matrix through the data value and size of matrix was 92.5% in average, correct answer rate of questionnaire for the condition of the above between matrixes was 97.5%, and the correct answer rates of questionnaires for the operation method of matrix's addition and multiplication were 98.5%, 99.5%, respectively, therefore, in general, these rates were appeared to be very high in their value.
In the case of the questionnaire for the condition of addition operation between matrixes among the correct answer rates on the questionnaire for the matrix's operation condition, the correct answer rate of 92.2% was very high, however, in the case of the questionnaire for the multiplication operation's condition between matrixes, the correct answer rate was 67.6%, which showed large difference from the questionnaire for the multiplication's condition between the two matrixes. The point to be noticed is the appearance of large difference of correct answer rates for the multiplication's conditions between two matrixes and three matrixes for the multiplication operation. In the case of the multiplication's condition of matrix, while the students, among the respondents with wrong answer, who selected the answer with which the multiplication of two matrixes is established was 45.5% of the respondents with wrong answer, which occupied nearly half of them, the students who selected the answer with which the multiplication of three matrixes is established appeared to be the lower value of 25.8% of the respondents with wrong answer, therefore, it was appeared that the condition with which the multiplication of matrix is established was understood, however, the understanding for the size of matrix which is generated through the multiplication of matrix was insufficient.
Among the questionnaires on the definition for the inverse matrix, the correct answer rate of the questionnaire with which the inverse matrix is established was appeared to be 60.8%. Based on the fact that the most predominant reason among the types of wrong answer is that it is the inverse matrix when unit matrix is generated by multiplying, the insufficiency of understanding level for the size of matrix at the definition of the inverse matrix can be understood.
B. Understanding level and type of wrong answer for the characters of matrix
Among the questionnaires to investigate the understanding level for the character of matrix, the correct answer rate of the questionnaire for the rules which are established in the matrix was turned out to be 16.7%, therefore, it was appeared that the understanding for the exchange rule, inverse element, and identity element for the addition and multiplication was low. Mainly appeared types of wrong answer are the type that it is only the exchange rule of multiplication which can not be established in the matrix and the type that the existences of exchange rule of multiplication, inverse element, and identity element are the rules which can not be established entirely, therefore, it was appeared that most of the students had sufficient understanding on the existence of exchange rule, inverse element, and identity element for the addition, however, they have insufficient understanding on the existence of exchange rule, inverse element, and identity element for the multiplication. Especially in the matrix, the students who selected the answer that the inverse element for the multiplication is generally not existed were turned out to be 41.2%, therefore, the insufficiency of understanding for the existence of inverse element in the matrix can be presumed.
In the case of questionnaires to investigate the understanding for the zero divisor among the characters for the multiplication of matrix, the questionnaire for the zero divisor presented as different matrixes with each other was showing the high correct answer rate of 90.2%, however, the correct answer rate of the questionnaire for the zero divisor expressed as the multiplication of oneself was showing the lower value of 62.3%, therefore, it can be interpreted that in the multiplication between matrixes which are different with each other, the existence of the zero divisor is well understood, however, there was difficulty for the understanding on the existence of the zero divisor for the multiplication of oneself. In addition, as the correct answer rate of the questionnaire for the elimination rule was showing the lower value of 49%, it can be construed that the existence of the zero divisor was well understood, however, the solution of problem utilizing the zero divisor was regarded as difficult.
As the correct answer rates of the questionnaires to investigate the understanding for the character of inverse matrix among the characters for the multiplication of matrix were turned out to be 54.4%, 57.8%, 43.1% and 53.4%, respectively, nearly half of the students have insufficient understanding for the characters of inverse matrix. Point to be noticed was the questionnaire for the multiplication's exchange rule of the matrix and inverse matrix which showed the lowest correct answer rate of 43.1%, and this can be interpreted that the concept for the non-establishment of exchange rule of multiplication becomes the obstacle for the understanding of the characters of the inverse matrix.
C. Understanding level and type of wrong answer for the relation between matrix and simultaneous equations
Correct answer rates of the questionnaire for the mutual transformation between matrix and simultaneous equations were very high with the value of 94.1%, 96.1%, respectively. However, in the case of the questionnaire requesting the solution after transforming simultaneous equations into matrix, the correct answer rate was showing very low value of 28.9% and no answer rate was also appeared to be the higher value of 33.8%. When reviewing the characteristics of wrong answers appeared in this questionnaire, there was the type of wrong answer in which calculation was not performed due to the unreasonable substitution through the failure of understanding the meaning of the equation's solution which is given as graph, and there was also the type of wrong answer in which there was the transformation of simultaneous equations with the shape of y=f(x) which was obtained from the graph, not from the given equation, into the matrix. The correct answer rates of the questionnaire seeking the existence of solution after transforming simultaneous equations into matrix were turned out to be 40.7%, 46.1%, respectively. These were interpreted that the understanding level for the process of mutual transformation of matrix and inverse matrix was insufficient.
AI-Helper
※ AI-Helper는 부적절한 답변을 할 수 있습니다.