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문제 정의
- 이때 수학적 사고에 대해서는 여러 학자에 의해 다양하게 정의되기 때문에 본 연구에서는 교육과정과 교과서에서 제시하고 있는 의사소통 분석에 초점을 맞추었다. 교과서의 의사소통의 분석을 위해서는 읽기, 듣기, 말하기, 쓰기의 영역에서 의사소통 활동의 적합성, 용어 기호 사용의 적합성, 문어적 적합성, 시각적 표현의 적합성, 교육과정과의 일치 등 많은 기준을 사용할 수 있지만, 본 연구에서는 의사소통을 세부적으로 분석하는 것이 목적이 아니고, 수학적 모델링 관점에서 의사소통을 분석하는 것이기 때문에 정해지지 않은 답을 통해 학생들의 생각과 과정을 묻는 열린 질문을 의사소통을 제시하는 질문으로 간주하고 학생들의 의사소통과 관련한 교과서의 상황이나 문제 제시 방법에 대해 분석을 하였다.
- 이들은 수학화 과정을 실제적인 상황에서 직관 모델을 만들고, 직관 모델의 탐구에서 수학적 모델들을 만들어 내고, 추상화와 형식화를 통해서 수학적 해를 구하고, 구해진 해를 원래 상황에서 반성해보는 피드백 과정을 거치는 수학적 모델링 과정을 의미한다고 하였다. 본 연구에서는 수학적 모델링을 현실의 문제 또는 상황을 수학적 모델을 사용해 문제를 해결하고 현실에 비추어 재해석하는 일련의 체계적인 절차로 보았다.
제안 방법
- 7차 교육과정에서부터 2009 개정 수학과 교육과정까지 수학적 모델링의 관점에서 초등학교 수학교과서의 모델링과 관련한 문장 제시 방법의 변화를 분석하고, 수학 수업이나 향후 교과서 개발에 주는 시사점을 알아보았다.
- 각 교육과정 시기별 3,4학년 교과서의 수학적 모델링 제시 방법에는 어떤 차이가 있는지에 대한 연구를 위해 우리나라 교육과정에서 학생 중심을 표방하는 7차 교육과정부터 현행 2009 개정 교육과정까지의 국정 1종 교과서인 초등 수학 3,4학년 교과서의 각 영역별 단원을 대상으로 분석했다. 영역별 수학적 모델링 분석 단원은 <표Ⅲ-1>과 같다.
- 수학 교육과정 내용의 분석 대상은 3,4학년으로 하였는데, 이는 3,4학년이 앞으로 고학년인 5,6학년 수학적 모델링 연구뿐만 아니라 저학년인 1,2학년 수학적 모델링 연구에 방향을 제시해 줄 수 있을 것으로 보았기 때문이다. 교과서의 단원은 3,4학년의 1,2학기의 각 교육 과정의 공통 범위를 고려하여 수와 연산, 도형, 측정, 확률과 통계, 규칙성의 다섯 영역으로 나누고, 김민경(2010)의 수학적 모델링 분석 기준을 예비 분석을 통해 수정해서 분석했다.
- 그리고 실세계 맥락 상황 제시의 소재 분류는 크게 사회, 과학, 경제, 자연, 생활의 5가지 소재로 분류하였다. 이때 경제는 사회의 소재에 포함될 수 있지만, 초등학생의 주위에서 일어나는 많은 수학적인 활동이 물건의 구입, 관람료 같은 경제활동과 관련이 있어 사회와 별도로 경제 소재를 분류기준에 넣었다.
- 연차시의 경우는 두 차시의 문제를 합하여 하나의 차시로 분석하였다. 그리고 영역별로 실세계 맥락의 상황이 제시된 차시 분석 후에는 차시 안에서 전체 문제 중 실세계 맥락의 상황이 제시된 문제의 비율을 분석하였다.
- 그리고 이들 교과서를 김민경(2010)이 수학적 모델링의 관점에서 Mathematics in Context[MiC] 교재와 우리나라 교과서를 분석한 기준으로 예비적으로 분석했다. 예비 분석 결과를 통해 김민경(2010)의 분석틀을 수정하여 본 연구에서의 분석으로 사용하였다.
