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문제 정의
- 그러나 계산기보다는 지필 계산으로 활동을 마친 학생 B와는 달리 학생 C는 과 같이 계산한 값이 정당한지 확인하기 위하여 계산기에 다음과 같은 식을 입력하며 결과를 비교하는 활동을 하였다.
- 본 연구는 비례 추론 발달 단계와 Texas Instruments TI-73 계산기를 활용하는 행위에 대한 분석을 하기 위하여 포항시에 소재하는 ○○초등학교 5학년 수학 영재 학급 학생 중 희망자 8명(남 2명, 여 6명)을 대상으로 방과후에 연구자의 지도 아래 수업을 진행하였다. 이 영재 학생들은 국가에서 실시하는 영재 선발 단계를 거쳐 선발된 학생이며, 영재 학급은 ○○초등학교 내에 설치되어 있다.
- 본 연구는 초등학교 5학년 수학 영재 학급의 학생을 대상으로 계산기를 활용한 정비례 학습 과정에서 나타나는 계산기 사용 행위와 비례 추론 발달 단계 사이의 관계를 살펴보았다. 연구 결과로부터 얻은 결론과 시사점은 다음과 같다.
- 따라서 이 학생들이 가진 수학적 지식의 폭이 다양하여 무작위 행위부터 이론적 행위까지 여러 가지 유형이 관찰되었다. 본 연구에서는 영재 학생의 계산기 사용 행위를 분류해보고자 하는데, 이것은 다음 두 가지 측면에서 유용하리라 본다. 첫째, 수학 영재 학생들의 비례 추론 능력과 계산기 사용 행위 사이에는 어떤 관계가 있는지 관찰할 수 있을 것이다.
- 본 연구에서는 초등 수학 영재 학생들의 비례 추론 발달 단계와 계산기 사용 행위 사이의 관계를 살펴보았다. 그러나 연구자이면서 동시에 관찰자의 역할을 동시에 수행하였기에 연구자의 의도가 연구 과정에서 영향을 주었을 것이라는 제한점이 있다.
- 이에 본 연구에서는 먼저 초등 수학 영재 학생들의 비례 추론 발달 단계를 알아본 후, 그들의 비례 추론 발달의 단계는 실험 활동과 계산기를 활용한 정비례 학습 과정에서 나타나는 계산기 사용 행위와 어떤 관계가 있는지 살펴보고자 한다.
제안 방법
- 수업이 이루어지는 동안 학생들이 TI-73 계산기를 활용한 활동을 관찰한 자료, 활동에 참여한 학생들의 면담 자료, 활동 수행의 결과물인 학생 활동지와 계산기에 저장된 자료 등을 수집하였다. TI-73 계산기를 활용한 모든 수업 과정을 비디오카메라를 이용하여 전체적으로 녹화하였고, 또 다른 비디오 카메라를 이용하여 짝 또는 모둠의 상호작용 과정을 녹화하였다. 탐구 과정과 활동지 기록 등을 관찰하면서 정확히 파악할 수 없는 내용과 학생들의 학습에 대한 이해를 살펴보기 위해서는 개별적인 면담을 실시하였다.
- TI-73 계산기를 활용한 수학 영재교육을 위하여 이와 관련된 국내 외 문헌을 통하여 수학교육 전문가와 협의 하에 비례 추론과 관련된 내용을 선정하여 연구자가 과제를 개발하였다. 활동 프로그램은 Texas Instruments 회사에서 개발한 활동지(Discovering Mathematics with the TI-73: Activities for Grades 7 and 8)를 바탕으로 하였다.
