[논문]학업성취도에 따른 초등학교 6학년 학생들의 비례 추론 능력 및 전략 분석

엄선영; 권혁진

doi:10.7468/jksmee.2011.25.3.537

문제 정의

따라서 본 연구는 학생들의 형식적 사고에 매우 중요한 요소인 비례적 추론 능력을 발달시키고자 비례 문제를 해결하는 과정에서 학업성취도에 따라 학생들의 비례 추론 능력에 차이가 있는지 살펴보았다. 또한, 학업성취도에 따라 학생들이 비례 추론 전략을 사용하는 데 있어서 어떠한 특징이 있는지 살펴보고, 이를 바탕으로 올바른 비례적 추론 지도에 대한 방안을 모색해 보고자 한다.
따라서 본 연구에서는 문제의 유형과 문제를 구성하고 있는 숫자가 정수비인지 정수비가 아닌지에 따라 학생들의 비례 추론에 어떠한 영향을 주는지를 살펴보았다.
그러나 대다수의 초등학생들이 비와 비례 개념을 처음 접하였을 때 많은 어려움을 느낀다. 따라서 초등 수학에서 반드시 성공적으로 지도해야 하는 비례 추론의 중요성을 인식하고 본 연구에서는 초등학교 6학년 학생들의 학업성취도에 따른 비례 추론 능력과 비례 추론 전략을 분석하였다.
, 2009)에서 사용한 문항을 바탕으로 연구자가 연구 목적에 맞게 선별, 수정하여 제작하였다. 또한 예비 연구 분석을 통해 학생들이 다양한 전략을 사용하여 비례 문제를 해결할 수 있도록 하기 위하여 비와 비례 단원을 학습한 6학년으로 연구 대상을 선정하고 대상에 맞게 검사지에 제시된 문제의 난이도를 조정하고 검사시간에 적절하게 문제의 개수를 조절하였으며, 앞의 문제가 뒤에 제시된 문제에 영향을 주지 않도록 하기 위해 문제의 제시 순서 등을 재수정 및 보완한 후 2011년 5월 본 연구를 실시하였다. 학생들이 작성한 검사지를 토대로 학업성취도에 따른 학생들의 문제 해결에서 나타나는 비례 추론 능력과 전략의 특징을 분석하였다.
따라서 본 연구는 학생들의 형식적 사고에 매우 중요한 요소인 비례적 추론 능력을 발달시키고자 비례 문제를 해결하는 과정에서 학업성취도에 따라 학생들의 비례 추론 능력에 차이가 있는지 살펴보았다. 또한, 학업성취도에 따라 학생들이 비례 추론 전략을 사용하는 데 있어서 어떠한 특징이 있는지 살펴보고, 이를 바탕으로 올바른 비례적 추론 지도에 대한 방안을 모색해 보고자 한다. 이를 위하여 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다.
본 연구에서는 총 8문항의 비례 문제를 학생들에게 제시하고, 각 문항별로 최대 3가지의 해결전략을 사용하여 문제를 해결하도록 하여 학생들이 비례 문제를 해결할 때 다양한 추론 전략을 활용하는 능력을 살펴보았다. 검사는 K초등학교 6학년 6개 학급을 선정하여 5월 27일 각 반 담임교사의 감독아래 40분간 실시하였으며, 검사의 효과를 높이기 위해 사전에 담임교사에게 검사의 목적과 검사 방법, 검사 실시상의 유의점에 대해 충분히 전달하였다.
본 연구에서는 Van Dooren 외(2009)가 제시한 전략을 토대로 비례식 알고리즘을 이용하는 형식적 접근(algorithm)을 전략 분석틀에 추가하였다. 비록 형식적 접근 방법이 학생들의 추론 과정을 알 수 없다는 단점은 있으나 현재 교육현장에서 비례식을 지도할 때 많이 사용하는 방법으로 이 같은 접근이 학생들의 비례 추론 전략에 어떻게 나타나는지를 알아보고자 하였다. 이 같은 사례는 김숙진(2011)의 연구에서도 비례 추론 문제 해결 내용적 전략 분석틀에 덧셈 추론 전략, 단위 비율 전략, 곱셈 추론 전략 다음으로 비례식의 성질을 이용하는 비례식 알고리즘 전략을 추가하여 학생들의 비례 추론 전략을 분석한 것을 볼 수 있다.
이러한 연구들을 바탕으로 본 연구에서는 비례 추론 능력에 구조적 동질성을 인식하는 능력을 포함시킴으로써 비례 추론 능력을 문제의 유형이나 숫자의 영향 등을 받지 않고 두 비의 구조적 동질성을 잘 인식하여 문제를 해결하고, 자신의 추론 과정을 정확하게 표현하여 다양한 비례 추론 전략을 사용할 수 있는 능력과 비례 상황을 구별하여 인식할 수 있는 능력을 포함한 개념으로 정의하고자 한다.
김민경 · 권혁진(2010)의 연구에서도 수학 문제를 해결할 때 상위권 학생들은 수식의 사용을 선호하였고 문제 해결 과정에서 수학적 기호를 원활하게 사용한 반면 중, 하위권 학생들은 그림이나 표를 이용하는 경우가 더 많았다고 하였다. 이를 통해 본 연구에서도 비례 추론 능력에 비례 문제를 해결할 때 비례 상황을 일반화하고 자신의 사고 과정을 표현하는 능력을 포함시켜야 할 필요가 있다고 생각하였다. 따라서 위의 연구들을 토대로 지필을 통해 분석할 수 있는 표현 양식만을 대상으로 하여 표현 양식을 글과 같은 언어적 표현, 그림이나 표 등과 같은 시각적 표현 그리고 수학적 기호와 수식을 이용한 기호적 표현으로 나누어 학생들이 자신의 비례 추론 과정을 어떤 표현 양식을 가지고 표현하는 지에 대한 표현 능력을 분석하였다.

