정적분을 이용한 자연로그 학습은 구체적인 개념이미지 형성이 어려운 부분이 존재하기에 역동적인 프로그램을 이용하여 시각적 추론의 과정을 거치는 접근방법이 개념이미지를 형성하는데 중요한 역할을 한다. 즉, 역동적인 프로그램 환경에서 학습하는 것은 학생들에게 수학적 개념을 구체적으로 인식하게 하는 유용한 교수 학습 방법이 될 것이다. 이에 본 연구는 전공학부 학생들이 역동적 프로그램이며 시각적 도구인 GeoGebra 환경에서 정적분을 이용한 자연로그 그래프를 이해하는 과정을 탐구하고 분석하여 그 특징을 알아보았다. 그 결과, GeoGebra 프로그램 환경을 바탕으로 학습하는 것은 학생들 스스로 오류를 수정하고 조작하는 활동을 행할 수 있어서 주어진 문제에 대한 해결과정을 직접 관찰 분석할 수 있다는 장점이 있다는 것을 알게 되었다. 또한, 역동적인 프로그램인 GeoGebra를 이용하는 것은 정적분을 이용한 자연로그 그래프를 보다 구체적으로 인식 이해 할 수 있고 개념이미지를 효과적으로 형성할 수 있다는 것을 확인할 수 있었다. 따라서 역동적인 프로그램 환경을 활용하는 것은 단순한 암기 주입식 교육환경에서 경험할 수 없었던 실체적인 수학개념에 대하여 접근할 수 있는 기회를 제공한다는 교육적 시사점을 제시하였다.
정적분을 이용한 자연로그 학습은 구체적인 개념이미지 형성이 어려운 부분이 존재하기에 역동적인 프로그램을 이용하여 시각적 추론의 과정을 거치는 접근방법이 개념이미지를 형성하는데 중요한 역할을 한다. 즉, 역동적인 프로그램 환경에서 학습하는 것은 학생들에게 수학적 개념을 구체적으로 인식하게 하는 유용한 교수 학습 방법이 될 것이다. 이에 본 연구는 전공학부 학생들이 역동적 프로그램이며 시각적 도구인 GeoGebra 환경에서 정적분을 이용한 자연로그 그래프를 이해하는 과정을 탐구하고 분석하여 그 특징을 알아보았다. 그 결과, GeoGebra 프로그램 환경을 바탕으로 학습하는 것은 학생들 스스로 오류를 수정하고 조작하는 활동을 행할 수 있어서 주어진 문제에 대한 해결과정을 직접 관찰 분석할 수 있다는 장점이 있다는 것을 알게 되었다. 또한, 역동적인 프로그램인 GeoGebra를 이용하는 것은 정적분을 이용한 자연로그 그래프를 보다 구체적으로 인식 이해 할 수 있고 개념이미지를 효과적으로 형성할 수 있다는 것을 확인할 수 있었다. 따라서 역동적인 프로그램 환경을 활용하는 것은 단순한 암기 주입식 교육환경에서 경험할 수 없었던 실체적인 수학개념에 대하여 접근할 수 있는 기회를 제공한다는 교육적 시사점을 제시하였다.
The purpose of this study is to find the way to build the concept image about natural logarithm and the method is using definite integral in calculus under GeoGebra environment. When the students approach to natural logarithm, need to use dynamic program about the definite integral in calculus. Visi...
The purpose of this study is to find the way to build the concept image about natural logarithm and the method is using definite integral in calculus under GeoGebra environment. When the students approach to natural logarithm, need to use dynamic program about the definite integral in calculus. Visible reasoning process through using dynamic program(GeoGebra) is the most important part that make the concept image to students. Also, for understand mathematical concept to students, using GeoGebra environment in dynamic program is not only useful but helpful method of teaching and studying. In this article, about graph of natural logarithm using the definite integral, to explore process of understand and to find special feature under GeoGebra environment. And it was obtained from a survey of undergraduate students of mathmatics. Also, relate to this process, examine an aspect of students, how understand about connection between natural logarithm and the definite integral, definition of natural logarithm and mathematical link of e. As a result, we found that undergraduate students of mathmatics can understand clearly more about the graph of natural logarithm using the definite integral when using GeoGebra environment. Futhermore, in process of handling the dynamic program that provide opportunity that to observe and analysis about process for problem solving and real concept of mathematics.
