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문제 정의
- 따라서 본 연구에서는 평면 도형의 중요한 탐구 주제이며, 일상생활에서 가장 흔히 접할 수 있는 정다각형을 기초로 하여, 정다각형의 외연 확장 과정을 탐색하는 문헌연구이다. 이러한 목적을 달성하기 위해 본 연구는 첫째, 수학교과서에서 다루어지고 있는 정다각형에 대한 학습내용을 수학기초지식으로 설정하고, 이에 대한 분석을 바탕으로 정다각형의 외연확장을 위한 개념적 틀을 추출할 것이다.
- 수학에 존재하는 두 가지 논리, 즉 발견의 논리와 정당화의 논리 중에 발견과 관련된 논리는 귀납적 과정을 통해 성취된다. 본 연구 목적인 정다각형 외연 확장은 지식의 발견과 밀접한 관계를 가지고 있으므로, 이러한 목적 달성과 탐구의 성공적 수행을 위해 귀납적 탐구활동이 절대적으로 요구된다고 하겠다. 따라서 본 연구의 성공적 수행을 위해 Taba(1967)가 제시한 귀납적 탐구 모델을 도입하였으며, 이를 바탕으로 그림 4와 같이 탐구 절차를 재구성하였다.
- 하지만, 박한식(1991), Coxeter(1973), Grünbaum(2003) 등은 오목한 정다각형도 존재하고 있음을 명확히 하고 있고, 그 교육적 가치를 언급하고 있다. 이들 문헌에 대한 효과적인 분석을 위해 정다각형이 되기 위한 조건 1과 조건 2를 적용시켜 보자. 위의 두 조건 중에서 정다각형을 만들기 위해 의미 있는 조건은 조건 2이다.
- 이제 정9각형과 정10각형을 예로 들어 구체적으로 어떻게 탐구활동을 진행하였는지 제시하고자 한다.
제안 방법
- 넷째, 앞 단계의 절차를 수행 가능한 단계까지 수행하고, 점 O를 중심으로 하는 동심원을 그린다. 다섯째, 볼록인 정다각형과 오목인 정다각형이 모두 생성되었는지 확인하고, 각각의 정다각형의 전체 내각의 총합과 한 내각의 크기를 구한다. 여섯째, 각각의 정다각형의 이름을 명명한다.
- 이러한 목적을 달성하기 위해 본 연구는 첫째, 수학교과서에서 다루어지고 있는 정다각형에 대한 학습내용을 수학기초지식으로 설정하고, 이에 대한 분석을 바탕으로 정다각형의 외연확장을 위한 개념적 틀을 추출할 것이다. 둘째, 이를 바탕으로 TI(Texas Instrument)사의 Cabri Geometry II(이하, Cabri)라는 동적기하프로그램을 활용하여 정다각형 외연의 확장 과정을 구체적으로 탐색한다. 이를 통해 정다각형에 대한 심화학습을 위한 교수-학습 자료 개발 및 평면 기하 학습을 위한 의미있는 연구방향 제시가 기대되어진다.
- 둘째, 정다각형을 구별하는 기준이 되는 정다각형의 꼭짓점 및 변의 개수에 초점을 두고 고찰한다.
- 본 연구 목적인 정다각형 외연 확장은 지식의 발견과 밀접한 관계를 가지고 있으므로, 이러한 목적 달성과 탐구의 성공적 수행을 위해 귀납적 탐구활동이 절대적으로 요구된다고 하겠다. 따라서 본 연구의 성공적 수행을 위해 Taba(1967)가 제시한 귀납적 탐구 모델을 도입하였으며, 이를 바탕으로 그림 4와 같이 탐구 절차를 재구성하였다.
- 문헌 분석에서 얻은 세 가지 조건으로부터 탐구의 기본 방향을 세 가지로 설정하였다.
- 본 연구는 학교수학에서 다루는 정다각형 외연을 확장하기 위한 방법 및 이에 따른 교수 학습 과정을 체계화하기 위한 문헌 연구로, 첫째, 학교에서 학습하는 정다각형의 개념으로부터 외연을 확장하기 위한 개념적 틀을 추출하였고, 둘째, 동적기하프로그램을 활용하여 정다각형의 외연 확장의 절차를 설정하고, 그 과정을 상세히 기술하였다.
- 본 연구에서는 Cabri 기하프로그램을 사용하여 정다각형에 대한 관찰 활동 및 사례를 수집하여 정리하였다. 서보억(2005)은 Cabri에 대해 컴퓨터과학, 수학교육학, 수학, 인공지능, 심리학, 교사들의 합동 연구로 개발되었다고 언급하면서, 인간의 작도활동과 가장 유사한 방법으로 실행된다고 보고 있다.