- 수업을 하기 전 이 문항으로 사전 검사를 하였으며, Baxter & Junker(2001)의 비례 추론 발달 단계를 이용하여 학생들의 현재 단계를 확인하였다. 계산기 환경에서 정비례 관계를 파악하는 학생들의 행위를 알아보기 위해서는 사전 검사 문항과 같이 단위 비율이 일정하여 학생들이 공변과 불변의 양을 인식하고 함수 관계를 추론할 수 있는 내용으로 구성하였다. 수업이 이루어지는 동안 학생들이 TI-73 계산기를 활용한 활동을 관찰한 자료, 활동에 참여한 학생들의 면담 자료, 활동 수행의 결과물인 학생 활동지와 계산기에 저장된 자료 등을 수집하였다.
- 표의 값을 바탕으로 시각을 x, 새는 물의 양을 y로 하여 식을 예상해 본 후, 예상한 식과 실제 식을 비교하기 위하여 계산기를 활용하였다. 계산기에 값을 입력하여 함수식을 만들어보고 그래프를 관찰하였으며, 이를 통해 정비례 그래프와 식 사이의 관계를 이해하도록 하였다. 이러한 비례 추론 상황의 실험 활동을 통해 일정하지 않게 변하는 두 양 사이를 유추하여 그래프로 나타내는 능력을 살펴보기 위해 30일 동안 새는 물의 양, 점차 구멍이 커져서 새는 물의 양이 점점 많아지는 경우를 그래프로 나타내어보는 과제로 구성하였다.
- 이렇게 개발된 과제는 연구자에 의해 60분 동안 수업이 진행되었다. 본 수업에서는 8명의 학생에게 각각 한 대씩 계산기를 제공하였으며 실험 활동을 바탕으로 한 수업이었기 때문에 모둠을 형성하였다. 이 때 모둠 구성은 계산기 매뉴얼에 익숙한 정도에 따라 의도적인 모둠을 형성하였다.
- 활동 프로그램은 Texas Instruments 회사에서 개발한 활동지(Discovering Mathematics with the TI-73: Activities for Grades 7 and 8)를 바탕으로 하였다. 본 연구에서 사용된 활동은 구멍을 낸 종이컵에 물을 부은 후 일정하게 종이컵을 통해 새는 물의 양을 직접 10초 간격으로 측정하여 그 결과를 표로 정리하였다. 표의 값을 바탕으로 시각을 x, 새는 물의 양을 y로 하여 식을 예상해 본 후, 예상한 식과 실제 식을 비교하기 위하여 계산기를 활용하였다.
- 수업을 하기 전 이 문항으로 사전 검사를 하였으며, Baxter & Junker(2001)의 비례 추론 발달 단계를 이용하여 학생들의 현재 단계를 확인하였다.
- 계산기 환경에서 정비례 관계를 파악하는 학생들의 행위를 알아보기 위해서는 사전 검사 문항과 같이 단위 비율이 일정하여 학생들이 공변과 불변의 양을 인식하고 함수 관계를 추론할 수 있는 내용으로 구성하였다. 수업이 이루어지는 동안 학생들이 TI-73 계산기를 활용한 활동을 관찰한 자료, 활동에 참여한 학생들의 면담 자료, 활동 수행의 결과물인 학생 활동지와 계산기에 저장된 자료 등을 수집하였다. TI-73 계산기를 활용한 모든 수업 과정을 비디오카메라를 이용하여 전체적으로 녹화하였고, 또 다른 비디오 카메라를 이용하여 짝 또는 모둠의 상호작용 과정을 녹화하였다.
- 비례 추론은 학생들이 반드시 습득해야 하는 형식적 사고의 중요한 구성요소 중 하나이며(Hoffer & Hoffer, 1992), 비례 추론은 한 수준에서 이해가 더 높은 수준의 이해를 위한 기초를 형성하는데 장기적인 발달 과정을 거친다. 이러한 견해를 공유하는 연구자들은 비례 추론의 발달 수준 및 발달 단계를 구분하여 제시하였다. 먼저, Baxter & Junker(2001)는 비례 추론 발달 단계를 다음과 같이 5단계로 구분하였다.
