[논문]이차 미분을 이용한 경험적 모드분해법

박민수; 김동호; 오희석

doi:10.5351/kjas.2013.26.2.335

이차 미분을 이용한 경험적 모드분해법
Empirical Mode Decomposition using the Second Derivative 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.26 no.2, 2013년, pp.335 - 347

박민수 (서울대학교 통계학과) , 김동호 (세종대학교 수학통계학부) , 오희석 (서울대학교 통계학과)

초록
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다양한 분야에서 시그널(signal) 형태로 자료들이 표현된다. 예를 들면 심전도(electrocardiogram)는 심근에서 발생하는 활동 전류를 나타내는데, 심장의 박동에 따라 수축과 이완을 반복하는 과정을 시간에 따른 활동 전류량의 변동으로 나타낸다. 현실세계에서 측정하거나 관찰되는 시그널에는 다양한 형태의 시그널들이 혼합되어 있는 경우가 흔하다. 예를 들어 오케스트라 연주의 아름다운 선율은 고유한 주파수(frequency)를 지닌 악기들의 다양한 소리로 구성되어 있으며, 각기 다른 음조(note)가 하나로 모여 완벽한 하모니를 형성하게 된다. 시그널이 정상인(stationary) 경우에 혼합된 시그널들을 분해하여 분석하는 방법에 대해 현재까지 다양하게 연구되어 왔다. 자료가 비정상(non-stationary)일 경우에는 기존의 방법론들을 적용시키기에는 한계가 있다. 비정상성 자료를 다루기 위해 Huang 등 (1998)은 경험적 모드분해법(empirical mode decomposition)이라는 방법을 제안하였다. 자료에 내포되어 있는 국소적인 파동(oscillation)을 국소 극값들(local extrema)을 식별하여 자료 적응적으로 추출한다. 경험적 모드분해법은 잡음(error)에 의해 자료가 오염되어 있는 경우에는 국소 극값들을 통하여 국소적인 파동을 추정하기 어려우며, 자료의 크기가 커짐에 따라 계산량도 크게 늘어나는 단점 등이 있다. 본 연구에서는 이차 미분을 이용하여 국소적인 파동을 식별하고 추정하는 새로운 방법론을 제시하고자 한다.

Abstract ▼ AI-Helper

There are various types of real world signals. For example, an electrocardiogram(ECG) represents myocardium activities (contraction and relaxation) according to the beating of the heart. ECG can be expressed as the fluctuation of ampere ratings over time. A signal is a composite of various types of signals. An orchestra (which boasts a beautiful melody) consists of a variety of instruments with a unique frequency; subsequently, each sound is combined to form a perfect harmony. Various research on how to to decompose mixed stationary signals have been conducted. In the case of non-stationary signals, there is a limitation to use methodologies for stationary signals. Huang et al. (1998) proposed empirical mode decomposition(EMD) to deal with non-stationarity. EMD provides a data-driven approach to decompose a signal into intrinsic mode functions according to local oscillation through the identification of local extrema. However, due to the repeating process in the construction of envelopes, EMD algorithm is not efficient and not robust to a noise, and its computational complexity tends to increase as the size of a signal grows. In this research, we propose a new method to extract a local oscillation embedded in a signal by utilizing the second derivative.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

