본 연구는 유추 조건에 따른 수학적 문제 해결 양상을 분석하여 유추적 사고의 필요성을 확인하고, 시각적 표상을 통한 유추의 효과를 경험적으로 검증하기 위하여 실시되었다. 이러한 목적을 달성하기 위하여 충청북도 청주시에 소재한 일반계 고등학교인 C고등학교 3학년 학생 80명을 연구 대상자로 선정하였다. 이들은 유추 상황에 따라 설정된 표상 대응 조건, 개념 대응 조건, 탐색 조건과 비 유추조건인 단순조건에 각각 20명씩 배정되었으며, 1차 실험과 2차 실험에서 각 조건에 따라 서로 다른 학습 자극을 받은 후에 복소수 수열과 관련된 동일한 문제를 풀었다. SPSS 12.0을 이용한 ${\chi}^2$ 분석을 토대로 유추 조건에 따른 문제 해결률을 비교하여 분석한 결과, 수학적 문제 해결 과정에서 유추적 사고가 이루어지지 않을 경우에 이미 알고 있는 바탕 지식의 사용이 제한될 수 있으며, 시각적 표상을 통하여 바탕 개념과 표적 개념을 대응시켜 보는 것이 유추 전이에 효과적이라는 것을 확인할 수 있었다. 이와 같은 결과는 문제 해결 과정에서 유추적 사고의 필요성을 함의하고 있으며, 시각적 표상을 통하여 바탕 개념과 표적 개념의 관계적 유사성을 인식하는 것이 수학적 문제 해결과 밀접하게 관련되어 있다는 주장을 지지하는 경험적인 근거가 된다.
본 연구는 유추 조건에 따른 수학적 문제 해결 양상을 분석하여 유추적 사고의 필요성을 확인하고, 시각적 표상을 통한 유추의 효과를 경험적으로 검증하기 위하여 실시되었다. 이러한 목적을 달성하기 위하여 충청북도 청주시에 소재한 일반계 고등학교인 C고등학교 3학년 학생 80명을 연구 대상자로 선정하였다. 이들은 유추 상황에 따라 설정된 표상 대응 조건, 개념 대응 조건, 탐색 조건과 비 유추조건인 단순조건에 각각 20명씩 배정되었으며, 1차 실험과 2차 실험에서 각 조건에 따라 서로 다른 학습 자극을 받은 후에 복소수 수열과 관련된 동일한 문제를 풀었다. SPSS 12.0을 이용한 ${\chi}^2$ 분석을 토대로 유추 조건에 따른 문제 해결률을 비교하여 분석한 결과, 수학적 문제 해결 과정에서 유추적 사고가 이루어지지 않을 경우에 이미 알고 있는 바탕 지식의 사용이 제한될 수 있으며, 시각적 표상을 통하여 바탕 개념과 표적 개념을 대응시켜 보는 것이 유추 전이에 효과적이라는 것을 확인할 수 있었다. 이와 같은 결과는 문제 해결 과정에서 유추적 사고의 필요성을 함의하고 있으며, 시각적 표상을 통하여 바탕 개념과 표적 개념의 관계적 유사성을 인식하는 것이 수학적 문제 해결과 밀접하게 관련되어 있다는 주장을 지지하는 경험적인 근거가 된다.
This study was conducted to confirm the necessity of analogical thinking and to empirically verify the effectiveness of analogical reasoning through the visual representation by analyzing the factors of problem solving depending on analogical conditions. Four conditions (a visual representation mapp...
This study was conducted to confirm the necessity of analogical thinking and to empirically verify the effectiveness of analogical reasoning through the visual representation by analyzing the factors of problem solving depending on analogical conditions. Four conditions (a visual representation mapping condition, a conceptual mapping condition, a retrieval hint condition and no hint condition) were set up for the above purpose and 80 twelfth-grade students from C high-School in Cheong-Ju, Chung-Buk participated in the present study as subjects. They solved the same mathematical problem about sequence of complex numbers in their differed process requirements for analogical transfer. The problem solving rates for each condition were analyzed by Chi-square analysis using SPSS 12.0 program. The results of this study indicate that retrieval of base knowledge is restricted when participants do not use analogy intentionally in problem solving and the mapping of the base and target concepts through the visual representation would be closely related to successful analogical transfer. As the results of this study offer, analogical thinking is necessary while solving mathematical problems and it supports empirically the conclusion that recognition of the relational similarity between base and target concepts by the aid of visual representation is closely associated with successful problem solving.
