본 연구의 목적은 초등학교 6학년 학생들의 수학적 모델링 과정에 대한 질적 연구를 통해, 일상적인 문제 상황에서 학생들의 수학적 개념 활용이 적절하게 이루어지는지 분석하고 학생들이 표현하는 비례 추론 전략은 어떠하며, 수학적 모델이 구성되는 일련의 과정을 살펴보고자 한다. 따라서 6학년 학생들의 수학적 ...
본 연구의 목적은 초등학교 6학년 학생들의 수학적 모델링 과정에 대한 질적 연구를 통해, 일상적인 문제 상황에서 학생들의 수학적 개념 활용이 적절하게 이루어지는지 분석하고 학생들이 표현하는 비례 추론 전략은 어떠하며, 수학적 모델이 구성되는 일련의 과정을 살펴보고자 한다. 따라서 6학년 학생들의 수학적 모델링과정 분석을 통해 수학적 모델링을 활용한 수업에 시사점을 주는데 목적이 있다. 본 논문의 연구 문제를 간단히 정리하면 다음과 같다. 6학년 학생들의 수학적 모델링 과정에서 가. 학생들의 수학적 개념의 활용은 어떠한가? 1) 학습한 개념의 활용은 어떠한가? 2) 새로운 개념의 구성은 어떠한가? 나. 문제 상황에서 학생들의 비례추론전략은 어떠한가? 다. 수학적 모델의 구성과정은 어떠한가? 본 연구에서는 수학적 모델링 학습 과정을 적용한 8차시의 수업에서 나타나는 수학적 개념과 비례 추론 전략, 수학적 모델 구성과정을 종합적으로 분석하였으며, 각 차시별 수업 유형에 따라 두드러지는 내용을 바탕으로 다음과 같이 요약하고자 한다. 첫째, 수학적 모델링 학습 과정에서 나타나는 학생들의 수학적 개념을 분석한 결과, 규칙성 영역의 문제 상황에서부터 수학적 모델을 적용하는 과정에 이르기까지, 학습한 수학적 개념과 새로운 수학적 개념을 적절하게 활용하고 있었다. 기본적으로 5학년때 학습한 규칙성 영역의 비와비율 개념은 문제 상황 전반에서 활용하고 있었으며, 문제 요소들을 비의 값으로 대응하거나 비율로 형식화하였다. 수업 가에서는 학습한 수학적 개념인 비와 비율과 최소공배수를 주로 활용하였으며, 각 과일의 무게를 비의 값으로 대응하고 분수로 변환하여 상대적인 값을 비교하였다. 또한 각 과일의 대응한 비의 값은 최소공배수를 통해 하나의 공통된 기준 값을 만들었다. 새로운 수학적 개념인 등식과 연비를 활용하여, 각 과일을 상대적인 비교를 양변에 똑같이 소거하는 방법으로 기준 값을 나타내었으며, 세 가지 이상의 비의 값을 나타내는 연비를 구성하였다. 수업 나에서는 학습한 수학적 개념인 비와 비율을 시침의 이동거리에 따른 분침의 이동거리를 대응하여 활용하였다. 새로운 수학적 개념인 정비례와 등식을 활용하여, 시침의 이동거리와 분침의 이동거리를 규칙적인 비례관계로 표현하였다. 하지만 등식에 관련된 잘못된 오개념도 발견되었다. 수업 다에서는 학습한 개념인 비와 비율과 어림을 활용하여 A3와 A4 가로 세로 측정 값을 비의 값으로 대응하여 두 대상의 관계를 비율로 표현하였으며, 무리수를 어림하여 유리수로 제시하였다. 새로운 수학적 개념인 정비례를 활용하여 A3 가로와 A4의 세로와 같으며, 남은 두 대상의 관계가 2배(배)로 일정하게 비례한다는 사실을 발견하였다. 추가적으로 교육과정에서 제시되지 않은 무리수의 성질을 활용하였다. 수업 라에서는 학습한 개념인 정사각형, 마름모, 원의 넓이와 어림을 활용하여 정사각형의 넓이에 따른 길이의 변화를 추측하였다. 