- 계산기에 값을 입력하여 함수식을 만들어보고 그래프를 관찰하였으며, 이를 통해 정비례 그래프와 식 사이의 관계를 이해하도록 하였다. 이러한 비례 추론 상황의 실험 활동을 통해 일정하지 않게 변하는 두 양 사이를 유추하여 그래프로 나타내는 능력을 살펴보기 위해 30일 동안 새는 물의 양, 점차 구멍이 커져서 새는 물의 양이 점점 많아지는 경우를 그래프로 나타내어보는 과제로 구성하였다. 이렇게 개발된 과제는 연구자에 의해 60분 동안 수업이 진행되었다.
- 이렇게 수집된 녹화 자료 및 녹음 자료 그리고 인터뷰 자료는 모두 녹취록을 만들었으며 Guin & Trouche(1999)의 계산기 환경에서 학생들의 행위 유형을 바탕으로 영재 학생들은 계산기를 어떻게 사용하는지 분석하였다.
- TI-73 계산기를 활용한 모든 수업 과정을 비디오카메라를 이용하여 전체적으로 녹화하였고, 또 다른 비디오 카메라를 이용하여 짝 또는 모둠의 상호작용 과정을 녹화하였다. 탐구 과정과 활동지 기록 등을 관찰하면서 정확히 파악할 수 없는 내용과 학생들의 학습에 대한 이해를 살펴보기 위해서는 개별적인 면담을 실시하였다. 이렇게 수집된 녹화 자료 및 녹음 자료 그리고 인터뷰 자료는 모두 녹취록을 만들었으며 Guin & Trouche(1999)의 계산기 환경에서 학생들의 행위 유형을 바탕으로 영재 학생들은 계산기를 어떻게 사용하는지 분석하였다.
- 본 연구에서 사용된 활동은 구멍을 낸 종이컵에 물을 부은 후 일정하게 종이컵을 통해 새는 물의 양을 직접 10초 간격으로 측정하여 그 결과를 표로 정리하였다. 표의 값을 바탕으로 시각을 x, 새는 물의 양을 y로 하여 식을 예상해 본 후, 예상한 식과 실제 식을 비교하기 위하여 계산기를 활용하였다. 계산기에 값을 입력하여 함수식을 만들어보고 그래프를 관찰하였으며, 이를 통해 정비례 그래프와 식 사이의 관계를 이해하도록 하였다.
- ”와 같이 이미 비례적 관계를 인식하고 있었기 때문에 굳이 계산기를 이용한 다른 시도를 해 보지 않았던 것으로 보인다. 학생 H 역시 곱셈적 접근 단계인 학생 C와 유사하게 계산한 값이 정당한지 확인하기 위하여 계산기를 이용하여 답을 확인하였고, 30일 동안 모은 물의 양을 계산할 때 60초 동안 모은 물의 양인 135mL를 이용하여 식을 만들어 계산하였다.
- 학생들과 함께 x × 2 = y의 의미, 계산기로 그래프를 그린 후 나타난 그래프 관찰을 통해 x × 2 = y 그래프의 특징을 살펴보면서 정비례를 학습하였다.
데이터처리
- 이 값을 계산기에 입력한 후 상관관계에 있는 두 변량 사이의 관계를 알아보는 명령어 LinReg(ax+b)를 사용하여 방정식 x × 2 = y를 얻었다.
이론/모형
- 먼저 비례 관계에 대한 추론 발달 단계를 분석하기 위하여 홍지연(2012)이 개발한 문제 유형 중에서 5학년 2학기 수학과 교과서에 제시된 비와 비율 단원에 해당하는 문항을 선정하였다. 수업을 하기 전 이 문항으로 사전 검사를 하였으며, Baxter & Junker(2001)의 비례 추론 발달 단계를 이용하여 학생들의 현재 단계를 확인하였다.