This study was conducted to confirm the necessity of analogical thinking and to empirically verify the effectiveness of analogical reasoning through the visual representation by analyzing the factors of problem solving depending on analogical conditions. Four conditions (a visual representation mapping condition, a conceptual mapping condition, a retrieval hint condition and no hint condition) were set up for the above purpose and 80 twelfth-grade students from C high-School in Cheong-Ju, Chung-Buk participated in the present study as subjects. They solved the same mathematical problem about sequence of complex numbers in their differed process requirements for analogical transfer. The problem solving rates for each condition were analyzed by Chi-square analysis using SPSS 12.0 program. The results of this study indicate that retrieval of base knowledge is restricted when participants do not use analogy intentionally in problem solving and the mapping of the base and target concepts through the visual representation would be closely related to successful analogical transfer. As the results of this study offer, analogical thinking is necessary while solving mathematical problems and it supports empirically the conclusion that recognition of the relational similarity between base and target concepts by the aid of visual representation is closely associated with successful problem solving.
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문제 정의
본 연구는 실험적인 근거를 토대로 수학적 문제 해결에 있어서 유추적 사고의 필요성을 확인하였고, 시각적 표상을 통한 유추가 효과적이라는 것을 검증했다는 점에서 의의가 있을 것이다.
또한 수학교육학 분야에서 유추적 사고를 다룬 연구가 매우 부족한 상황이라고 한 이경화(2009)의 의견을 통하여 유추를 다루고 있는 수학교육학 분야의 선행 연구가 다소 제한적이라는 것을 확인할 수 있다. 본 연구에서는 이와 같은 선행 연구의 제한점을 보완하여 유추에 의한 문제 해결을 설명할 수 있는 방안을 다음과 같이 모색해 보았다.
본 연구의 목적은 유추 조건에 따른 수학적 문제 해결 양상을 분석하여 문제 해결에 있어서 유추적 사고의 필요성을 확인하고, 시각적 표상을 통한 유추의 효과를 검증하는 데 있다.
본 연구의 목적은 유추 조건에 따른 수학적 문제 해결 양상을 분석하여 문제 해결에 있어서 유추적 사고의 필요성을 확인하고, 시각적 표상을 통한 유추의 효과를 경험적으로 검증하는 데 있다. 이와 같은 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 가설을 설정하였다.
Novick과 Holyoak(1991)은 대응 단계가 유추 전이에 있어서 필수적이지만, 바탕과 표적 요소들 간의 개념 대응만으로는 유추 전이가 일어날 수 없으며, 표적 문제의 해결을 위해 바탕 문제의 해법을 실행하는 과정을 의미하는 적용 과정(adaptation process)이 수반될 때 성공적인 유추 전이를 기대할 수 있다고 주장했다. 연구 가설 2는 유추 조건에 따른 문제 해결 효과의 비교 분석을 통하여 시각적 표상을 활용하여 바탕과 표적을 추측하고 대응시키는 조건에서 문제 해결률이 유의미하게 높은지 여부를 확인하고, 유추 전이의 적용 과정을 재해석해 보기 위한 것이다.
또한 시각적 표상을 이용한 잠정적인 대응 관계는 지속적으로 수정 · 보완이 가능하고 이를 통하여 관계적 유사성이 견고해질 수 있기 때문에 결과적으로 유추 전이의 가능성이 높아지게 된다는 가정을 할 수 있을 것이다. 이와 같은 가정은 문제 해결 과정에서 시각적 표상의 역할을 고찰해 볼 수 있는 새로운 연구 과제가 될 수 있을 것이며 본 연구에서는 실험적인 결과를 근거로 하여 수학적 문제 해결에 있어서 시각적 표상을 통한 유추의 효과를 검증해 보고자 한다.