- 즉, n의 수로 가능한 수의 범주는 어디까지이며, 어떠한 패턴을 가지는지 탐구할 필요가 있다. 본 연구에서는 이러한 탐구의 원활한 진행을 위해 동적 기하프로그램을 사용하였고, 탐구의 효율성을 위해 연구 수행 과정과 절차를 체계적으로 설정하였다.
- 셋째, 정다각형을 구별하는 또 다른 기준인 한 내각의 크기에 관심을 두고 탐구한다.
- 예를 들어, 명제 2는 정삼각형을 원에 내접시키는 방법, 명제 6은 정사각형을 원에 내접시키는 방법, 명제 11은 정오각형을 원에 내접시키는 방법, 명제 15는 정육각형을 원에 내접시키는 방법, 명제 16은 정십오각형을 원에 내접시키는 방법을 다루고 있다. 원론에 대한 분석을 바탕으로, 정다각형 외연 확장을 위한 개념적 틀 세 번째를 조건 3과 같이 추출하였다.
- 본 연구에서는 정다각형의 탐색을 위한 개념적 틀 세 가지를 첫째, 다각형을 이루는 모든 변의 길이는 같고, 둘째, 각 꼭짓점에서 만들어지는 내각의 크기는 모두 같으며, 셋째, 모든 다각형은 원에 내접시킬 수 있다로 추출하였다. 이 세 가지로부터 정다각형의 외연 확장을 위한 탐구활동을 다섯 개의 수행 단계로 세분화하여 진행하였다.
- 정다각형 외연의 확장을 위한 탐구 활동을 원활하게 진행하기 위해서는 다양한 정다각형에 대한 관찰과 실험이 필수적이다. 이러한 정다각형에 대한 경험을 풍부하게 하고, 다양한 사례를 얻기 위해 본 연구에서는 기하프로그램을 사용하였다.
- 이번 절에서는 앞에서 설정한 탐구절차에 따라 정다각형 외연 확장의 탐구과정을 구체적으로 살펴본다.
- 직사각형 모양을 한 책상, 정팔각형 모양의 창문, 정삼각형 모양의 창살처럼 볼록한 다각형이 있는가 하면, 별 모양과 같이 오목한 다각형도 있다. 이번 절에서는 정다각형 외연의 확장을 위한 기초적인 분석 과정으로, 초등학교, 중학교 교과서, Euclid 원론 및 여러 문헌에 대한 탐색 결과를 제시한다.
- 첫 번째, 원 위 n개의 점을 지나는 다각형을 Cabri를 이용하여 그려 보자. 그리고 #와 #의 교점, #과 #의 교점, ···, #와 #의 교점, ···, #과 #의 교점, #과 #의 교점, #과 #의 교점을 연속적으로 이어 다각형을 만들면, 그림 12와 같은 오목한 정n각형을 얻을 수 있었다.
- 첫째, 정다각형의 모든 꼭짓점은 동일한 원 위에 있어야 하므로 원에 내접하는 정다각형을 관찰한다.
이론/모형
- 본 연구에서 사용한 기하프로그램은 TI(Texas Instrument)에서 개발한 Cabri이다. Cabri는 인간의 작도활동에 잘 부합되도록 설계된 기하프로그램으로 정다각형의 작도와 도형의 다양한 변형이 비교적 쉬워 본 연구의 진행에 가장 적합한 것으로 판단되었다.
성능/효과
- 본 연구에서 사용한 기하프로그램은 TI(Texas Instrument)에서 개발한 Cabri이다. Cabri는 인간의 작도활동에 잘 부합되도록 설계된 기하프로그램으로 정다각형의 작도와 도형의 다양한 변형이 비교적 쉬워 본 연구의 진행에 가장 적합한 것으로 판단되었다.
- 결과적으로 Cabri를 활용한 정다각형에 대한 다양하고 폭넓은 관찰활동과 경험활동은 새로운 수학적 개념 형성에 필요한 내적직관을 형성할 수 있었다.
- 예를 들어, 그림 6은 각의 개수는 11개로 동일하지만, 모양이 서로 닮음이 아닌 서로 다른 오목 정11각형 4개를 제시한 것이다. 넷째, 오목인 정다각형 내부에는 볼록인 정다각형 모양이 존재한다.
- 셋째, 정n/k각형에서 k의 값에 따른 내각의 크기는 등차수열을 이룬다. 넷째, 정n/k각형에서 n/k의 기약분수를 p/q라고 할때, p/q = N가 자연수이면 정N각형 k개로 구성되어지고, p/q가 유리수이면 정p/q각형 k/q개로 구성된다.
