학생들에게 증명을 보다 이해하기 쉽게 전개하는 대안으로, 내러티브의 잠재력과 그 효과를 함수의 평행 이동이라는 사례에서 논의한다. 내러티브의 구성 요소를 고려하여, 평행 이동한 함수의 식을 유도하는 증명을 내러티브로 구성하였다. 두 집단의 학생들에게 내러티브와 형식적 증명을 각각 제시하고, 내러티브가 증명을 제시하는 것보다 함수의 평행 이동에 대한 도구적 및 관계적 이해라는 측면에서 유의미한 효과가 있는지를 살펴보았다. 실험집단과 비교집단에서 사후 도구적 및 관계적 이해 검사 결과의 차이가 통계적으로 유의하지는 않았으므로, 내러티브로 제시하는 것이 증명을 제시하는 것보다 함수의 평행 이동에 대한 도구적 및 관계적 이해의 측면에서 더 효과적이라는 결론을 내릴 수는 없었다. 그러나 학생들의 관계적 이해 반응과 수업 평가에 대한 질적 분석에서는 비교집단과 실험 집단사이에서 몇 가지 다른 양상을 발견할 수 있었으며, 형식적 증명을 보완할 수 있는 내러티브의 가능성을 찾아볼 수 있었다.
학생들에게 증명을 보다 이해하기 쉽게 전개하는 대안으로, 내러티브의 잠재력과 그 효과를 함수의 평행 이동이라는 사례에서 논의한다. 내러티브의 구성 요소를 고려하여, 평행 이동한 함수의 식을 유도하는 증명을 내러티브로 구성하였다. 두 집단의 학생들에게 내러티브와 형식적 증명을 각각 제시하고, 내러티브가 증명을 제시하는 것보다 함수의 평행 이동에 대한 도구적 및 관계적 이해라는 측면에서 유의미한 효과가 있는지를 살펴보았다. 실험집단과 비교집단에서 사후 도구적 및 관계적 이해 검사 결과의 차이가 통계적으로 유의하지는 않았으므로, 내러티브로 제시하는 것이 증명을 제시하는 것보다 함수의 평행 이동에 대한 도구적 및 관계적 이해의 측면에서 더 효과적이라는 결론을 내릴 수는 없었다. 그러나 학생들의 관계적 이해 반응과 수업 평가에 대한 질적 분석에서는 비교집단과 실험 집단사이에서 몇 가지 다른 양상을 발견할 수 있었으며, 형식적 증명을 보완할 수 있는 내러티브의 가능성을 찾아볼 수 있었다.
The purpose of this paper is to discuss the potential and to examine the effect of narrative, as an alternative approach to teach formal proof in more easier and comprehensible way. Identifying the key elements of narrative in proof, we constructed a narrative that derives the equation of function t...
The purpose of this paper is to discuss the potential and to examine the effect of narrative, as an alternative approach to teach formal proof in more easier and comprehensible way. Identifying the key elements of narrative in proof, we constructed a narrative that derives the equation of function translation. We examined the effect of teaching through the narrative, in comparison with teaching the corresponding proof, on low-achieving students' instrumental understanding and relational understanding of function translation. Since we found no statistically significant differences between the experimental and the comparison group, this study could not conclude that teaching through the narrative was more effective than teaching the corresponding proof. But there were some qualitative differences in the relational understanding responses and the evaluation of the teaching between two groups. These findings suggested some potential of narratives that complement the formal proof.
The purpose of this paper is to discuss the potential and to examine the effect of narrative, as an alternative approach to teach formal proof in more easier and comprehensible way. Identifying the key elements of narrative in proof, we constructed a narrative that derives the equation of function translation. We examined the effect of teaching through the narrative, in comparison with teaching the corresponding proof, on low-achieving students' instrumental understanding and relational understanding of function translation. Since we found no statistically significant differences between the experimental and the comparison group, this study could not conclude that teaching through the narrative was more effective than teaching the corresponding proof. But there were some qualitative differences in the relational understanding responses and the evaluation of the teaching between two groups. These findings suggested some potential of narratives that complement the formal proof.
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문제 정의
사실 수학 외재적인 내러티브는 교과서에서 수학적 개념 혹은 어떤 주제에 대한 생각 열기에서도 흔히 찾아볼 수 있으므로, 이 연구의 논의는 수학 내재적인 내러티브에 한정하기로 한다. 특히 수학 내재적 내러티브로서, 내러티브가 형식적 증명을 학생들이 보다 이해하기 쉽게 전개할 수 있는가를 논의하는 것이 이 연구의 목적이다.
