[논문]정의의 '정의'를 어떻게 가르칠 것인가?

이지현

[국내논문] 정의의 '정의'를 어떻게 가르칠 것인가?
How can we teach the 'definition' of definitions? 원문보기

韓國學校數學會論文集 = Journal of the Korean school mathematics society, v.16 no.4, 2013년, pp.821 - 840

초록
AI-Helper

중학교 기하에서 등장하는 도형의 정의는 그 모양에서 시각적으로 확인할 수 있는 단순한 용어의 뜻으로만 생각하기 쉽다. 그러나 도형의 정의에 대한 낮은 이해도는 이와 같은 도형 정의에 대한 도구적 이해의 한계를 보여주고 있다. 이 연구는 영재중학생들을 대상으로, Freudenthal이 주장했던 도형 성질의 논리적 조직화에 의한 정의의 재발명과정을 구체적으로 실행하여 분석하였다. 그 결과 영재 학생 중 상당수가 도형 성질의 논리적 조직화 경험을 통하여, 도형을 왜 그렇게 정의하는 것인가, 또 다른 성질로는 정의할 수 없는가와 같은 도형 정의의 관계적 이해와 관련된 질문에 대해 깊이 이해하고 있음을 확인할 수 있었다. 이 연구에서 분석한 논리적 조직화에 의한 정의의 재발명과정은 중학교 기하교육의 문제를 반성하고 새로운 대안을 모색하는데 도움이 될 수 있을 것이다.

Abstract ▼ AI-Helper

Definition of geometric figure in middle school geometry seems to mere meaning of the term which could be perceived visually through its shape. However, Much research reported the low achievements of definitions of basic geometric figures. It suggested the limitation of instrumental understanding. In this research, I guided gifted middle school students to reinvent definitions of basic geometric figure by the deductive organization of its properties as Freudenthal pointed. These students understood relationally about why some geometric figure can be defined this way and how it could be defined equally via other properties. This analysis of reinventing of definitions will be a stepping stone to reflect on the pedagogical problems in teaching geometry and to search the new alternatives.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.

문제 정의

3차시의 교수 실험이 모두 끝난 2주 후에, 도형의 정의의 관계적 이해를 확인하기 위한 사후 검사를 실시하였다. 교수실험의 과정에서 수집한 학생들의 설문지 · 활동지 및 인터뷰와 수업 녹화를 전사하여 분석하였으며, 교수실험의 내용 분석은 4장에서, 사후검사문항 및 그 분석결과는 5장에서 논의하기로 한다.
교과서에서는 도형의 성질과 조건을 먼저 제시하지만, 이 교수 실험에서 교사는 이등변삼각형, 사다리꼴, 평행사변형에 대하여 먼저 이들 도형의 뜻 외에도 각 도형에서 참이라고 생각되는 성질들은 무엇인지를 학생들이 스스로 찾아보고, 이를 논리적으로 정당화해보도록 하였다. 그리고 학생들이 제기한 도형의 성질 중에서 과연 이 도형만의 성질은 무엇인지, 혹은 다른 학생들이 찾은 성질과는 어떤 논리적 관련성이 있는지에 대하여 살펴보았다.
. 이 연구는 중학교 영재학생들을 대상으로, 도형 성질의 논리적 조직화에 의한 정의의 재발명 경험으로 도형 정의에 대한 관계적 이해의 변화를 분석하고자 하며, 구체적인 연구문제는 다음과 같다.

가설 설정

10. 영수: 이웃하는 두 각의 합이 모두 180도니까, 어떤 각과 이웃하는 두 각은 같아야죠.
3. 교사: “양 쪽으로 이웃하는 두 각”이라는 것이 무슨 뜻이니?
9. 교사: 그럼 모든 각이 이웃하는 각과의 합이 180도라고 하면 되겠네요(교사는 “이웃하는 임의의 두 각의 합은 180도이다” 라고 칠판에 고쳐 쓴다).