- 따라서 우리나라 교과서를 수학적 모델링 관점에서 분석할 때, 모델의 형성과 적용이라는 관점에서 비교할 수 없다. 따라서 본 연구에서는 모델에 관해서 모델의 형성과 적용측면이 아닌 수학적 모델의 표현 방법에서 접근했다.
- 본 연구는 초등학교 3,4학년 수학교과서에 나타난 수학적 모델링 관련 제시 방법을 분석 하였다. 이를 위해 수학적 모델링 관점으로 7차 교육과정, 2007 개정 교육과정, 2009 개정 교육과정 초등학교 3,4학년 수학교과서의 수학적 모델링 제시 방법을 분석하였다.
- 본 연구는 현행 2009 개정 교육과정부터 7차 교육과정까지의 초등학교 3,4학년 교과서를 영역에 따라 수학적 모델링의 관점에서 비교·분석 연구를 수행했다.
- 본 연구의 분석틀에서는 김민경(2010)이 MiC교재와 우리나라 교과서를 수학적 모델링 관점에서 분석한 기준을 예비 분석을 통해 우리나라 교과서간 분석기준으로 수정하였다. 본 연구에서 7차 교육과정 교과서부터 2009 개정 교육과정 교과서까지 수학적 모델링 제시 방법을 분석할 기준은 실세계 맥락의 상황 제시, 수학적 모델의 표현 방법, 그리고 의사소통이다.
- 따라서 수학을 학습하는 과정에서 학생들에게 일상생활 속에서 일어나는 현상을 수학적으로 인지하고, 교사나 동료들과의 의사소통과 정당화 과정에서 문제를 해결하는 능력을 기르도록 하는 수학적 모델링 능력이 필요하다. 본 연구에서 수학적 모델링은 현실의 문제 또는 상황에 대하여 수학적 모델을 사용해 문제를 해결하고 현실에 비추어 재해석하는 체계적인 절차로 보았다. 수학적 모델링은 실세계의 문제를 수학적으로 해결하는 과정에서 학생들에게 문제 해결 능력과 의사소통 능력을 신장시킬 수 있는 효과적인 방법이라고 할 수 있다.
- 본 연구에서는 김민경(2010)의 예비 분석의 결과와 홍갑주, 박정련(2010)의 열린 질문 연구, 그리고 이기라(2014)의 분석틀을 참고하여 의 어미별로 살펴본 열린 질문의 어미를 통해 의사소통을 유형별로 분류하고 빈도수를 조사하여 분석하였다.
- 따라서 수학적 모델링 관점에서 보았을 때 교과서의 수학 개념의 제시 및 풀이에서 다양한 수학적 모델의 표현이 필요하다. 본 연구에서는 모델의 분석 기준으로 수학적 모델의 표현 방법으로 정하고, 황혜정(2007)의 선행 연구 분석을 토대로 세부 분석으로 식, 그래프, 그림, 수직선, 표의 5가지 경우로 나누어 분석하였다.
- 본 연구의 분석틀에서는 김민경(2010)이 MiC교재와 우리나라 교과서를 수학적 모델링 관점에서 분석한 기준을 예비 분석을 통해 우리나라 교과서간 분석기준으로 수정하였다. 본 연구에서 7차 교육과정 교과서부터 2009 개정 교육과정 교과서까지 수학적 모델링 제시 방법을 분석할 기준은 실세계 맥락의 상황 제시, 수학적 모델의 표현 방법, 그리고 의사소통이다.
- 수학적 모델의 표현 방법은 과 같이 각 시기별 교과서에서 사용된 수학적 모 델을 분석했다.
- 실세계 맥락의 상황 제시는 먼저 실세계 맥락의 상황이 제시된 차시와 문제의 비율로 분석하였다. 그 결과를 정리하면 다음 <표 Ⅳ-1>과 같다.
- 실세계 맥락의 상황 제시에서는 먼저 각 교육과정의 3,4학년 교과서를 영역별로 분석하되, 각 차시 안에서 실세계 맥락의 상황이 제시가 된 문제를 통해 실세계 맥락의 상황이 제시된 차시와 그렇지 않은 차시를 분석하였다. 차시는 각 교과서의 지도서에 나타난 차시를 바탕으로 하되 7차 교과서의 재미있는 놀이는 실세계 맥락의 상황이 제시된 것이 아닌, 학생들이 놀이를 통해 배운 내용을 복습하는 것이기 때문에 제외하였다.
