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문제 정의
- 본 연구는 차기 교과서의 비례식과 비례배분 단원 구현 시 고려해야 할 사항에 대한 유의미한 시사점을 도출하는 것을 연구의 목적으로 설정하고, 선행 연구를 중심으로 한 이론적 고찰을 통해 본 연구의 교과서 비교 분석을 위한 분석 틀을 마련하였다. 이에 기초하여 5차부터 2009 개정 교과서와 일본, 싱가포르, 중국 교과서의 비례식과 비례배분 관련 학습 요소 및 지도 순서, 용어의 정의, 관련 개념의 도입 맥락과 도입 시 사용된 시각적 표현에 대해 종적, 횡적으로 비교 분석하였으며, 연구 결과를 바탕으로 차기 교과서 집필 시 비례식과 비례배분 단원 구성을 위한 몇 가지 교수학적 시사점을 도출하였다.
- 본 연구에서는 우리나라 교육과정별 및 각 국가별 수학 교과서에서 비례식과 비례배분에 관한 내용을 어떻게 다루고 있는지 종적ㆍ횡적으로 분석하는 것을 주요 내용으로 한다. 종적 분석을 위해서는 5차 교육과정부터 현행 2009 개정 교육과정에 따른 수학(산수) 교과서의 비례식과 비례배분 내용을 분석 대상으로 선정하였다.
- 한편, Ponte & Marques(2011)는 포르투갈, 브라질, 스페인, 미국 수학 교과서의 비례 단원에 대한 각 나라별 도입 시기와 과제 맥락 등에 관한 비교 연구를 실시한 후, 비례의 적절한 지도 방안을 모색하기 위해 보다 확장된 국제 비교 연구의 필요성을 언급하였다. 이에 2015 개정 교육과정에 따른 수학 교과서(이하 2015 개정 교과서2))의 비례식과 비례배분 단원을 구성하기에 앞서 관련 선행 연구에 대한 고찰 및 국내외 수학 교과서에 대한 비교 분석이 필요함을 파악하였다.
- 이와 같은 분석틀에 기초하여 우리나라의 5차부터 2009 개정 교육과정에 따른 수학(산수) 교과서 및 일본, 싱가포르, 중국의 수학 교과서에 구현된 비례식과 비례배분 관련 내용을 비교 분석하는 질적 연구를 실시하였다. 각각의 분석 결과를 표로 정리하여 제시하였으며, 관련 사례를 구체적으로 진술하였다.
제안 방법
- 본 연구를 위한 이론적 배경으로 관련 선행연구를 고찰하기에 앞서, 교육과정에서 제시하고 있는 비례식과 비례배분 관련 내용을 분석하였다. 2009 개정 교육과정에서 2015 개정 교육과정으로 전환되면서 비례식과 비례배분 관련 내용에 어떠한 변화가 있는지 비교하였다. 그 결과, 전반적인 성취기준에는 큰 변화가 없었으나,2009 개정 교육과정에서 ‘비례식의 뜻을 알고, …’, ‘비례배분의 뜻을 알고, …’로 표현되었던 것이 2015 개정 교육과정에서는 ‘비례식을 알고,…’, ‘비례배분을 알고, …’로 수정되었음을 확인할 수 있다.
- 5차부터 2009 개정 교과서의 비례식과 비례배분 단원을 분석한 후, 비례식과 비례배분 관련 학습 요소 및 지도 순서가 어떠한지(), 비례식, 비례배분은 각각 어떻게 정의되는지(), 관련 개념의 도입 방법은 어떠한지()를 제시하고, 각 교육과정별 교과서의 비례식과 비례배분에 대한 세부적인 특징을 기술하였다.
- 이와 같은 분석틀에 기초하여 우리나라의 5차부터 2009 개정 교육과정에 따른 수학(산수) 교과서 및 일본, 싱가포르, 중국의 수학 교과서에 구현된 비례식과 비례배분 관련 내용을 비교 분석하는 질적 연구를 실시하였다. 각각의 분석 결과를 표로 정리하여 제시하였으며, 관련 사례를 구체적으로 진술하였다.