가설 설정

둘째, 비례 문제를 해결할 때 학업성취도에 따라 학생들이 사용하는 비례 추론 전략에 차이가 있는가?
첫째, 비례 문제를 해결할 때 학업성취도에 따라 학생들의 비례 추론 능력에 차이가 있는가?

제안 방법

본 연구에서는 총 8문항의 비례 문제를 학생들에게 제시하고, 각 문항별로 최대 3가지의 해결전략을 사용하여 문제를 해결하도록 하여 학생들이 비례 문제를 해결할 때 다양한 추론 전략을 활용하는 능력을 살펴보았다. 검사는 K초등학교 6학년 6개 학급을 선정하여 5월 27일 각 반 담임교사의 감독아래 40분간 실시하였으며, 검사의 효과를 높이기 위해 사전에 담임교사에게 검사의 목적과 검사 방법, 검사 실시상의 유의점에 대해 충분히 전달하였다. 또한 학생들이 문제를 해결하는 과정에서 가능하면 자신의 생각을 다양한 방법을 사용하여 자세히 표현할 수 있도록 요구하였다.
먼저 학생들의 비례 추론 전략 활용 능력을 살펴보기 위해 학업성취도별로 문제 해결에 사용한 비례 추론 전략의 개수를 분석하였고, 추론 과정 표현 능력을 살펴보기 위해 학업성취도별로 어떤 표현 양식(기호적, 언어적, 시각적 표현)을 사용하여 표현하였는지 그리고 비례 상황을 올바르게 인식하였는지를 검사지에 나타난 학생들의 풀이과정을 통해 분석하였다. 그리고 학생들이 문제를 해결할 때 [풀이방법 ①]에 가장 먼저 제시한 비례 추론 전략을 조사하여 학업성취도에 따라 문제의 유형과 문제에 제시된 숫자와 관련하여 학생들이 어떤 비례 추론 전략을 선호하는지 비례 추론 전략 사용의 특징을 분석하였다.
이를 통해 본 연구에서도 비례 추론 능력에 비례 문제를 해결할 때 비례 상황을 일반화하고 자신의 사고 과정을 표현하는 능력을 포함시켜야 할 필요가 있다고 생각하였다. 따라서 위의 연구들을 토대로 지필을 통해 분석할 수 있는 표현 양식만을 대상으로 하여 표현 양식을 글과 같은 언어적 표현, 그림이나 표 등과 같은 시각적 표현 그리고 수학적 기호와 수식을 이용한 기호적 표현으로 나누어 학생들이 자신의 비례 추론 과정을 어떤 표현 양식을 가지고 표현하는 지에 대한 표현 능력을 분석하였다.
학업성취도에 따른 비례 추론 전략 사용의 특징을 분석하기 위하여 일반적으로 학생들이 문제를 해결할 때 가장 자신이 있고 선호하는 방법을 첫 번째 방법에 사용한다고 판단하고 [풀이방법①]에서 사용한 전략을 기준으로 각 문항마다 학생들이 선호하는 비례 추론 전략을 비율로 나타내어 분석하였다. 또한 학생들의 풀이방법을 살펴보고 학생들이 문제를 해결할 때 나타나는 비례 추론 전략 사용의 특징을 비교, 분석하였다. 검사지에 제시된 8문제는 다양한 비례 추론 전략 사용의 특징을 살펴보기 위하여 4가지 문제 유형별로 각각 문제를 구성하는 숫자의 비가 모두 정수비인 경우(Integer ratio)와 정수비가 아닌 경우(Non-integer ratio) 2문제씩 구성되었다.
본 연구에서는 학업성취도에 따른 학생들의 비례 추론 능력을 다각도로 분석하기 위하여 비례 추론 능력을 다양한 비례 추론 전략 활용 능력과 자신의 추론 과정을 표현하는 능력, 비례적인 상황을 인식하는 능력으로 구분하여 분석하였다. 먼저 학생들의 비례 추론 전략 활용 능력을 살펴보기 위해 학업성취도별로 문제 해결에 사용한 비례 추론 전략의 개수를 분석하였고, 추론 과정 표현 능력을 살펴보기 위해 학업성취도별로 어떤 표현 양식(기호적, 언어적, 시각적 표현)을 사용하여 표현하였는지 그리고 비례 상황을 올바르게 인식하였는지를 검사지에 나타난 학생들의 풀이과정을 통해 분석하였다. 그리고 학생들이 문제를 해결할 때 [풀이방법 ①]에 가장 먼저 제시한 비례 추론 전략을 조사하여 학업성취도에 따라 문제의 유형과 문제에 제시된 숫자와 관련하여 학생들이 어떤 비례 추론 전략을 선호하는지 비례 추론 전략 사용의 특징을 분석하였다.
먼저 학생들의 학업성취도에 따른 비례 추론 능력은 활용능력, 표현능력과 인식능력으로 나누어 분석하였으며, 그 결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.
모든 문항에서 상위권 학생들은 중 · 하위권 학생들보다 더 많은 비율의 학생들이 수식을 사용한 기호적 표현을 사용하여 자신의 비례 추론 과정을 표현하였다.
