girih 타일링은 비주기적이면서도 규칙적인 구조를 가진 타일링으로, 최근 '이슬람 사원 장식에 숨어있는 수학의 비밀'로 주목받고 있다. 본 연구에서는 이를 소재로 하여 비주기적인 규칙성 안에 숨어 있는 수학이 만들어내는 유용성과 아름다움을 체험할 수 있는 초등 수학영재 프로그램을 개발 적용하고 그 결과를 분석하는 데 목적을 두었다. 개발한 초등수학영재 프로그램은 '이슬람 문양 속 girih의 비밀을 찾아서'이며, Renzulli의 3부 심화학습 형식에 따라 적용하였다. 이 프로그램은 대전광역시 유성구에 소재하고 있는 D 초등학교 5, 6학년 통합영재반 6명에게 적용한 결과를 토대로 수정, 보완 하였으며 개발된 프로그램 및 학습 자료는 초등수학영재 교육을 위한 소재 개발과 방법에 있어 도움이 될 것으로 기대한다.
girih 타일링은 비주기적이면서도 규칙적인 구조를 가진 타일링으로, 최근 '이슬람 사원 장식에 숨어있는 수학의 비밀'로 주목받고 있다. 본 연구에서는 이를 소재로 하여 비주기적인 규칙성 안에 숨어 있는 수학이 만들어내는 유용성과 아름다움을 체험할 수 있는 초등 수학영재 프로그램을 개발 적용하고 그 결과를 분석하는 데 목적을 두었다. 개발한 초등수학영재 프로그램은 '이슬람 문양 속 girih의 비밀을 찾아서'이며, Renzulli의 3부 심화학습 형식에 따라 적용하였다. 이 프로그램은 대전광역시 유성구에 소재하고 있는 D 초등학교 5, 6학년 통합영재반 6명에게 적용한 결과를 토대로 수정, 보완 하였으며 개발된 프로그램 및 학습 자료는 초등수학영재 교육을 위한 소재 개발과 방법에 있어 도움이 될 것으로 기대한다.
The purpose of this study is to develop a new program for elementary math-gifted students by using 'Girih Tililng' and apply it to the elementary students to improve their math-ability. Girih Tililng is well known for 'the secrets of mathematics hidden in Mosque decoration' with lots of recent atten...
The purpose of this study is to develop a new program for elementary math-gifted students by using 'Girih Tililng' and apply it to the elementary students to improve their math-ability. Girih Tililng is well known for 'the secrets of mathematics hidden in Mosque decoration' with lots of recent attention from the world. The process of this study is as follows; (1) Reference research has been done for various tiling theories and the theories have been utilized for making this study applicable. (2) The characteristic features of Mosque tiles and their basic structures have been analyzed. After logical examination of the patterns, their mathematic attributes have been found out. (3) After development of Girih tiling program, the program has been applied to math-gifted students and the program has been modified and complemented. This program which has been developed for math-gifted students is called 'Exploring the Secrets of Girih Hidden in Mosque Patterns'. The program was based on the Renzulli's three-part in-depth learning. The first part of the in-depth learning activity, as a research stage, is designed to examine Islamic patterns in various ways and get the gifted students to understand and have them motivated to learn the concept of the tiling, understanding the characteristics of Islamic patterns, investigating Islamic design, and experiencing the Girih tiles. The second part of the in-depth learning activity, as a discovery stage, is focused on investigating the mathematical features of the Girih tile, comparing Girih tiled patterns with non-Girih tiled ones, investigating the mathematical characteristics of the five Girih tiles, and filling out the blank of Islamic patterns. The third part of the in-depth learning activity, as an inquiry or a creative stage, is planned to show the students' mathematical creativity by thinking over different types of Girih tiling, making the students' own tile patterns, presenting artifacts and reflecting over production process. This program was applied to 6 students who were enrolled in an unified(math and science) gifted class of D elementary school in Daejeon. After analyzing the results produced by its application, the program was modified and complemented repeatedly. It is expected that this program and its materials used in this study will guide a direction of how to develop methodical materials for math-gifted education in elementary schools. This program is originally developed for gifted education in elementary schools, but for further study, it is hoped that this study and the program will be also utilized in the field of math-gifted or unified gifted education in secondary schools in connection with 'Penrose Tiling' or material of 'quasi-crystal'.