이 연구에서는 먼저 평행 이동한 함수의 식을 유도하는 증명을 내러티브로 구성하기 위하여, 먼저 내러티브를 구성하는 요소와 증명이 가질 수 있는 내러티브의 요소를 탐색하고, 구체적인 이차함수 y = x2을 x축으로 2만큼, y축으로 3만큼 평행 이동한 함수의 식이 y-3 = (x-2)2임을 유도하는 증명을 내러티브로 구성하였다. 그리고 두 집단의 학생들에게 내러티브와 형식적 증명을 각각 제시하여, 이러한 내러티브가 증명을 그대로 제시하는 것보다 함수의 평행 이동에 대한 도구적 및 관계적 이해라는 측면에서 유의미한 효과가 있는지를 살펴보고자 한다. 또한 두 집단에서 함수의 평행 이동을 관계적으로 이해한 반응 및 각 수업에 대한 평가를 비교 분석한다.
많은 수학교사들도 이러한 학생들을 지도하는 가장 효율적인 방식은 수학적 의미가 아닌 알고리즘 수행에만 초점을 둔 반복 훈련이라고 생각하기 때문에(Anderson, Reder & Simon, 2000), 도구적 교수 및 학습의 문제점은 보통 학생들보다 수학부진학생들에게 심각하게 나타난다. 따라서 기초학력이 부진하며 수학에 대한 흥미가 낮은 학생들이 주축을 이루고 있는 전문계고교의 학생들을 연구 참여자로 선정하여, 함수의 평행 이동에 대한 도구적 및 관계적 이해에 대한 내러티브의 효과를 살펴보고자 하였다. 서울 서초구 소재 S전문계고의 1, 2학년의 각 두 학급 중 임의로 학년별 한 학급을 평행 이동한 함수의 식을 내러티브로 설명하는 실험집단, 다른 학급은 형식적 증명을 제시하는 비교집단으로 선정하여 준-실험설계 (quasi-experimental design)를 적용하였다.
. 이 문항에 대한 반응에서, 학생들이 교수 실험에서 제시된 내러티브와 증명을 어떻게 이해하였으며 그것을 자신의 말로 표현할 수 있는지를 살펴보았다.
학생들에게 증명을 보다 이해하기 쉽게 전개할 수 있는 대안으로, 수학 내재적인 내러티브의 가능성과 그 효과를 함수의 평행 이동이라는 사례에서 탐색하였다. Norris외(2005)의 논의를 중심으로 내러티브의 구성요소로써 사건, 화자, 청자, 시간, 흥미, 구조, 등장인물, 목적을 살펴보고, 이러한 요소를 고려하여 이차함수 y = x2을 x축으로 2만큼, y축으로 3만큼 평행 이동한 함수의 식이 y-3 = (x-2)2임을 유도하는 증명을 내러티브로 제시하였다.
이 연구에서는 도구적 이해의 문제점이 가장 심각할 수 있는 수학부진학생들을 대상으로, 평행 이동한 함수식의 유도하는 과정을 내러티브로 제시하는 것이 함수의 평행이동에 대한 도구적 및 관계적 이해에 어떤 효과가 있는지를 살펴보고자 하였다. 특히 내러티브의 ‘순수한’ 효과를 살펴보기 위해 증명을 그대로 제시한 비교 집단을 선정하여, 두 집단에서 처치 외에 사후 검사 결과에 영향을 미칠 수 있는 요인인 학업성취도와 사전 검사 결과를 공변인으로 통제한 공분산분석(ANCOVA)을 이용하여 처치의 효과를 분석하였다.
가설 설정
반면 수학적 사실과 알고리즘을 설명하거나 어떤 의미를 부여하고(Zazkis, Liljedahl, 2005), 수학적 아이디어를 전개하는(Mazur, 2007), 그 자체가 수학 지식의 일부가 될 수 있는 ‘수학 내재적인 내러티브’도 있다. 사실 수학 외재적인 내러티브는 교과서에서 수학적 개념 혹은 어떤 주제에 대한 생각 열기에서도 흔히 찾아볼 수 있으므로, 이 연구의 논의는 수학 내재적인 내러티브에 한정하기로 한다. 특히 수학 내재적 내러티브로서, 내러티브가 형식적 증명을 학생들이 보다 이해하기 쉽게 전개할 수 있는가를 논의하는 것이 이 연구의 목적이다.