- 넷째, 정n/k각형의 내각의 총합은 π(n - 2k)이고 한 내각의 크기는 π(n - 2k)/n이 된다.
- 이때 내각의 총합의 최솟값은 n이 짝수일 때는 360°이고, n이 홀수일 때는 180°이다. 다섯째, 정n/k각형에서 n이 일정하면, k의 값에 따른 한 내각의 크기는 등차수열을 이룬다. 예를 들어 n = 15일 때, 한 내각의 크기를 ak라고 하면, a1 = 156°, a2 = 132°, a3 = 108°, ···이므로 일반항 ak =-24n + 180° (단, k ≦ 7인 양의 정수)가 된다.
- 첫째, 볼록인 정다각형은 최소한의 각(변)의 수가 3이지만, 오목인 정다각형은 5이다. 둘째, 볼록인 정n각형은 n의 값으로 자연수를 가지지만, 오목인 정n각형은 n의 값으로 5/2,, 30/11, 30/13처럼 유리수값을 가진다. 셋째, 오목인 정다각형에서는 각의 개수는 서로 같지만, 모양이 서로 다른 다각형이 존재한다.
- 구체적으로 볼록한 정n각형을 그린 다음, 내접원의 중심 O를 잡고 정n각형 각각의 변의 연장선을 긋고 이들이 만나는 교점을 서로 연결하면, 오목한 정다각형을 모두 생성해낼 수 있었다. 둘째, 볼록한 정n각형은 본질적으로 유일하지만, 오목한 정n각형은 유일하지 않았다. 즉, 오목한 정다각형은 각의 개수와 변의 개수는 서로 같지만 서로 닮음이 되지 않는 정다각형이 존재한다.
- 둘째, 정n/k각형에서 n이 짝수일 때 내각의 합은 360°가 가장 작고, 홀수일 때는 180°가 가장 작다.
- 본 연구 결과를 통해, 정다각형과 같이 학교에서 제한적으로만 다루어지고 있는 학습 주제에 대한 수학적 탐구 활동의 가능성과 더불어, 실제 탐구활동의 수행 방법 및 절차에 대한 체계적 이해가 가능하여졌다. 또한, 본 연구는 중학교 심화학습 자료뿐만 아니라 다양한 교수-학습 자료 개발 방법에 유의미한 연구 방향을 제시할 수 있었다.
- 본 연구를 통해 볼록한 정다각형과 오목한 정다각형 모두 동일한 방식으로 명명할 수 있음을 수학적으로 명확히 하였다.
- 본 연구에서는 정다각형의 탐색을 위한 개념적 틀 세 가지를 첫째, 다각형을 이루는 모든 변의 길이는 같고, 둘째, 각 꼭짓점에서 만들어지는 내각의 크기는 모두 같으며, 셋째, 모든 다각형은 원에 내접시킬 수 있다로 추출하였다. 이 세 가지로부터 정다각형의 외연 확장을 위한 탐구활동을 다섯 개의 수행 단계로 세분화하여 진행하였다.
- 둘째, 볼록인 정n각형은 n의 값으로 자연수를 가지지만, 오목인 정n각형은 n의 값으로 5/2,, 30/11, 30/13처럼 유리수값을 가진다. 셋째, 오목인 정다각형에서는 각의 개수는 서로 같지만, 모양이 서로 다른 다각형이 존재한다. 예를 들어, 그림 6은 각의 개수는 11개로 동일하지만, 모양이 서로 닮음이 아닌 서로 다른 오목 정11각형 4개를 제시한 것이다.
- 따라서 정n/k각형의 내각의 총합이 0°보다 커야하므로, 정다각형이 존재하기 위한 k의 범위는 n/2 > k이다. 셋째, 정n/k각형에서 k의 값에 따른 내각의 크기는 등차수열을 이룬다. 넷째, 정n/k각형에서 n/k의 기약분수를 p/q라고 할때, p/q = N가 자연수이면 정N각형 k개로 구성되어지고, p/q가 유리수이면 정p/q각형 k/q개로 구성된다.
- 셋째, 정다각형의 이름 앞에 ‘볼록한’은 붙이지 않아도 한 개의 정 n각형을 지칭하지만, ‘오목한’은 붙이지 않으면 한 대상을 지칭할 수 없다.
- 여섯째, 정 n/k각형이 존재하기 위한 조건은 n/k > 2인 (단, n, k는 자연수) 기약분수이어야 한다.