본 연구에서는 학업성취도에 따른 학생들의 비례 추론 능력을 다각도로 분석하기 위하여 비례 추론 능력을 다양한 비례 추론 전략 활용 능력과 자신의 추론 과정을 표현하는 능력, 비례적인 상황을 인식하는 능력으로 구분하여 분석하였다. 먼저 학생들의 비례 추론 전략 활용 능력을 살펴보기 위해 학업성취도별로 문제 해결에 사용한 비례 추론 전략의 개수를 분석하였고, 추론 과정 표현 능력을 살펴보기 위해 학업성취도별로 어떤 표현 양식(기호적, 언어적, 시각적 표현)을 사용하여 표현하였는지 그리고 비례 상황을 올바르게 인식하였는지를 검사지에 나타난 학생들의 풀이과정을 통해 분석하였다.
비례 추론 능력은 각 문항별로 학생들이 비례 추론 전략을 다양하게 활용할수록 비례 추론 능력이 뛰어난 것으로 판단하고 학업성취도와 비례 추론 능력과의 관계를 문항별로 학생들이 사용한 비례 추론 전략의 개수를 통해 분석하였다.
설문에 사용한 검사지는 비례추론에 대한 선행연구(Jane-Jane Lo & Watanabe, T., 1997; Kaput, J. J., & West, M. M., 1994; Misailidou, C. & Williams, J., 2003; Van Dooren, W., Bock, D. D., Evers, M., & Verschaffel, L., 2009)에서 사용한 문항을 바탕으로 연구자가 연구 목적에 맞게 선별, 수정하여 제작하였다.
연구자는 학생들이 사용하는 비례 추론 전략을 알아보기 위하여 문헌 연구와 선행 연구를 고찰한 후, 2011년 3월 검사지를 제작하여 초등학교 5, 6학년을 대상으로 2011년 4월 예비연구를 실시하였다. 설문에 사용한 검사지는 비례추론에 대한 선행연구(Jane-Jane Lo & Watanabe, T.
Tourniaire와 Pulos(1985)는 비례 추론 전략을 옳은 전략, 옳지 않은 전략 그리고 비례 추론으로 발전 가능한 전략으로 나누어 설명하였다. 옳은 전략에는 승법적 전략(multiplicative strategy)과 가법적 전략(building up)을 제시하였고, 옳지 않은 전략으로는 문제에 제시된 조건을 무시하고 문제를 해결하는 원시적인 전략과 가장 많이 나타나는 오류로 덧셈 전략(additive strategy)으로 구별하였다. 이 덧셈 전략은 “비의 관계를 한 양에서 다른 양을 빼는 것으로 계산하여 그 차를 다른 비에 적용하는 것”으로서 잘못된 전략이다.
예를 들면 “사탕 3개에 600원이다”라는 말을 통해 일정한 금액으로 살 수 있는 사탕 개수 사이의 비는 알 수 있지만, 600원이 아닌 1800원으로 금액이 증가했을 때 살 수 있는 사탕의 개수가 얼마나 증가하는지 알기 위해서는 비례 추론이 반드시 필요하다. 즉, 사탕의 개수와 금액 사이의 관계는 변하지 않는다는 구조적 동질성을 인식하는 것을 비례 추론으로 보았다. 그리고 Karplus, Pulos와 Stage(1983)는 비례 추론이란 수학적 추론의 한 형태로서 간단히 말하면 비례 상황에 내재해 있는 수학적 관계를 파악하는 것이라고 말할 수 있으며, 다양한 비례 문제를 해결할 수 있는 능력은 물론, 비례적이지 않은 상황과 비례적인 상황을 식별하는 능력을 포함하여 비례 추론 능력이라고 하였다.
박정숙(2008)은 비례 추론 전략에 초점을 맞추어 발달 단계 대신 문제 해결 전략 유형으로 학생들의 추론 전략을 분석하였다. 즉, 학생들의 비례 추론 전략을 덧셈을 주로 사용하는 가법적 전략, 단위화 또는 곱셈을 주로 사용하는 승법적 전략, 비례식 알고리즘과 같은 형식적 전략으로 나누어 학생들의 비례 상황 인지에 대하여 연구하였다. Tourniaire와 Pulos(1985)는 비례 추론 전략을 옳은 전략, 옳지 않은 전략 그리고 비례 추론으로 발전 가능한 전략으로 나누어 설명하였다.
학생들의 비례 추론 능력을 다각도로 분석하기 위하여 본 연구에서는 비례 추론 능력을 다양한 비례 추론 전략 활용 능력과 자신의 추론 과정을 표현 양식을 사용하여 표현하는 능력, 비례적인 상황을 인식하는 능력으로 구분하여 연구 결과를 분석하였다.
또한 예비 연구 분석을 통해 학생들이 다양한 전략을 사용하여 비례 문제를 해결할 수 있도록 하기 위하여 비와 비례 단원을 학습한 6학년으로 연구 대상을 선정하고 대상에 맞게 검사지에 제시된 문제의 난이도를 조정하고 검사시간에 적절하게 문제의 개수를 조절하였으며, 앞의 문제가 뒤에 제시된 문제에 영향을 주지 않도록 하기 위해 문제의 제시 순서 등을 재수정 및 보완한 후 2011년 5월 본 연구를 실시하였다. 학생들이 작성한 검사지를 토대로 학업성취도에 따른 학생들의 문제 해결에서 나타나는 비례 추론 능력과 전략의 특징을 분석하였다.