가설 설정
또한 시각적 표상을 이용한 잠정적인 대응 관계는 지속적으로 수정 · 보완이 가능하고 이를 통하여 관계적 유사성이 견고해질 수 있기 때문에 결과적으로 유추 전이의 가능성이 높아지게 된다는 가정을 할 수 있을 것이다.
유추 조건 중 표상 대응 조건의 문제 해결률은 높고, 개념 대응 조건과 탐색 조건의 문제 해결률은 모두 낮을 것이다.
유추 조건(표상 대응 조건, 개념 대응 조건, 탐색 조건)의 문제 해결률은 높고, 비 유추 조건(단순 조건)의 문제 해결률은 낮을 것이다.
유추 조건(표상 대응 조건, 개념 대응 조건, 탐색 조건)의 문제 해결률은 높고, 비 유추 조건(단순 조건)의 문제 해결률은 낮을 것이다.
이와 같이 연구 가설 2는 바탕 개념과 표적 개념을 시각적 표상을 통해 대응시킨 표상 대응 조건의 문제 해결률은 높고, 시각적 표상을 통해 대응시키지 않고 개념만 대응시킨 개념 대응 조건과 바탕 개념만 제시한 탐색 조건의 문제 해결률은 모두 낮을 것이라는 가정 하에 설정되었다.
제안 방법
1차 실험의 표적 문제에 대해서 복소수 등비수열의 수렴 조건, 발산 조건, 진동 조건을 모두 적은 답만을 정답으로 처리하였다. 단, c=1, d=0을 복소수 등비수열 Zn=(c+di)n의 수렴 조건으로 분류하지 않고, 수렴 조건과 진동 조건을 각각 c2+d2<1과 c2+d2=1이라고 판단한 답도 정답으로 인정했다.
단, c=1, d=0을 복소수 등비수열 Zn=(c+di)n의 수렴 조건으로 분류하지 않고, 수렴 조건과 진동 조건을 각각 c2+d2<1과 c2+d2=1이라고 판단한 답도 정답으로 인정했다. 2차 실험의 표적 문제에 대해서는 수렴, 발산, 진동을 기준으로 하여 주어진 열 개의 등비수열을 정확하게 분류한 답만을 정답으로 처리하였다.
본 연구의 가설을 검증하기 위해 유추 조건에 따른 문제 해결률의 차이를 분석할 수 있는 실험 연구 방법을 적용하여 1차 실험과 2차 실험을 설정하였다. 각 실험은 정해진 장소에서 연속적으로 이루어지므로 피험자 손실이 발생할 가능성이 없고, 각 집단은 동일집단으로 간주할 수 있으므로 1차 실험, 2차 실험을 위해 선택한 실험 설계는 준-실험설계(quasi-experimental design)의 사후 검사 통제집단 설계(posttest only control group design)이다.
그런데 유추를 다룬 수학교육 연구가 매우 부족한 상황이며(이경화, 2009), 유추 전이를 다룬 수학교육 연구에서는 대부분 인지심리학의 연구 도구였던 대수 문장제를 수정 · 보완하여 사용하고 있기 때문에 본 연구에서는 중등 수학 교육과정을 분석하여 수학적 문제 해결 상황으로 일반화하여 해석할 수 있는 검사 도구를 개발하게 되었다.
한 주 후에 본 실험이 실시되었으며 실험이 실시되기 전에 모든 연구 대상자들에게 실험의 목적이 복소수 수열의 이해에 관한 것이라는 것과 실험이 약 2-30분 정도 소요된다는 것을 밝혔다. 또한 적극적인 실험 참여를 독려하였으며, 시작 신호와 종료 신호를 엄수할 것, 별도의 지시가 있을 때 검사지를 뒤로 넘길 수 있다는 것, 정확한 결과를 위해서 문제를 푼 과정이나 답에 대해 논의하면 안 된다는 주의사항을 제시했다.