새로운 수학적 개념인 비례, 방정식, 미지수를 활용하여 정사각형의 길이와 넓이를 미지수로 대응하여 두 대상의 비례관계에 대해 모색하였으며, 무리수를 활용하여 정확한 값이 아닌 근삿값을 구성할 수 있었다. 둘째, 수학적 모델링 학습 과정에서 나타나는 학생들의 비례 추론 전략을 범주화하여 분석한 결과, 문제 유형에 따라 비례 추론 전략을 다르게 사용하는 사실을 발견하였다. 수업 가의 부분-전체 문제 유형의 경우, 단위 값 전략이 비교적 많이 나타난 반면에 수업 나의 양의 측정 문제 유형의 경우, 수업 가에 비해 구성 전략과 배수 전략이 상대적으로 많이 나타났다. 하지만 질적 추론 전략이나 비율 전략은 사용되지 않았다. 수업 다와 라의 확대와 축소 문제 유형의 경우, 분수 전략을 제외하고 다양한 비례 추론 전략들이 사용되었다. 전체 수업에서 가장 많이 쓰인 비례 추론 전략은 단위 값 전략으로, 학생들은 기준 값을 정하여 상대적인 값을 비교하거나 문제를 해결하는 과정에서 활용하는 경향이 강하였다. 반면에 수업과정에서 특별한 경우를 제외하고 분수 전략은 상대적으로 쓰이지 않았으며, 두 비례 추론 전략을 제외한 나머지 비례 추론 전략들은 골고루 사용하였다. 셋째, 수학적 모델링 학습 과정을 통해 6학년 학생들의 수학적 모델 구성 과정을 각 단계별로 분석하였다. 문제 상황의 이상화 단계에서는 일상생활에 접한 문제 상황을 공유하여 해결할 필요성을 인식하였으며, 모둠원과의 논의를 통해 전반적인 문제 상황을 이해하고 필요한 정보를 파악하였다. 처음 문제에 대해 접할 경우 당황해하였으나 시간이 지날수록 점차 적응하였다. 문제를 간단히 정리하여 필요한 정보를 논의하면서, 학생들의 초점이 문제상황의 피상적인 정보에서 보다 수학적으로 해결할 수 있는 정보로 옮겨가기도 하였다. 수학적 모델의 형식화 단계에서는 이상화된 문제 상황을 수학적 기호와 용어로 변환하여 다양한 수학적 표현이 이루어진다. 학생들은 대상과 이것들의 연결 또는 관계를 추출하여 방정식, 도표, 그림, 그래프 등으로 수학적 해석을 하였다. 특징적인 표현이나 해석에 대해서는 “왜”, “어떻게”와 같은 발문을 하여 이면의 사고에 대해 충분히 생각할 수 있는 시간을 제공하였으며, 수학적으로 다양한 접근을 시도하도록 격려하였다. 수학적 모델의 추론 단계에서는 앞서 구성된 수학적 모델을 수학적 기술과 방법을 통해 문제 상황에 대한 결론을 내렸다. 학생들은 자신이 구성한 수학적 모델을 발표하거나 모둠원과의 지속적인 논의 과정에서 반성할 수 있는 기회를 가지며, 수학적 모델은 형식화 추상화 되어 진다. 그 중 다각적인 논의와 수학적 추론과정을 거치면서 가장 적절한 수학적 모델을 구성할 수 있었다. 수학적 모델의 적용단계에서는 학생들이 구성한 수학적 모델을 처음의 현실상황에 적용하며, 수학적 구조가 유사한 다른 상황에 적용하였다. 학생들은 논의를 통해 자신이 구성한 수학적 모델이 실생활 속에 존재하며 보다 특수한 상황에서 일반적인 상황까지 광범위하게 적용될 수 있음을 제안하였다. 따라서 6학년 학생들은 수학적 모델링 과정의 문제 맥락 안에서 기존의 학습한 개념들과 그것과 연관된 새로운 개념들을 활용하였으며, 다양한 비례 추론 전략을 사용할 수 있었다. 또한 수학적 모델링 과정을 통해 초기 비형식적인 지식과 비구조적인 수학적 관계들을 점차 형식화하고 일반화할 수 있는 능력을 기를 수 있었다.