대상 데이터

본 연구는 서울시에 소재하고 있는 K초등학교 6학년 학생들을 대상으로 하여 총 6학급 173명(남자 87명, 여자 86명)이 연구에 참여하였다. 연구에 참여한 학생들은 5학년 수학에서 비와 비례 단원을 학습하였으므로 비와 비례 개념을 충분히 알고 있는 상태였다.
학생들의 학업성취도는 학기 초에 실시한 진단평가(1회)와 매 단원 학습 후 실시하는 단원평가(5회)를 합산하여 평균 점수가 90점 이상인 학생을 상위권으로, 70점 이상 90점 미만인 학생을 중위권으로, 70점 미만인 학생을 하위권으로 구분하였다. 연구에 참여한 173명의 학생들을 이와 같은 방법으로 구분한 결과 상위권 학생은 73명, 중위권 학생은 68명, 하위권 학생은 32명이었다.

이론/모형

본 연구에서는 Van Dooren 외(2009)가 제시한 전략을 토대로 비례식 알고리즘을 이용하는 형식적 접근(algorithm)을 전략 분석틀에 추가하였다. 비록 형식적 접근 방법이 학생들의 추론 과정을 알 수 없다는 단점은 있으나 현재 교육현장에서 비례식을 지도할 때 많이 사용하는 방법으로 이 같은 접근이 학생들의 비례 추론 전략에 어떻게 나타나는지를 알아보고자 하였다.