또한, 유추 조건에 따른 수학적 문제 해결 효과를 비교 분석하기 위해서는 수학적 문제 해결 과정이 유추에 의한 기제로 설명되어야 하는데, 연구 가설 1의 검증을 통하여 본 연구에서 설정한 실험들이 유추로 설명될 수 있는 문제 상황이라는 전제 조건을 만족시키는지 여부를 부가적으로 확인할 수 있다. 단순 조건에서 문제 해결률이 높다면 유추 조건을 설정한 의미가 없기 때문에 연구 가설 1의 검증은 연구 목적을 달성하기 위한 전제 조건이 된다고 할 수 있다.
먼저, 본 연구의 검사 도구는 대수 문장제가 아닌 시각적 표상으로 해석이 가능한 유추 문제로 구성되어 있다. 수학 문제 해결 상황은 언어로 된 현실 상황과 비교하여 상대적으로 바탕 지식이 적기 때문에 유추 전이가 쉽게 일어나지 않으며(Dunbar, 2001), 수학 문제는 그림이나 그래프를 이용하여 해석이 가능한 경우가 많이 있기 때문에(우정호, 2004), 수학교육에서의 유추에 관한 연구는 인지심리학에서의 연구와는 별도의 접근이 필요할 것이다.
바탕 개념이 되는 실수 등비수열에 대한 지식이 없는 학생들은 연구 대상에 포함시킬 수 없으며, 선택 과목을 중심으로 구성되어 학업 성취도에서 차이가 나는 기존의 학급을 그대로 이용하여 실험 집단을 조직할 수 없었으므로 네 개의 학급 학생 147명에 대한 2011년 3월과 4월의 전국 연합 모의고사의 문항 반응 분석과 수학 담당 교사의 추천을 통해 바탕 개념인 실수 등비수열에 관한 내용을 알고 있는 학생 80명을 선정하고 모의고사 수학 점수를 기준으로 서열화하여, 순차적으로 집단에 배정하는 방법으로 네 개의 동일 집단을 구성하였다(1등은 G1, 2등은 G2, 3등은 G3, 4등은 G4, 5등은 G4, 6등은 G3, 7등은 G2, 8등은 G1, 9등은 G1, ···, 80등은 G1).
바탕 문제의 수가 문제 해결을 위한 도식의 질과 관련되어 유추 전이의 효과에 영향을 줄수 있다는 Gick과 Holyoak(1983)의 연구 결과를 참고하여, 1차 실험과 2차 실험의 모든 조건에서 문제의 수와 종류는 동일하게 처리했으며 학습 자극만을 다르게 제시하였다. 2차 실험에 할당된 시간은 각 조건에 따른 자극에 따라 학습하는 시간 15분, 표적 문제를 푸는 시간 3분이었으며, 1차 실험과 2차 실험의 모든 과정이 끝난 후 검사지를 바로 회수하였다.
본 실험이 실시되기 일주일 전에 복소수 등비수열에 관한 수업(복소평면 소개, 복소수의 절댓값 소개, 복소수 등비수열의 기본 개념을 소개)이 이루어졌다. 복소수 등비수열을 소개하는 과정에서 수열의 수렴, 발산, 진동 조건에 관한 내용은 다루지 않았으며, 일주일 후에 본 실험이 진행된다는 사실을 언급하지 않았다.
본 연구에서 설정한 유추 조건은 표적 문제의 해결과 관련된 바탕 개념인 실수 등비수열의 개념을 제시한 세 가지 조건(표상 대응 조건, 개념 대응 조건, 탐색 조건)이며, 바탕 개념을 제시하지 않은 단순 조건이 비 유추 조건이다.
본 연구의 가설을 검증하기 위하여 SPSS 12.0을 이용한 양적 분석 방법을 적용하여 유추 조건에 따른 문제 해결률에 유의미한 차이가 있는지 여부를 확인하였다. 검정 방법으로 χ2분석을 사용하였으며, 검정에 사용된 유의 수준은 .
본 연구의 가설을 검증하기 위해 유추 조건에 따른 문제 해결률의 차이를 분석할 수 있는 실험 연구 방법을 적용하여 1차 실험과 2차 실험을 설정하였다. 각 실험은 정해진 장소에서 연속적으로 이루어지므로 피험자 손실이 발생할 가능성이 없고, 각 집단은 동일집단으로 간주할 수 있으므로 1차 실험, 2차 실험을 위해 선택한 실험 설계는 준-실험설계(quasi-experimental design)의 사후 검사 통제집단 설계(posttest only control group design)이다.