특성 1. 반복되는 행태를 어떤 국소 극대값과 그 다음 국소 극대값 사이의 구간에서 살펴보자. 0을 지나는 2개의 지점과 그 사이에 국소 극소값이 존재한다는 사실을 알 수 있다.
이러한 알고리듬의 단점을 개선하기 위한 여러 방안이 제안되어 왔다 (Deering과 Kaiser, 2005; Rilling 등, 2003; Zeng과 He, 2004; Wu와 Huang, 2009). 본 연구에서는 경험적 모드분해법에서 사용하는 국소파형 식별 방법을 이차미분을 활용한 방법으로 대체하여 다양한 파형으로 구성되어 있는 시그널을 효과적이고 효율적으로 분해하는 방법론을 제시하고자 한다.
기존의 경험적 모드분해법은 계산량이 많다는 점과 잡음에 강건하지 못한다는 단점을 가지고 있다. 본 연구에서는 국소 극대값으로부터 상위막과 하위막을 계산하는 알고리듬 부분을 개선하기 위하여 자료로부터 평균막을 직접 추출할 수 있는 방법론을 제시하였다. 시그널의 상대적인 증가 또는 감소의 변화를 감지하는 이차 미분을 활용한 알고리듬을 제안하였으며, 사례연구를 통하여 효율성을 입증하였다.
본 연구에서는 근사적인 이차 미분 (3.1)을 활용한 체거름과정을 적용하여 국소적인 파동을 식별하고 추정하는 새로운 방법론을 제시하고자 한다. 이차 미분을 이용한 체거름과정과 경험적 모드분해법을 각각 수정 체거름과정(modified sifting), 수정 경험적 모드분해법(modified EMD)이라 명명하자.
본 절에서는 3절에서 제안한 방법론을 이용하여 심전도 자료를 분해하고 그 결과를 해석하고자 한다. 심전도 자료는 순수한 심장박동만으로 이루어지지 않고, 측정 기구로부터의 잡음, 호흡에 의한 시그널 등이 혼재되어 있다.
사례를 통하여 제안한 체거름과정의 실효성을 살펴보고자 한다. 다음의 가상적인 시그널 f₁(t)와 f₂(t)를 고려해 보자.
시그널이 잡음에 의해 오염되어 있는 경우 제안한 방법이 효과적으로 잡음을 분해할 수 있는지 살펴보았다. 가상적인 시그널 f₁이 평균이 0, 분산이 1인 가우시안 잡음(Gaussian noise)에 의해 오염된 경우를 고려하여 보자.
다양한 주파수를 가진 시그널들이 혼합되어 하나의 시그널 형태로 관찰되는 경우가 흔하다. 우리 주위에서 쉽게 접할 수 있는 음악을 예로 들어보자. 음악에는 다양한 악기의 소리가 혼합되어 있다.

가설 설정

3. 시그널 s를 내재모드함수 imf1와 잔여시그널 r = s − imf1로 분해한다.