The purpose of this study is to develop a new program for elementary math-gifted students by using 'Girih Tililng' and apply it to the elementary students to improve their math-ability. Girih Tililng is well known for 'the secrets of mathematics hidden in Mosque decoration' with lots of recent attention from the world. The process of this study is as follows; (1) Reference research has been done for various tiling theories and the theories have been utilized for making this study applicable. (2) The characteristic features of Mosque tiles and their basic structures have been analyzed. After logical examination of the patterns, their mathematic attributes have been found out. (3) After development of Girih tiling program, the program has been applied to math-gifted students and the program has been modified and complemented. This program which has been developed for math-gifted students is called 'Exploring the Secrets of Girih Hidden in Mosque Patterns'. The program was based on the Renzulli's three-part in-depth learning. The first part of the in-depth learning activity, as a research stage, is designed to examine Islamic patterns in various ways and get the gifted students to understand and have them motivated to learn the concept of the tiling, understanding the characteristics of Islamic patterns, investigating Islamic design, and experiencing the Girih tiles. The second part of the in-depth learning activity, as a discovery stage, is focused on investigating the mathematical features of the Girih tile, comparing Girih tiled patterns with non-Girih tiled ones, investigating the mathematical characteristics of the five Girih tiles, and filling out the blank of Islamic patterns. The third part of the in-depth learning activity, as an inquiry or a creative stage, is planned to show the students' mathematical creativity by thinking over different types of Girih tiling, making the students' own tile patterns, presenting artifacts and reflecting over production process. This program was applied to 6 students who were enrolled in an unified(math and science) gifted class of D elementary school in Daejeon. After analyzing the results produced by its application, the program was modified and complemented repeatedly. It is expected that this program and its materials used in this study will guide a direction of how to develop methodical materials for math-gifted education in elementary schools. This program is originally developed for gifted education in elementary schools, but for further study, it is hoped that this study and the program will be also utilized in the field of math-gifted or unified gifted education in secondary schools in connection with 'Penrose Tiling' or material of 'quasi-crystal'.
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문제 정의
본 논문에서는 최근 ‘이슬람 사원 장식에 숨어있는 수학의 비밀’로 주목받고 있는 비주기 적이면서도 규칙적인 구조를 가진 girih 타일링을 소재로 하여 초등수학영재 프로그램을 개발, 적용해 보고자 하였다.
위와 같은 목표와 더불어 이슬람권 나라에 퍼져 있는 광범위한 건축물과 예술품에서 girih 타일을 발견하듯 규칙성에 대한 자신의 지식과 호기심을 바탕으로 자연환경과 인문환경에 숨겨진 규칙성을 찾아보고, 수학적 유용성 및 아름다움을 느낄 수 있도록 하는 데 본 프로그램의 의의를 두고자 하였다.
이슬람 문양 속 girih 타일을 활용한 초등수학영재 프로그램 개발과 관련하여 본 연구자는 다음 두 가지를 제언하고자 한다.
이에 본 논문에서는 최근 ‘이슬람 사원 장식에 숨어있는 수학의 비밀’로 주목받고 있는, 비주기적이면서도 규칙적인 구조를 가진 girih 타일링을 소재로 하여 초등수학영재 프로그램을 개발하고 그 실행 결과를 분석하고자 하였다.
활동 소감지는 새롭게 알게 된 점, 재미있었던 점, 어려웠던 점, 더 알고 싶은 점 등으로 구성되어 있다. 학생들이 자유 서술식으로 응답한 새롭게 알게 된 점과 재미있었던 점들을 통해서는 이 프로그램의 기대 효과 검증을, 어려웠던 점과 더 알고 싶은 점들을 통해서는 프로그램의 수정 및 보완에 참고할만한 점들을 얻고자 하였다.
가설 설정
넷째, 자신이 만든 작품에 나타난 girih 타일의 배열구조를 서로 소개하는 활동을 통하여 수학적 의사소통 능력이 향상될 것이다.
둘째, girih 타일의 특징을 알아보고, 수학적 요소들을 탐색하는 과정을 통해 기존의 지식을 적용하고 분석하는 사고력이 활성화될 것이다.
첫째, 학생들은 다양한 이슬람 문양을 탐색해 보고 그 안에 숨어있는 girih 타일을 찾아보는 활동을 통하여 패턴 찾기 활동에 관심과 흥미를 갖게 될 것이다.
제안 방법
∙ girih 타일의 특징을 알아보고, 수학적 요소들을 탐색하는 과정을 통해 기존의 지식을 적용하고 분석하는 사고력을 활성화시킨다.