예비 표적 문제를 해결한 참가자는 없었는데, 이것은 모든 자료가 분석 대상이라는 것을 의미하는 것이다. 실험에 참여한 모든 참가자의 검사지를 분석하여 1차 표적 문제와 2차 표적 문제의 해결 여부를 결정하였다.
연구 가설 1을 검증하기 위하여 1차 실험에서의 유추 조건(표상 대응 조건, 개념 대응 조건, 탐색 조건)의 문제 해결률과 비 유추 조건(단순 조건)의 문제 해결률을 비교하였다. 각 조건에서 유추 전이에 성공한 참가자의 수와 문제 해결률이 <표 Ⅴ-1>에 제시되어 있으며, [그림 Ⅴ-1]은 유추 조건의 문제 해결률과 비 유추 조건의 문제 해결률을 그래프로 나타낸 것이다.
연구 가설2를 검증하기 위하여 먼저, 1차 실험의 표상 대응 조건, 개념 대응 조건, 탐색 조건의 문제 해결률을 비교하였다. 각 조건에서 유추 전이에 성공한 참가자의 수와 문제 해결률이 <표 Ⅴ-2>에 제시되어 있으며, [그림 Ⅴ-2]는 각 조건에서의 문제 해결률을 그래프로 나타낸 것이다.
유추 조건에 따라 문제 해결률에서 유의미한 차이가 있는지 알아보기 위하여 표상 대응 조건과 개념 대응 조건, 표상 대응 조건과 탐색 조건에 대한 χ2 검정을 각각 실시하였다.
이와 같은 사항들을 고려하여 실수로 된 등비수열(이하 실수 (등비)수열)과 수가 복소수로 확장된 등비수열(이하 복소수 (등비)수열)의 관계에 주목하였고, 등비수열의 수렴, 발산, 진동(수열의 진동은 수의 절댓값이 일정하게 유지되면서 발산하는 경우를 의미함) 개념을 소재로 검사 도구를 개발하였다. 바탕 문제와 표적 문제를 실수 등비수열과 복소수 등비수열의 극한을 판정하는 문제로 구성하였는데, 이는 해법과 관련된 도식이 구조적으로 유사하며, 무엇보다 시각적 표상을 통하여 바탕 개념과 표적 개념을 구성할 수 있다는 점에서 본 연구의 취지에 적합하다고 할 수 있다.
이와 같은 연구 목적을 달성하기 위하여 연구 가설 1과 연구 가설 2가 설정되었으며 연구가설을 검증하기 위하여 1차 실험과 2차 실험을 통한 양적 분석이 이루어졌다. 연구 가설을 검증하면서 도출된 연구 결과를 중심으로 한 논의 사항은 다음과 같다.
회수한 검사지를 분석하여 문제 해결 여부를 확인하였다. 예비 표적 문제를 해결한 참가자는 없었는데, 이것은 모든 자료가 분석 대상이라는 것을 의미하는 것이다.
대상 데이터
본 연구를 위하여 고교 평준화 지역인 충청북도 청주시에 위치하고 있는 C고등학교 3학년 자연계열의 남학생 80명을 연구 대상으로 선정하였다. 사전에 모든 연구 대상자들에게 연구의 성격과 의미를 충분히 설명했으며 실험 참가에 대한 동의를 받았다.
성능/효과
1차 실험에서 바탕 개념과 표적 개념을 함께 제시한 개념 대응 조건과 바탕 개념만을 제시한 탐색 조건의 표적 문제 해결률은 각각 25%와 20%였으며, 통계적으로 유의미한 차이가 없었다. 이와 같은 G2 집단과 G3 집단의 1차 실험 결과만을 놓고 보면, 유추 전이에 있어서 바탕 개념과 표적 개념의 구조적인 일대일 대응을 전제하는 Gentner(1983)의 관점이 지지되지 않는 것으로 해석이 가능하다.