- 그리고 이들 교과서를 김민경(2010)이 수학적 모델링의 관점에서 Mathematics in Context[MiC] 교재와 우리나라 교과서를 분석한 기준으로 예비적으로 분석했다. 예비 분석 결과를 통해 김민경(2010)의 분석틀을 수정하여 본 연구에서의 분석으로 사용하였다.
- 의사소통에서는 7차 교육과정 3,4학년 교과서부터 2009 개정 교육과정 3,4학년 교과서까지 의사소통의 유형과 빈도를 영역별로 분석하였다. 그 결과를 정리하면 <표 Ⅳ-4>와 같다.
- 김민경(2010)의 분석틀에서 수학적 사고 및 의사소통 분석은 연구자의 관점에서 수학적 사고와 의사소통에 대한 의견과 설명을 포함하여 분석하였다. 이때 수학적 사고에 대해서는 여러 학자에 의해 다양하게 정의되기 때문에 본 연구에서는 교육과정과 교과서에서 제시하고 있는 의사소통 분석에 초점을 맞추었다. 교과서의 의사소통의 분석을 위해서는 읽기, 듣기, 말하기, 쓰기의 영역에서 의사소통 활동의 적합성, 용어 기호 사용의 적합성, 문어적 적합성, 시각적 표현의 적합성, 교육과정과의 일치 등 많은 기준을 사용할 수 있지만, 본 연구에서는 의사소통을 세부적으로 분석하는 것이 목적이 아니고, 수학적 모델링 관점에서 의사소통을 분석하는 것이기 때문에 정해지지 않은 답을 통해 학생들의 생각과 과정을 묻는 열린 질문을 의사소통을 제시하는 질문으로 간주하고 학생들의 의사소통과 관련한 교과서의 상황이나 문제 제시 방법에 대해 분석을 하였다.
- 이를 위해 각 교육과정과 교과서를 수집하여 비교·분석을 하였다.
- 본 연구는 초등학교 3,4학년 수학교과서에 나타난 수학적 모델링 관련 제시 방법을 분석 하였다. 이를 위해 수학적 모델링 관점으로 7차 교육과정, 2007 개정 교육과정, 2009 개정 교육과정 초등학교 3,4학년 수학교과서의 수학적 모델링 제시 방법을 분석하였다. 분석 결과 7차 교육과정 이후 2009 개정 교육과정까지 시기별 초등학교 3,4학년 교과서의 수학적 모델링 제시 방법은 다음과 같았다.
- 이 실세계 맥락이 어떻게 제시되는지 파악하는 것은 안소영(2012)의 연구를 참고해 소재 분류 기준을 만들어서 분류하였다. 이와 같이 실세계 맥락의 상황 제시와 관련해 본 연구에서는 1차로 실세계 맥락 상황 제시의 유무를 살피고 2차로 실세계 맥락 상황을 경제, 사회, 과학, 자연, 생활의 크게 5개의 소재로 나누어 분류하였다.
대상 데이터
- 실세계 맥락 상황 제시의 소재의 분석은 <표 Ⅳ-2>와 같이 나타났다. 실세계 맥락 상황 제시의 소재는 7차 교과서 ≪도형≫의 생활(100%)을 제외하고 전 교육과정 영역에서 두 개 이상의 실세계 맥락 상황의 소재가 사용되어서 다양한 실세계 맥락 상황의 소재가 사용되었다. 또한 소재의 사용에 있어서 7차 교과서의 ≪수와연산≫을 제외하고 전 교육과정 영역에서 실세계 맥락 상황의 소재 중 생활의 비중이 가장 높았다.
이론/모형
- 예비 분석에서는 이를 바탕으로, 수학적 모델링 관점에서 7차와 2007 개정, 2009 개정 교육과정에 따른 초등학교 수학교과서 4학년 수와연산의 곱셈과 나눗셈을 김민경(2010)의 분석 기준으로 예비 분석하였다. 예비 분석에서 실세계 맥락의 상황 제시의 유무에 대한 결과 분석을 보면, 실세계 맥락의 상황이 제시된 차시 안에서도 실세계 맥락 문제의 수가 다른 경우가 있었다.
