[논문]일반 자기회귀 이분산 모형을 이용한 시계열 자료 분석

김삼용; 김진아

일반 자기회귀 이분산 모형을 이용한 시계열 자료 분석
Analyzing financial time series data using the GARCH model 원문보기

Journal of the Korean Data & Information Science Society = 한국데이터정보과학회지, v.20 no.3, 2009년, pp.475 - 483

초록
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본 연구에서는 한국종합주가지수 데이터를 이용하여 다양한 비선형 시계열 모형들을 소개하였다. 조건부 평균의 선형 모형으로는 상수항 모형, 자기회귀 모형을 살펴보았으며, 비선형 모형으로는 분계점 자기회귀 모형, 지수적 자기회귀 모형을 살펴보았다. 조건부 분산 모형으로는 일반 자기회귀 이분산 모형과 지수적 일반 자기회귀 이분산 모형, Glosten 등 (1993)의 모형 그리고 일반화 이항멱변환 분계점 일반 자기회귀 이분산 모형을 살펴보았다. 한편, 일반화 이항멱변환 분계점 일반 자기회귀 이분산 모형은 대표적 비대칭성 이분산성 모형인 Zakoian (1993) 모형과 Li와 Li (1996) 모형을 효과적으로 통합할 수 있는 변형된 모형이다. 본 연구에서는, 한국종합주가지수 데이터를 분석하여 새로운 모형의 효율성을 증명하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper we introduced a class of nonlinear time series models to analyse KOSPI data. We introduce the Generalized Power-Transformation TGARCH (GPT-TGARCH) model and the model includes Zakoian (1993) and Li and Li (1996) models as the special cases. We showed the effectiveness and efficiency of...

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 Kim과 Hwang (2005)이 제시한 이항 멱변환 TARCH 모형에 과거 자기의 변동성을 추가한 일반화 이항 멱변환 TGARCH 모형 (Generalized Binary Power-Transformation Threshold GARCH)을 바탕으로 한국종합주가지수 (KOSPI)의 수익률 자료를 이용하여 조건부 평균 모형과 조건부 분산 모형에 선형 및 비선형 형태를 결합시켜 다양한 시계열 모형을 소개하고 비교하고자 한다. 또한 새롭게 제시한 일반화 이항 멱변환 TGARCH (GPT-TGARCH) 모형과 기존의 이분산성 모형들과의 비교를 통하여 재무시계열에서의 우수함을 보이고자 한다. 한편, 본 논문의 연구결과 새롭게 제시된 GPT-TGARCH 모형의 경우 다른 비선형 이분산성 모형들에 비하여 RMSE (root mean squared error) 기준으로 상당히 우수함을 확인 할 수 있다.
본 논문에서는 Kim과 Hwang (2005)이 제시한 이항 멱변환 TARCH 모형에 과거 자기의 변동성을 추가한 일반화 이항 멱변환 TGARCH 모형 (Generalized Binary Power-Transformation Threshold GARCH)을 바탕으로 한국종합주가지수 (KOSPI)의 수익률 자료를 이용하여 조건부 평균 모형과 조건부 분산 모형에 선형 및 비선형 형태를 결합시켜 다양한 시계열 모형을 소개하고 비교하고자 한다. 또한 새롭게 제시한 일반화 이항 멱변환 TGARCH (GPT-TGARCH) 모형과 기존의 이분산성 모형들과의 비교를 통하여 재무시계열에서의 우수함을 보이고자 한다.
본 연구에서는 한국종합주가지수의 수익률 변화에 조건부 평균 모형과 조건부 분산 모형에 선형 및 비선형 모형을 결합시켜 다양한 시계열 모형을 비교하였다. 조건부 평균 모형으로는 상수항 모형, AR 모형, TAR 모형, EAR 모형을 살펴보았으며, 조건부 분산 모형으로는 GARCH 모형, EGARCH 모형, GJR 모형 그리고 새롭게 제시된 GPT-TGARCH 모형을 살펴보았다.
이 절에서는 한국종합주가지수 (KOSPI)의 수익률에 대한 최적의 모형을 구축하고자 다양한 형태의 조건부 평균 모형과 조건부 분산 모형을 제시하고자 한다. 이를 위해 사용된 모형은 앞서 설명한 시계열 모형들을 이용한 형태로 각각의 모형 식은 표 3.