본 연구의 목적은 초등학교 6학년 학생들의 수학적 모델링 과정에 대한 질적 연구를 통해, 일상적인 문제 상황에서 학생들의 수학적 개념 활용이 적절하게 이루어지는지 분석하고 학생들이 표현하는 비례 추론 전략은 어떠하며, 수학적 모델이 구성되는 일련의 과정을 살펴보고자 한다. 따라서 6학년 학생들의 수학적 모델링 과정 분석을 통해 수학적 모델링을 활용한 수업에 시사점을 주는데 목적이 있다. 본 논문의 연구 문제를 간단히 정리하면 다음과 같다. 6학년 학생들의 수학적 모델링 과정에서 가. 학생들의 수학적 개념의 활용은 어떠한가? 1) 학습한 개념의 활용은 어떠한가? 2) 새로운 개념의 구성은 어떠한가? 나. 문제 상황에서 학생들의 비례추론전략은 어떠한가? 다. 수학적 모델의 구성과정은 어떠한가? 본 연구에서는 수학적 모델링 학습 과정을 적용한 8차시의 수업에서 나타나는 수학적 개념과 비례 추론 전략, 수학적 모델 구성과정을 종합적으로 분석하였으며, 각 차시별 수업 유형에 따라 두드러지는 내용을 바탕으로 다음과 같이 요약하고자 한다. 첫째, 수학적 모델링 학습 과정에서 나타나는 학생들의 수학적 개념을 분석한 결과, 규칙성 영역의 문제 상황에서부터 수학적 모델을 적용하는 과정에 이르기까지, 학습한 수학적 개념과 새로운 수학적 개념을 적절하게 활용하고 있었다. 기본적으로 5학년때 학습한 규칙성 영역의 비와비율 개념은 문제 상황 전반에서 활용하고 있었으며, 문제 요소들을 비의 값으로 대응하거나 비율로 형식화하였다. 수업 가에서는 학습한 수학적 개념인 비와 비율과 최소공배수를 주로 활용하였으며, 각 과일의 무게를 비의 값으로 대응하고 분수로 변환하여 상대적인 값을 비교하였다. 또한 각 과일의 대응한 비의 값은 최소공배수를 통해 하나의 공통된 기준 값을 만들었다. 새로운 수학적 개념인 등식과 연비를 활용하여, 각 과일을 상대적인 비교를 양변에 똑같이 소거하는 방법으로 기준 값을 나타내었으며, 세 가지 이상의 비의 값을 나타내는 연비를 구성하였다. 수업 나에서는 학습한 수학적 개념인 비와 비율을 시침의 이동거리에 따른 분침의 이동거리를 대응하여 활용하였다. 새로운 수학적 개념인 정비례와 등식을 활용하여, 시침의 이동거리와 분침의 이동거리를 규칙적인 비례관계로 표현하였다. 하지만 등식에 관련된 잘못된 오개념도 발견되었다. 수업 다에서는 학습한 개념인 비와 비율과 어림을 활용하여 A3와 A4 가로 세로 측정 값을 비의 값으로 대응하여 두 대상의 관계를 비율로 표현하였으며, 무리수를 어림하여 유리수로 제시하였다. 새로운 수학적 개념인 정비례를 활용하여 A3 가로와 A4의 세로와 같으며, 남은 두 대상의 관계가 2배(배)로 일정하게 비례한다는 사실을 발견하였다. 추가적으로 교육과정에서 제시되지 않은 무리수의 성질을 활용하였다. 수업 라에서는 학습한 개념인 정사각형, 마름모, 원의 넓이와 어림을 활용하여 정사각형의 넓이에 따른 길이의 변화를 추측하였다. 새로운 수학적 개념인 비례, 방정식, 미지수를 활용하여 정사각형의 길이와 넓이를 미지수로 대응하여 두 대상의 비례관계에 대해 모색하였으며, 무리수를 활용하여 정확한 값이 아닌 근삿값을 구성할 수 있었다. 