- 평면 기하 내용 중 정다각형과 관련된 국내 연구를 분석해 보면, 첫째, 정다각형의 작도와 관련된 연구로 김석룡(1989), 한인기(2008) 등의 연구가 있었으며, 둘째, 정다각형에서 대각선의 길이간의 관계에 대한 연구를 조인주(2006) 등이 수행하였고, 셋째, 오목다각형 중에서 별다각형의 종이접기에 대한 연구를 김민석(2004) 등이 수행하였다. 이를 종합하면, 볼록한 정다각형의 작도 및 대각선의 성질 규명, 오목한 정다각형 중 별 정다각형의 종이접기 방법 등에 대한 연구가 수행되었음을 알 수 있다. 유익승과 한인기와 신현용(2006), 한인기(2007), 서보억과 권영인(2007) 등이 평면 기하를 소재로 지식 확장에 대한 몇 몇 연구가 수행되었지만, 학교수학에서 다루고 있는 볼록한 정다각형을 출발점으로 삼아, 정다각형의 외연을 확장한 체계적인 연구는 아직 없는 것으로 나타났다.
- 이러한 의문을 해결하기 위해 앞 단계에서 얻은 ‘오목인 정다각형 내부에 볼록인 정다각형이 존재한다’는 사실에 집중하였다. 정11/2각형은 정11각형의 각각의 변이 이웃하지 않지만 가장 인접한 한 변의 연장선과의 교점을 서로 연결하여 만들어지고, 정11/3각형은 정11각형의 각각의 변이 세 번째에 이웃하고 있는 한 변의 연장선과의 교점을 서로 연결하여 만들어지고, 11/4각형은 정11각형의 각각의 변이 네 번째에 이웃하고 있는 한 변의 연장선과의 교점을 서로 연결하여 만들어지고, 11/5각형은 정11각형의 각각의 변이 다섯 번째에 이웃하고 있는 한 변의 연장선과의 교점을 서로 연결하여 만들어진다는 사실을 발견하였다. 따라서 볼록인 정n각형을 출발점으로 하여 오목인 정n각형을 아래와 같은 절차를 통해 모두 생성할 수 있음을 추측할 수 있었다.
- 첫째, 볼록인 정다각형은 최소한의 각(변)의 수가 3이지만, 오목인 정다각형은 5이다. 둘째, 볼록인 정n각형은 n의 값으로 자연수를 가지지만, 오목인 정n각형은 n의 값으로 5/2,, 30/11, 30/13처럼 유리수값을 가진다.
- 문헌 분석을 통한 정다각형의 탐구 방향 설정 단계에서는 문헌 분석에서 얻은 세 가지 조건으로부터 탐구의 기본 방향을 설정하였고, 이 기본 방향에 따라 수행한 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 볼록한 정다각형으로부터 오목한 정다각형을 기하학적으로 생성해 낼 수 있었다. 구체적으로 볼록한 정n각형을 그린 다음, 내접원의 중심 O를 잡고 정n각형 각각의 변의 연장선을 긋고 이들이 만나는 교점을 서로 연결하면, 오목한 정다각형을 모두 생성해낼 수 있었다.
- 첫째, 정n/k각형에서 n은 원에 내접하는 꼭짓점의 개수 혹은 정다각형의 변(각)의 개수이다. 또한, k는 정다각형을 만드는 변 사이에 있는 변의 개수에 1을 더한 값 혹은 점 O를 중심으로 만들어지는 동심원의 순서에 따른 매긴 값이다.
후속연구
- 본 연구 결과를 통해, 정다각형과 같이 학교에서 제한적으로만 다루어지고 있는 학습 주제에 대한 수학적 탐구 활동의 가능성과 더불어, 실제 탐구활동의 수행 방법 및 절차에 대한 체계적 이해가 가능하여졌다. 또한, 본 연구는 중학교 심화학습 자료뿐만 아니라 다양한 교수-학습 자료 개발 방법에 유의미한 연구 방향을 제시할 수 있었다.
- 따라서 본 연구에서는 평면 도형의 중요한 탐구 주제이며, 일상생활에서 가장 흔히 접할 수 있는 정다각형을 기초로 하여, 정다각형의 외연 확장 과정을 탐색하는 문헌연구이다. 이러한 목적을 달성하기 위해 본 연구는 첫째, 수학교과서에서 다루어지고 있는 정다각형에 대한 학습내용을 수학기초지식으로 설정하고, 이에 대한 분석을 바탕으로 정다각형의 외연확장을 위한 개념적 틀을 추출할 것이다. 둘째, 이를 바탕으로 TI(Texas Instrument)사의 Cabri Geometry II(이하, Cabri)라는 동적기하프로그램을 활용하여 정다각형 외연의 확장 과정을 구체적으로 탐색한다.
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