제안 방법

본 논문의 전개 내용은 다음과 같다. 2절에서 경험적 모드분해법에 대해 간략히 기술하고, 3절에서는 이차미분을 이용하여 시그널을 분해하는 새로운 분해법을 제안하고자 한다. 4절과 5절에서는 모의실험과 실제 자료 분석을 수행하여 제안한 방법의 실효성에 대해서 검토하고자 한다.
특성 2. 국소 극대값들과 국소 극대값들 각각에 대해 보간법(interpolation)으로 산출한 함수들을 상위막(upper envelope)과 하위막(lower envelope)이라고 하자. 위의 사인파모양 함수는 대체로 상위막과 하위막 사이에 존재하고, 상위막과 하위막의 평균인 평균막(mean envelope)에 대해 국소적으로 대칭적이다.
심전도에서 호흡이 미치는 영향을 분리하였다. 순수한 심장 박동의 파형과 호흡으로 인하여 발생하는 저주파 형태의 파동은 서로 다른 주파수 형태를 가지게 되며, 이를 분류하여 특정 질병이 호흡 불안에서 기인하는지 또는 심장의 기능저하에 기인하는지를 판독할 수 있는 분해 방법론을 제시하였다.
본 연구에서는 국소 극대값으로부터 상위막과 하위막을 계산하는 알고리듬 부분을 개선하기 위하여 자료로부터 평균막을 직접 추출할 수 있는 방법론을 제시하였다. 시그널의 상대적인 증가 또는 감소의 변화를 감지하는 이차 미분을 활용한 알고리듬을 제안하였으며, 사례연구를 통하여 효율성을 입증하였다. 또한 일차원에서 개발한 방법을 이차원으로 확장하여 이미지 자료 분해에도 적용 가능 하다는 것을 확인하였다.
1의 맨 위 그림에서와 같이 시그널이 소폭으로 내려가는 현상은 들숨으로 인한 현상이며, 시그널이 증가하는 부분은 이와 반대로 적용되는 날숨으로 인한 현상이다. 심전도 유도 호흡은 심전도의 진폭이 호흡 주기에 따라 변한다는 것을 이용하여 호흡과 관련된 시그널을 유도하면 되고, 이를 위해 제안한 방법으로 호흡에 따른 물리적 영향과 심장박동의 신호를 구분해 내고자 한다.
제안한 방법으로 실제 자료를 분석하여 의미 있는 결과를 도출하였다. 심전도에서 호흡이 미치는 영향을 분리하였다. 순수한 심장 박동의 파형과 호흡으로 인하여 발생하는 저주파 형태의 파동은 서로 다른 주파수 형태를 가지게 되며, 이를 분류하여 특정 질병이 호흡 불안에서 기인하는지 또는 심장의 기능저하에 기인하는지를 판독할 수 있는 분해 방법론을 제시하였다.
제안한 방법으로 실제 자료를 분석하여 의미 있는 결과를 도출하였다. 심전도에서 호흡이 미치는 영향을 분리하였다.
본 연구에 활용된 심전도 자료는 66일 된 아기의 심전도 자료로 R 패키지 wavethresh (Nason, 2012)에 있는 BabyECG 자료이며, 16초 간격으로 심전도를 측정하여 총 2048개 자료로 구성되어 있다. 제안한 방법을 사용하여 심전도에서 유도호흡 신호를 분리하고자 한다.

대상 데이터

본 연구에 활용된 심전도 자료는 66일 된 아기의 심전도 자료로 R 패키지 wavethresh (Nason, 2012)에 있는 BabyECG 자료이며, 16초 간격으로 심전도를 측정하여 총 2048개 자료로 구성되어 있다. 제안한 방법을 사용하여 심전도에서 유도호흡 신호를 분리하고자 한다.
가상적인 시그널 f₁이 평균이 0, 분산이 1인 가우시안 잡음(Gaussian noise)에 의해 오염된 경우를 고려하여 보자. 이 경우 시그널대잡음 비(signal-to-noise ratio)는 8.3이며, 자료는 3000개를 사용하였다. Figure 4.

데이터처리

가상적인 시그널은 서로 다른 주파수를 가진 사인함수들과 선형 또는 이차 함수의 추세가 섞여 있는 형태이며, 이를 경험적 모드분해법과 제안한 수정 경험적 모드분해법을 사용하여 결과를 비교하였다. Figure 4.

이론/모형

3은 심전도 자료에 평활법(smoothing splines)을 적용하여 잔차부분(두 번째 그림)과 평활 부분(세 번째 그림)으로 분해한 결과를 나타낸다. 평활계수(smoothing parameter)는 일반화교차타당성(generalized cross validation)에 기반하여 산출하였다. 평활한 시그널은 Figure 5.