다음으로, 학생들은 실측과 실험 등의 직관적인 방법을 통해 girih 타일 다섯 종류의 수학적 특성과 girih 선의 수학적 특성을 찾아내었으며, 그 내용은 와 같다.
먼저 다양한 이슬람 문양을 살펴보고, girih 타일이 사용된 문양과 girih 타일이 사용되지 않은 문양을 구분하는 활동을 하였다. 학생들이 처음부터 완벽하게 구분하지 못하였으며, 교사의 안내에 따라 재분류 활동을 하였다.
본 프로그램은 Renzulli의 3부 심화학습모형 형식에 따라 개발하였다. Renzulli의 3부심화 학습 모형은 영재교육 교수‧학습 모형 중에서 가장 널리 활용되고 있는 모형으로 Renzulli의 세 고리 영재개념에 기초한 모형이다.
본 프로그램을 진행하면서 각 단계가 끝날 때마다 학생들에게 활동 소감지를 작성하게 하였다. 활동 소감지는 새롭게 알게 된 점, 재미있었던 점, 어려웠던 점, 더 알고 싶은 점 등으로 구성되어 있다.
2부 심화 학습활동은 탐구 활동으로서 ‘girih 타일의 수학적 성질을 찾아라!’이다. 이 단계에서는 다양한 이슬람 문양을 비교한 후 girih가 있는 이슬람 문양과 girih 타일이 없는 이슬람 문양의 특징을 비교하기, girih 타일 5종류가 지닌 수학적 성질 탐구하기, 문양에 알맞은 girih 타일 찾기 등을 학습하였다.
이 프로그램에서는 먼저 다양한 이슬람 문양을 탐색해 본 후 그 안에 숨어있는 girih 타일을 찾아보게 함으로써 호기심과 흥미를 유발하고, girih 타일에 담겨진 수학적인 개념과 특징을 탐구하게 하며, 타일링을 통해 학생들로 하여금 수학적인 의미를 구성해보게 하고자 한다. 본 주제와 관련된 활동들과 활동을 통해 달성하고자 하는 목표는 다음과 같다.
학생들이 처음부터 완벽하게 구분하지 못하였으며, 교사의 안내에 따라 재분류 활동을 하였다. 최종적으로 분류를 맞게 한 후 girih 타일이 쓰인 이슬람 문양과 그렇지 않은 이슬람 문양 사이의 차이점을 설명하도록 하였다.
대상 데이터
본 연구로 개발된 프로그램을 대전광역시 유성구에 소재하고 있는 D초등학교 5, 6학년 통합영재반 6명에게 적용하였으며, 5월부터 6월까지 영재반 수업 시간을 이용하여 총 8차시 수업을 하였다.
프로그램은 총 3부로 이루어졌으며, 각 단계별 주요 내용은 다음과 같았다.
성능/효과
girih 타일을 1가지 종류만 사용하여 타일링을 할 수 있는 경우 3가지는 학생들 모두 100% 찾아냈으며, 정십각형과 정오각형만으로는 타일링이 불가능한 이유까지 정확하게 설명하였다. 2가지 종류의 girih 타일을 사용하여 타일링할 수 있는 경우에서도 정십각형과 나비넥타이를 사용한 타일링을 100% 찾아냈다.
둘째, girih 타일의 특징을 알아보고, 수학적 요소들을 탐색하는 과정을 통해 기존의 지식(다각형의 개념, 변환과 대칭 등)을 적용하고 분석하는 사고력이 활성화되었다.
셋째, girih 타일과 girih 선의 수학적 특성을 정밀하게 탐구할 수 있도록 학습지의 girih 타일 크기를 확대하여 제시하고, 충분한 탐구 시간과 짝 토의 시간을 할당한다.
셋째, 이슬람 문양에 나타난 girih 타일을 체계적이고 순차적으로 찾아봄으로써 사고의 정교성이, 주어진 틀에 girih 타일을 다양하게 배열하는 활동을 통해 유창성이, 다른 유형과 패턴을 조직하고 비교함으로써 융통성이, 자기만의 새로운 이슬람 문양을 만들어 봄으로써 독창성이 발휘될 것이다.
셋째, 주어진 틀에 girih 타일을 다양하게 배열하는 활동을 통해 유창성이, 다른 유형과 패턴을 조직하고 비교함으로써 융통성이, 자기만의 새로운 이슬람 문양을 만들어 봄으로써 독창성이 발휘되었다.