둘째, 수학적 모델링 학습 과정에서 나타나는 학생들의 비례 추론 전략을 범주화하여 분석한 결과, 문제 유형에 따라 비례 추론 전략을 다르게 사용하는 사실을 발견하였다. 수업 가의 부분-전체 문제 유형의 경우, 단위 값 전략이 비교적 많이 나타난 반면에 수업 나의 양의 측정 문제 유형의 경우, 수업 가에 비해 구성 전략과 배수 전략이 상대적으로 많이 나타났다. 하지만 질적 추론 전략이나 비율 전략은 사용되지 않았다. 수업 다와 라의 확대와 축소 문제 유형의 경우, 분수 전략을 제외하고 다양한 비례 추론 전략들이 사용되었다. 전체 수업에서 가장 많이 쓰인 비례 추론 전략은 단위 값 전략으로, 학생들은 기준 값을 정하여 상대적인 값을 비교하거나 문제를 해결하는 과정에서 활용하는 경향이 강하였다. 반면에 수업과정에서 특별한 경우를 제외하고 분수 전략은 상대적으로 쓰이지 않았으며, 두 비례 추론 전략을 제외한 나머지 비례 추론 전략들은 골고루 사용하였다. 셋째, 수학적 모델링 학습 과정을 통해 6학년 학생들의 수학적 모델 구성 과정을 각 단계별로 분석하였다. 문제 상황의 이상화 단계에서는 일상생활에 접한 문제 상황을 공유하여 해결할 필요성을 인식하였으며, 모둠원과의 논의를 통해 전반적인 문제 상황을 이해하고 필요한 정보를 파악하였다. 처음 문제에 대해 접할 경우 당황해하였으나 시간이 지날수록 점차 적응하였다. 문제를 간단히 정리하여 필요한 정보를 논의하면서, 학생들의 초점이 문제상황의 피상적인 정보에서 보다 수학적으로 해결할 수 있는 정보로 옮겨가기도 하였다. 수학적 모델의 형식화 단계에서는 이상화된 문제 상황을 수학적 기호와 용어로 변환하여 다양한 수학적 표현이 이루어진다. 학생들은 대상과 이것들의 연결 또는 관계를 추출하여 방정식, 도표, 그림, 그래프 등으로 수학적 해석을 하였다. 특징적인 표현이나 해석에 대해서는 “왜”, “어떻게”와 같은 발문을 하여 이면의 사고에 대해 충분히 생각할 수 있는 시간을 제공하였으며, 수학적으로 다양한 접근을 시도하도록 격려하였다. 수학적 모델의 추론 단계에서는 앞서 구성된 수학적 모델을 수학적 기술과 방법을 통해 문제 상황에 대한 결론을 내렸다. 학생들은 자신이 구성한 수학적 모델을 발표하거나 모둠원과의 지속적인 논의 과정에서 반성할 수 있는 기회를 가지며, 수학적 모델은 형식화 추상화 되어 진다. 그 중 다각적인 논의와 수학적 추론과정을 거치면서 가장 적절한 수학적 모델을 구성할 수 있었다. 수학적 모델의 적용단계에서는 학생들이 구성한 수학적 모델을 처음의 현실상황에 적용하며, 수학적 구조가 유사한 다른 상황에 적용하였다. 학생들은 논의를 통해 자신이 구성한 수학적 모델이 실생활 속에 존재하며 보다 특수한 상황에서 일반적인 상황까지 광범위하게 적용될 수 있음을 제안하였다. 따라서 6학년 학생들은 수학적 모델링 과정의 문제 맥락 안에서 기존의 학습한 개념들과 그것과 연관된 새로운 개념들을 활용하였으며, 다양한 비례 추론 전략을 사용할 수 있었다. 또한 수학적 모델링 과정을 통해 초기 비형식적인 지식과 비구조적인 수학적 관계들을 점차 형식화하고 일반화할 수 있는 능력을 기를 수 있었다.
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