가설 설정

2는 조건부 평균방정식을 상수항으로 두고 조건부 분산 모형으로는 앞서 설명한 GARCH(1,1) 모형, EGARCH(1,1) 모형, GJR(1,1) 모형과 새롭게 제시된 일반화 이항멱변환 모형인 GPT-TGAR CH(1,1) 모형을 결합한 모형들의 모수 추정 결과들이다. 오차항의 분포는 t-분포로 가정, 자유도는 추정하였다. 이 결과는 SAS ETS를 이용하여 추정한 결과이고, 앞으로의 결과들도 역시 이 프로그램을 이용하였다.
2)와 같이 GARCH(1,1) 모형, EGARCH(1,1) 모형, GJR(1,1) 모형, 그리고 Kim과 Hwang (2005)이 제시한 이항멱변환 모형에 과거 자기의 변동성을 추가한 즉, 일반화 이항멱변환 모형인 GPT-TGARCH(1,1) 모형을 고려하였다. 한편, 오차항 ϵ_t는 서로 독립이고 표준정규분포 혹은 t -분포를 따르는 확률변수로 가정하였다.

제안 방법

모의실험의 종합주가지수 (KOSPI) 자료의 기간은 외환위기 포함 유무에 따라 두 기간으로 나누었다. 이는 외환위기 이후 주가의 변동성이 급격히 변화한 것을 고려하여 두 기간에서의 모형들을 비교하기 위함이다.
본 연구에서는 한국종합주가지수의 수익률 변화에 조건부 평균 모형과 조건부 분산 모형에 선형 및 비선형 모형을 결합시켜 다양한 시계열 모형을 비교하였다. 조건부 평균 모형으로는 상수항 모형, AR 모형, TAR 모형, EAR 모형을 살펴보았으며, 조건부 분산 모형으로는 GARCH 모형, EGARCH 모형, GJR 모형 그리고 새롭게 제시된 GPT-TGARCH 모형을 살펴보았다.
한편, 사후검증기간은 2008년 1월 3일 ∼ 2008년 10월 31일로 동일시 두어, 두 기간에서 구한 각 모형별 예측값과 사후검증기간의 실제값들을 바탕으로 RMSE 값들을 비교하여 어느 기간에서의 RMSE 값들이 더 0에 가까운지 비교하고자 한다.

데이터처리

모수추정 방법은 최대가능도법 (MLE)으로 추정하였으며, 사후검증 방법으로는 RMSE (root mean squared error)로 예측값과 실측값간의 차이를 비교하였다.
앞서 추정한 모형별 모수 추정치를 바탕으로 예측값을 구하여 실제값과의 차이를 RMSE를 이용하여 비교한 결과 두 기간별 RMSE는 표 3.6과 표 3.7과 같이 나타났다. 한편, 사후검증기간은 두 기간 모두 동일 시점인 2008년 1월 3일 ∼ 2008년 10월 31일이므로 표 3.
오차항의 분포는 t-분포로 가정, 자유도는 추정하였다. 이 결과는 SAS ETS를 이용하여 추정한 결과이고, 앞으로의 결과들도 역시 이 프로그램을 이용하였다.

이론/모형

ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) 모형은 조건부 분산을 모형화하고 예측하기 위하여 Engle (1982)에 의해 제시되었다. 이는 오차의 이분산성을 고려한 최초의 모형으로 t시점의 오차항 ϵ_t 의 분산이 이전 시점들의 오차값의 선형 결합 식으로 표현된다는 것으로 ARCH(q) 모형은 식 (2.
본 논문에서는 Kim과 Hwang (2005)이 제시한 이항 멱변환 TARCH 모형에 과거 자기의 변동성 ht−1, ht−2, ....
여기서, 조건부 평균 식은 식 (3.1)과 같이 선형 (linear)과 비선형 (nonlinear)을 고려하여 상수항 모형, AR(1) 모형, TAR(1) 모형, EAR(1) 모형을 고려하였으며, 조건부 분산식은 식 (3.2)와 같이 GARCH(1,1) 모형, EGARCH(1,1) 모형, GJR(1,1) 모형, 그리고 Kim과 Hwang (2005)이 제시한 이항멱변환 모형에 과거 자기의 변동성을 추가한 즉, 일반화 이항멱변환 모형인 GPT-TGARCH(1,1) 모형을 고려하였다. 한편, 오차항 ϵ_t는 서로 독립이고 표준정규분포 혹은 t -분포를 따르는 확률변수로 가정하였다.
. 을 추가한 일반화 멱변환 TGARCH모형(이하 GPT-TGARCH로 표기)을 고려해 보았다. GPT-TGARCH(1,1) 모형은 식 (2.