- TI-73 계산기를 활용한 수학 영재교육을 위하여 이와 관련된 국내 외 문헌을 통하여 수학교육 전문가와 협의 하에 비례 추론과 관련된 내용을 선정하여 연구자가 과제를 개발하였다. 활동 프로그램은 Texas Instruments 회사에서 개발한 활동지(Discovering Mathematics with the TI-73: Activities for Grades 7 and 8)를 바탕으로 하였다. 본 연구에서 사용된 활동은 구멍을 낸 종이컵에 물을 부은 후 일정하게 종이컵을 통해 새는 물의 양을 직접 10초 간격으로 측정하여 그 결과를 표로 정리하였다.
성능/효과
- 셋째, 곱셈적 접근 단계는 곱셈적 관계를 인식하는 단계로 학생들은 변하는 두 수 사이의 관계를 비로 표현하기 시작하며 곱셈적 추론을 할 때 구하고자 하는 답을 얻기 위해 차례로 곱해가는 전략을 사용한다. 넷째, 공변과 불변의 조화 단계는 학생들이 변화하는 양들 사이에 불변하는 양이 존재함을 인식하게 되고, 곱셈적 추론을 발전시키는 수준이며, 다섯째, 함수적 접근 단계는 함수와 스칼라의 연산 관계를 이해하는 수준이다. Lobato, Ellis, Charles, & Zbiek(2010)은 비례 추론 발달에서의 전환(shift)을 제시함으로써 학생들의 비례 추론에 대한 수준을 전환하여 발전시켜야 한다고 제안하였다.
- 특히 곱셈적 접근 단계에 있는 학생들에게는 계산기가 도구적 행위, 비교 분석 행위, 합리적 행위로 나타나 비례 추론 수준의 전환이 일어날 수 있도록 해 주었다. 덧셈적 비교에서 곱셈적 비교로 전환된 수준 2의 학생들은 곱셈적 비교로 문제를 해결할 수 있었고, 곱셈 관계로 추론을 하지만 단위 조절에 실패하여 문제 해결에 오류가 발생한 수준 3의 학생은 계산기 사용을 통해 곱셈적 사고를 통한 단위 조절이 가능하였고 주어진 그래프를 해석할 수 있었다. 따라서 교사는 영재 학생이라 할지라도 무분별하게 공학을 사용하기보다는 학생들마다 공학 사용 행위가 다르다는 것을 인식하여 각 행위마다 비례 추론 능력을 향상시킬 수 있는 방법을 모색해야 할 것이다.
- 이러한 비례 추론 능력의 획득은 학생의 인지발달에 중요한 역할을 하며(Cramer & Post, 1993), 특히 Lesh, Post, & Behr(1988)는 비례 추론이 대수 학습에서 다음과 같은 이유로 중요하다고 주장하였다: 첫째, 비례는 수학적 함수의 기본적인 예로 y=mx와 같은 일차함수로 표현할 수 있어 일반식과 경험적 수치 사이의 교량 역할을 할 수 있다. 둘째, 비례는 속도, 혼합, 농도, 크기, 변환, 가격과 같은 다양한 유형의 비율 문제를 해결하는데 유용하다. 셋째, 표, 그래프, 그림, 다이어그램 등은 대수적 개념들을 표현하고 이해를 돕는 표상들인데, 이들 표상 사이의 전환을 설명할 수 있는 방법으로 비례 추론이 이용될 수 있다.
- 둘째, 영재 학생들이 계산기 환경에서 문제를 해결 과정은 일반 학생들을 대상으로 연구한 Guin & Trouche(1999)의 과정과는 차이가 있었다.
- 또 다른 차이로 Guin & Trouche는 ‘동료’를 이론적 지식, 지필계산, 계산기와 같이 정보 도구 중의 하나로 보고 있지만, 본 연구 결과에서 동료는 교사와 함께 계산기를 잘 이용할 수 있도록 도움을 주는 변인으로 작용하고 있음을 알 수 있었다.