성능/효과

예를 들어, <표 Ⅳ-4>를 통해 4번 문항을 살펴보면 하위권 학생들이 선호한 전략은 함수적 접근(F) 한 가지 뿐이었으나 중위권 학생들은 함수적 접근(F), 형식적 접근(A) 두 가지 전략을 선호하였고, 상위권 학생들은 그 보다 더 많은 네 가지 전략, 곱셈적 접근(M), 함수적 접근(F), 단위 인수 접근(U), 형식적 접근(A)을 선호하는 것으로 나타났다. 4번 문항 뿐만 아니라 모든 문항에서 상위권 학생들이 선호하는 전략이 고루 분포가 되어 있는 것으로 보아 학업성취도가 높은 학생일수록 다양한 전략 사용 능력이 뛰어나기 때문에 전략 선호의 분포가 한 가지 전략에 치우쳐 있는 것이 아니라 더 다양한 전략을 사용하여 문제를 해결할 수 있다는 것을 알 수 있었다.
둘째, 학업성취도에 따라 학생들이 선호하는 비례 추론 전략에는 별 차이가 없으나 문제의 유형과 문제에 제시된 숫자들의 비에 따라 학생들이 사용하는 전략에는 차이가 있었다. 가격이나 속력과 관련된 문제의 유형에서는 물건의 1개의 가격을 구하거나 단위 시간 당 갈 수 있는 거리를 구하여 문제를 해결하는 단위 인수 접근을 사용하는 경향이 있었으며, 문제의 숫자가 정수비로 제시된 경우에는 곱셈적 접근으로 문제를 해결하였다. 같은 양 사이의 내적비가 정수비일 때 학생들은 같은 양끼리의 곱셈적 관계를 비교하는 곱셈적 접근을 손쉽게 사용하는 경향이 있는 것으로 나타났다.
가격이나 속력과 관련된 문제의 유형에서는 물건의 1개의 가격을 구하거나 단위 시간 당 갈 수 있는 거리를 구하여 문제를 해결하는 단위 인수 접근을 사용하는 경향이 있었으며, 문제의 숫자가 정수비로 제시된 경우에는 곱셈적 접근으로 문제를 해결하였다. 같은 양 사이의 내적비가 정수비일 때 학생들은 같은 양끼리의 곱셈적 관계를 비교하는 곱셈적 접근을 손쉽게 사용하는 경향이 있는 것으로 나타났다.
혼합물의 비율과 관련된 문제는 전략 사용수가 상대적으로 낮게 나타났는데 이는 두 요소를 섞었을 때 어떤 일이 일어나는지에 대한 이해가 요구되며, 대부분의 혼합물이 같은 단위의 양으로 표현이 되기 때문에 학생들에게 좀 더 혼란이 야기되어 어렵게 느껴지기 때문이다. 그리고 문제를 구성하고 있는 숫자는 정수비가 아닐 경우 오답률이 높은 것으로 나타났는데 이는 모든 숫자가 정수비로 표현이 되는 경우보다는 내적비나 외적비 중 하나라도 정수비가 아닌 경우는 학생들이 비례 추론을 하는데 어느 정도 장애요소가 됨을 알 수 있다.
그리고 문제를 해결하는데 사용하는 표현 양식에서 상위권 학생들은 대부분 수식을 사용하는 반면, 중 · 하위권 학생들은 글이나 그림을 사용하는 차이를 보였다.
예를 들면, 1번 문항을 해결하는데 학생들이 가장 많이 사용한 비례 추론 전략은 상 · 중 · 하위권 학생들 모두 단위 인수 접근(U)이고 2번 문항 또한 곱셈적 접근(M)으로 일치하였다. 다시 말해, 4번과 8번을 제외한 각 문항마다 상․중․하위권 학생들이 가장 많이 사용한 비례 추론 전략이 일치하였으며, 이를 통해 학생들의 학업성취도는 비례 추론 전략 선택에 영향을 주지 않는 것을 알 수 있었다. 그 이유는 다양한 비례 추론 전략을 사용할 수 있는 상위권 학생일지라도 문제마다 가장 적절한 전략을 선택하여 문제를 해결하며 그 전략은 중․하위권 학생들에게도 가장 쉬운 방법으로 선택되었기 때문이다.