2차 실험 결과 표상 대응 조건과 개념 대응 조건의 문제 해결률은 각각 62.5%, 27.5%였으며 두 조건의 문제 해결률의 차이가 유의미한지 알아보기 위해 χ2 검정을 실시한 결과, χ2 통계량은 9.899, 유의 확률은 .002로서 유의 수준 .05에서 각 조건에 따른 문제 해결률이 유의미한 차이가 있다고 할 수 있다.
하지만, G2 집단과 G3 집단 내에서의 1차 실험 결과와 2차 실험 결과에 대한 비교는 또 다른 해석을 가능하게 한다. G2 집단은 개념 대응 조건하에서 25%였던 문제 해결률이 표상대응 조건하에서 65%로 수치상으로 보면 40%가 증가한데 반하여, G3 집단은 탐색 조건하에서 20%였던 문제 해결률이 개념 대응 조건하에서 30%로 10%밖에 수행이 향상되지 않았다. 이와 같은 결과는 유추 전이의 대응 단계에서 바탕 개념과 표적 개념이 단순하게 기계적으로 정렬되어야 하는 것이 아니라 각 요소들이 정렬될 때 유추 전이를 위한 최적의 대응이 필요하다는 Holyoak과 Thagard(1989, 1995)의 연구 결과를 만족시키는 것이며, 유추 전이에 있어서 바탕 개념과 표적 개념의 구조적이고 대칭적인 대응을 전제하는 Gentner(1983)의 관점을 보완해주는 것이다.
또한, 바탕 문제와 표적 문제를 인과적으로만 생각하여 일방적으로 바탕 문제의 특정한 학습 조건이나 정해진 해법을 통한 표적 문제의 해결을 강조하기보다는 바탕 문제와 표적 문제의 해법을 동시에 추측하고 구성할 수 있는 상황을 제시하여 표적 문제를 해결하는 과정에서 바탕 지식과 표적 지식의 상호 작용을 충분히 고려했다.
문제의 해결과 관련된 바탕 개념을 제시한 유추 조건(표상 대응 조건, 개념 대응 조건, 탐색 조건)의 문제 해결률은 높았고, 바탕 개념을 제시하지 않은 비 유추 조건(단순 조건)의 문제 해결률은 낮았다. 또한 두 조건의 문제 해결률은 통계적으로 유의미한 차이가 있었다.
이와 같은 사항들을 고려하여 실수로 된 등비수열(이하 실수 (등비)수열)과 수가 복소수로 확장된 등비수열(이하 복소수 (등비)수열)의 관계에 주목하였고, 등비수열의 수렴, 발산, 진동(수열의 진동은 수의 절댓값이 일정하게 유지되면서 발산하는 경우를 의미함) 개념을 소재로 검사 도구를 개발하였다. 바탕 문제와 표적 문제를 실수 등비수열과 복소수 등비수열의 극한을 판정하는 문제로 구성하였는데, 이는 해법과 관련된 도식이 구조적으로 유사하며, 무엇보다 시각적 표상을 통하여 바탕 개념과 표적 개념을 구성할 수 있다는 점에서 본 연구의 취지에 적합하다고 할 수 있다. 바탕 개념인 실수 등비수열과 표적 개념인 복소수 등비수열의 대응 요소는 <표 Ⅳ-2>와 같으며, 연구 대상자가 문제의 해법과 관련하여 추측하고 구성해야하는 사항들을 [그림 Ⅳ-1]과 같이 나타낼 수 있다.
유추 조건 간의 문제 해결률은 표상 대응 조건, 개념 대응 조건, 탐색 조건 순으로 높았다. 표상 대응 조건과 개념 대응 조건의 문제 해결률은 통계적으로 유의미한 차이가 있었으며, 표상 대응 조건과 탐색 조건의 문제 해결률에서도 통계적으로 유의미한 차이가 있었다.
유추 조건과 비 유추 조건의 문제 해결률을 비교해 본 결과 유추 조건에서 35%의 문제해결률을 보인 반면, 비 유추 조건의 문제 해결률은 5%였다. 각 조건의 문제 해결률에서 유의미한 차이가 있는지 알아보기 위해 χ2 검정을 실시한 결과, χ2 통계량은 6.