- 둘째, 영재 학생들이 계산기 환경에서 문제를 해결 과정은 일반 학생들을 대상으로 연구한 Guin & Trouche(1999)의 과정과는 차이가 있었다. 먼저, 계산기 환경에서 문제 해결 과정이 학생들의 비례 추론에 대한 수학적 지식에 의해 영향을 받고 있음을 알 수 있었다. 본 연구 결과에 따르면, 영재 학생들의 비례 추론 발달 단계는 질적 수준 단계, 덧셈적 접근 단계, 곱셈적 접근 단계, 공변과 불변의 조화 단계로 서로 달랐으며 이는 학생들의 계산기 사용 행위와 밀접한 관련을 가지고 있음을 알 수 있었다.
- 먼저, 계산기 환경에서 문제 해결 과정이 학생들의 비례 추론에 대한 수학적 지식에 의해 영향을 받고 있음을 알 수 있었다. 본 연구 결과에 따르면, 영재 학생들의 비례 추론 발달 단계는 질적 수준 단계, 덧셈적 접근 단계, 곱셈적 접근 단계, 공변과 불변의 조화 단계로 서로 달랐으며 이는 학생들의 계산기 사용 행위와 밀접한 관련을 가지고 있음을 알 수 있었다. 즉 비례 추론 능력이 좋은 학생일수록 주로 정보 도구와 이해 도구를 선택하는 과정에서 수학적 지식에 기초한 합리적 행위가 나타났으며, 비례 추론 능력이 낮은 학생일수록 의미없는 키 누르기와 화면 지우기를 반복하는 무작위 행위나 계산기의 화면에 나타난 결과에만 의존하려는 도구적 행위가 주로 나타났다.
- 비례 추론 발달 단계가 질적 수준인 학생 A는 계산기 사용에 있어서 시행착오를 겪는 무작위적 행위와 친구의 도움으로 계산기를 조작하지만 수학적으로 어떤 의미가 있는지 확인하는 활동이 없이 계산기가 보여주는 그대로 인식하는 도구적 행위가 나타났다. 곱셈적 접근 단계인 학생 B, C, D, E, F에게는 계산기에 의존하는 도구적 행위, 지필, 계산기 등 다양한 정보 도구로부터 얻은 자료를 이용하여 문제를 해결하려는 비교 대조 행위, 그리고 관계식을 이용하여 문제를 해결하려는 합리적 행위가 나타났다.
- Baxter & Junker(2001)에 따르면 비례 추론 발달 단계는 첫째, 질적 추론 단계로 학생들은 정확한 수치로 비교하지 못하지만 양에 대하여 ‘더 많다’, ‘더 적다’, ‘같다’로 비교하는 수준이고, 둘째, 덧셈적 접근 단계는 양에 대한 초기 시도 단계로 학생들은 얼마나 많고, 얼마나 더 많은지에 대해 덧셈적 차이로 비교하는 수준이다. 셋째, 곱셈적 접근 단계는 곱셈적 관계를 인식하는 단계로 학생들은 변하는 두 수 사이의 관계를 비로 표현하기 시작하며 곱셈적 추론을 할 때 구하고자 하는 답을 얻기 위해 차례로 곱해가는 전략을 사용한다. 넷째, 공변과 불변의 조화 단계는 학생들이 변화하는 양들 사이에 불변하는 양이 존재함을 인식하게 되고, 곱셈적 추론을 발전시키는 수준이며, 다섯째, 함수적 접근 단계는 함수와 스칼라의 연산 관계를 이해하는 수준이다.
- 셋째, 초등 수학 영재 학생들의 비례 추론 발달 단계 분석 결과 상당 수의 학생들이 곱셈적 접근 단계에 머물러 있었다. 김주석(2013)의 연구와 같이 본 연구에서도 초등 수학 영재 학생들의 비례 추론 능력이 곱셈적 접근 단계에 있는 학생이 많았다.