성능/효과

4. 잔여시그널 r이 주기를 가지고 있을 경우, 잔여시그널 r을 새로운 시그널 s로 간주하여 과정 1∼3을 반복한다.
두 방법론 모두 사인함수에 근사한 내재모드함수를 산출하지만 경계(boundary) 부근에서는 제안한 방법이 기존 경험적 모드분해법보다 더 좋은 효율성을 보인다. 가상 시그널 f₁(t)의 평균제곱오차(MSE) 값을 비교하면 첫 번째 내재모드함수에 대해 제안한 방법론이 0.000053로 기존 경험적 모드분해법 0.056보다 적은 수치이며, 두 번째 내재모드 함수도 0.0002와 0.015로 수정 경험적 모드분해법이 좋은 결과를 가져온다. f₂(t) 시그널에서 세 개의 내재모드함수에 대한 MSE 값은 제안한 방법론이 각각 0.
검정색 실선은 각각의 방법론을 사용하여 얻은 내재모드함수와 잔여시그널이고, 붉은색 점선은 각 사인함수와 추세함수를 나타낸다. 두 방법론 모두 사인함수에 근사한 내재모드함수를 산출하지만 경계(boundary) 부근에서는 제안한 방법이 기존 경험적 모드분해법보다 더 좋은 효율성을 보인다. 가상 시그널 f₁(t)의 평균제곱오차(MSE) 값을 비교하면 첫 번째 내재모드함수에 대해 제안한 방법론이 0.
시그널의 상대적인 증가 또는 감소의 변화를 감지하는 이차 미분을 활용한 알고리듬을 제안하였으며, 사례연구를 통하여 효율성을 입증하였다. 또한 일차원에서 개발한 방법을 이차원으로 확장하여 이미지 자료 분해에도 적용 가능 하다는 것을 확인하였다.
또한 호흡신호라고 추정하기에는 진폭의 값이 크므로, 호흡신호와는 다른 성격의 신호가 혼재되어 있음을 알 수 있다. 실제 자료 분석 결과, 평활법보다 제안된 방법으로 심전도 유도 호흡을 추출하는 것이 효과적임을 알 수 있다.

후속연구

추후 경계문제(boundary problem), 이상값의 처리, 헤시안 행렬(Hessian matrix)을 이용한 이차원 이미지 자료의 분해 등에 대한 연구를 진행하고자 한다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	경험적 모드분해법의 단점은 무엇인가?	그러나 경험적 모드분해법은 내재모드함수들을 추출하기 위해 모든 국소 극값(local extrema)을 반복적으로 식별해야 하므로 계산과정이 복잡하다. 또한 시그널에 잡음이 섞여 있는 경우나 이상값(outlier)이 있는 경우에는 국소적인 자료 패턴을 추출하는 과정이 용이하지 않다. 이러한 알고리듬의 단점을 개선하기 위한 여러 방안이 제안되어 왔다 (Deering과 Kaiser, 2005; Rilling 등, 2003; Zeng과 He, 2004; Wu와 Huang, 2009).
	체거름과정이란 어떠한 과정을 말하는가?	체거름과정은 2절에서 설명한 사인파모양 함수의 특성 1과 2를 이용한 알고리듬이며 경험적 모드분해법의 핵심이라고 할 수 있다. 체거름과정은 주어진 시그널이 대칭적일 수 있는 평균막을 산출하여, 시그널에서 반복적으로 제거하는 과정이다. 평균막을 산출하기 위해 국소 극대값과 국소 극소값을 식별하여 상위막과 하위막을 각각 계산하는 과정을 반복하므로, 시그널의 자료수가 커짐에 따라 계산량이 많아지게 된다.
	경험적 모드분해법은 기존 시계열 분석을 확장하였다는 장점으로 무엇을 분석하기 위하여 사용되어 왔는가?	기존의 시계열 자료 분석의 경우에는 특정한 모형을 따르거나 정상인 경우에만 사용 가능하였지만, 경험적 모드분해법은 이를 확장하였다는 장점을 가지고 있다. 이러한 장점으로 언어자료 (Liu 등, 2005), 생물자료 (Huang 등, 2002), 지진자료 (Zhang 등, 2003), 기후자료 (Coughlin과 Tung, 2004), 금융자료 (Kim과 Oh, 2009a; Huang 등, 2003), 공학자료 (Huang과 Shen, 2005), 이미지자료 (Kim 등, 2012b) 등을 분석하기 위하여 사용되어 왔다. 또한 Kim과 Oh (2006)와 Kim 등 (2012a)는 예측과 평활 등에 적용하기 위한 방법론을 제안하였다.

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용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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