- 또한 비례식과 비례배분의 선수 학습 요소라 할 수 있는 비와 비율과의 밀접한 연결성을 고려할 때 비례식과 비례배분의 학습 요소 및 지도 순서, 용어의 정의에 대한 분석의 필요성에 따라 와 같은 본 연구의 분석틀을 설정하였다.
- 중국 교과서는 일본과 마찬가지로 6학년 上에서 비를 학습한 후 비의 성질을 제시하여 우리나라에서 6학년 1학기에 비를 학습할 때 비의 성질을 다루지 않는 것과는 차이를 보인다. 또한 비례의 응용으로서 생활 속 다양한 비례식 문제 해결 상황을 제시하고 있으며, 미지수 x를 사용한 비례식 문제 해결을 다루고 있는 점도 우리나라 교과서와의 차이로 파악되었다. 또한 우리나라는 6학년 2학기 비례식 단원에서 비례배분을 함께 다루지만 중국의 경우는 6학년 上에서 비를 학습하면서 응용 단계로서 비례배분을 다루고 있어 우리나라와 비례배분을 학습하는 지도 순서에 차이가 있다.
- 본 연구는 크게 종적 분석으로서 5차부터 2009 개정 교과서의 비례식과 비례배분 단원을 분석한 후, 학습 요소 및 지도 순서(), 비례식, 비례배분의 정의(), 개념의 도입 방법(맥락, 시각적 표현)()을 파악하였고, 횡적 분석으로서 일본, 싱가포르, 중국 교과서의 비례식과 비례배분 관련 내용을 동일한 기준으로 분석하여 각각에 따른 결과를 얻었다(, , ).
- 본 연구를 위한 이론적 배경으로 관련 선행연구를 고찰하기에 앞서, 교육과정에서 제시하고 있는 비례식과 비례배분 관련 내용을 분석하였다. 2009 개정 교육과정에서 2015 개정 교육과정으로 전환되면서 비례식과 비례배분 관련 내용에 어떠한 변화가 있는지 비교하였다.
- 비례식과 비례배분에 관한 선행 연구로는 크게 개념의 도입 맥락과 시각적 표현에 관한 연구와 비례식과 비례배분 문제 해결과 관련된 연구를 찾아볼 수 있다. 본 연구에서는 각각에 관한 선행 연구를 나누어 고찰하고, 이로부터 추출한 요소에 기초하여 본 연구의 분석틀을 마련하였다.
- 우리나라 교육과정별 및 국외 수학 교과서에서 비례식과 비례배분 내용의 비교 분석을 위해 앞서 II장에서 고찰한 선행 연구 중 다수의 연구에서 쟁점이 되었던 비례식과 비례배분의 도입맥락(정영옥, 2005, 2015; 정은실, 2013; Ponte &Marques, 2011)과 도입 시 사용한 시각적 표현(임재훈, 이형숙, 2015; 정영옥, 2015; Kücheman ,Hodgen, & Brown, 2014)을 분석 요소로 설정하였다.
- 이때 현행 2009 개정 교과서(본 절에서는 ‘우리나라 교과서’라 칭함)와의 비교가 요구되는 경우, 그에 대한 분석 결과도 함께 종합적으로 진술하였다.
- 본 연구는 크게 종적 분석으로서 5차부터 2009 개정 교과서의 비례식과 비례배분 단원을 분석한 후, 학습 요소 및 지도 순서(<표 IV-1>), 비례식, 비례배분의 정의(<표 IV-2>), 개념의 도입 방법(맥락, 시각적 표현)(<표 IV-3>)을 파악하였고, 횡적 분석으로서 일본, 싱가포르, 중국 교과서의 비례식과 비례배분 관련 내용을 동일한 기준으로 분석하여 각각에 따른 결과를 얻었다(<표 IV-4>, <표 IV-5>, <표 IV-6>). 이러한 분석 결과에 기초한 몇 가지 논의를 통해 차기 교과서의 비례식과 비례배분 단원 구성을 위한 교수 학적 시사점을 도출하였다.