제안 방법

”에 대한 학생들의 관계적 이해를 살펴보기 위해 교수실험이 종료된 2주 후에 이등변삼각형(문항 1)과 평행사변형(문항 2)정의의 임의성과 관련된 사후 검사를 실시하였다15) .
<표 Ⅳ-1>은 국소적 조직화 단계에서 도형 성질의 논리적 조직화를 위해 학생들에게 제시한 과제의 특징을, 평행사변형을 예로 들어 이에 대응하는 교과서의 도형의 성질․조건의 증명 과제와 비교한 것이다. 교과서에서는 도형의 성질과 조건을 먼저 제시하지만, 이 교수 실험에서 교사는 이등변삼각형, 사다리꼴, 평행사변형에 대하여 먼저 이들 도형의 뜻 외에도 각 도형에서 참이라고 생각되는 성질들은 무엇인지를 학생들이 스스로 찾아보고, 이를 논리적으로 정당화해보도록 하였다. 그리고 학생들이 제기한 도형의 성질 중에서 과연 이 도형만의 성질은 무엇인지, 혹은 다른 학생들이 찾은 성질과는 어떤 논리적 관련성이 있는지에 대하여 살펴보았다.
국소적 조직화 단계에서 <표 Ⅳ-2>에 제시된 도형의 성질들 사이의 국소적인 논리적 연결망은 구축되었으나, 아직 전체적인 논리적 연결망으로 완성되지는 않았다. 교사는 국소적 조직화 단계에서 다뤘던 도형 중 평행사변형을 선택하여, 학생들이 찾아낸 여섯 가지 성질¹²⁾ 사이의 전체적인 논리적 연결망을 완성하기 위하여, 다음과 같은 문제를 제기하여 학생들과 토론하였다.
그런데 학생들이 제시한 이등변삼각형의 성질 중에는 “세 각의 크기의 합은 180도 이다” 와 같이 이등변 삼각형이 아닌 삼각형에서도 성립하는 성질들이 있었으므로, 교사는 학생들에게 ‘이등변 삼각형만의 성질’ 과 ‘이등변 삼각형이 아니어도 가질 수 있는 성질’ 을 과연 어떻게 구분할 수 있는지를 질문하였다.
도형 성질의 논리적 조직화를 다룬 교수 실험의 과정을, 먼저 어떤 도형의 성질에 대해 부분적인 논리적 연결망을 형성했던 와 전체적인 논리적 연결망을 형성한 로 나누어 살펴본다.
여기서 교사는 학생들이 제시한 평행사변형의 성질 ‘이웃하는 두 각의 합이 180도이다’ 에 대하여, 사다리꼴도 이 성질을 만족할 수 있다는 점을 지적하였다.

대상 데이터

교수실험에 참여했던 학생들은 서울 남부지역 소재 영재교육원에 소속된 중학교 1학년 학생 17명이었으며, 도형의 논리적 조직화를 다뤘던 교수실험은 연구자가 직접 교사로서 2013년 7월부터 8월까지 총 3회(각 2시간)에 걸쳐 수행하였다. 교수실험 전 학생들의 기하학적 사고 수준을 파악하기 위하여 van Hiele test를 실시한 결과, 2수준 1명, 4수준 3명을 제외한 13명의 학생들이 3수준(관계적 인식 수준)으로 나타났다⁶⁾.
사후검사에 참여한 15명의 학생 중 이등변삼각형 정의의 임의성을 인정했던 학생은 10명, 정의의 임의성을 인정하지 않았던 학생은 5명이었으며, 학생들의 대표적인 반응은 부록의 로 제시하였다.
연구 참여자들은 2009 개정교육과정을 배우고 있는 중학생들이었다. 2009 개정교육과정에서는 2007 개정교육과정과 달리 기하 단원에서 ‘명제, 가정, 결론, 역, 정의, 증명’과 같은 용어 및 이에 대한 설명이 삭제되었다.

성능/효과

나머지 성질들 역시 마찬가지이므로, 학생들은 성질 ②, ③, ④, ⑤, ⑥이 평행사변형의 성질이자 평행사변형만의 성질임을 보이는 ‘① ↔ ②, ③, ④, ⑤, ⑥’의 10개의 명제만 증명하면 된다는 결론을 내릴 수 있었다.
이상과 같은 도형 성질의 국소적 조직화를 다룬 후, 연구자는 도형의 정의란 “도형의 성질 중에서 도형만의 성질(조건)도 되는 것”이라고 설명하였다.
이상과 같이 평행사변형의 여섯 가지 성질이 모두 논리적으로 대등함을 증명하는 과정에서, 도형의 성질과 도형만의 성질을 활용한 문제해결 행동은 학생들이 도형의 상징- 신호특성에 대한 총체적 이해를 얻었음을 보여주고 있다.
이상과 같이, 도형 성질의 논리적 조직화를 다룬 교수실험 후 도형 정의의 임의성과 관련하여 학생들의 도형 정의에 대한 관계적 이해를 조사한 결과, 교수실험에 참여한 모든 학생이 도형 정의의 임의성을 완전히 수용한 것은 아니었으나, 과반이 넘는 학생들이 수학적 정의의 임의성 및 그것을 설명하는 과정에서 도형 정의의 논리적 성격을 정확하게 이해하고 있음을 확인할 수 있었다.