둘째, 상위권 학생들은 중․하위권 학생들과 비교하였을 때 동일한 추론 전략을 사용하더라도 글과 그림보다는 기호적 표현(수식, 기호 등)을 사용하여 더욱 간단하고 체계적으로 자신의 추론과정을 나타내었다. 이는 상위권 학생들이 문제를 이해하는 능력이 뛰어나고 문제를 해결하는데 필요한 조건을 잘 구별하여 문제 해결에 활용하는 능력이 더 뛰어났기 때문이다.
둘째, 학업성취도에 따라 학생들이 선호하는 비례 추론 전략에는 별 차이가 없으나 문제의 유형과 문제에 제시된 숫자들의 비에 따라 학생들이 사용하는 전략에는 차이가 있었다. 가격이나 속력과 관련된 문제의 유형에서는 물건의 1개의 가격을 구하거나 단위 시간 당 갈 수 있는 거리를 구하여 문제를 해결하는 단위 인수 접근을 사용하는 경향이 있었으며, 문제의 숫자가 정수비로 제시된 경우에는 곱셈적 접근으로 문제를 해결하였다.
4번과 8번 문항은 문제 유형이 혼합물과 확대/축소 유형으로 학생들에게 낯설고, 문제를 구성하는 숫자의 구조가 정수비가 아닌 것으로 오답률이 다른 문제들보다 상대적으로 높은 문제였다. 따라서 4번, 8번과 같이 오답률이 높은 어려운 문제 일수록 학생들은 비례 추론 과정을 생략하고 비례식 알고리즘에 숫자를 대입하여 쉽게 문제를 해결할 수 있는 형식적 접근을 사용하는 경향이 있는 것을 알 수 있었다.
그러나 하위권은 2, 3번 문항을 제외한 모든 문항에서 3개의 전략을 사용한 학생이 아무도 없었고, 1, 2, 5번 문항을 제외한 모든 문항에서 50%가 넘는 학생들이 추론 전략을 전혀 사용하지 못하는 것으로 나타났다. 따라서 학생들의 학업성취도가 높을수록 다양한 비례 추론 전략을 사용하여 문제를 해결할 수 있다는 사실을 확인할 수 있었다.
또한 1번 문항은 상위권과 중위권의 전략 사용수의 차이가 거의 없고, 상 · 중 · 하위권 학생의 50% 이상이 모두 한 가지 전략, 특히 단위 인수 접근 전략만을 사용한 것으로 나타났다.
마지막으로 난이도가 높은 문제일수록 중․상위권 학생들은 비례 추론 과정을 생략하고 비례식 알고리즘에 숫자를 대입하여 형식적으로 문제를 해결하는 것으로 나타났다. 비와 비례관계를 알고리즘을 사용하여 해결하게 되면 어떤 양의 내적인 관계나 양 사이의 관계라는 현상을 정리하는 수단으로서의 비례 추론의 본질을 잃게 된다.
반면 4번과 8번 문항의 경우, 학업성취도에 따라 선호하는 전략에 약간의 차이가 있는데 4번 문항에서는 중․하위권 학생들의 선호도 모두 함수적 접근(F)이 제일 높은 반면 상위권 학생들의 선호도는 비례식 알고리즘을 사용하는 형식적 접근(A)이 37%로 가장 높은 것으로 나타났다. 8번 문항에서는 상․중위권 학생들이 선호하는 전략은 형식적 접근(A)으로 함수적 접근(F)을 선호한 하위권 학생들과 차이가 있었다.
셋째, 비례식 알고리즘은 비례 문제를 해결하는데 있어서 학생들이 가장 손쉽게 사용할 수 있는 강력한 도구이다. 이러한 사실은 어려운 비례 문제를 접하였을 때 문제에서 요구하는 곱셈적 추론을 하지 못하고 학생들 대부분이 비례식을 사용한 것을 보면 알 수 있다.
셋째, 학업성취도에 따른 비례적 상황 인식능력에 차이가 있음을 확인할 수 있었다. 이는 학생들의 비례 상황 인식을 알아보기 위해 제시한 혼합물 비율과 확대/축소를 다룬 문제에서 상위권 학생들에 비해 많은 중․하위권 학생들이 주어진 비례 상황을 인식하지 못하고 오류를 범하고 있는 것을 통해 알 수가 있었다.