- 본 연구는 차기 교과서의 비례식과 비례배분 단원 구현 시 고려해야 할 사항에 대한 유의미한 시사점을 도출하는 것을 연구의 목적으로 설정하고, 선행 연구를 중심으로 한 이론적 고찰을 통해 본 연구의 교과서 비교 분석을 위한 분석 틀을 마련하였다. 이에 기초하여 5차부터 2009 개정 교과서와 일본, 싱가포르, 중국 교과서의 비례식과 비례배분 관련 학습 요소 및 지도 순서, 용어의 정의, 관련 개념의 도입 맥락과 도입 시 사용된 시각적 표현에 대해 종적, 횡적으로 비교 분석하였으며, 연구 결과를 바탕으로 차기 교과서 집필 시 비례식과 비례배분 단원 구성을 위한 몇 가지 교수학적 시사점을 도출하였다.
- 일본, 싱가포르, 중국 교과서의 비례식과 비례배분 관련 단원 및 차시를 분석하여 비례식과 비례배분 관련 학습 요소와 지도 순서(), 개념의 정의(), 개념의 도입 방법()을 제시하고, 국가별 교과서의 세부적인 특징을 기술하였다.
대상 데이터
- 이때 국정 교과서 체제인 우리나라와 달리 여러 출판사에서 수학 교과서를 개발하여 활용하는 각국의 현실을 고려하여 채택 비율이 높은 출판사의 교과서를 분석 대상으로 하였다().
- 초등 수학에서 비례식과 비례배분을 지도하는 나라는 많지 않으며, 실제로 비례배분은 국가별로 학교 수학에 포함되지 않는 경우도 있고, 비례식을 중등 수학에서 다루는 경우도 많은 것으로 확인된다(사교육걱정없는세상,2015). 이에 우리나라와 같이 초등 수학에서 비례식과 비례배분을 다루도록 교육과정에 제시된 일본, 싱가포르, 중국의 수학 교과서를 분석 대상으로 하였다. 이때 국정 교과서 체제인 우리나라와 달리 여러 출판사에서 수학 교과서를 개발하여 활용하는 각국의 현실을 고려하여 채택 비율이 높은 출판사의 교과서를 분석 대상으로 하였다(<표 III-1>).
- 본 연구에서는 우리나라 교육과정별 및 각 국가별 수학 교과서에서 비례식과 비례배분에 관한 내용을 어떻게 다루고 있는지 종적ㆍ횡적으로 분석하는 것을 주요 내용으로 한다. 종적 분석을 위해서는 5차 교육과정부터 현행 2009 개정 교육과정에 따른 수학(산수) 교과서의 비례식과 비례배분 내용을 분석 대상으로 선정하였다. 5차 교육과정을 시점으로 한 이유는 5차부터 익힘책이 제공되어 이 시기부터 현재의 2009 개정 교과서와 같은 체계로 구성되었다고 보았기 때문이다.
- 5차 교육과정을 시점으로 한 이유는 5차부터 익힘책이 제공되어 이 시기부터 현재의 2009 개정 교과서와 같은 체계로 구성되었다고 보았기 때문이다. 횡적 분석을 위해서는 초등 수학에서 비례식이나 비례배분을 다루고 있는 국가인 일본, 싱가포르, 중국의 5, 6학년 수학 교과서를 분석 대상으로 하였다. 초등 수학에서 비례식과 비례배분을 지도하는 나라는 많지 않으며, 실제로 비례배분은 국가별로 학교 수학에 포함되지 않는 경우도 있고, 비례식을 중등 수학에서 다루는 경우도 많은 것으로 확인된다(사교육걱정없는세상,2015).