- 비례 추론 발달 단계가 공변과 불변의 조화 단계인 학생은 변화하는 양들 사이에 불변하는 양이 존재함을 인식하게 되고, 곱셈적 추론을 발전시킬 수 있다. 연구 결과에서 공변과 불변의 조화 단계인 학생 G, H는 변량과 상수가 존재함을 인식하며 문제를 해결하였고, 비례식으로 표현은 하지 않았으나 비례적 관계를 인식하는 수준으로 계산기 환경에서 주로 합리적 행위가 나타났다. 학생 G는 곱셈적 접근 단계였던 학생 B와 유사하게 지필로 계산을 하여 값을 얻은 후 계산기에 3600 × 24 × 30 × 2 = 5184000을 입력하여 그 답을 확인하는 작업을 하였다.
- 이상의 내용을 정리하면 질적 수준 단계인 학생 A는 계산기를 활용하여 비례를 학습하였지만 관계식에 대해 여전히 이해하지 못했고, 다만 계산기가 보여주는 그래프의 정보를 통해 상황에 맞는 그래프를 나타낼 수 있었다. 김민경, 권혁진(2010)은 상위권 학생들이 수식의 사용을 선호하는 반면, 중, 하위권 학생들은 그림이나 표를 이용하는 경우가 많다는 주장과 같이 비례 추론 능력이 낮은 학생에게는 식보다는 계산기의 그래프나 표가 비례 개념을 이해하는데 도움을 주고 있음을 알 수 있었다.
- 본 연구 결과에 따르면, 영재 학생들의 비례 추론 발달 단계는 질적 수준 단계, 덧셈적 접근 단계, 곱셈적 접근 단계, 공변과 불변의 조화 단계로 서로 달랐으며 이는 학생들의 계산기 사용 행위와 밀접한 관련을 가지고 있음을 알 수 있었다. 즉 비례 추론 능력이 좋은 학생일수록 주로 정보 도구와 이해 도구를 선택하는 과정에서 수학적 지식에 기초한 합리적 행위가 나타났으며, 비례 추론 능력이 낮은 학생일수록 의미없는 키 누르기와 화면 지우기를 반복하는 무작위 행위나 계산기의 화면에 나타난 결과에만 의존하려는 도구적 행위가 주로 나타났다. 물론 수학적 지식과 계산기 사용 행위 사이에 인과 관계가 성립하는 것은 아니지만 [그림 Ⅴ-1]처럼 문제 해결 과정의 통제권자인 학생의 비례 추론 지식은 계산기 사용 행위를 결정하는 중요한 변인이 되고 있음을 알 수 있었다.
- 첫째, 비례 추론 발달의 각 단계에서 계산기 사용 행위 유형은 다양하게 나타났으며, 이러한 행위는 학생들의 비례 추론 발달에 있어 서로 다른 영향을 주었다. 예를 들어 무작위 행위와 도구적 행위를 주로 하는 질적 수준 단계에 있는 학생들에게는 계산기가 비례적 관계를 인식하는데 큰 도움을 주지 못했지만, 계산기의 다양한 표상은 이 단계에 있는 학생들에게 정비례 그래프를 이해하는데 도움이 되었다.
후속연구
- 첫째, 수학 영재 학생들의 비례 추론 능력과 계산기 사용 행위 사이에는 어떤 관계가 있는지 관찰할 수 있을 것이다. 둘째, 시간의 변화에 따른 학생들의 계산기 사용 행위 변화 추적을 통해 영재 학생들의 비례 추론 수준이 전환될 때 나타나는 행위를 알아보는데 도움을 줄 것이다.
- 덧셈적 비교에서 곱셈적 비교로 전환된 수준 2의 학생들은 곱셈적 비교로 문제를 해결할 수 있었고, 곱셈 관계로 추론을 하지만 단위 조절에 실패하여 문제 해결에 오류가 발생한 수준 3의 학생은 계산기 사용을 통해 곱셈적 사고를 통한 단위 조절이 가능하였고 주어진 그래프를 해석할 수 있었다. 따라서 교사는 영재 학생이라 할지라도 무분별하게 공학을 사용하기보다는 학생들마다 공학 사용 행위가 다르다는 것을 인식하여 각 행위마다 비례 추론 능력을 향상시킬 수 있는 방법을 모색해야 할 것이다.