아래 <표 Ⅳ-1>은 문항별 학업성취도와 비례 추론 전략 사용수 사이의 관계를 나타내는 표이다. <표 Ⅳ-1>을 통해 자세히 살펴보면 상위권 학생들은 1, 4, 8번 문항을 제외한 모든 문항에서 50% 이상이 비례 추론 전략을 2개 이상 사용하여 문제를 해결하였고, 중위권은 4, 8번을 제외하고 모든 문제를 80% 이상의 학생들이 적어도 1개의 추론 전략을 사용하여 해결할 수 있었다. 그러나 하위권은 2, 3번 문항을 제외한 모든 문항에서 3개의 전략을 사용한 학생이 아무도 없었고, 1, 2, 5번 문항을 제외한 모든 문항에서 50%가 넘는 학생들이 추론 전략을 전혀 사용하지 못하는 것으로 나타났다.
반면에 하위권 학생은 문제의 답은 올바르게 구했지만, 첫 번째 풀이에서는 어떤 전략을 사용하여 해결하였는지 정확히 알 수 없을 정도로 자신의 생각을 표현하는데 매우 서툴렀으며, 그나마 두 번째 풀이에서 ‘㉯는 ㉮의 2배’라는 표현을 통해 곱셈적 접근 방법을 사용한 것을 알 수 있었다. 이를 통해 상위권 학생일수록 다양한 전략을 좀 더 유연하게 사용하며, 상위 표현 능력인 수식을 사용하여 자신의 추론 과정을 체계적이고 정확하게 표현하는 능력이 뛰어남을 알 수 있다.
첫째, 학생들이 문제를 해결할 때 적절한 비례 추론 전략을 선택함에 있어서 학업성취도에 따라 선호하는 전략의 차이는 없었다. 그러나 학업성취도가 높을수록 문제를 해결할 때 학생들이 선호하는 전략은 다양하게 나타났다.
첫째, 학업성취도가 높은 학생일수록 비례 추론 활용능력이 뛰어남을 알 수 있었다. 초등학교 6학년 학생들을 대상으로 학업성취도별 비례 문제 해결에서의 추론 전략 활용 능력을 관찰한 결과, 상위권 학생들은 다양한 비례 추론 전략 사용하여 문제를 해결할 수 있었고 문제를 이해하고 전략을 적용하는 능력이 뛰어남을 알 수 있었다.
첫째, 학업성취도가 높은 학생일수록 비례 추론 활용능력이 뛰어남을 알 수 있었다. 초등학교 6학년 학생들을 대상으로 학업성취도별 비례 문제 해결에서의 추론 전략 활용 능력을 관찰한 결과, 상위권 학생들은 다양한 비례 추론 전략 사용하여 문제를 해결할 수 있었고 문제를 이해하고 전략을 적용하는 능력이 뛰어남을 알 수 있었다. 반면에 하위권 학생들은 비례 추론 전략을 전혀 사용하지 못하는 학생의 비율이 중․상위권의 학생들보다 현저하게 높았다.
학생들의 학업성취도에 따라 비례 상황과 비례가 아닌 상황을 식별하는 능력에도 차이가 있음을 확인할 수 있었다. 특히, 4번과 8번 문항의 경우 학업성취도에 따라 비례 상황 인식 능력이 크게 차이가 났는데 4번 문항은 상위권 14.
이는 상위권 학생들이 문제를 이해하는 능력이 뛰어나고 문제를 해결하는데 필요한 조건을 잘 구별하여 문제 해결에 활용하는 능력이 더 뛰어났기 때문이다. 학업성취도가 높을수록 상위 표현 능력인 기호적 표현을 사용하여 자신의 추론 과정을 체계적이고 정확하게 표현하는 능력이 뛰어남을 알 수 있었다. 이러한 연구결과는 고등학생을 대상으로 한 김민경 · 권혁진(2010)의 표상에 관련된 연구에서 비례 문제는 아니지만 일반 수학 문제를 해결할 때 상위권 학생들의 표상 활용 능력이 중․하위권 학생들에 비해 현저하게 높으며 수식의 사용을 선호하여 수학적 기호를 원활하게 사용하였다는 연구결과와 일치한다.