유추 조건별로 문제 해결률을 비교해 본 결과, 표상 대응 조건의 문제 해결률이 60%로 가장 높았고, 개념 대응 조건과 탐색 조건의 문제 해결률은 각각 25%, 20%로 낮았다. 유추 조건에 따라 문제 해결률에서 유의미한 차이가 있는지 알아보기 위하여 표상 대응 조건과 개념 대응 조건, 표상 대응 조건과 탐색 조건에 대한 χ2 검정을 각각 실시하였다.
이상의 연구 결과1과 연구 결과2는 수학적 문제 해결 과정에서 유추적 사고의 필요성을 함의하고 있으며, 시각적 표상을 통하여 바탕 개념과 표적 개념의 관계적 유사성을 인식하는 것이 성공적인 수학적 문제 해결과 밀접하게 관련되어 있다는 주장을 지지하는 경험적인 근거가 될 수 있다. 그러므로 본 연구는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.
이와 같은 결과를 통하여, 유추 조건 중 표상 대응 조건의 문제 해결률은 개념 대응 조건이나 탐색 조건의 문제 해결률보다 높다는 것이 경험적으로 검증되었다.
유추 조건 간의 문제 해결률은 표상 대응 조건, 개념 대응 조건, 탐색 조건 순으로 높았다. 표상 대응 조건과 개념 대응 조건의 문제 해결률은 통계적으로 유의미한 차이가 있었으며, 표상 대응 조건과 탐색 조건의 문제 해결률에서도 통계적으로 유의미한 차이가 있었다. 그러나, 개념 대응 조건과 탐색 조건의 문제 해결률은 통계적으로 유의미한 차이가 없었다.
복소수 등비수열을 소개하는 과정에서 수열의 수렴, 발산, 진동 조건에 관한 내용은 다루지 않았으며, 일주일 후에 본 실험이 진행된다는 사실을 언급하지 않았다. 한 주 후에 본 실험이 실시되었으며 실험이 실시되기 전에 모든 연구 대상자들에게 실험의 목적이 복소수 수열의 이해에 관한 것이라는 것과 실험이 약 2-30분 정도 소요된다는 것을 밝혔다. 또한 적극적인 실험 참여를 독려하였으며, 시작 신호와 종료 신호를 엄수할 것, 별도의 지시가 있을 때 검사지를 뒤로 넘길 수 있다는 것, 정확한 결과를 위해서 문제를 푼 과정이나 답에 대해 논의하면 안 된다는 주의사항을 제시했다.
후속연구
둘째, 시각적 표상을 통한 유추는 수학적 문제 해결에 있어서 의미 있는 역할을 하기 때문에, 문제 해결 과정에서 시각적 표상을 구성해 보는 활동을 통하여 바탕 개념과 표적 개념의 관계적 유사성을 인식하고, 표적 문제의 해결을 위하여 바탕 문제의 해법을 적용시키는 노력이 필요할 것이다.
새로운 표적 문제를 해결하기 위해서 문제를 푸는 사람이 자발적으로 바탕 지식과의 관련성을 생각하여 문제의 해법에 관한 도식을 추측하고 구성해야 한다는 관점에서 볼 때, 본 연구는 바탕과 표적의 관계를 지속적으로 생각해 보면서 문제의 해법과 관련된 사전 지식을 인식하는 과정을 다루게 된다는 점에서 유추에 의한 문제 해결과 관련된 변인이나 유추 전이 효과를 다룬 기존의 연구 결과를 보완하여 수학적 문제 해결 효과를 분석할 수 있을 것이다.
유추 조건에서는 문제 해결과 관련된 바탕 개념이 제시되는 반면에 비 유추 조건에서는 바탕 개념이 제시되지 않기 때문에, 비 유추 조건하에서의 문제 해결 여부는 자발적인 바탕 지식의 인출과 관련될 것이다. 연구 가설 1을 검증하면서 수학적 문제 해결 상황에서 바탕 지식의 인출과 관련된 제한 사항을 실험적으로 확인해 볼 수 있을 것이다.