성능/효과
- 결과적으로, 7차 교과서에서 2009 개정 교과서로 개정되며 ≪규칙성≫영역을 제외한 모든 영역에서 의사소통 유형이 다양해지고 의사소통 빈도가 증가하였다. 그러나 2007개정 교과서와 2009 개정 교과서 간에는 의사소통의 유형에 차이는 없었다.
- 둘째, 수학적 모델의 표현 방법은 ≪규칙성≫을 제외한 전 영역에서 7차 교과서, 2007 개정 교과서에서 2009 개정 교과서로 교과서의 개정에 따라 수학적 모델의 표현 방법이 다양해진다. ≪규칙성≫에서 수학적 모델이 식과 표만 표현되었던 것은 7차 교육과정과 2007 개정 교육과정, 2009 개정 교육과정 모두 3,4학년 규칙성의 성취수준에서 □, △를 사용하는 식, 계산식, 대응표, 표 만들기와 같이 주로 식과, 표를 나타낸 것과 연관이 있었다.
- 실세계 맥락 상황 제시의 소재는 7차 교과서 ≪도형≫의 생활(100%)을 제외하고 전 교육과정 영역에서 두 개 이상의 실세계 맥락 상황의 소재가 사용되어서 다양한 실세계 맥락 상황의 소재가 사용되었다. 또한 소재의 사용에 있어서 7차 교과서의 ≪수와연산≫을 제외하고 전 교육과정 영역에서 실세계 맥락 상황의 소재 중 생활의 비중이 가장 높았다.
- 의사소통은 이전 2007 개정 교육과정과 현재 2009 개정 교육과정에서도 강조하는 부분이다. 본 연구 결과 7차 교과서에서 2009 개정 교과서로 개정되며 의사소통의 유형은 다양해지고 빈도는 증가하였다. 그러나 2007 개정 교과서와 2009 개정 교과서로 바뀌면서 ≪측정≫에서 의사소통 유형은 감소하고 의사소통의 빈도는 ≪수와연산≫, ≪도형≫, ≪측정≫, ≪확률과통계≫, ≪규칙성≫의 모든 영역에서 감소하였다.
- 셋째, 의사소통의 유형과 빈도를 분석한 결과 ≪규칙성≫영역을 제외한 모든 영역에서 7 차 교과서에서 2009 개정 교과서로 개정되면서 의사소통의 유형이 다양화되고 의사소통의 빈도가 증가하고 있다. 2007 개정 교과서와 2009 개정 교과서간에는 의사소통 유형에서는 차이가 없었고, 의사소통 빈도에서는 교과서의 개정에 따라 의사소통 빈도가 전 영역에서 감소했다.
- 의사소통 빈도에서는 2007 개정 교과서에서 2009 개정 교과서로 개정되며 모든 영역에서 의사소통 빈도가 감소하였다. 시기별 3,4학년 수학교과서를 모델링의 관점에서 분석한 결과는 7차 교과서에서 2009 개정 교과서로 개정되면서 실세계 맥락의 상황의 제시가 증가했고 수학적 모델의 표현 방법이 다양해졌으며 의사소통의 유형이 다양해지고 빈도가 증가하였다. 이는 수학문제의 해결 에서 실세계 맥락과 다양한 수학적 모델의 표현의 중요성이 시대의 변화에 따라 더욱 높아짐을 보여주는 것이다.
- 그러나 2007 개정 교과서와 2009 개정 교과서를 비교했을 때에는 ≪수와연산≫, ≪도형≫에서는 2009 개정 교과서가 더 많은 실세계 맥락의 상황을 제시하고 ≪측정≫, ≪확률과 통계≫에서는 2007 개정 교과서가 더 많은 실세계 맥락의 상황을 제시해, 두 교과서 전체적으로 실세계 맥락의 상황 제시가 차이를 나 타내지 않았다. 실세계 맥락 상황 소재의 다양성 측면에서는 7차 교과서의 ≪도형≫을 제외한 각 교육과정별 영역에서 소재의 다양성을 보였고, 다양한 소재 중 생활 소재가 가장 높은 비율을 보였다. 실생활 맥락 제시의 소재측면에서는 7차 교과서가 ≪도형≫에서 생활 소재만 등장한 것을 제외하고 각 교육과정 교과서에서 2개 이상의 소재를 사용하여 다양한 소재의 사용이 이루어졌다.