- 지금까지의 내용을 정리하면 비례 추론은 그 수준이 전환되는 장기적인 발달 과정을 거쳐 비례 추론이 형성됨을 알 수 있다. 따라서 비와 비례의 학습에서 비례 추론 능력을 향상시키기 위해서는 먼저 학생의 비례 추론 발달 단계를 파악하여 그 비례 추론 수준을 전환시킬 수 있는 비, 비례 상황과 맥락을 제공해야 할 것이다.
- 게다가 학교 수학은 추론 교육이 점차 강조되어 교수․학습 방법에 반영되고 있지만 초등 수학 영재 학생을 지도하기 위한 프로그램에서는 추론 능력을 향상시키기 위한 내용이 거의 개발되어 있지 않다(김상미, 2013; 정수지, 2011; 홍은자, 2004). 따라서 초등 수학 영재 학생의 비례 추론 발달 단계를 알아보고, 그들의 비례 추론 능력을 향상시키기 위한 영재 프로그램 개발이 요구된다.
- 따라서 현재도 계산기를 활용하는 수업이 진행되어 계산기를 활용하는 시간이 누가적으로 축적되고 있다는 가정 하에, Guin & Trouche의 계산기 사용 행위 유형은 영재 학생들의 비례 추론 능력과 학생들의 공학 사용 행위 사이의 관계를 설명해주고, 공학이 어떻게 사용되어 비례 추론 발달에 영향을 주는지에 관한 정보를 제공해 줄 수 있을 것이다.
- 그러나 연구자이면서 동시에 관찰자의 역할을 동시에 수행하였기에 연구자의 의도가 연구 과정에서 영향을 주었을 것이라는 제한점이 있다. 또한 정비례 학습에 초점이 맞추어진 본 연구로부터 관찰된 계산기 사용 행위는 타 영역에서는 새로운 양상이 관찰될 수 있으므로 이에 대한 후속 연구도 필요할 것으로 본다.
- 둘째, 비례는 속도, 혼합, 농도, 크기, 변환, 가격과 같은 다양한 유형의 비율 문제를 해결하는데 유용하다. 셋째, 표, 그래프, 그림, 다이어그램 등은 대수적 개념들을 표현하고 이해를 돕는 표상들인데, 이들 표상 사이의 전환을 설명할 수 있는 방법으로 비례 추론이 이용될 수 있다.
- Krutetskii(1976)는 수학 영재 학생은 현상에 대한 수학적 측면에 관심이 있어 함수적 관련성을 찾는 능력이 탁월하다고 하였지만, 본 연구에서 영재 학생들은 30일 동안 모은 물의 양을 계산할 때 관계식을 이용하여 해결하기보다는 표에 나타난 자료에만 초점을 두어 차례로 곱해가는 전략을 사용하여 답을 구하였다. 이러한 결과를 볼 때 영재 교육과정에서 비례 추론은 여전히 발달시켜야 하는 능력 중의 하나이며, 영재 학생들의 비례 추론 능력을 키울 수 있는 프로그램의 개발이 필요하다고 본다.
- 본 연구에서는 영재 학생의 계산기 사용 행위를 분류해보고자 하는데, 이것은 다음 두 가지 측면에서 유용하리라 본다. 첫째, 수학 영재 학생들의 비례 추론 능력과 계산기 사용 행위 사이에는 어떤 관계가 있는지 관찰할 수 있을 것이다. 둘째, 시간의 변화에 따른 학생들의 계산기 사용 행위 변화 추적을 통해 영재 학생들의 비례 추론 수준이 전환될 때 나타나는 행위를 알아보는데 도움을 줄 것이다.
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