성능/효과

또한, 불확실성이 높은 시기(제2의 금융위기인 현재 시점)의 자료를 예측하기 위해서는 불확실성을 포함한 (IMF 포함) 기간의 자료가 RMSE 기준으로 예측력이 더 높다고 할 수 있었다. 그리고 최종 RMSE 기준에서 예측력을 고려할 때, IMF 포함기간에서의 TAR(1)-GPT-TGARCH(1,1) 모형이 가장 우수하다고 할 수 있다.
다음으로 분산방정식의 경우 IMF 포함기간과 IMF 이후기간의 GPT-TGARCH 모형에서의 전기의 수익률에 대한 비대칭성을 나타내는 모수들의 유의확률 값이 상반된 결과를 나타냈다.
또한, 불확실성이 높은 시기(제2의 금융위기인 현재 시점)의 자료를 예측하기 위해서는 불확실성을 포함한 (IMF 포함) 기간의 자료가 RMSE 기준으로 예측력이 더 높다고 할 수 있었다. 그리고 최종 RMSE 기준에서 예측력을 고려할 때, IMF 포함기간에서의 TAR(1)-GPT-TGARCH(1,1) 모형이 가장 우수하다고 할 수 있다.
또한, 표 3.6에서 GARCH 모형보다는 EGARCH 모형이 그리고 GJR 모형과 GPT-TGARCH 모형이 RMSE 기준으로 예측의 정확도가 더 우수하다고 할 수 있다. 조건부 평균 모형의 경우에도 상수항 모형보다는 선형인 AR(1) 모형에서 그리고 비선형 모형인 TAR(1) 모형과 EAR(1) 모형으로 예측의 정확도가 우수하다고 할 수 있다.
평균방정식의 모수추정결과 IMF 포함기간에는 비대칭성을 나타내는 모수 φ1 과 φ2 가 모두 5% 유의수준에서 유의한 결과를 나타내는 반면, IMF 이후기간에는 비대칭성 모수가 모두 유의하지 않음을 알 수 있다.
평균방정식의 상수항은 두 기간, 모든 모형에서 유의한 것으로 나타났으나 전기의 수익률 계수인 φ1의 추정값의 경우 IMF 포함기간에서는 1% 유의수준에서 유의한 결과를 IMF 이후기간에서는 모두 10% 유의수준에서 조차 유의하지 않는 상반된 결과를 나타냈다.
평균방정식의 상수항은 두 기간과 모든 모형에서 유의한 것으로 나타났으며, 분산방정식의 경우 두 기간 모두 GPT-TGARCH 모형의 상수항을 제외하고는 모든 모형의 추정치가 적어도 5%의 유의수준에서 유의한 것으로 추정되었다. 한편, 새롭게 제시된 상수항-GPT-TGARCH(1,1) 모형의 경우 기존의 다른 ARCH류 모형들에 비하여 LL값도 다소 높은 편이며, Q-통계량 역시 나쁘지 않아 모형이 상대적으로 우수하다고 할 수 있다.
표 3.7 역시 RMSE 결과를 살펴보면 조건부 분산 모형으로는 EGARCH 모형이 가장 예측의 정확도가 높으며, GPT-TGARCH, GJR, GARCH 모형 순으로 나타났다.
또한 새롭게 제시한 일반화 이항 멱변환 TGARCH (GPT-TGARCH) 모형과 기존의 이분산성 모형들과의 비교를 통하여 재무시계열에서의 우수함을 보이고자 한다. 한편, 본 논문의 연구결과 새롭게 제시된 GPT-TGARCH 모형의 경우 다른 비선형 이분산성 모형들에 비하여 RMSE (root mean squared error) 기준으로 상당히 우수함을 확인 할 수 있다.
한편, 새롭게 제시된 GPT-TGARCH 모형의 경우 비대칭적 효과를 나타내는 #, # 의 모수 추정 결과 AR(1)-GPT-TGARCH(1,1) 모형의 IMF 이후 기간을 제외한 모든 모형 및 두 기간에서 유의한 결과를 나타나며, GPT-TGARCH(1,1) 모형은 로그우도함수 값 및 적합도 검증 그리고 사후검증인 RMSE 예측의 정확도 면에서 다른 모형들과 비교하여 상당히 우수함을 알 수 있었다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	대표적인 비대칭성 이분산성 모형에는 무엇이 있는가?	한편, 이분산성 모형의 연구와 더불어 비대칭성 (asymmetric) 이분산성 모형에 관한 연구도 활발하게 진행되었다. 대표적인 비대칭성 이분산성 모형으로는 Zakoian (1993)의 TARCH (Threshold GARCH) 모형과 Li와 Li (1996)의 TARCH (Threshold ARCH) 모형이 있다. 또한, Zakoian (1993) 과 Li와 Li (1996) 의 비대칭성 이분산성에서의 가장 큰 차이인 오차항의 차수를 일반화한 모형으로는 Kim과 Hwang (2005)의 이항 멱변환 TARCH (Binary Power-Transformation Threshold ARCH) 모형이 있다.