- 첫째, 실세계 맥락의 상황 제시 방법을 교육과정에 따라 교과서의 영역별 내용에 대해 분 석한 결과 ≪확률과통계≫를 제외한 모든 영역에서 실세계 맥락의 상황 제시가 7차 교과서에서 2009 개정 교과서로 개정되며 증가하는 경향이 있다. 실세계 맥락의 상황 제시 측면에서 7차 교과서와 2009 개정 교과서의 실세계 맥락의 상황 제시 차시와 문제를 비교했을 때는 ≪확률과통계≫를 제외한 모든 영역에서 비율이 증가하며 실세계 맥락의 상황 제시가 교육과정의 변화에 따라 의미 있는 차이가 나타났다. 그러나 2007 개정 교과서와 2009 개정 교과서를 비교했을 때에는 ≪수와연산≫, ≪도형≫에서는 2009 개정 교과서가 더 많은 실세계 맥락의 상황을 제시하고 ≪측정≫, ≪확률과 통계≫에서는 2007 개정 교과서가 더 많은 실세계 맥락의 상황을 제시해, 두 교과서 전체적으로 실세계 맥락의 상황 제시가 차이를 나 타내지 않았다.
- 첫째, 앞으로의 수학교과서에서 실세계 맥락의 상황 제시를 더욱 확대할 필요가 있다. 연구 결과를 보면 실세계 맥락의 상황 제시는 7차 교과서에서 2009 개정 교과서로 오며 대부분의 영역에서 확대되었음을 볼 수 있었다. 반면, ≪확률과통계≫ 영역은 7차 교과서, 2007 개정 교과서, 2009 개정 교과서로 오며, ≪측정≫영역은 2007 개정에서 2009 개정 교과서로 실세계 맥락의 상황제시가 축소되었다.
- 수학적 모델링 과정의 경우에도 프레젠테이션, 토의와 같은 의사소통이 수학적 모델링 과정 자체에 나타나는 경우도 있었다(Galbriath & Clatworthy, 1990; Lesh, Doerr, Carmona, & Hjalmarson, 2003). 이는 수학적 모델링에서 의사소통이 의미 있게 사용됨을 나타내었고, 수학적 모델링의 관점에서 의사소통을 분석하는 것이 의미가 있음을 알 수 있었다. English와 Waters(2005)는 학급에서 수학적 의사소통을 가능하게 하는 방법으로 수학적 모델링을 제시하며, 수학적 모델링과 의사소통의 상호관계를 나타내었다.
- ≪규칙성≫에서는 7차, 2007 개정, 2009 개정에서는 모두 식과 표를 표현하였다. 이를 통해 7차, 2007 개정 교과서에서 2009 개정 교과서로 개정되며 ≪수와연산≫, ≪도형≫, ≪측정≫, ≪확률과 통계≫에서 수학적 모델의 표현 방법이 다양해짐을 볼 수 있었다. 또한 7차 교과서와 2007 개정 교과서 는 수학적 모델의 표현 방법에서 ≪수와연산≫을 제외하고는 차이가 없어 두 교과서간 수학적 모델 표현의 차이를 보이지 않았다.
- 이를 통해 볼 때, 7차 교과서에서 2009 개정 교과서로 개정되면서 ≪수와연산≫, ≪도형 ≫, ≪측정≫, ≪확률과통계≫에서 의사소통의 빈도가 증가하였고, ≪규칙성≫영역에서는 의 사소통의 빈도가 감소하였다. 2007 개정 교과서와 2009 개정 교과서의 의사소통 빈도 변화에서는 ≪수와연산≫, ≪도형≫, ≪측정≫, ≪확률과통계≫, ≪규칙성≫모든 영역에서 2007 개정 교과서가 의사소통의 빈도가 높았다.