후속연구

둘째, 학업성취도에 따라 학생들의 비례 추론 능력에 차이가 있으므로 학습 수준에 따라 다른 문제 상황과 추론 전략을 제시하여 문제를 해결하게 하고, 교사는 학생이 비례 문제를 해결하는 과정에서 사용하기 어려워하는 비례 추론 전략에 대해서 학습하도록 돕는 것도 필요하다.
본 연구에서는 초등학교 6학년만을 대상으로 하였으나 후속 연구에서는 다른 학년 학생들의 비례 추론 능력이나 비례 추론 과정에서 학생들에게 흔히 나타나는 오류에 대한 연구를 한다면 좀 더 올바른 추론 지도를 위한 자료를 제공할 수 있을 것이다.

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	초등 수학에서 이러한 추론 교육의 가장 정점에 위치해 있는 것은 무엇인가?	초등 수학에서 이러한 추론 교육의 가장 정점에 위치해 있는 것이 바로 비례 추론(proportional reasoning)이다. 특히, 비례는 기하, 대수와 같은 다른 영역의 학습 요소들과 밀접하게 연결되어 있으며 중․고등학교에서 배울 수학을 위한 중요한 발판이 된다.
	최근 초등 수학에서 중요시 되는 비례 추론에 초점을 두고 비례 문제를 해결하는 과정에서 학생들의 학업성취도에 따른 비례 추론 능력과 비례 추론 전략 사용의 특징을 분석한 결과는?	이를 위하여 초등학교 6학년 173명을 대상으로 다양한 유형의 비례 문제를 제시하고 최대 세 가지 추론 전략을 사용하여 해결하도록 하였다. 그 결과 상위권 학생들이 하위권 학생들보다 다양한 비례 추론 전략을 활용하고, 표현하고, 인식하는 능력이 뛰어남을 알 수 있었다. 또한 학생들이 선호하는 비례 추론 전략은 학업성취도에 따라서는 별 차이를 보이지 않았으나 문제 유형과 문제에 제시된 숫자들의 비에 따라 차이가 있는 것으로 나타났다. 이를 통해 학생들의 학습 수준에 따른 능력 차이를 반영하여 적절한 비례적 추론 지도가 필요함을 알 수 있었다.
	비례 추론이란 무엇인가?	비례 추론은 수학적 추론의 하나로 초등 수학과 고등 수학을 연결하는 다리 역할을 하며 여러 수학적 개념들 사이의 연결을 가능하게 한다는 점에서 그 중요성을 찾을 수 있다(박정숙, 2009). 비례 추론에 대한 정의는 연구자들 간에 다소 차이는 있으나 일반적으로 비례 추론은 비율, 비, 몫 그리고 분수와 같은 유리수 표현 사이의 총체적 관계에 대한 추론을 의미한다.

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학업성취도에 따른 초등학교 6학년 학생들의 비례 추론 능력 및 전략 분석
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