The purpose of this study is to find the way to build the concept image about natural logarithm and the method is using definite integral in calculus under GeoGebra environment. When the students approach to natural logarithm, need to use dynamic program about the definite integral in calculus. Visible reasoning process through using dynamic program(GeoGebra) is the most important part that make the concept image to students. Also, for understand mathematical concept to students, using GeoGebra environment in dynamic program is not only useful but helpful method of teaching and studying. In this article, about graph of natural logarithm using the definite integral, to explore process of understand and to find special feature under GeoGebra environment. And it was obtained from a survey of undergraduate students of mathmatics. Also, relate to this process, examine an aspect of students, how understand about connection between natural logarithm and the definite integral, definition of natural logarithm and mathematical link of e. As a result, we found that undergraduate students of mathmatics can understand clearly more about the graph of natural logarithm using the definite integral when using GeoGebra environment. Futhermore, in process of handling the dynamic program that provide opportunity that to observe and analysis about process for problem solving and real concept of mathematics.
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문제 정의
따라서 본 연구는 이러한 문제점을 인식하여 정적분을 이용한 자연로그를 이해하고 이에 대한 구체적인 개념을 형성할 수 있는 효율적이고 적절한 수학교육방법을 제시하고자 한다. 즉, 지필환경이 중심이 되는 기존의 교육방식을 지양하고 역동적인 수학 프로그램인 GeoGebra 환경에서 정적분에 대한 개념이미지를 구축하여 관련 개념들을 구체적으로 형성해가는 과정을 알아보고자 한다.
단순하게 공식을 암기하여 단편적으로 이해하는 것이 아니라 GeoGebra 환경을 통한 시각적인 이해과정을 바탕으로 구체적인 개념이 형성되고 실제적인 이해가 이루어지도록 학습하고 지도하는 것이 필요한 부분이다. 따라서 학생들이 자연로그에 대한 구체적인 개념을 형성하고 이에 대한 개념이미지를 생성하여 올바른 개념 사고 과정을 진행해갈 수 있도록 지도하고자 하였다. 이를 위하여 전공학부 1학년 학생 2명을 대상으로 3회에 걸친 수업을 진행하였으며 활동 과정을 관찰하고 분석한 결과는 다음과 같다.
또한, 정적분의 상한 x는 슬라이더 도구를 통해 변수 이름을 ‘x’ 로 정의하여 x의 연속적인 변화에 따른 정적분을 구하고자 하였다.
또한, #인 x = e라는 개념을 도입하여 이를 GeoGebra 환경을 통해서 확인하며 이를 통하여 학생들이 자연로그에 대한 올바른 개념이미지를 구축하고 구체적인 개념을 형성해 나가는 과정을 살펴보며 그 특징을 알아보고자 한다.
본 연구는 전공학부생들이 GeoGebra 환경에서 정적분을 이용한 자연로그함수 y = ln x의 그래프를 그리는 과정을 살펴보고 분석한다. 특히 정적분을 통한 자연로그를 이용하여 넓이가 #인 x가 #임을 자연로그 그래프를 통하여 동적으로 인식하게 하고자 한다.
본 연구에서는 전공학부생들이 정적분을 이용한 자연로그에 대한 구체적인 개념형성을 위한 방법으로 역동적 프로그램인 GeoGebra 환경을 통해 접근하고자 하며 이 과정을 분석하고 탐구한다. 또한, #인 x = e라는 개념을 도입하여 이를 GeoGebra 환경을 통해서 확인하며 이를 통하여 학생들이 자연로그에 대한 올바른 개념이미지를 구축하고 구체적인 개념을 형성해 나가는 과정을 살펴보며 그 특징을 알아보고자 한다.