- 이를 통해 실세계 맥락의 상황 제시에서 ≪수와연산≫, ≪도형≫, ≪측정≫, ≪규칙성≫에서 7차에서 2009 개정 교과서로 개정되며, 실세계 맥락이 제시된 차시와, 실세계 맥락의 문제의 비율이 모두 증가한 것을 알 수 있었다. 또한 2007 개정 교과서는 실세계 맥락이 제시된 차시, 실세계 맥락 문제의 비율이 ≪측정≫과 ≪확률과통계≫에서 더 높고, 2009 개정 교과서는 ≪수와연산≫, ≪도형≫에서 높아 두 교과서 간 실세계 맥락에서 차이는 없었다.
- 이를 통해 의사소통 유형의 다양성을 볼 때, ≪수와연산≫, ≪도형≫, ≪측정≫, ≪확률과 통계≫는 7차 교과서에서 2009 개정 교과서로 개정되며 의사소통 유형이 다양해 졌고 ≪규칙성≫에서는 7차 교과서에서 2009 개정 교과서로 오며 의사소통의 유형이 줄어들었다. 2007 개정 교과서와 2009 개정 교과서의 의사소통 유형은 ≪도형≫, ≪확률과통계≫에서는 2009 개정 교과서가 의사소통 유형이 다양하고, ≪측정≫에서는 2007 개정 교과서가 의사소통 유형이 다양했다.
- 첫째, 실세계 맥락의 상황 제시 방법을 교육과정에 따라 교과서의 영역별 내용에 대해 분 석한 결과 ≪확률과통계≫를 제외한 모든 영역에서 실세계 맥락의 상황 제시가 7차 교과서에서 2009 개정 교과서로 개정되며 증가하는 경향이 있다. 실세계 맥락의 상황 제시 측면에서 7차 교과서와 2009 개정 교과서의 실세계 맥락의 상황 제시 차시와 문제를 비교했을 때는 ≪확률과통계≫를 제외한 모든 영역에서 비율이 증가하며 실세계 맥락의 상황 제시가 교육과정의 변화에 따라 의미 있는 차이가 나타났다.
후속연구
- 그러나 전체 소재에서 생활 소재가 차지하는 비중과, 중학교 수학교육 목표의 사회 현상과 자연 현상과의 연계를 고려했을 때, 앞으로의 수학교과서에서는 다양한 소재로 경제·사회·과학·자연 분야에서 초등학생의 수준에 맞는 소재를 적절하게 도입할 필요가 있다.
- 더불어 수학적 모델링의 연구에 있어서 1,2학년의 저학년과 5,6학년의 고학년의 후속 연구가 필요하며 본 연구와 같은 초등학교 교과서 간 비교·분석뿐만 아니라, 수학적 모델링을 수업에서 활용할 때의 효과에 대한 연구가 초등수학에서 활발하게 연구할 필요가 있다.
- 둘째, 수학적 모델의 표현에서 향후 교과서의 ≪도형≫과 ≪규칙성≫에 다양한 수학적 모델링을 적용할 필요가 있다. ≪도형≫에서는 2009 개정 교과서에서 하나의 수학적 모델만 나타났다.
- 따라서 교육과정과 교과서의 연계성과 의사소통의 중요성의 측면에서 볼 때, 수학교과서에서 교육과정에서 추구하는 의사소통의 반영 및 의사소통의 양적·질적인 확대를 위해, 앞으로 수학교과서는 교육과정에서 의사소통의 확대를 반영하여 더 많은 다양한 의사소통 유형의 도입과 의사소통 빈도의 확대가 필요하다.
- 마지막으로, 모델링을 통해 2015 개정 수학과 교육과정에서 강조한 교과역량을 반영하고, 초등 수준에서도 수학적 모델링 활용에 대한 정보의 공유 및 수학적 모델링의 연구 환경이 필요하다. 2015 개정 수학과 교육과정에서는 새롭게 6개의 교과역량을 강조하였다.
- 셋째, 수학적 모델링의 관점에서 의사소통의 유형과 빈도에 대한 교과서와 교육과정에 대한 보다 심층적인 후속 연구가 필요하다. 의사소통은 이전 2007 개정 교육과정과 현재 2009 개정 교육과정에서도 강조하는 부분이다.
- 특히 창의·융합, 정보 처리, 태도 및 실천은 이전에는 시도해 보지 않은 부분으로 모델링과 연계하여 이에 대한 적용 방안에 대한 연구가 필요하다.
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