제안 방법
이러한 특징은, 내러티브가 형식적 증명을 학생들에게 제시할 때 야기되는 문제점들을 보완할 수 있는 가능성이 있음을 시사하고 있다. 이 연구에서는 먼저 평행 이동한 함수의 식을 유도하는 증명을 내러티브로 구성하기 위하여, 먼저 내러티브를 구성하는 요소와 증명이 가질 수 있는 내러티브의 요소를 탐색하고, 구체적인 이차함수 y = x2을 x축으로 2만큼, y축으로 3만큼 평행 이동한 함수의 식이 y-3 = (x-2)2임을 유도하는 증명을 내러티브로 구성하였다. 그리고 두 집단의 학생들에게 내러티브와 형식적 증명을 각각 제시하여, 이러한 내러티브가 증명을 그대로 제시하는 것보다 함수의 평행 이동에 대한 도구적 및 관계적 이해라는 측면에서 유의미한 효과가 있는지를 살펴보고자 한다.
그리고 두 집단의 학생들에게 내러티브와 형식적 증명을 각각 제시하여, 이러한 내러티브가 증명을 그대로 제시하는 것보다 함수의 평행 이동에 대한 도구적 및 관계적 이해라는 측면에서 유의미한 효과가 있는지를 살펴보고자 한다. 또한 두 집단에서 함수의 평행 이동을 관계적으로 이해한 반응 및 각 수업에 대한 평가를 비교 분석한다.
따라서 기초학력이 부진하며 수학에 대한 흥미가 낮은 학생들이 주축을 이루고 있는 전문계고교의 학생들을 연구 참여자로 선정하여, 함수의 평행 이동에 대한 도구적 및 관계적 이해에 대한 내러티브의 효과를 살펴보고자 하였다. 서울 서초구 소재 S전문계고의 1, 2학년의 각 두 학급 중 임의로 학년별 한 학급을 평행 이동한 함수의 식을 내러티브로 설명하는 실험집단, 다른 학급은 형식적 증명을 제시하는 비교집단으로 선정하여 준-실험설계 (quasi-experimental design)를 적용하였다. 사전 및 사후 검사에 모두 참여한 연구 참여자들의 수와 이들의 1학기 평균 성적 및 표준편차를 <표 Ⅲ-1>에 제시하였다.
교수 실험에서는 연구 참여자들의 수학적 수준을 고려하여, 일반적인 함수 대신 구체적인 이차 함수 y = x2을 x축으로 2만큼, y축으로 3만큼 평행 이동한 함수의 식을 유도하는 것을 다루었다. 다음은 비교집단에 제시된, 교과서 방식의 증명이다.
함수의 평행이동에 대한 수업 방식 외의 교사 변인을 통제하기 위하여, 두 집단의 수업을 모두 한 교사가 담당하였다. 앞 절에서 제시된 내러티브와 증명을 설명하고 평행 이동한 함수의 식을 구하는 동일한 연습문제들을 풀어본 후에, 마지막으로 도구적 및 관계적 이해에 대하여 사전검사와 동형인 사후검사를 실시하고 각 집단의 학생들에게 수업에 대한 평가를 자유롭게 작성하도록 하였다. <표 Ⅲ-2>는 이상과 같은 연구절차를 요약한 것이다.
다음 절에서는 양적 결과의 측면에서는 나타나지 않은 증명과 내러티브의 차이를 탐색하기 위하여, 비교 및 실험 집단에서 함수의 평행 이동을 관계적으로 이해한 학생들을 대상으로 구체적인 응답 사례를 살펴본다.
두 집단의 학생들이 내러티브와 증명을 각각 어떻게 느꼈는지에 대하여, 긍정적 혹은 부정적 반응을 살펴본다. 학생들의 반응을 긍정적 반응, 긍정적-부정적 측면이 혼합되어 있거나 혹은 어느 한 쪽으로 치우치지 않은 것을 중립적 반응, 부정적 반응의 세 가지로 분류하였다. <표 Ⅳ-6>는 실험집단과 비교집단의 수업평가에서 긍정적․중립적․부정적 반응을 한 학생 수 및 비율을 제시한 것이다.
이 연구에서는 평행 이동한 함수식의 유도과정을 내러티브로 제시하는 것이 증명을 그대로 제시하는 것과 비교하여, 수학부진학생들의 도구적 이해(평행 이동한 함수식의 계산)및 관계적 이해(“왜 오른쪽으로 평행 이동한 함수의 식에 -가 등장하는가?”에 대한 이해)에 효과가 있는지를 분석하였다.