본 연구의 목적은 자연로그를 배우는 전공학부생들이 시각적 도구이며 역동적 프로그램인 GeoGebra 환경에서 정적분을 이용하여 자연로그 그래프를 그려보고 이를 통하여 자연로그의 올바른 개념을 형성하는 과정을 알아보는 것이다. 또한, 자연로그 그래프를 이용하여 e의 개념을 대수적 접근이 아닌 기하학적으로 접근하는 방법을 도입하여 학생들이 GeoGebra 환경에서 개념 정의와 개념 이미지가 상호작용하는 형태로 학습할 수 있게 하고 구체적인 개념을 형성할 수 있도록 하며 자연로그의 지도가 가질 수 있는 수학 교육적 의의에 대해서 살펴보는 것이기도 하다.
이제 이하에서는 전공학부생들을 대상으로 역동적인 프로그램이며 시각적 도구인 GeoGebra 환경에서 정적분을 이용한 자연로그 그래프를 그려보고 문제를 해결하는 과정을 탐구 · 분석하여 개념이미지를 형성해가는 양태를 알아보고자 한다. 이를 통하여 학습자에게 정적분을 이용한 자연로그에 대하여 구체적인 개념을 형성하도록 하는 효과적이고 효율적인 교수학적 전략을 제공하고 학생 스스로 구체적인 개념을 형성해가는 교육적 시사점도 제시하고자 한다.
이제 이하에서는 전공학부생들을 대상으로 역동적인 프로그램이며 시각적 도구인 GeoGebra 환경에서 정적분을 이용한 자연로그 그래프를 그려보고 문제를 해결하는 과정을 탐구 · 분석하여 개념이미지를 형성해가는 양태를 알아보고자 한다.
따라서 본 연구는 이러한 문제점을 인식하여 정적분을 이용한 자연로그를 이해하고 이에 대한 구체적인 개념을 형성할 수 있는 효율적이고 적절한 수학교육방법을 제시하고자 한다. 즉, 지필환경이 중심이 되는 기존의 교육방식을 지양하고 역동적인 수학 프로그램인 GeoGebra 환경에서 정적분에 대한 개념이미지를 구축하여 관련 개념들을 구체적으로 형성해가는 과정을 알아보고자 한다.
가설 설정
S1 : (화면을 가리키며) 교수님, 리만합을 이용한 정적분은 넓이 인데 값이 왜 음수로 나온 거죠?
S2 : 교수님, 근데 왜 상한 변수가 x로 입력이 안 되지요? 중복되었다고 오류 메시지만 나오는데요.
S2 : 아니요, 제대로 한 것 같은데..
제안 방법
을 구하고 x 즉, a의 연속적인 변화에 따른 정적분의 변화과정을 좌표 A(a, 리만합)로 설정하였다. GeoGebra의 자취그리기 기능을 이용하여 자연로그 y = ln x의 그래프를 점A의 자취로 관찰하였다[그림3].
관찰 자료는 학생의 컴퓨터에 자동 녹화 프로그램을 설치하여 학생들의 문제해결 과정을 녹화하였으며 전체적인 수업 촬영을 위해 교실 맨 뒤편에 캠코더를 설치하여 수업을 녹화하였다. 문서자료는 학생들이 기록한 자료와 연구자가 연구를 진행하면서 기록한 자료로 구성하였다.
에 관하여 x = 1에서 임의의 양의 실수 x까지의 자연로그 그래프를 정적분의 정의를 이용하여 형식적 개념정의를 했다. 다음으로 GeoGebra 환경을 이용하여 자연로그 그래프를 알아보고 정적분과의 연관성을 통해 자연로그 그래프를 작성하는 과정을 거친다. 이를 통하여 정적분을 이용한 자연로그의 개념형성을 유도하는 활동을 하는 것으로 50분간 진행되었다.