후속연구

예를 들어 평행사변형의 성질을 논리적으로 조직화하는 과정에서, 왜 ‘두 쌍의 대변이 평행한 사각형’ 이 정의가 되며 또 ‘두 쌍의 대각이 같은 사각형’과 같은 다른 정의의 선택은 어떻게 가능할 수 있는지를 관찰할 수 있다. 따라서 이러한 논리적 조직화의 과정을 통하여, 학생들은 도형의 정의를 용어의 의미에 대한 단순한 약속으로 수용하는 도구적 이해가 아니라 그 도형이 갖는 성질들에 대한 논리적 조직화의 최종 산물로서 관계적으로 이해할 수 있을 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	도형의 정의에서 가장 흔하게 나타나는 오류는 무엇인가?	도형의 정의에서 가장 흔하게 나타나는 오류는 바로 정의와 도형의 성질을 혼동하는 것이다(서동엽, 1998; 이호철, 2007). 특히 평행사변형에서 두 쌍의 대변의 길이가 같다는 성질과 같이, 중학교에서 다루는 많은 도형의 성질은 사실 그 정의와 논리적으로 동치이다.
	영재중학생들을 대상으로, Freudenthal이 주장했던 도형 성질의 논리적 조직화에 의한 정의의 재발명과정을 구체적으로 실행하여 분석 한 결과 확인 할 수 있었던 것은?	이 연구는 영재중학생들을 대상으로, Freudenthal이 주장했던 도형 성질의 논리적 조직화에 의한 정의의 재발명과정을 구체적으로 실행하여 분석하였다. 그 결과 영재 학생 중 상당수가 도형 성질의 논리적 조직화 경험을 통하여, 도형을 왜 그렇게 정의하는 것인가, 또 다른 성질로는 정의할 수 없는가와 같은 도형 정의의 관계적 이해와 관련된 질문에 대해 깊이 이해하고 있음을 확인할 수 있었다. 이 연구에서 분석한 논리적 조직화에 의한 정의의 재발명과정은 중학교 기하교육의 문제를 반성하고 새로운 대안을 모색하는데 도움이 될 수 있을 것이다.
	우리나라 교과서에서 ‘정의’ 라는 용어는 어느부분에서 처음 도입되었는가?	2007 개정교육과정까지 우리나라 교과서에서 ‘정의’ 라는 용어는 중학교 수학 2의 논증기하 부분에서 처음 도입되며, 다음 정삼각형의 정의 상황([그림 Ⅱ-1])은 많은 중학교 2학년 교과서에서 정의 개념을 설명하기 위한 예로 등장하고 있다. 많은 중학교 교과서에서는 정삼각형에 대한 학생들의 여러 설명 중 삼각형의 세 변 혹은 세 각이 같으면 정삼각형이지만, ‘용어의 뜻을 제각기 다르게 정하여 사용하면 혼란이 생길 수 있으므로’ 정삼각형의 뜻을 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형으로 약속하며, 이때 세 각의 크기가 같다는 것은 성질이 된다는 것을 [그림 Ⅱ-1]와 같이 설명한다.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

내보내기 구분	파일저장 인쇄 메일전송
구성항목	기본정보 상세정보 관리번호, 논문명, 저널/프로시딩명, 저자 , 발행년, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, 발행기관 관리번호, 논문명, 대등논문명, 저자 , 저널/프로시딩명, 발행기관, 발행년, 발행언어, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, ISBN, ISSN, 주제분야, 키워드, 초록(한글), 초록(영문), 저자(소속기관)
저장형식	Text(ASCII format) Excel format RefWorks Direct Export RIS format (for Reference Manager, ProCite, EndNote), Scholar's Aids, Mendeley
메일정보	받는사람 (필수) @ 보내는사람 (선택) @ 제목 내용 KISTI 검색결과 이메일 서비스
안내	총 건의 자료가 검색되었습니다. 다운받으실 자료의 인덱스를 입력하세요. (1-10,000) 검색결과의 순서대로 최대 10,000건 까지 다운로드가 가능합니다. 데이타가 많을 경우 속도가 느려질 수 있습니다.(최대 2~3분 소요) 다운로드 파일은 UTF-8 형태로 저장됩니다. 파일의 내용이 제대로 보이지 않을실 때는 웹브라우저 상단의 보기 -> 인코딩 -> 자동선택 여부를 확인하십시오. ~ Text(ASCII format) Excel format

연합인증