데이터처리
사전 및 사후 검사에 모두 참여한 연구 참여자들의 수와 이들의 1학기 평균 성적 및 표준편차를 에 제시하였다.
이미 편성된 자연 학급에서 실험 및 비교집단을 선정하였으므로, 처치외의 사후 도구적 및 관계적 이해 검사 결과에 영향을 미칠 수 있는 요인인 학업 성취도(1학기 지필고사 평균)와 사전 검사 결과를 공변인으로 통제한 공분산분석 (ANCOVA)으로 처치 효과를 분석하였다10).
각 학년에서 증명과 내러티브에 따라 학생들의 사후 도구적 이해 검사점수에 차이가 있는가를 통계적으로 검증하기 위하여, 학생들의 학업성취도 및 사전 도구적 이해 검사점수를 공변인으로 통제한 후 사후 검사점수를 종속변수로 ANCOVA를 시행한 결과를 표 11)에 제시하였다.
특히 내러티브의 ‘순수한’ 효과를 살펴보기 위해 증명을 그대로 제시한 비교 집단을 선정하여, 두 집단에서 처치 외에 사후 검사 결과에 영향을 미칠 수 있는 요인인 학업성취도와 사전 검사 결과를 공변인으로 통제한 공분산분석(ANCOVA)을 이용하여 처치의 효과를 분석하였다.
이론/모형
함수의 평행이동에 대한 도구적 이해는 일·이차 함수의 평행 이동한 식을 계산하는 4문항(4점 만점)으로 평가하였다.
성능/효과
실험집단과 비교집단 모두 도구적 이해 사후 검사결과는 사전검사결과보다 약간 향상되었으나, 사후검사에서도 50% 미만의 성취도(100점 환산)에 그쳤다. 사전검사의 평균점수는 1학년의 경우 실험집단이, 2학년은 비교집단이 더 높았으나, 사후검사에서는 1학년은 비교집단이, 2학년은 실험집단의 점수가 더 높게 나타났다.
사후검사 결과, 1학년과 2학년 모두 비교집단보다 실험집단에서 관계적으로 이해한 학생들의 비율이 높았다. 그러나 학생들의 학업 성취도 및 사전 관계적 이해 여부를 공변인으로, 사후 관계적 이해 여부를 종속변수로 ANCOVA를 시행한 결과(<표 Ⅳ-4>14)), 1학년과 2학년 모두 사전검사 결과 및 학업 성취도가 통제되었을 때, 사후 관계적 이해에서의 실험집단과 비교집단의 차이는 유의하지 않았다(p > 0.
사전검사 결과, 많은 학생들이 내러티브와 증명의 초점이었던 평행 이동의 방향과 부호사이의 혼동이라는 문제 이전에, 1·2차 함수식의 이해와 함수식에 변수를 대입하는 계산과 같은 평행 이동한 함수의 식을 계산하는 데 필수적인 기본지식과 계산 능력이 매우 부족한 상태였음을 확인할 수 있었다.
특히 내러티브의 ‘순수한’ 효과를 살펴보기 위해 증명을 그대로 제시한 비교 집단을 선정하여, 두 집단에서 처치 외에 사후 검사 결과에 영향을 미칠 수 있는 요인인 학업성취도와 사전 검사 결과를 공변인으로 통제한 공분산분석(ANCOVA)을 이용하여 처치의 효과를 분석하였다. 그러나 실험집단과 비교집단에서 사후 도구적 및 관계적 이해 검사 결과의 차이는 통계적으로 유의하지 않았으며, 따라서 내러티브를 제시하는 것이 증명을 제시하는 것보다 함수의 평행 이동에 대한 도구적 및 관계적 이해에 있어 더 효과적이라는 결론을 내릴 수는 없었다.
비교 집단의 학생들은 “왜 오른쪽으로 평행 이동한 함수의식에 -가 등장하는가?”라는 문항에 대하여, 평행 이동 전후의 좌표 계산으로 설명하였다. 그러나 실험 집단의 학생들은 평행 이동의 전후를 보다 명확하게 시간적인 선후 관계가 있는 두 사건으로 인식하고 두 사건사이의 일종의 인과 관계로 설명하였다는 점에서, 함수의 평행 이동에 대한보다 내러티브적인 이해를 관찰할 수 있었다.
내러티브가 도구적·관계적 이해에 대한 유의미한 효과를 거두지는 못하였음에도 불구하고, 이상과 같은 질적 분석 결과는 관계적 이해에서 소외된 수학부진 학생들에게 내러티브가 형식적 증명을 보완할 수 있는 가능성이 있음을 보여주고 있다.