두 번째 시간에는 이미 학습한 극한에 의한 e값과 자연로그의 정적분에 의한 정의를 이용하여 x = 1에서 임의의 양의 실수 x까지의 넓이가 1인 x의 값을 활동지를 통해 찾아보고 자연로그 그래프와 연관지어 e값을 자연로그로 도입하는 과정을 관찰하는 방식으로 50분간 진행되었다.
이는 정적분을 이용한 자연로그의 개념정의와 개념 형성이 명확하지 않다는 것을 보여주는 것이다. 따라서 GeoGebra 환경에서 자연로그의 그래프를 직접 확인해보는 방식을 통하여 자연로그의 시각적인 개념이미지 형성을 시도하여 명확한 개념 형성을 유도하였다.
다음으로 GeoGebra 환경을 이용하여 자연로그 그래프를 알아보고 정적분과의 연관성을 통해 자연로그 그래프를 작성하는 과정을 거친다. 이를 통하여 정적분을 이용한 자연로그의 개념형성을 유도하는 활동을 하는 것으로 50분간 진행되었다.
특히 정적분을 통한 자연로그를 이용하여 넓이가 #인 x가 #임을 자연로그 그래프를 통하여 동적으로 인식하게 하고자 한다. 이를 통하여 정적분을 이용한 자연로그의 수학적 개념 정의와 학생들이 가지고 있는 개념 이미지 사이의 상호작용을 알아보고 명확한 개념을 형성해나가는 과정을 분석하고자 하며 방법으로는 질적 사례 연구 방법을 선택하였다.
고등 수학적 사고 과정으로서의 개념 정의와 개념 이미지 사이의 상호작용은 [그림4]와 같은 모델링 과정을 따라서 진행되게 되며 위와 같은 개념형성 활동을 통하여 정적 분을 이용한 자연로그에 대한 구체적인 개념형성이 가능하게 된다. 즉, [그림4]의 경우와 같이 새로운 형식적 개념 정의를 먼저 한 후, 구체적인 개념 형성을 유도하기 위하여 역동적 프로그램인 GeoGebra 환경을 활용하였고 이를 통해 시각적인 이해를 가능하게 하여 구체적이고 실제적인 개념이 형성되고 개념이미지가 생성될 수 있도록 하였다.
대상 데이터
본 연구 대상으로는 익산시 소재 A대학교 자연과학대학 수학과에 재학 중인 1학년 여학생 2명(S1, S2)을 선정하였고 두 학생의 전 학기 수학성적은 보통이었다. 표본이 되는 대상학생의 선정에 있어서는 성적보다 본인의 의사를 명료하게 진술하고 설명할 수 있는 것과 연구에 적극 참여할 수 있는지를 우선으로 고려했다.
따라서 학생들이 자연로그에 대한 구체적인 개념을 형성하고 이에 대한 개념이미지를 생성하여 올바른 개념 사고 과정을 진행해갈 수 있도록 지도하고자 하였다. 이를 위하여 전공학부 1학년 학생 2명을 대상으로 3회에 걸친 수업을 진행하였으며 활동 과정을 관찰하고 분석한 결과는 다음과 같다.
성능/효과
넷째, 학생들은 정적분과 넓이의 관계에서 인지갈등과 오개념이 발생했지만, GeoGebra 환경에서 자연로그 그래프를 그려보는 활동을 통해 인지갈등과 오개념을 극복하게 되었고 올바른 개념을 형성할 수 있었다.
다섯째, 학생들은 정적분을 통해 자연로그를 정의하는 과정에서 e를 기하학적으로 도입할 수 있었고 이를 통하여 e에 대한 직관적 이해를 향상시킬 수 있었으며 개념형성도 명확하게 할 수 있었다.
둘째, GeoGebra 환경에서 슬라이더의 애니메이션 기능을 이용하여 분할한 개수 n에 대한 x의 연속적인 변화에 따른 정적분의 변화와 이것과 연결된 자연로그의 역동적 그래프를 이해하고 지필환경에서 얻을 수 없었던 구체적인 개념을 형성할 수 있게 되었다.