바탕 개념이 되는 실수 수열은 수학Ⅰ에 나오는 내용으로 고등학교 2학년 과정에서 다루게 되는데, 표적 개념이 되는 복소수 수열은 현행 고등학교 교육과정에서 다루지 않는다. 이것은 표적 문제의 해법에 관한 선행 학습이 이루어졌을 가능성이 적다는 장점으로 해석할 수 있으며, 실험을 진행하기 위해서 표적 개념인 복소수 등비수열에 대한 학습이 필요하다는 부담이 있지만 고등학교 1학년 과정에서 복소수의 사칙연산에 대한 개념을 다루었기 때문에 복소평면에 대한 개념과 복소수의 절댓값에 대한 이해가 수반되면 바탕 개념을 통하여 복소수 등비수열의 수렴, 발산, 진동 양상을 판정하는 실험 연구가 가능할 것이라 판단했다.
첫째, 문제 해결 상황에서 이미 알고 있는 바탕 지식의 사용이 제한될 수 있기 때문에, 수학적 문제 해결에 있어서 의도적이고 전략적인 유추적 사고가 필요할 것이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
인지심리학에서 이루어진 유추 연구의 도구가 무엇인 경우가 많았는가?
인지심리학에서 이루어진 유추 연구의 도구가 대수 문장제(algebraic word problem)인 경우가 많았으며(예, Novick, 1995; Novick & Holyoak, 1991; Reed, 1987; Reed, Dempster & Ettinger, 1985), 수학이 다루는 주제들 중 많은 부분이 유추와 관련되어 있기 때문에(Polya, 2002, 2003) 유추에 대한 관심은 수학교육학 연구에서도 반영되어 수학 문제 해결에 있어서 유추 전이(analogical transfer)에 영향을 미치는 변인들을 조사하는 연구들이 보고되고 있다(예, 이종희, 김선희, 2002; 이종희, 김진화, 김선희, 2003; Bassok, 2001; Bassok & Holyoak, 1989; English, 1998; Reed, 1987; Reed et al., 1985; Richland, Holyoak & Stigler, 2004).
유추 조건에 따른 수학적 문제 해결 양상을 분석하여 유추적 사고의 필요성을 확인하고, 시각적 표상을 통한 유추의 효과를 경험적으로 검증하기 위하여 실시하기 위하여 조사 분석 한 결과는?
SPSS 12.0을 이용한 ${\chi}^2$ 분석을 토대로 유추 조건에 따른 문제 해결률을 비교하여 분석한 결과, 수학적 문제 해결 과정에서 유추적 사고가 이루어지지 않을 경우에 이미 알고 있는 바탕 지식의 사용이 제한될 수 있으며, 시각적 표상을 통하여 바탕 개념과 표적 개념을 대응시켜 보는 것이 유추 전이에 효과적이라는 것을 확인할 수 있었다. 이와 같은 결과는 문제 해결 과정에서 유추적 사고의 필요성을 함의하고 있으며, 시각적 표상을 통하여 바탕 개념과 표적 개념의 관계적 유사성을 인식하는 것이 수학적 문제 해결과 밀접하게 관련되어 있다는 주장을 지지하는 경험적인 근거가 된다.
유추란 무엇인가?
유추를 통하여 문제를 해결하기 위해서는 이미 알고 있는 바탕 문제(base problem)와 새로 주어진 표적 문제(target problem)가 필요하다. 유추는 현재의 문제를 해결하기 위해 사전 지식을 이용하는 것이므로 바탕 문제와 표적 문제 사이에는 반드시 공통된 유사성이 존재해야 하며, 표적 문제를 해결하기 위하여 바탕 문제와 표적 문제의 유사성을 인식하고 관계를 대응시켜야 한다(Bassok, 2001; Gentner, 1983; Holyoak & Thagard, 1995; Weisberg, 2009). 이 과정에서 문제를 푸는 사람은 바탕 문제와 표적 문제에서 구조적인 관계의 유사성을 파악하고 자신이 이미 풀어보았던 바탕 문제의 해결책을 표적 문제에 전이하여 문제를 해결했다고 볼 수 있는데, 이와 같이 유추에 의해 문제가 해결되었을 때, 유추 전이(Analogical transfer)가 이루어졌다고 한다(Novick & Holyoak, 1991; Sternberg, 2005; Weisberg, 2009).
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