이러한 결과는 내러티브와 증명이라는 처치가, 선수 지식이 부족한 학생들이 함수의 평행이동을 도구적 혹은 관계적으로 이해하는 데 있어서는 큰 차이가 없었음을 보여준다. 따라서 이 연구의 맥락에서는 내러티브가 증명보다 학생들의 이해에 더 효과적이라는 결론을 내릴 수는 없었다.
내러티브에 대해 기대된 효과를 양적인 차이로 확인할 수는 없었으나, 함수의 평행이동을 관계적으로 이해한 학생들의 반응과 수업 평가에 대한 질적 분석에서는 비교집단과 실험 집단사이에서 몇 가지 다른 양상을 관찰할 수 있었다. 첫째, 실험 집단 학생들의 관계적 이해 반응은, 형식적 계산에만 의존했던 비교집단에서의 반응과 다르게 내러티브의 요소를 포함하고 있었다. Teissier(2012:233)는 증명을 내러티브로 이해하는 것이, 증명의 진정한 이해가 논리뿐만이 아닌 의미에 의존한다는 점에서 중요하다고 보았다.
둘째, 수업 평가에서 긍정적으로 반응한 비교 집단의 학생들은 주로 몰랐던 것을 알았다는 인지적 측면에서의 변화를 기술했던 반면, 실험집단의 학생들 중에서는 인지적 측면에서의 변화뿐만이 아니라 흥미와 동기 유발, 몰입, 수학에 대한 거부감의 감소, 전반적으로 이해했다는 느낌과 같은 정의적 측면에서의 긍정적 변화를 기술했던 학생들이 더 많았다. 내러티브가 도구적·관계적 이해에 대한 유의미한 효과를 거두지는 못하였음에도 불구하고, 이상과 같은 질적 분석 결과는 관계적 이해에서 소외된 수학부진 학생들에게 내러티브가 형식적 증명을 보완할 수 있는 가능성이 있음을 보여주고 있다.
후속연구
첫째, Ⅲ장에서 제시했던 내러티브와 같이, 실제 교수실험에서 제시하는 내러티브는 소설과 같은 순수한 내러티브가 아닌 내러티브의 일부 요소만을 포함하는 것이기 때문에, 이러한 내러티브에도 순수한 내러티브에 대해 기대되는 효과를 같은 정도로 기대하기는 어렵다. 둘째, 내러티브의 순수한 효과를 확인하기 위해서는 장르 변인 외에 다른 관련 변인들이 모두 통제된 비교 실험이 필요하다. 그런데 학생 변인만 생각한다 하더라도, 관련 주제에 대한 선수 지식, 흥미, 동기, 읽기 혹은 듣기 유창성과 같은 다양한 변인이 존재하며, 현실적으로 이러한 변인들이 모두 통제된 실험설계는 매우 어렵다.
본 연구 결과를 토대로, 수학교수학습에서 내러티브의 효과 및 역할에 대한 보다 심화된 논의와 후속 연구가 이루어지기를 기대한다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
내러티브는 무엇인가?
내러티브(narrative)는 ‘일어난 어떤 사건에 대해 한 사람이 다른 사람에게 이야기하는 행위 (Herrnstein Smith, 1981: 228)’로서, 어떠한 사건, 정보, 주장을 단순히 나열하거나 기술하고 논증하는 것과는 다른 것이다. 내러티브에서는 어떤 주인공이 등장하여, 인과관계를 가진 사건들이 시간적 흐름에 따라 기술된다.
Norris 외(2005)는 내러티브의 구성요소로 무엇을 제시하였나?
Norris외(2005)는 내러티브의 구성 요소로 다음과 같이 사건(event-tokens), 화자(narrator), 청자(narratee), 시간(time), 흥미(narrative appetite), 구조(structure), 등장인물(agency), 목적(purpose)의 8가지를 제시하였다.
Doxiadis(2007)은 증명을 내러티브에서의 두 가지 시간 계열과 어떻게 연관시켰나?
반면 ‘발견되는 증명’은 ‘출판되는 증명’과 달리, 아이디어의 발견 순서를 기술한다. 특히 그는 출판되는 증명과 발견되는 증명은 내러티브에서 ‘사건들이 발생하는 자연적인 시간 순서’와 ‘시간적 순서와 독립적으로, 화자가 상호 관련성에 따라 사건을 조직하는 순서’에 각각 대응되는 것으로 보았다.
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