위와 같은 연구 결과를 통하여 역동적 프로그램인 GeoGebra 환경에서 정적분을 이용하여 접근하는 것은 자연로그를 보다 구체적이고 명확하게 이해할 수 있고 올바른 개념을 형성할 수 있으며 엄밀성의 수준에 있어서 간결하고 효과적인 방법이 된다는 것을 알 수 있었다. 또한, GeoGebra 환경에서 오류를 수정하고 조작하는 활동은 문제해결 과정을 관찰하고 분석할 수 있는 기회를 제공하여 개념정의와 개념이미지 사이의 상호작용에 대한 올바른 사고과정을 가능하게 하고 명확한 개념을 형성하는데 도움을 준다는 것을 알 수 있었다.
셋째, GeoGebra 환경에서 정적분을 이용한 자연로그의 그래프를 그리면서 정적분과 넓이의 관계를 알게 되었고 정적분의 성질을 인식하여 수학적 개념을 구체적으로 형성할수 있었고 시각적인 이해를 통하여 개념이미지를 효과적으로 생성하는데 도움이 되었다.
위와 같은 연구 결과를 통하여 역동적 프로그램인 GeoGebra 환경에서 정적분을 이용하여 접근하는 것은 자연로그를 보다 구체적이고 명확하게 이해할 수 있고 올바른 개념을 형성할 수 있으며 엄밀성의 수준에 있어서 간결하고 효과적인 방법이 된다는 것을 알 수 있었다. 또한, GeoGebra 환경에서 오류를 수정하고 조작하는 활동은 문제해결 과정을 관찰하고 분석할 수 있는 기회를 제공하여 개념정의와 개념이미지 사이의 상호작용에 대한 올바른 사고과정을 가능하게 하고 명확한 개념을 형성하는데 도움을 준다는 것을 알 수 있었다.
첫째, 학생들은 활동 초기 정적분 상한의 변수와 슬라이더 변수를 동일하게 입력하는 오류를 겪었다. 그러나 학생과 교사와의 상호작용을 통해 오류를 수정하고 조작하는 활동을 거쳐 문제를 해결하였고 그 과정 속에서 슬라이더에 나타나는 변수의 관계를 이해하고 완성할 수 있었다.
후속연구
덧붙여, 학생들에게 실제적인 개념이미지 형성이 쉽지 않은 형식적 개념 정의에 관하여 명확한 개념을 형성할 수 있도록 역동적인 프로그램의 효과적이고 적절한 활용이 있어야 할 것이고 이를 위해 시각적이고 역동적인 프로그램의 개발과 연구도 계속되어야 할 것이다. 또한, 역동적인 활동 과정을 통하는 방법이 개념 정의와 개념 이미지간의 상호작용을 가능하게 할 것이고 올바른 개념적 사고로 이르게 하는 교수ㆍ학습이 이루어지는 수학교육이 될 수 있을 것이라는 교육적 시사점도 얻을 수 있을 것이다.
따라서 자연로그 뿐 만 아니라 지수함수와 일반로그함수 그리고 다른 부분의 교수ㆍ학습 방법에 있어서도 교수학적 전략의 신장과 확립을 위해서 역동적 프로그램 특히 GeoGebra 환경에 대한 보다 구체적이고 실제적인 연구가 이루어져야 할 것이다.
즉, 정적분을 이용한 자연로그를 학습할 때는 학습자가 이해하기 어렵다고 하여 간단하게 만들어진 수학적 공식을 제공하는 것보다 명확한 수학적 정의와 증명을 포함하는 사고의 발전을 유도하는 것이 중요하다. 따라서 현상에 대한 개념과 지각적인 부분을 계속 키워가며 생각을 표현하고 이에 역동적인 프로그램을 활용하여 접근을 시도하는 것이 자연스럽고 정교한 발전을 이끌 수 있을 것이며 자연로그에 대한 개념이미지를 형성하는데 도움이 될 것이다[19].