학생1과 학생2는 다섯 종류의 girih 타일별로 색을 구분하되 단위 타일 상의 도형별로 색을 구분하였다는 공통점을 갖고 있는 반면에 학생2는 정십각형을 그 원칙에서 제외시킴으로써 정십각형이 확실하게 보이도록 하였다. 이로써 학생1과 학생2의 작품은 단위 girih 타일뿐만 아니라 단위 타일 상에 girih 선에 의해 생성된 도형의 일부까지 문양으로 인식시키는 효과를 보였다. 학생3은 단일 색을 사용함으로써 단위 girih 타일보다는 girih 선에 의해 생성된 도형 자체를 부각시켰다.
첫째, 본 프로그램은 초등수학영재교육 프로그램으로 개발되었으나 비주기적인 타일링의 일종이라는 점에서 중등수학영재교육 프로그램으로 확장, 심화 시킬 수 있는 내용을 담고있다. Penrose 타일링이나 ‘준결정(Quasicrystal) 물질’, 피보나치 수열과 황금비 등과 관련지어 girih 타일링을 구성한 수학영재교육 프로그램이나 융합영재교육 프로그램이 후속 프로그램으로 개발되길 기대한다.
첫째, 학생들은 다양한 이슬람 문양을 탐색해 보고 그 안에 숨어있는 girih 타일을 찾아보는 활동을 통하여 패턴 찾기 활동에 관심과 흥미를 갖게 되었다.
후속연구
Penrose 타일링이나 ‘준결정(Quasicrystal) 물질’, 피보나치 수열과 황금비 등과 관련지어 girih 타일링을 구성한 수학영재교육 프로그램이나 융합영재교육 프로그램이 후속 프로그램으로 개발되길 기대한다.
넷째, 추가 자율 연구 활동으로 학생들이 직접 girih 타일을 그려보는 활동을 하거나 이슬람 문양 중 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도할 수 있는 칠원 문양 등을 탐구해보는 활동도 의미가 있을 것이다.
둘째, 소프트웨어를 활용하여 girih 타일을 구현해보고 타일링도 해보는 프로그램은 그 활동 자체만으로도 girih 타일의 수학적 특성과 타일링의 원리를 더 쉽고, 흥미롭게 탐구할 수 있는 좋은 프로그램이 될 것이다.
학생들은 이 프로그램 ‘이슬람 문양 속 girih의 비밀을 찾아서’에 참여하여 활동하는 동안 인문환경에 숨겨진 규칙성을 찾아봄으로써 수학적 유용성 및 아름다움을 느끼게 될 것이며, 나아가 건축물과 예술품뿐만 아니라 자연환경 속에 숨겨진 규칙성을 찾아 수학적으로 탐구하고자 하는 동기를 갖게 될 것이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
주기적으로 반복되는 특성으로 평행이동 대칭을 갖느냐, 갖지 않느냐에 따라 타일링을 구분하면 어떻게 나눌 수 있는가?
타일링을 구분할 때, 사용하는 도형을 기준으로 하게 되면, 크게 정다각형을 이용한 타일링과(정다각형이 아닌) 다각형을 이용한 타일링으로 구분할 수 있다. 또는 주기적으로 반복되는 특성으로 평행이동 대칭을 갖느냐, 갖지 않느냐에 따라 주기적 타일링과 비주기적 타일링으로 구분할 수 있다.
타일링은 무엇인가?
타일링은 마루나 욕실 바닥에 깔려 있는 타일처럼 어떤 틈이나 겹침이 없이 평면이나 공간을 도형으로 완벽하게 덮는 것을 말한다. 타일링을 구분할 때, 사용하는 도형을 기준으로 하게 되면, 크게 정다각형을 이용한 타일링과(정다각형이 아닌) 다각형을 이용한 타일링으로 구분할 수 있다.
비주기적 타일링의 대표적인 예는 무엇인가?
비주기적 타일링의 대표적인 예로 펜로즈 타일링을 들 수 있다. 1974년 옥스퍼드 대학의 수리물리학자 Roser Penrose가 발견한 것으로, 다음 그림의 연, 표창을 이용하면, 분해와 재조합을 거쳐 평행이동 대칭 없이 비주기적으로 평면을 완전히 채우는, 비주기적 타일링이 가능하다.
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