이론/모형
- 다음으로 비례배분의 도입 방법을 분석한 결과, 5차와 6차는 형과 동생에게 돈을 비례배분하는 상황을 제시하고 있고, 이때 수치뿐만 아니라 시각적 표현으로 이중수직선 모델을 제시하는 것까지 모두 동일하다. 7차는 공책을 오빠와 동생이 나누어 가지는 상황으로 비레배분을 도입하며 시각적 표현으로 이중테이프 모델을 사용하였다. 임재훈, 이형숙(2015), Kücheman et al.
성능/효과
- 셋째, 우리나라 교과서는 비례식을 도입할 때 설계 도면에서 가구의 길이와 실제 가구의 길이를 비교하는 맥락을 제시하고 있지만, 일본의 경우 음식 만들기 상황을 이용한 비례 문제 해결 상황을 제시함으로써 좀 더 학생들에게 친숙한 소재를 사용하고 있다는 것을 알 수 있다. 넷째, 우리나라 교과서에서는 비례식, 비례배분의 개념 도입 시 표를 활용하여 수치의 변화를 파악하게 하는 반면, 국외 교과서는 수직선, 색 막대를 활용함으로써 개념의 직관적 이해를 돕고 있음을 알 수 있다.
- 또한 우리나라 교과서에는 비례식과 비례배분이 하나의 독립된 단원으로 구성되어 있는 반면, 국외 교과서에서는 비나 비율을 학습하는 과정 중에 다루어진다는 차이를 보인다. 둘째, 우리나라 교과서에서는 비례식과 비례배분의 정의를 명확하게 제시하지만 국외 교과서에서 비례식의 개념 정의는 일본, 중국 교과서에서만 찾아볼 수 있으며, 비례배분은 따로 정의하지 않고 맥락 속에서 지도한다. 이는 우리나라 교과서가 국외 교과서에 비해 개념 정의를 강조하고 있음을 보여 준다.
- 즉, 다양한 시각적 표현이 부족하여 학생들의 이해를 돕는 데 한계가 있는 것으로 나타났다. 또한 국내 교과서에서는 비의 성질, 비례식의 성질을 지도한 후 문제를 해결하는 과정이 있는 반면, 국외 교과서에는 알고리즘 적 문제 해결이 아닌 그림, 수직선, 색막대 등 다양한 시각적 표현을 통해 학생들의 비례식과 비례배분에 대한 이해를 돕는 것으로 나타났다. 따라서 다양한 시각적 표현을 적극 활용하여 학생들 스스로 해결 방법을 찾아 비례식의 성질이나 알고리즘을 알아가는 것이 중요하다는 선행연구(임재훈, 이형숙, 2015; 정영옥, 2005, 2015)를 바탕으로 개념 이해에 적절한 시각적 표현을 활용함으로써 학생들의 비례식, 비례배분에 대한 이해를 도울 필요가 있다.
- ’고 제시하여 우리나라 교과서에 제시된 ‘비례식’ 용어는 사용하지 않는 차이점을 보인다. 또한 항, 전항, 후항의 개념을 사용하여 비례식을 지도하는 것은 우리나라와 유사하나, 정비례, 반비례를 포함하는 비례 관련 단원에서 일부 언급된다는 점이 우리나라와의 차이점으로 나타났다. 또한 내항의 곱과 외항의 곱이 같음을 보여주는 비례식의 성질을 활용하여 문제를 해결하는 방법을 제시하고 있으나 미지수 x가 제시되며([그림 IV-3]), 중국 교과서 역시 일본, 싱가포르와 마찬가지로 비례배분의 개념을 별도로 제시하지 않고 비례배분 관련 문제 상황을 해결하는 맥락 속에서 지도하고 있음을 발견할 수 있다.