덧붙여, 학생들에게 실제적인 개념이미지 형성이 쉽지 않은 형식적 개념 정의에 관하여 명확한 개념을 형성할 수 있도록 역동적인 프로그램의 효과적이고 적절한 활용이 있어야 할 것이고 이를 위해 시각적이고 역동적인 프로그램의 개발과 연구도 계속되어야 할 것이다. 또한, 역동적인 활동 과정을 통하는 방법이 개념 정의와 개념 이미지간의 상호작용을 가능하게 할 것이고 올바른 개념적 사고로 이르게 하는 교수ㆍ학습이 이루어지는 수학교육이 될 수 있을 것이라는 교육적 시사점도 얻을 수 있을 것이다.
위의 사례를 통하여 알 수 있듯이 새롭게 개념 정의를 한 후에는 GeoGebra 환경을 통해 다양한 문제를 다루어보게 하여 올바른 개념 형성이 가능하도록 지도하는 것이 올바른 개념이미지를 생성하는 좋은 방법이 될 것이다. 즉, 개념 정의를 다시 언급하고 확인하여 구체적인 개념이 형성되게 하여 개념 정의와 개념이미지 사이에 오류가 없이 명확한 개념을 형성할 수 있도록 해야 할 것이다.
위의 사례를 통하여 알 수 있듯이 새롭게 개념 정의를 한 후에는 GeoGebra 환경을 통해 다양한 문제를 다루어보게 하여 올바른 개념 형성이 가능하도록 지도하는 것이 올바른 개념이미지를 생성하는 좋은 방법이 될 것이다. 즉, 개념 정의를 다시 언급하고 확인하여 구체적인 개념이 형성되게 하여 개념 정의와 개념이미지 사이에 오류가 없이 명확한 개념을 형성할 수 있도록 해야 할 것이다.
특히, 수학 개념 학습에 있어서 발생하는 인지적 갈등 즉, 개념 정의와 개념 이미지간의 간격에서 발생하는 문제들은 수학학습능력의 격차와는 상관없이 발생[4]하므로 이러한 인지적 갈등과 갈등이 생기는 원인부터 접근해야 할 것이다. 즉, 지필환경의 단면적인 속성이 중심이 되는 수학환경에서 어려움이 따르는 시각화에 대한 구체적인 접근이 있어야만 효과적인 개념이미지 학습방법을 찾을 수 있게 될 것이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
개념이란?
개념이란 특정 사물이나 사건의 상징적 인상들이 공통적인 속성 혹은 특성을 기초로 하여 고유한 이름이나 기호로 나타내어 질 수 있도록 한 덩어리로 뭉쳐질 수 있는 총체로서 개개의 대상에서 특수성은 버리고 공통적인 속성 혹은 특성을 추상화하여 만들어낸 것이다[5]. 따라서 학문분야에서 개념이라는 것은 해당 학문 분야의 원리와 함께 기본 구조를 구성하는 것이며 교과학습에 있어서 반드시 학습되어야 하는 것이다.
무엇 때문에 수학적인 개념들이 구체적인 맥락에서 이해하기가 어려워 추상화의 과정까지 이르기 힘든 부분이 존재하는가?
그러나 현재의 수학교육환경은 공식을 암기하여 단편적으로 적용되는 경우가 대부분 이어서 많은 개념들이 기호와 부호의 나열처럼 느껴지고 인식되는 경우가 많다. 이 때문에 수학적인 개념들이 구체적인 맥락에서 이해하기가 어려워 추상화의 과정까지 이르기 힘든 부분이 존재한다.
개념이미지는 무엇에 따라 변화하게 되는가?
특히, Tall과 Vinner[14]는 개념과 관련된 전체적인 인지구조를 설명하기 위하여 개념이미지라는 용어를 사용했으며 개념이미지에는 모든 정신적인 그림과 그와 관련된 성질이나 과정이 포함되며 모든 종류의 경험을 통해 오랜 기간을 거쳐 형성되는 것이고 개개인이 새로운 자극에 부딪히거나 성숙해 감에 따라 변화하게 된다고 설명하였다.
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