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시각적 모델을 활용한 비례 추론 수업 분석: 비표, 이중수직선, 이중테이프 모델을 중심으로
An Analysis of Lessons to Teach Proportional Reasoning with Visual Models: Focused on Ratio table, Double Number Line, and Double Tape Diagram

數學敎育學硏究 = Journal of educational research in mathematics, v.27 no.4, 2017년, pp.791 - 810  

서은미 (한국교원대학교 대학원) ,  방정숙 (한국교원대학교) ,  이지영 (팔달초등학교)

초록
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본 연구는 비례 추론에서 형식적 절차의 기계적 사용에 대한 비판과 이에 대한 대안으로 제시되는 시각적 모델의 사용에 대한 연구를 바탕으로 비례 추론 수업에서 시각적 모델의 활용 가능성을 탐색했다. 이를 위해 6학년 2학기 비례식과 비례배분 단원을 비표, 이중수직선, 이중테이프 모델을 활용한 수업으로 구성하여 한 학급에 적용하였다. 그 결과 시각적 모델이 비례의 의미를 이해하고 비의 성질 및 비례식의 성질을 발견하는 데, 그리고 비례식 문제 및 비례배분 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 할 수 있음을 알 수 있었다. 또한 이러한 시각적 모델을 활용하는 데 학생들이 겪는 어려움과 이를 지도할 때 유의할 점이 있음을 확인하였다. 이를 통해 시각적 모델을 적극적으로 활용한 교과서 개발 및 비례 추론 수업에 대한 지도 방안을 마련하는 데 시사점을 제공할 수 있기를 기대한다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

This study explored the possibility of using visual models in teaching proportional reasoning based on the review of previous studies. Many studies on proportional reasoning emphasize that students tend to simply apply formal procedures without understanding the meaning behind them and that using vi...

주제어

#비례 추론   #시각적 모델   #비표   #이중수직선   #이중테이프  

질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
비표를 사용해 학생들을 교육할 때 주의할 점은? 그러나 학생들이 비표에 나타난 수 패턴에만 집중하여 비와 비례 관계를 일반화하는 것을 어려워할 수 있으므로 주의해야 할 필요가 있다(Lobato, Ellis, Charles, & Zbiek, 2016).
이중테이프가 두 양 사이의 곱셈적 불변성을 파악하기에 용이한 특성이 비례 교육의 어떤 부분에 적절하게 활용할 수 있는가? 이중테이프는 주어진 비로 테이프의 수를 고정시켜 두 양 사이의 곱셈적 불변성을 파악하기에 용이하다(Beckmann & Izsák, 2015). 따라서 비표나 이중수직선에 비해 두 양의 곱셈적 불변성을 파악하도록 제시하기에 적절하다. 또한 <에피소드 5>에서 알 수 있듯이, 이중테이프는 비례배분의 원리를 직관적으로 보여주므로 비례배분과 관련된 문제해결에서도 유용하게 활용될 수 있을 것이다.
비례 추론의 의미는 무엇인가요? 많은 연구자들이 비례와 비례 추론에 대한 연구를 진행해왔고, 각 용어에 대해 다양한 의미를 부여해왔다. 예를 들어, Lamon(2007)은 비례 추론을 “비의 불변과 양의 공변을 포함하는 것으로, 두 양 사이의 곱셈적 관계를 식별하고, 같은 관계를 가지는 다른 양으로 확장하는 능력”이라고 주장했다(pp. 637-638). 정은실(2013)은 많은 연구자들의 주장을 정리하여 비례 추론을 “비례, 비, 비율, 비례식과 관련된 추론으로서, 공변과 다중비교의 의미를 포함하는 양적 및 질적 추론”(p. 507)으로 정의하였고, 정영옥(2015) 역시 여러 연구자들의 의견을 종합하여 “다양한 비례 상황에서 곱셈적 관계와 공변성 및 일정성을 이해하며, 비례 상황과 비 비례 상황(nonproportional situation)을 인식하는 수학적 추론의 한 유형”(p. 23)으로 정의하였다. 또한 임재훈과 이형숙(2015)은 비례에서 변하는 측면, 즉 공변 관계를 이해하는 것과 변하지 않는 측면, 즉 불변을 이해하는 것이 중요하다고 제안했다.
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참고문헌 (25)

  1. 교육부(2015). 수학 6-2. 서울: 천재교육. 

