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문제 정의
- 이 연구에서는 2차원 천수방정식에 대해 다중 경사 MUSCL을 적용한 모형을 구성하여 잘 알려진 댐 붕괴 문제에 적용하고 몇 가지 실험 자료와 비교하여 개발된 모형의 적용성을 검토하고자 한다.
제안 방법
- 계산 영역을 상류 공급 수조의 직하류로부터 하류 측벽의 끝까지 범위로 두었다. 측벽은 공급 수조까지 연장되었으며, 상류 끝의 설정을 위해 Testa et al.
- 1차 정확도의 해에 비해 수치 소산이 줄어드는 것이 확인되었다. 또한, 유럽의 IMPACT 사업의 일환으로 실시된 고립된 건물 시험과 모형 도시 홍수 실험과 비교하였다. 건물의 전면에서 저항에 의한 갑작스런 수심 상승과 건물 내부 특정 위치에서 수심의 예측에는 한계가 있었다.
- 먼저, 널리 알려진 부분 댐 붕괴(partial dam-break) 문제에 대해 검토하였다. 200 ×200 m의 평평한 바닥으로 이루어진 영역에서 댐으로 양분되며, 한쪽 끝으로부터 95 m와 170 m 사이에서 댐이 붕괴되는 경우이다(Fennema and Chaudhry, 1990).
- 하류 끝에서 개방경계조건을 부여하였고, 나머지 경계에서 폐쇄경계조건으로 두었다. 모의에서 수심이 0.1 mm보다 작은 경우에는 물이 없는 곳으로 간주하여 영으로 강제하였다. 이것은 Manning의 식에 의한 마찰 관련 생성항의 적용 한계에 따른 것이며, 이 사항에 대한 다른 견해로는 정우창과 박영진(2011)의 검토를 참조할 수 있다.
- 3은 계산 격자를 보인 것으로 3,672개의 삼각형으로 이루어져 있다. 외곽과 내부 댐에서 폐쇄경계조건(closed boundary condition)을 부여하였다.
- 그러나 이것은 상류에서 실험의 재연을 위해 부여한 경계조건이 부정확했기 때문인 것으로 보인다. 이 연구에서는 공급 유량과 수심에 대한 자료에서 음의 값만 영으로 바꾸었으며, 시간 단계마다 경계에 접한 계산 격자들의 표고를 공급수조 내부의 측점, P1의 수위와 비교하여 수심과 유량이 가급적 실제에 부합되도록 노력하였다. 측점, P2에서 약 7 s 이전에 나타난 수심 요동은, 실험 자료의 검토에서 살펴보았듯이, 초기 유량 공급이 간헐적이었기 때문이다.
대상 데이터
- 계산 영역을 실험 영역과 일치시켰으며, 총 18,304개의 삼각형 격자로 분할하였다. 계산 격자에서 한 변의 길이는 상류 저수조에서 약 0.
- 07 m인 총 15,469개의 삼각형 격자로 분할하였다. 보다 세분된 격자에 대한 결과와 비교하기 위해 한 변의 길이가 외곽에서 0.05 m, 건물에서 0.01 m인 삼각형으로도 분할하였고, 이 때 총 격자의 수는 32,257개이다. 상류 끝에서 경계조건으로 측점, P1의 수심과 실험에서 공급된 유량을 설정하였다.
- 9(b)에 보이듯이, 사진의 우측 위 공급 수조 내부에 있다. 실험에서 이용된 유량은 세 가지 규모(대, 중, 그리고 소 홍수)로 구분되어 있으며, 그 중에서 복잡한 흐름이 예상되는 대홍수를 선정하였다. 실험에서 초기 조건은 물이 없는 경우로 가정되었으며, Manning 계수는 0.
- (2007)이 제시한 절차를 따랐다. 한 변의 길이가 건물에서 약 0.015 m, 외곽에서 모두 약 0.07 m인 총 15,469개의 삼각형 격자로 분할하였다. 보다 세분된 격자에 대한 결과와 비교하기 위해 한 변의 길이가 외곽에서 0.
데이터처리
- 다중 경사 기법에 의한 경사의 제한에는 minmod 제한자가 이용되었다. 개발된 수치 모형을 부분 댐 붕괴 문제에 적용하여 1차 정확도의 해와 비교하였다. 1차 정확도의 해에 비해 수치 소산이 줄어드는 것이 확인되었다.
이론/모형
- Eq. (10)을 풀기 위한 근사 Riemann 해법으로 HLL형(HLL-type) 기법 중에서 가장 최근에 제안되었으며 가장 효율적인 기법으로 알려진 HLLL 기법을 적용하였다(van Leer, 2006).
- 개발된 모형을 유럽의 IMPACT (Investigation of extreMe flood Processes And unCerTainty) 사업의 일환으로 실시된 고립된 건물 시험(isolated building test)과 모형 도시 홍수 실험(model city flooding experiment)에 적용하였다. 그 중에서 고립된 건물 시험은 Fig.
- 비구조 격자에서 생성항이 고려된 보존형 천수방정식에 대한 수치모형의 구성에서 흐름률의 계산에 HLLL 기법을 이용하였으며, 2차 정확도의 해를 구하기 위해 다중 경사 MUSCL을 도입하였다. 다중 경사 기법에 의한 경사의 제한에는 minmod 제한자가 이용되었다.
- 시간에 대한 2차 정확도의 해를 얻기 위해 2차 RungeKutta 방법을 적용하였으며, 계산 시간을 줄이기 위해 수정 단계에서만 Riemann 해법이 적용되는 MUSCL-Hancock 기법을 사용하였다(van Leer, 2006).
- 정확해가 존재하는 1차원 문제에 몇 가지 제한자를 비교한 결과, minmod 제한자에 의한 결과가 대체로 무난함을 확인하였으며, 이 연구에서는 minmod 제한자에 의한 Q 방법의 다중 격자 기법이 적용되었다.
- 계산 영역을 상류 공급 수조의 직하류로부터 하류 측벽의 끝까지 범위로 두었다. 측벽은 공급 수조까지 연장되었으며, 상류 끝의 설정을 위해 Testa et al. (2007)이 제시한 절차를 따랐다. 한 변의 길이가 건물에서 약 0.
성능/효과
- 개발된 수치 모형을 부분 댐 붕괴 문제에 적용하여 1차 정확도의 해와 비교하였다. 1차 정확도의 해에 비해 수치 소산이 줄어드는 것이 확인되었다. 또한, 유럽의 IMPACT 사업의 일환으로 실시된 고립된 건물 시험과 모형 도시 홍수 실험과 비교하였다.
- 개발된 모형으로 댐 붕괴나 돌발 홍수에 의한 도시 침수와 같은 복잡한 현상을 잘 재연할 수 있음이 확인되었다. 비록 비교 대상이 가상의 문제와 실험실 실험에 국한되었으나, 향후 적응형 격자 세분(adaptive mesh refinement)이나 혼성 Riemann 해법(hybrid Riemann solver) 등의 도입을 통해 실제 하천에서 복잡한 흐름 현상에 대한 적용성을 높일 수 있을 것으로 기대된다.
후속연구
- 개발된 모형으로 댐 붕괴나 돌발 홍수에 의한 도시 침수와 같은 복잡한 현상을 잘 재연할 수 있음이 확인되었다. 비록 비교 대상이 가상의 문제와 실험실 실험에 국한되었으나, 향후 적응형 격자 세분(adaptive mesh refinement)이나 혼성 Riemann 해법(hybrid Riemann solver) 등의 도입을 통해 실제 하천에서 복잡한 흐름 현상에 대한 적용성을 높일 수 있을 것으로 기대된다.
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