- 둘째, 비례식, 비례배분의 도입 시 맥락과 학습 순서가 중요하다. 본 연구의 분석 결과, 각 교과서에서 다양한 도입 맥락을 적용하고 있음을 알 수 있다. 특히 국외 교과서는 실생활에서 쉽게 접할 수 있는 소재를 사용하여 맥락 속에서 비례식과 비례배분 개념을 습득할 수 있게 지도하고 있고 이때 교과서에서 명시적으로 비례식과 비례배분의 정의를 제시하지 않는 점이 특징적이다.
- 본 연구의 분석 대상인 국외 교과서의 비례식과 비례배분의 정의를 살펴본 결과, 비례배분을 정의하고 있는 교과서는 없었으며, 비례식의 개념 정의는 일본, 중국 교과서에서만 찾아볼 수 있었다. 이때 중국은 우리나라와 유사하게 전항, 후항과 같은 용어를 사용하며 비례식의 성질을 활용한 문제 해결 과정을 제시하고 있는 점이 특징적이다.
- 분석 결과, 5차와 6차 교과서에서는 수치만 다를 뿐 비례식의 개념을 동일하게 정의하고 있다. 7차와 2007 개정 교과서에서는 #Laxtex구현필요 와 같이 비의 값이 같다는 분수 표현은 삭제되었지만 비례식 개념은 이전의 교과서와 동일하게 서술하고 있다.
- 분석 결과, 비례식의 개념은 일본과 중국 교과서에만 제시되어 있고, 비례배분의 경우는 일본,싱가포르, 중국 교과서 모두 개념에 대한 정의 없이 맥락 속에서 지도하고 있음을 알 수 있다.
- 이는 우리나라 교과서가 국외 교과서에 비해 개념 정의를 강조하고 있음을 보여 준다. 셋째, 우리나라 교과서는 비례식을 도입할 때 설계 도면에서 가구의 길이와 실제 가구의 길이를 비교하는 맥락을 제시하고 있지만, 일본의 경우 음식 만들기 상황을 이용한 비례 문제 해결 상황을 제시함으로써 좀 더 학생들에게 친숙한 소재를 사용하고 있다는 것을 알 수 있다. 넷째, 우리나라 교과서에서는 비례식, 비례배분의 개념 도입 시 표를 활용하여 수치의 변화를 파악하게 하는 반면, 국외 교과서는 수직선, 색 막대를 활용함으로써 개념의 직관적 이해를 돕고 있음을 알 수 있다.
- 둘째, 국외 교과서는 수직선, 색 막대와 같은 시각적 표현을 활용하여 비례식, 비례배분의 개념을 학습하게 구성함으로써 학생들의 개념 이해를 돕고 있다. 셋째, 일본, 싱가포르, 중국은 우리나라와 달리 비례배분의 개념을 비를 학습하는 과정 중 맥락 속에서 자연스럽게 다루고 있는 점이 특징적이다.
- 이상의 고찰을 통해 비례식과 비례배분의 도입 시 맥락은 정적인 맥락보다는 동적인 맥락으로서 실생활과 연계되어야 하고 대수적 과제를 활용한 맥락을 벗어나 기하적인 맥락 등 다양한 맥락을 균형 있게 이용해야 하며, 시각적 표현이 학생들의 이해를 도울 수 있을 것이라는 함의점을 이끌 수 있다.
- 마지막으로, 우리나라 교과서와 국외 교과서를 종합적으로 비교 분석한 결과를 제시하면 다음과 같다. 첫째, 우리나라는 비례식과 비례배분을 6학년 2학기에 다룬 것에 반해, 싱가포르 교과서에는 5학년 때 관련 내용이 등장함으로써 도입 시기에 차이가 있음을 알 수 있다. 또한 우리나라 교과서에는 비례식과 비례배분이 하나의 독립된 단원으로 구성되어 있는 반면, 국외 교과서에서는 비나 비율을 학습하는 과정 중에 다루어진다는 차이를 보인다.