	실증분석에서 ARCH(q) 모형은 비교적 긴 시차를 필요로 하는데 이로 인해 어떤 문제점이 있는가?	GARCH 모형 Engle (1982)의 ARCH(q) 모형에서는 현재의 오차항들에 대한 분산을 과거시점의 오차항들에 대한 제곱의 선형함수로 나타냈는데, 실증분석에서 ARCH(q) 모형은 비교적 긴 시차를 필요로 한다는 것이 알려졌다. 이러한 경우 모수들을 동시에 추정하는데 많은 어려움이 있다. 이러한 이유로 Engle (1982)이 제시한 ARCH 모형을 발전시켜 Bollerslev (1986)가 GARCH 모형을 제안하였다.
	EGARCH 모형은 어떤 모형인가?	Nelson (1991)에 의해 제시된 EGARCH (Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) 모형은 GARCH 모형의 변동성에 대한 충격에 대한 대칭적 효과의 결점을 보완하여 변동성의 비대칭성을 반영한 모형으로 오차의 분산 예측 모형에 로그변환을 하였다. GARCH 모형은 분산 예측 모형이므로 항상 0보다 커야 하는 제약조건 때문에 상수항과 오차항의 계수값이 0보다 커야 하지만 EGARCH 모형에서는 분산예측 모형에 로그변환을 함으로써 예측 모형에서 각 계수값이 0보다 커야 하는 제약 조건이 필요가 없게 되었다.

참고문헌 (9)

Bollerslev, T. (1986). Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity. Journal of Econometrics, 31, 307-327.

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Engle, R. F. (1982). Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation. Econometrica, 50, 987-1008.

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Glosten, L. R, Jegannathan, R. and Runkle, D. E. (1993). On the relation between the expected value and the volatility of the nominal excess on stock. Journal of Finance, 48, 1779-1801.

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Kim, S. and Hwang, S. Y. (2005). Binary random power approach to modelling asymmetric conditional heteroscadasticity. Journal of the Korean Statistical Society, 1, 61-71.
Kim, S. Y. and Chong, T. S. (2005). An estimating function approach for threshold-ARCH models. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 16, 33-40.

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Kim, S. Y., Lee, S. D. and Jeong A. R. (2005). On asymmeticity for power transformaed TARGH model. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 16, 271-281.

원문보기 상세보기
Li, C. W. and Li, W. K. (1996). On a double-threshold autoregressive heteroscedastic time series model. Journal of Applied Economics, 11, 253-274.

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Nelson, D. B. (1991). Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach. Econometrica, 59, 347-370.

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Zakoian, J. M. (1993). Threshold ARCH models and asymmetries in volatility. Joutnal of Applied. Econometrics, 8, 31-49.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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