  2. 김경선, 박영희(2007). 초등학생의 비례적 추론 지도에 관한 연구. 학교수학, 9(4), 447-466. 

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  3. 김민경(2007). 영상적 표상이 포함된 비례 문제에서 나타난 아동들의 비례적 사고 분석. 수학교육, 46(2), 141-153 

  4. 김양권, 홍진곤(2016). 수 개념 학습에서 수직선의 도입과 활용. 한국초등수학교육학회지, 20(3), 431-456. 

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  5. 안숙현, 방정숙(2008). 5, 6, 7 학년 학생들의 비례추론 능력 실태 조사. 수학교육학연구, 18(1), 103-121. 

  6. 임재훈, 이형숙(2015). 비례 추론을 돕는 시각적 모델에 대하여: 초등 수학 교과서의 비례식과 비례배분 실생활 문제를 대상으로. 수학교육학연구, 25(2), 189-206. 

  7. 정영옥(2015). 초등학교에서 비례 추론 지도에 관한 논의. 수학교육학연구, 25(1), 21-58. 

  8. 정영옥, 정유경(2016). 초등학교 5학년과 6학년의 비례 추론 능력 분석. 학교수학, 18(4), 819-838. 

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  9. 정은실(2013). 초등학교 수학 교과에서의 비례 추론에 대한 연구. 수학교육학연구, 23(4), 505-516. 

  10. Baroody, A. J., & Coslick, R. T. (2005). 수학의 힘을 길러주자. (권성룡 외 역). 서울: 경문사. (영어 원작은 1998년 출판). 

  11. Beckmann, S., & Izsak, A. (2015). Two perspectives on proportional relationships: Extending complementary origins of multiplication in terms of quantities. Journal for Research in Mathematics Education, 46(1), 17-38. 

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  12. Broekman, H., van der Valk, T., & Wijers, M. Teacher knowledge needed to teach ratio and proportion in secondary school mathematics: On using the ratio table. Paper presented to the 25th ATEE Conference, Barcelona, Spain. 

  13. Cramer, K., & Post, T. (1993). Proportional reasoning. The Mathematics Teacher, 86(5), 404-407. 

  14. Dole, S. (2008). Ratio tables to promote proportional reasoning in the primary classroom. Australian Primary Mathematics Classroom, 13(2), 18-22. 

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  16. Kuchemann, D., Hodgen, J., & Brown, M. (2014). The use of alternative double number lines as models of ratio tasks and as models for ratio relations and scaling. In S. Pope (Ed.), Proceedings of the 8th British Congress of Mathematics Education (BCME8) (pp. 231-238). BSRLM: University of Nottingham. 

  17. Lamon, S. J. (2007). Rational numbers and proportional reasoning: Toward a theoretical framework for research. In F. K. Lester(Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning: A Project of the National Council of Teachers of Mathematics (pp. 629-667). Charlotte, NC: Information Age Publishing. 

  18. Lobato, J., Ellis, A. B., Charles, R. I., & Zbiek, R.(2016). 비, 비례, 비례 추론의 필수 이해. 서울: 교우사. (영어 원작은 2010년에 출판). 

  19. Middleton, J. A., & van den Heuvel-Panhuizen, M. (1995). The ratio table. Mathematics Teaching in the Middle School, 1(4), 282-288. 

  20. Murata, A. (2008). Mathematics teaching and learning as a mediating process: The case of tape diagrams. Mathematical Thinking and Learning, 10(4), 374-406. 

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  23. Reys, R. E., Lindquist, M., Lambdin, D. V., & Smith, N. L. (2012). 초등교사를 위한 수학과 교수법. (박성선, 김민경, 방정숙, 권점례 역). 서울: 경문사. (영어 원작은 2009년에 출판). 

  24. Streefland, L. (1985). Search for the roots of ratio: Some thoughts on the long term learning process (towards... a theory). Educational Studies in Mathematics, 16(1), 75-94. 

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  25. Yin, R. (2011). 사례연구방법. (신경식, 서아영, 송민채 역). 서울: 한경사. (영어 원작은 1994년에 출판). 

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