후속연구
- 따라서 차기 교과서 개발 시 이러한 점을 보완하여 구성하되, 실생활 맥락 접근으로 등장하는 사례들이 또 하나의 학습 요소로서 학생들에게 부담을 주는 소재가 되지 않도록 주의해야 한다. 또한 학생들이 유의미한 맥락 속에서 비례식, 항, 전항, 후항, 내항, 외항, 비례배분을 학습하면서 각 개념에 대해 충분히 이해할 수 있도록 하기 위해 적절한 도입 순서에 대한 심도 있는 논의도 요구된다.
- 마지막으로, 본 연구의 과정 중에 부수적으로 파악된 비례식과 배례 배분의 문제 해결을 위한 다양한 비례 추론 전략을 경험할 필요가 있다. 학생들의 비례 추론 능력을 높이기 위한 덧셈 전략, 한 단위 전략, 부분 전체 전략, 곱셈 전략, 분수 전략, 비례식 전략, 대각선 곱 전략, 방정식 전략 등 다양한 비례 추론 전략이 활용되어야 함에도 불구하고(정영옥, 2015; Lamon, 1999; Lesh et al.
- ,1988), 국내 교과서는 비례식의 성질을 활용한 알고리즘적 전략이 주로 제시되어 학생들에게 비례식과 비례배분을 알고리즘적 문제 상황으로만 인식하게 할 우려가 있다. 비례식과 비례배분 학습을 통해 학생들은 비례 추론 능력을 신장할 수 있기 때문에, 교과서에서 비례식과 비례배분에 대한 다양한 비례 추론 전략을 어느 정도로 제시하여 표현할 것인지에 대한 후속 연구 및 논의가 요구된다. 알고리즘적 전략을 사용하기 전에 연관되는 다양한 비례 추론 전략을 사용하여 학생들의 이해를 돕도록 하는 방안을 모색해야 할 것이다.
- 셋째, 비례식의 성질을 활용한 알고리즘적 문제 해결 방법뿐만 아니라 비례식, 비례배분에 대해 학생들이 직관적으로 생각해볼 수 있도록 다양한 시각적 표현의 활용 방법을 모색해야 한다. 분석 결과, 국내 교과서 중 2007 개정 교과서는 시각적 표현을 거의 사용하지 않았고, 2009 개정 교과서는 비례식과 비례배분을 도입할 때 모두 표를 사용하였다.
- 비례식과 비례배분 학습을 통해 학생들은 비례 추론 능력을 신장할 수 있기 때문에, 교과서에서 비례식과 비례배분에 대한 다양한 비례 추론 전략을 어느 정도로 제시하여 표현할 것인지에 대한 후속 연구 및 논의가 요구된다. 알고리즘적 전략을 사용하기 전에 연관되는 다양한 비례 추론 전략을 사용하여 학생들의 이해를 돕도록 하는 방안을 모색해야 할 것이다.
- 2007 개정 교과서는 학생들이 비례배분의 의미를 파악하는 데 더 도움이 될 것이며, 2009 개정 교과서는 공식을 유도하기에 보다 자연스럽다. 차후 교과서에서는 양자의 장점을 고려함으로써 학생들이 비례배분의 의미를 충분히 파악한 후, 자연스럽게 공식을 유도할 수 있는 기회를 제공하는 방향으로 구성할 필요가 있다.
- 비례식 관련 학습은 2007 개정 교과서와 크게 다르지 않은 흐름을 유지하였으며, 비례식에 이어 비례배분을 두 차시로 제시하고 있는데, 이때 비례배분을 이용하여 실생활 문제를 해결하는 차시가 새롭게 구성된 점은 이전 교과서와의 차이점이라 할 수 있다. 차후 교과서에서도 비례식과 비례배분이 한 단원으로 통합 구성된다면, 학생들이 비례식에 이어 비례배분을 자연스럽게 도입하여 이해할 수 있도록 적절한 맥락 및 지도 방법이 포함될 필요가 있다.
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